Elettromagnetismo. Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano. Lezione n

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1 Elettomgnetsmo Pof. Fncesco Rgus Unvestà degl Stud d Mlno Lezone n Popetà dell foz mgnetc Denstà d Coente. Foz su un coente. Legge d ot e Svt Anno Accdemco 18/19

2 Popetà dell foz mgnetc Un'lt popetà mpotnte dell pte mgnetc dell foz d Loentz è che non compe lvoo In genele, l lvoo ftto d un foz F che gsce su un ptcell è dw F dl Se l foz è dovut un cmpo mgnetco L foz dpende dll veloctà dl vdt dl F qv F e v sono pependcol dw F dl q v vdt ( v ) v Petnto un cmpo mgnetco che gsce su un ptcell cc n movmento Modfc l dezone dell veloctà Non modfc l modulo dell veloctà L foz mgnetc non compe lvoo Elettomgnetsmo Pof. Fncesco Rgus 31

3 Foz su un flo pecoso d coente Consdemo conduttoe d sezone S che tspot un coente I I potto hnno un cc q e un dl denstà ρ N d ptcelle pe untà d volume Pe l momento gnomo mot mcoscopc S e supponmo che tutte le ptcelle bbno l stess veloctà v Consdemo desso un ttto nfntesmo dl d flo Il questo elemento c sono dn ρ N S dl cche Se l conduttoe è mmeso n un cmpo mgnetco, sulle ptcelle vene esectt un foz df qdnv qρ S dlv L coente scoe pllel ll'sse del flo petnto v e dl sono pllel Possmo petnto scvee ( qρ N v J ) df qρ Svdl J Sdl Idl N Sppmo che potto d cc utno con gl tom del etcolo cstllno L foz esectt dl cmpo mgnetco vene tsfet l conduttoe L foz totle sul ccuto C è dt dll'ntegle Elettomgnetsmo Pof. Fncesco Rgus 3 C N F I dl v C I

4 Foz su un coente Non necessmente l coente deve essee tspott d un conduttoe Fluss d ptcelle cche n un elettolt o n un plsm costtuscono coent che sono soggette foze n pesenz d cmp mgnetc In tl cso l desczone pù degut è ftt con l denstà d coente J z dv Rpendmo un fomul dell dpostv pecedente df qdnv qρs dlv dv{ Avmo ll'espessone dell foz pe untà d volume Quest foz, nseme ll cospondente foz elettc sull denstà d cc ρ, è un ngedente essenzle pe scvee le equzon dffeenzl che pemettono d clcole J Non ffonteemo poblem d questo tpo qρ v dv J dv { J df dv J Elettomgnetsmo Pof. Fncesco Rgus 33

5 Denstà d coente L denstà d coente che bbmo utlzzto fno d o consde denstà volumetche d cche n movmento J ρv J C/ms Come nel cso elettosttco è utle genelzze denstà d cche supefcl e lne Utl pe schemtzze stuzon n cu le denstà s estendono pe dstnze molto pccole n un o due dezon L denstà supefcle d coente pù semplce è un σ pno d cc d denstà supefcle σ n movmento Un modo ptco pe elzze un denstà supefcle d cc è tmte un conduttoe come n fgu ρ d d Pe fne un denstà d coente lnee d d J d ρv nˆ d J nˆ d ρv nˆdsdl σv nˆdl b K nˆ dl K C/ms K n ˆdl J nˆ d I nˆ ρv nˆd λv nˆ I C/s ds ρds σ K σv ρ d ρd J d λ S I l ds λv K σv d Elettomgnetsmo Pof. Fncesco Rgus 34

6 Foz su un coente Abbmo vsto le foze che s esectno sulle denstà d coente lne e d volume Coente lnee F I dl C Coente d volume I d l C dl C F J dv V Pe un coente supefcle z dv F K d d S Elettomgnetsmo Pof. Fncesco Rgus 35

7 Esempo d foz su un ccuto Consdemo un egone dello spzo n cu s pesente un cmpo mgnetco F Il smbolo ndc un vettoe pependcole l pno dello schemo F 1 F 1 Il veso è tle che "ent" nello schemo Consdemo desso un ccuto chuso ettngole pecoso d un coente I L lghezz del ccuto è Clcolmo l coente I necess pe blnce l peso mg I m Rcodmo l'espessone dell foz su un coente df Idl Sul flo nfeoe non c'è foz mgnetc ( ) Su due fl ltel o non c'è foz peché sono ll'esteno dell egone con oppue le foze s equlbno Sul flo supeoe l foz è dett veso l'lto All'equlbo F mg F mg I dl I I I mg Elettomgnetsmo Pof. Fncesco Rgus 36

8 Ch f lvoo? Nel sstem pecedente se s ument l coente l foz mgnetc supe l peso F e l ccuto s spost veso l'lto L mss m cqust eneg potenzle gvtzonle Vene computo un lvoo A pm vst semb che sno le foze mgnetche compee lvoo Abbmo detto che le foze mgnetche non fnno lvoo I m Pe ppofonde questo spetto supponmo che l ccuto poss muoves n dezone vetcle vncolto delle gude senz ttto Non può muoves ozzontlmente Se s muove vetclmente potto d cc nel ttto supeoe del ccuto hnno un veloctà con due component L componente u dovut l moto vetcle del ccuto L componente u legt ll coente: I λ u L foz mgnetc su potto d cc è petnto Fm λu Ossevmo che l foz mgnetc è pependcole ll veloctà de potto d cc Non compe lvoo sulle cche Fm u u u Elettomgnetsmo Pof. Fncesco Rgus 37

9 Ch f lvoo? Assummo d essee n un condzone stzon L coente è costnte L veloctà vetcle del ccuto è costnte Tutte le foze sono n equlbo Scomponmo l foz mgnetc n un componente vetcle e un ozzontle F m L componente vetcle blnc l foz peso L veloctà vetcle del ccuto è costnte Fm F m u mg mg λ λ u L componente ozzontle s oppone ll coente che ccol nel flo L btte deve fe un lvoo mggoe pe mntenee l coente costnte Supponmo che l ccuto s lz d ttto h u Δt Nel tempo Δt l btte deve contste l lvoo dell componente F m u F u λ m λ dw Fm ( uδt ) λuu λu u h Δ W mgh Esttmente l'eneg potenzle gvtzonle gudgnt dll mss m Il lvoo è stto ftto dll btte! Elettomgnetsmo Pof. Fncesco Rgus 38 h Δ t Fm Fm h u u Fm u Fbtt mg u

10 Ch f lvoo? Pe fne un nlogo meccnco Un pno nclnto senz ttto N N Il dgmm delle foze è lo stesso d quello dell dpostv pecedente N L foz nomle non compe lvoo mg L ezone nomle s scompone n due component L componente vetcle che blnc l foz peso L componente ozzontle che blnc l foz esten L foz esten ozzontle compe un lvoo e h come effetto d umente l'ltezz dell mss Aument l'eneg potenzle gvtzonle dell mss F et Elettomgnetsmo Pof. Fncesco Rgus 39

11 Le sogent del cmpo mgnetco L legge che bbmo sctto pe l foz su un cc n movmento c pemette d de un defnzone opetv d cmpo mgnetco In questo senso è molto dves dll legge d Coulomb L legge d Coulomb pemette d clcole l foz Allo stesso tempo defnsce un nuov gndezz, l cc elettc, sogente dell foz elettc D ftto l legge d Coulomb defnsce l cmpo elettco Nell legge dell foz d Loentz questo secondo spetto è ssente S defnsce come clcole l foz podott d un cmpo mgnetco m non s dce null su come clcole l cmpo mgnetco Qulttvmente bbmo vsto che mgnet pemnent geneno un cmpo mgnetco Le coent deflettono gl gh mgnetc Applcno un foz mgnet Devono nch'esse genee un cmpo mgnetco L'ogne de cmp mgnetc de mgnet pemnent è molto compless Seve un teo quntstc dell mte L studeemo pù vnt Inzmo con l cmpo mgnetco geneto d un coente Elettomgnetsmo Pof. Fncesco Rgus 4

12 L legge d ot e Svt L legge d ot-svt (nche pm fomul d Lplce) pemette d clcole l cmpo d nduzone mgnetc geneto d un flo pecoso d coente È vld solo pe coent stzone In ptcole non pemette d clcole coettmente l cmpo d nduzone mgnetc d un cc n movmento d Consdemo un flo pecoso d un coente Consdemo nolte un elemento dl del flo Il contbuto l cmpo nel punto dl eltvmente l flo è dto d d μ ˆ dl Il ttto d flo dl f pte d un ccuto chuso Quest espessone h senso fsco solo dopo vee sommto (ntegto) contbut d tutto l ccuto n esme z Usndo l fomlsmo vettole n fom esplct d ( ) μ dl 1 ( ) μ 1 pe smmet dl ( ) C 1 Elettomgnetsmo Pof. Fncesco Rgus 41

13 L legge d ot e Svt Specfchmo meglo le condzon pe l mgnetosttc A dffeenz dell'elettosttc le cche sono n movmento Tuttv l movmento deve vee pecse cttestche Non deve cuse vzon delle denstà d cc Rcodmo l'equzone d contnutà J ρ t L condzone pe l mgnetosttc è che ρ t (, t ) L mgnetosttc s pplc petnto cmp genet d denstà d coent che soddsfno Coent contnue che non vno nel tempo In eltà molte delle equzon dell mgnetosttc s pplcno nche coent lentmente vbl nel tempo Defnemo n seguto con pecsone l sgnfcto d "lentmente" J Elettomgnetsmo Pof. Fncesco Rgus 4

14 Il cmpo mgnetco d un flo Clcolmo l cmpo mgnetco geneto d un flo nfnto Pe semplctà sceglmo un geomet che semplfch l poblem d Il flo lungo l'sse dl e d ˆ Il punto n cu clcole l cmpo sull'sse ˆ ˆe sn θ + ˆe cos θ dl ˆ ˆe ˆe sn θd ˆe ˆe Il contbuto d è pependcole l pno Abbmo nolte sn( π θ) sn θ tg( π θ) tg θ d μ ˆe sn θd z sn θ Elettomgnetsmo Pof. Fncesco Rgus 43 ˆe sn θd μ z ˆe sn z μ ˆe sn θ z d d θ 3 z d θ dl sn θ cos θ dθ d sn θ sn θ 3 θd μ ˆe sn θ z dθ sn θ μ ˆ dl e ˆ d

15 Il cmpo mgnetco d un flo μ ˆe sn θ z d d θ Clcolmo l'ntegle su tutto l flo Esteso d θ fno θ π μ ˆe π μ ˆe z z sn θdθ ( cos θ ) μ ˆe z π Ossevmo che l sultto non dpende dll coodnt Come c s potev spette dt l smmet del poblem Il cmpo dpende solo dll dstnz dl flo + z Il poblem è nvnte pe otzon ntono l flo Le lnee d cmpo sono cconfeenze centte sul flo In coodnte clndche μ ˆ e π Elettomgnetsmo Pof. Fncesco Rgus 44 φ π d z θ

16 Cmpo mgnetco sull'sse d un sp Un lto poblem semplce d solvee è l clcolo del cmpo mgnetco sull'sse d un sp d ggo Il clcolo è semplce sull'sse Complcto ltove Utlzzmo un metodo completmente vettole d I vetto del poblem sono ˆ ˆ 1 ecosθ + esn θ ˆzz e d μ dl ˆe ˆ ˆ zz ecosθ esn θ 1 + z d 1 dl d 1 d θ ( ˆe sn ˆ θ + e cosθ) dθ dθ Clcolmo l podotto vettole ( ) l ( ˆe sn + ˆe cos ) ( ˆe ˆe cos ˆe sn ) 1 θ θ z θ θ dθ z Elettomgnetsmo Pof. Fncesco Rgus 45 z θ 1 d 1 ( ˆ e ˆ sn ˆ ˆ sn ˆ ˆ cos ˆ ˆ cos ez e e e ez e e ) z θ + θ + z θ θ dθ dl 1 θ dl

17 Cmpo mgnetco sull'sse d un sp ( ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 z sn sn z cos cos ) ( e sn ˆ sn cos ˆ cos z θ + ez θ + ez θ + ez θ) dθ dl e e z θ + e e θ + e e z θ e e θ dθ ( ˆe cos ˆe sn ˆe ) z θ + z θ + dθ z Insemo nell fomul pe d d μ dl 3 μ 1 1 μ ˆe zcos θ + ˆe zsn θ + ˆe z dθ 3 + z 1 Integmo su tutt l sp (d θ θ π) μ e π ˆe zcos θ + ˆe zsn θ + ˆe z dθ 3 z z d ˆ zcos θ + ˆe zsn θ + ˆe 3 + z θ Elettomgnetsmo Pof. Fncesco Rgus 46

18 Cmpo mgnetco sull'sse d un sp π μ ˆ zcos θ + ˆe zsn θ + ˆe z z d e 3 + z Notmo che l denomntoe è costnte Inolte l'ntegle de pm due temn è nullo θ μ π ( z) dθ ( z ) 3 + z ˆe z μ 3 + z ˆe z Come tteso l cmpo è detto lungo l'sse z z ( z ) Elettomgnetsmo Pof. Fncesco Rgus 47

19 Cmpo d un denstà d coente Anche l legge d ot e Svt) può essee genelzzt d un denstà d coente J μ dl S J C 1 In quest fomul Il vettoe dl è pependcole S: Sdl 1 dv 1 Il vettoe dl e l vettoe J sono pllel Petnto Sottolnemo che L'ntegzone è ftt spetto ll vble 1 L denstà d coente è clcolt nel punto 1 μ Sdl 1 1 J 3 C 1 μ ( ) 1 1 J dv 3 1 V 1 Elettomgnetsmo Pof. Fncesco Rgus 48

20 Cmpo d un denstà d coente L legge d ot e Svt goc pe l mgnetosttc lo stesso uolo che l legge d Coulomb goc pe l'elettosttc μ J V ( ) ( ) 1 ε Tuttv, nel cso dell'elettosttc l'ntegndo ppesent l contbuto l cmpo elettco d un cc elemente Nel cso dell mgnetosttc l'elemento d coente elemente non h senso S potebbe pense che un cc n moto ppesent un denstà d coente elemente che gene un cmpo mgnetco elemente Ad esempo un moto ettlneo unfome J( )dv dqv + vt Questo è SAGLIATO! L denstà d coente dqv NON è stzon Gene un cmpo mgnetco dpendente dl tempo 3 dv ρ 3 E d V ( ) ( ) μ J 3 dv dv Elettomgnetsmo Pof. Fncesco Rgus 49

21 L'ssenz delle cche mgnetche Rchmmo l fom del cmpo geneto d un flo nfnto Le lnee d cmpo sono cconfeenze ntono l flo Sono lnee chuse, senz sogente! Anlogmente pe l cmpo dell sp Anche n questo cso le lnee d cmpo sono chuse Al lmte ptono e fnscono dll'nfnto Abbmo gà notto l smltudne f l cmpo d un mgnete pemnente e un dpolo elettco S potebbe essee tentt d pense che esstno le cche mgnetche S ttteebbe d un teo pefettmente consstente Tuttv le cche mgnetche non esstono Vedemo che nche nell mte cmp sono genet d coent A lvello mcoscopco, d coent tomche Elettomgnetsmo Pof. Fncesco Rgus 5

22 L'ssenz delle cche mgnetche Pe l cmpo elettco bbmo vsto che l legme f l cc elettc e l cmpo potev essee desctto mtemtcmente dll legge d Guss E Possmo consdee un evdenz spementle che tutt cmp mgnetc ossevt possedono l popetà ρ ε Quest legge espme mtemtcmente l ftto che l cmpo mgnetco non è geneto d cche mgnetche Un cmpo con dvegenz null è detto solenodle Rtonmo l cmpo del flo nfnto Lo bbmo clcolto con l fomul d ot e Svt μ μ dl J π C V dv Dmostmo semplcemente che un cmpo che s può scvee con l fomul d ot e Svt h dvegenz null Pelmnmente lcune fomule mtemtche con l'opetoe Elettomgnetsmo Pof. Fncesco Rgus 51