Il campo magnetico. H.C. Oersted 1819

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1 Il cmpo mgnetco Le popetà mgnetche d lcun mtel eno gà note gl ntch gec, omn e cnes: pesso quest popol nftt e conoscut l cpctà d un sostnz: l mgnette (Fe 3 O 4 ) d tte lmtu d feo. Inolte ossevono che un sbett d feo conttto con fmment d mgnette s mgnetzz, coè dvent un mgnete ntule: lle estemtà s poducono un polo nod e un polo sud mgnetc. Pol sml s espngono, mente pol dves s ttggono. H.C. Oested 1819 Dll pesenz d foze mgnetche ntono condutto pecos d coente s deduce che le cche n movmento possono genee questo tpo d foze. Ne mgnet pemnent le cche n movmento s ndvduno negl eletton degl tom costtuent l mtele.

2 S potebbe cedee che cmp mgnetc, come quell elettc, sno genet d cche mgnetche dette pol. Tuttv l monopolo mgnetco non è m stto ossevto. Cche elettche postve e negtve possono essee solte (es. poton e eletton) l conto non sono m stt solt ed ossevt sngol pol mgnetc Gve smmet n ntu Il cmpo è qund smle quello d un dpolo elettco.

3 Stocmente l cmpo mgnetco è stto ntodotto ttveso le foze esectte t mgnet. Ogg s pefesce defnlo ttveso l su zone su cche elettche n movmento (coeentemente con l defnzone del cmpo elettco E) Se esmnmo un ptcell cc n moto n un cmpo mgnetco spementlmente notmo che : L foz F L gente sull ptcell cc è popozonle ll veloctà e ll cc dell ptcell l foz F L gente sull ptcell dpende dll dezone dell veloctà: esste un dezone pe cu F L ed un pe cu l F L è mssm. L foz F L è pependcole ll veloctà Defnzone opetv del Vettoe Cmpo Mgnetco Foz gente su un ptcell cc che ttves un cmpo mgnetco +q V F qv Foz d Loentz F q mx V F mx L dezone d cosponde ll dezone dell veloctà V ch nnull F l

4 L foz d Loentz non compe lvoo sull cc n moto F V W ( F ) l [ ] N Tesl 1 Tesl1 4 Guss C m / s Cclotone supeconduttoe LNS 4.8 Tesl

5 Moto d un ptcell cc n un cmpo mgnetco unfome: L foz d Loentz gsce come foz centpet poduce solo un vzone dell dezone d v Rcvmo qund l ggo d cuvtu dell tetto Moto ccole unfome veloctà ngole peodo Non dpende d v e d R

6 Moto d un ptcell cc n un cmpo mgnetco unfome: cso geneco Scomponmo l veloctà nelle due component: Otogonle Pllel θ Ottenmo qund nel pno otogonle un moto ccole unfome con veloctà : Lungo non bbmo foz, qund l componente mne costnte: moto ettlneo unfome con veloctà Qund l moto sultnte è elcodle: composzone d un moto ccole unfome nel pno otogonle e un moto ettlneo unfome lungo Il psso dell elc sà: cos

7 Effett d cmp mgnetc sulle coent Foz gente su un conduttoe ettlneo pecoso d coente mmeso n un cmpo mgnetco L V qn S L S n V q F d d ) ( S L V N n potto L I F d L I d F Esempo: dpolo mgnetco Sp pecos d coente mmes n un cmpo mgnetco I MIT Physcs Demo -- Jumpng We.mp4

8 + cos cos sn cos cos sn l l l C l l l DA l dl dl dl F l dl dl dl F θ θ θ π θ θ θ π y x z g y z x z n -

9 M l F sn( π θ ) l1l sn θ S ( π ) Snˆ z z π θ y x - o nˆ x 1

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11 Sogent d cmpo mgnetco Ccutzone d Legge d Ampee dl µ Coente conctent coente che ttves ogn supefce vente quel pecoso come contono µ pemebltà mgnetc del vuoto µ 4π 1-7 T m/a Flo ettlneo ndefnto pecoso d coente: dl dl π µ Utlzzble solo n condzon d smmet µ π

12 Appl. Legge d Ampee: cmpo mgnetco n un solenode è un bobn soltmente d fom clndc fomt d un see d spe ccol molto vcne f loo e elzzte con un unco flo conduttoe. h d R Solenode dele: Spe vvcnte Lunghezz >> ggo R dl h nhµ n untà n. spe d lunghezz µ n

13 Foz t fl pllel pecos d coente d l l F d b b b π µ π µ Defnzone d Ampee Gndezz elettc fondmentle ( ) ( ) ( ) ( ) m N m A A Tm l F / π π In due fl ettlne pllel post ll dstnz d 1 m scoe l coente d 1 A qundo l foz t loo esectt pe untà d lunghezz vle 1-7 N/m MIT Physcs Demo -- Foces on Cuent-Cyng We.mp4

14 I legge elemente d Lplce Dstbuzone bt d coent Come dedue l cmpo geneto? d µ 4 π d l 3 d dl dl dl

15 Esempo I Clcole l ndmento del cmpo mgnetco sull sse dell sp d ggo nell qule scoe un coente. dl x θ P θ d

16 veso d : egol dell mno dest ( ) ) ( 3 µ µ Al cento dell sp: x>>? x sn + θ 3 3 dl 4 sn dl 4 dl 4 d π µ π π µ π µ ( ) ( ) ntegndo x dl 4 d x x dl 4 sn dl 4 d 3 x x π µ π µ θ π µ ( ) ( ) ( ) x x ) ( x 4 dl x 4 x ) ( µ π π µ π µ π x θ d dl P θ y o 3 d l 4 d π µ θ θ cos d d sn d d y x

17 Esempo II

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19 +

20 Le lnee d flusso del vettoe sono sempe lnee chuse pve d pozz o sogent d Φ ds Legge d Guss pe l mgnetsmo Integndo su un supefce chus S ds Fom locle dv S ds P θ Pol mgnetc solt non sono stt ossevt Il cmpo mgnetco è solenodle

21 Espessone locle dell legge d Ampee Ccutzone d Coent conctente dl µ µ A j ds A Cechmo d tsfome l ccutzone d n un ntegle d flusso Teoem d Stokes L ccutzone d un cmpo vettole V lungo un lne chus C è ugule l flusso del otoe d V ttveso un qulss supefce S vente pe contono C l veso d pecoenz d C e l veso dell nomle ll supefce S sono legt dll egol dell mno dest o dell vte destos

22 Dmostzone: dto l cmpo vettole V e fssto un sstem d femento ctesno, consdemo un ettngolo nfntesmo gcente su un pno pllelo l pno yz d lt dy, dz pllel gl ss coodnt. Clcolmo l ccutzone d V lungo l pemeto del ettngolo seguendo l veso d pecoenz llustto n fgu z P 4 P 3 dz S V l vettoe nel punto P 1 con component v x v y v z clcolmo l contbuto ll ccutzone lungo due lt pllel ll sse y P 1 dy P contbuto lungo P 1 P x y L componente d V pllel ll sse delle y nel punto P 4 sà dt d: Veso d pecoenz opposto l veso dell sse y + qund l contbuto lungo P 3 P 4 + Sommndo due contbut ll ccutzone (P 1 P e P 3 P 4 ) + Anlogmente s vede che contbut lungo P 4 P 1 e P P 3 vlgono e + Sommndo due contbut ll ccutzone (P 4 P 1 Ottenmo qund l espessone dell ccutzone d V lungo l ettngolo sommndo tutt contbut e P P 3 ) - + +

23 Possmo petee le consdezon pecedent pe de ettngol nfntesm dzdx ds y e dxdyds z gcent pllel spettvmente pn coodnt zx e xy ottenendo: Nel cso n cu l ettngolno fosse oentto csulmente spetto gl ss l ccutzone d V lungo l suo contono sà dt dll somm delle espesson pecedent con ds x ds y ds z le poezon d ds su te pn coodnt + + Rsultto vldo qulunque s l fom dell supefce nfntesm ds Pssmo o l clcolo dell ccutzone d V lungo un lne chus e fnt l, supponendo che l cuv s pn possmo scompoe l supefce n eole nfntesme e consdee l ccutzone d V lungo l contono d cscun d esse. Sommndo contbut d ccutzone pe due eole contgue l temne cospondente l lto comune scompe S può concludee che l somm delle ccutzon lungo conton delle nfnte eole nfntesme è ugule ll ccutzone del vettoe V lungo l cuv l, ntegndo qund l espessone pecedentemente tovt: Le stesse consdezon vlgono nche nel cso l cuv non s pn

24 Il teoem d Stokes consente qund d tsfome l ccutzone d lungo un lne chus nel flusso del otoe d ttveso l supefce S che s ppogg sull lne dl S ot ds µ S j ds Quest uguglnz deve vlee qulunque s l supefce S qund: ot µ j Quest è l fom locle dell legge d Ampee (cso stzono) L consevzone dell cc elettc nel cso stzono mplc come bbmo vsto dv j L espessone locle dell legge d Ampee è comptble con l condzone d stzonetà dell coente nftt l dvegenz del otoe d un cmpo vettole è null: dv ( ot ) µ dv j Cos ccde n condzon non stzone? L legge d Ampee non funzon?! ρ dv j t

25 ε Genelzzzone dell legge d Ampee l cso non stzono (Mxwell) Pe sne quest contddzone Mxwell popose l estensone del sgnfcto d denstà d coente j Utlzzmo l teoem d Guss n fom locle ( dv E) t L equzone d contnutà ρ t dv E s js ds ε ds ε t A dv E ρ ε Invetmo le due opezon d devzone spetto l tempo e spetto lle coodnte spzl + ρ j t Abbmo l possbltà d defne un nuov denstà d coente j tot A E t devmo spetto l tempo E ε dv t ( E) dt dφ E t ρ t dvent dv j + ε dv dv j + ε jtot j + ε E t j tot sult vee sempe dvegenz null A questo punto possmo modfce l legge d Ampee ntoducendo l nuov denstà d coente j tot E ( ) dl µ j + ε ds + s t µ A ot Denstà d coente d spostmento j s µ ( j + ) j s coente d spostmento

26 dφ dt E dl µ d Φ d l µ ε + µ dt ( E ) Cmp mgnetc sono podott d coent e cmp elettc vbl Flusso d j tot ttveso l supefce S 1 (flusso d cche) S 1 jtot ds j ds S 1 S Flusso d j tot ttveso l supefce S (vzon nel tempo del flusso d E) j ds j ds ε tot S s dφ ( E ) dt Poché j tot è solenodle due fluss ttveso S 1 e S devono essee ugul

27 Foz gente su un sp n un cmpo mgnetco non unfome. Nel punto P + e l foz elemente df dl dl Nel punto Q Dmetlmente opposto + + l foz sultnte su due element sà Pe gon d smmet l sultto è ndpendente dll scelt degl ss x y (smmet) ntegndo lungo mezz sp ottenmo: (foz ttttv dett lungo Z) Se l ggo dell sp è pccolo spetto ll dstnz dl polo pù vcno del mgnete / con momento mgnetco dell sp In genele se l cmpo mgnetco v lungo l sse z vemo:

28 Cmp mgnetc nell mte - fenomenolog Consdemo un solenode (non dele) d ggo R pecoso d un coente costnte e vente n spe pe untà d lunghezz Sospendmo cosslmente n possmtà d un fcc temnle del solenode, tmte un moll, un pccol bobn d N spe d ggo <<R pecos dll coente x Sull bobn gà un foz l cu modulo sà p ± Dove m è l momento mgnetco dell bobn Se è concode spetto l foz sà ttttv Se è dscode spetto l foz sà epulsv Tndo oppotunmente l moll possmo detemne l vloe dell foz mgnetc gente sull bobn Se desso sospendmo l posto dell bobn cmpon d v mtel d pccole dmenson osseveemo che su cscun cmpone vene esectt un foz Qulttvmente lcun cmpon venno tttt veso l nteno del solenode n lcun cs l foz d ttzone sà pù ntens (es. feo, nchel) lt venno espnt Quest sultt vengono ntepett supponendo che l cmpone, sotto l zone del cmpo mgnetco geneto dl solenode, cqust un momento mgnetco m, n lcun cs pllelo e concode n lt pllelo e dscode spetto

29 Cmp mgnetc nell mte mgnetzzzone, clssfczone de mtel Se fccmo femento d un dto volume τ d mtele ugule pe tutt cmpon l modulo dell foz pe untà d volume và: L gndezz M così defnt opetvmente ppesent l momento mgnetco pe untà d volume del mtele e s chm mgnetzzzone,vettolmente: In bse lle evdenze spementl desctte s possono suddvdee le sostnze n te clss: Sostnze dmgnetche (sostnze espnte dl solenode, M dscode con ) S evdenz un popozonltà t M e Sostnze pmgnetche (sostnze debolmente tttte dl solenode, M concode con ) S evdenz nco un popozonltà t M e Sostnze feomgnetche (sostnze fotemente tttte dl solenode, M concode con ) l elzone t M e non è lnee e non è unvoc

30 Pemebltà mgnetc e suscettvtà mgnetc Il modulo del cmpo mgnetco ll nteno d un solenode dele sà dto nel vuoto d: con n numeo d spe pe untà d lunghezz. Rempmo completmente l solenode con un mezzo omogeneo: msueemo un nuovo cmpo mgnetco pllelo e concode Il ppoto t modul de due cmp (nel mtele e nel vuoto) vle: Con pemebltà mgnetc eltv del mezzo consdeto (cttestc del mezzo) l vzone del cmpo mgnetco dovut ll pesenz del mezzo è qund: χ m Defnmo χ m suscettvtà mgnetc χ m κ m 1 Vzone eltv d cmpo mgnetco κ m 1 + χ m + χ m Cmpo mgnetco podotto d coent d ogne tomc «Coent mpene»

31 Sostnze dmgnetche κ m <1 χ m < Sostnze pmgnetche κ m >1 χ m > Sostnze feomgnetche κ m dell odne d

32 Coent mpene e mgnetzzzone I In lcune sostnze s pesentno condzon tl che le molecole possono vee un momento mgnetco ntnseco. A cus dell gtzone temc l momento mgnetco medo è nullo Sotto l zone d un cmpo mgnetco sult un oentmento pzle de dpol mgnetc che ogn un momento mgnetco pllelo e concode l cmpo esteno (stesso meccnsmo d polzzzone ossevto ne delettc soggett ll zone d un cmpo elettco esteno). Qund tutt gl tom o molecole del mtele cqustno sotto l zone del cmpo un momento mgnetco medo <m> oentto pllelmente. Se consdemo un volumetto τ n cu sono contenut N τ tom o molecole l momento mgnetco del volumetto sà: < > Qund l momento mgnetco pe untà d volume (mgnetzzzone M) due cuse: -Pecessone d Lmo -Oentmento < > < > con n numeo d tom pe untà d volume Cechmo desso d college le coent mpene con M

33 Coent mpene e mgnetzzzone II Consdemo un clndo mgnetzzto unfomemente con mgnetzzzone M pllel ll sse. Isolmo nel clndo un dsco d spessoe dz suddvdmo l dsco n psm nfntesm d bse ds e ltezz dz ogn psm và un momento mgnetco dm oentto come M Possmo ssoce l momento mgnetco dm d un sp fom d nsto d e ds e ltezz dz pecos d un cet coente d m tle che Sosttumo ogn psm con l equvlente sp pecos d d m, se M è unfome le coent s eldono coppe su lt contgu de ccut element, mnendo ttve solmente le coent sull supefce ltele. Qund l dsco d mtele mgnetzzto è equvlente d un ccuto d lunghezz fnt pecoso dll coente d m. Integndo su l ltezz del clndo h Mh Coente che ccol sull supefce ltele del clndo Vettolmente, h, Denstà lnee d coente d mgnetzzzone vesoe nomle ll sse del clndo e oentto veso l esteno

34 Coent mpene e mgnetzzzone III Un lt mpotnte elzone t coent mpene e mgnetzzzone s ottene ndndo consdee l ccutzone d M lungo un pecoso chuso geneco che concten le coent mpene h dl All esteno del clndo M, ll nteno del clndo vemo, come gà tovto, Mh qund: m Nel cso n cu M non s unfome ll nteno del clndo? Consdendo un sstem d ss ctesn xyz e supponendo che M n un dto punto bb component M x M y M z pendendo due psm contgu lungo l sse x bbmo due component M z e M z ssocte due coent dvese d 1 M z dz e d M z dz e qund l coente effettv lungo l sse y sull fcc d conttto sà: Rpetendo lo stesso gonmento pe due psm contgu lungo l sse z e pe l componente M x del vettoe mgnetzzzone: In totle lungo l sse y bbmo l coente:

35 L elemento d e ds y dx dz è otogonle ll sse y e qund j y : Rpetendo l stess pocedu pe gl lt ss ottenmo nfne: Appà un denstà d coente d mgnetzzzone n volume j m msut n A/m Anlog t delettc polzzt e mtel mgnetzzt n,

36 Equzon del cmpo mgnetco n pesenz d mtel Defnzone del vettoe H Come nel cso de delettc cechmo d scvee le equzon fondmentl del cmpo mgnetco n pesenz d mtel Il cmpo sà solenodle: dv Dobbmo modfce l legge d mpee che stblsce l legme t coent e cmpo ntoducendo le coent mpene: + + In fom dffeenzle: + + Defnmo l nuovo cmpo vettole H che soddsf le elzon

37 Equzone d stto de mezz mgnetzzt Come nel cso de delettc le equzon pecedent non sono suffcent pe solvee poblem d mgnetosttc ne mtel, seve un ulteoe elzone (equzone d stto): occoe un elzone t e M oppue t H e M m Cttestc del mezzo mgnetzzto Ne mezz dmgnetc m costnt Ne mezz pmgnetc m costnt Ne mezz feomgnetc m sono funzon d H Qund l elzone t e H: + + χ m L elzone t M e m 1 1

38 Sostnze feomgnetche Le popetà delle sostnze feomgnetche sono molto dvese dlle popetà delle sostnze pmgnetche e dmgnetche. Tl sostnze hnno enome mpotnz ptc e tecnologc. Cechmo d tove un elzone t M e H, o meglo t e H nel cso d sostnze feomgnetche Supponmo d effettue un msu d ll nteno d un solenode toodle empto con un mtele feomgnetco unfome. Il cmpo H è legto dettmente ll coente che scoe nel solenode l suo modulo sà dto d: Pe ogn vloe d H msueemo un cmpo d possmo cve l vloe d M(/µ ) - H Stto vegne Cuv (): cuv d pm mgnetzzzone supeto un ceto vloe H m, M v n stuzone e cesceà lentmente e lnemente con H gze solo lle coent d conduzone Non essendo l cuv d pm mgnetzzzone un ett le gndezze e m sono funzon d H

39 Cuv (b) : se dopo ve ggunto l stuzone H m, s dmnusce l vloe d H le coppe d vlo e H s dspongono su d un nuov cuv che s mntene l d sop dell cuv d pm mgnetzzzone. Pe H s msu un vloe d cmpo mgnetco esduo e mgnetzzzone esdu M (l mtele sult mgnetzzto nche n ssenz d coente) µ M Pe nnulle l mgnetzzzone M occoe nvete l senso dell coente fno ggungee un ceto vloe H c (cmpo coectvo) pe tle vloe d H vemo: M µ H c Fcendo decescee ulteomente l coente s ggunge nuovmente l stuzone -H m Cuv (c): se s pot desso H l vloe H m c s congunge nuovmente con l cuv () L cuv ppesent l cclo d stees del mtele dgmm d stto del mtele feomgnetco, l cuv delmt qund un egone dove s collocno tutt possbl stt del sstem

40 Se s duce l ntevllo d vbltà d H s ottengono ccl pù stett e s può pote l mtele llo stto vegne (pocedu d smgnetzzzone) In dpendenz dll ndmento dell cuv d stees possmo dstnguee: Mtel feomgnetc du: cclo d stees lgo (M H c gnd). Mtel dtt pe mgnet pemnent. Mtel feomgnetc dolc: cclo d stees stetto (H c pccolo). Mtel dtt pe elettomgnet e tsfomto

41 Dpendenz dell suscettvtà dll tempetu I legge d Cue Ne mtel pmgnetc l suscettvtà mgnetc dpende dll tempetu seguendo l legge: Con ρ l denstà del mtele T l tempetu espess n Kelvn C un costnte II legge d Cue I mtel feomgnetc l d sop d un detemnt tempetu ctc T c (tempetu d Cue) dventno pmgnetc Al d sop d T c (tempetu d Cue) l suscettvtà segue l legge: C Con ρ l denstà del mtele C un costnte

42 Esempo All nteno d un solenode d ggo R è posto un clndo omogeneo pmgnetco d ggo < R, cossle l solenode, vente pemebltà mgnetc k m clcole vlo d H, e M e l denstà d coente mpen.

43 h Solo coent d conduzone Nel vuoto h Nel mtele h H 1 H n Nel vuoto Nel mtele 1 Nel vuoto M 1 nel mtele M è unfome qund non c sono coent mpene d volume M χ χ L denstà d coente mpenj s,m, χ, χ χ > Le coent mpene s vvolgono sull supefce ltele del clndo H M j m