Lez.9 Teoremi sulle reti 2. Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 9 Pagina 1

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1 Lez.9 Teorem sulle ret 2 Unverstà d Npol Federco II, CdL Ing. Meccnc, A.A , Elettrotecnc. Lezone 9 Pgn

2 Teorem d non mplfczone In un rete costtut d sol pol, n cu è presente un unco polo che erog potenz, l tensone (ntenstà d corrente) d tle polo è l mssm tr tutte le tenson (ntenstà d corrente) d lto. Osservzone: In un rete d sol pol dnmc, se esste un unco polo genertore, l tensone (corrente) d tle polo genertore è l mssm tr tutte le tenson (corrent) d lto Unverstà d Npol Federco II, CdL Ing. Meccnc, A.A , Elettrotecnc. Lezone 9 Pgn 2

3 Dmostrzone del teorem d non mplfczone delle tenson Consdermo un rete n cu l generco stnte t l solo polo collegto morsett A,B st erogndo potenz. Mettmo n evdenz tle polo e consdermo po un generco morsetto nell restnte rete. A j B Unverstà d Npol Federco II, CdL Ing. Meccnc, A.A , Elettrotecnc. Lezone 9 Pgn 3

4 Possmo dmostrre che l potenzle v d tle morsetto non è né l mssmo né l mnmo tr potenzl d tutt nod dcent. Consdermo nftt le ntenstà d corrente nel nodo e sceglmo d vlutrle tutte con lo stesso verso (es. uscente dl nodo ): Scrveremo j j = 0. Poché l rsultto dell sommtor è zero, cò sgnfc che, scrtndo l cso d corrent tutte nulle, lmeno un d queste corrent srà postve (es. >0) e lmeno un srà negtv (es. 2 <0). Consdermo po le tenson v j su pol che s ppoggno l nodo sceglendole con l convenzone dell utlzztore. Unverstà d Npol Federco II, CdL Ing. Meccnc, A.A , Elettrotecnc. Lezone 9 Pgn 4

5 Poché pol, per potes stnno tutt ssorendo potenz, llor le potenze ssorte P j =v j * j srnno tutte postve. Cò sgnfc che srà postv l tensone v (v >0) sul polo ove l corrente è postv ( >0), mentre srà negtv l tensone v 2 (v 2 <0) sul polo dove l corrente è negtv ( 2 <0). Come conseguenz s rcv che: v > 0 e v 2 < 0, coè φ > φ e φ < φ 2 e φ < φ < φ 2 Unverstà d Npol Federco II, CdL Ing. Meccnc, A.A , Elettrotecnc. Lezone 9 Pgn 5

6 Il potenzle φ è compreso tr potenzl de nod dcent; esso pertnto non ne è né l mssmo né l mnmo tr tutt potenzl d nodo dell rete. Il rgonmento s può rpetere per tutt nod ntern, m non per morsett estern, che sono collegt ll unco polo ttvo, che è l unco che st ssorendo potenz elettrc negtv. Poché potenzl devono vere un mx e un mn, quest sono necessrmente ssunt n A e n B e, d conseguenz, l tensone elettrc v AB è mssm. Unverstà d Npol Federco II, CdL Ing. Meccnc, A.A , Elettrotecnc. Lezone 9 Pgn 6

7 Dmostrzone del teorem d non mplfczone delle corrent Consdermo un rete n cu l generco stnte t l solo polo collegto morsett A,B st erogndo potenz. Mettmo n evdenz tle polo. Poché sppmo che è vldo l teorem d non mplfczone delle tenson, ordnmo morsett, dsponendol dll lto verso l sso prtendo d quello con potenzle mssmo (A) quello con potenzle mnmo (B). Orentmo po lt n modo d vlutre tutte le ntenstà d corrente con verso d rfermento che v dl morsetto potenzle mggore l morsetto con potenzle mnore. Unverstà d Npol Federco II, CdL Ing. Meccnc, A.A , Elettrotecnc. Lezone 9 Pgn 7

8 A questo punto, scrvmo l LKC l nodo A. C ccorgmo che l unc corrente entrnte è l A e: A = A + A4 + A3 + A5 Poché tutt pol ntern ssorono potenz e poché le tenson v A, v A2, v A5 sono postve, nche le corrent A, A2, A5 srnno mggor d zero e, qund, l A srà l mggore tr le corrent n A. A > A ; A > A3.. A > A5 Pssndo l nodo, rpetendo l rgonmento, potremo scrvere che: A > B ; A > 4 coè l corrente A è l mggore tr le corrent n Unverstà d Npol Federco II, CdL Ing. Meccnc, A.A , Elettrotecnc. Lezone 9 Pgn 8

9 Allor potremo nche dre che l corrente A > A ; A > B ; A > 4. Contnundo l rgonmento s concluderà che l ntenstà d corrente A è l mggore tr le corrent ne rm ntern dell rete. A B Unverstà d Npol Federco II, CdL Ing. Meccnc, A.A , Elettrotecnc. Lezone 9 Pgn 9

10 Teorem d recproctà S dto un crcuto d resstor lner e s evdenzno due coppe d morsett (- ) e (2-2 ). D questo crcuto s consderno due verson dstnte: ) morsett (- ) è pplcto un genertore d tensone E e morsett (2-2 ) sono post n cortocrcuto (rete R); 2) morsett (2-2 ) è pplcto un genertore d tensone E mentre morsett (- ) sono post n cortocrcuto (rete R ). Usmo convenzon omologhe morsett (- ) e (2-2 ) Unverstà d Npol Federco II, CdL Ing. Meccnc, A.A , Elettrotecnc. Lezone 9 Pgn 0

11 (t) (t) 2 + e (t) (t) R v (t) rete R v (t) 2 (t) (t) 2 v (t) (t) R + e (t) rete R v (t) 2 Allor vle: e e Unverstà d Npol Federco II, CdL Ing. Meccnc, A.A , Elettrotecnc. Lezone 9 Pgn

12 Unverstà d Npol Federco II, CdL Ing. Meccnc, A.A , Elettrotecnc. Lezone 9 Pgn 2 Dmostrzone S dott l convenzone dell utlzztore su tutt pol. I crcut R e R hnno lo stesso grfo. Possmo pplcre Tellegen: 0 0 L L v v e v v e Poché (v =0; v =0) e sfruttndo le crtterstche de resstor:

13 Unverstà d Npol Federco II, CdL Ing. Meccnc, A.A , Elettrotecnc. Lezone 9 Pgn L L R e R e Sottrendo memro memro le due equzon s ottene l tes: 0 e e e e

14 In prtcolre se due genertor erogno lo stesso vlore dell tensone, le due ntenstà d corrente sono ugul. S può qund clcolre l corrente n un rmo d un rete lmentt d un solo genertore spostndo l genertore propro n quel rmo e clcolndo l ntenstà d corrente nel rmo dove s trovv orgnrmente l genertore. Osservmo che, per l teorem d recproctà, l rpporto tr cus (e ) n ed effetto ( ) n è ugule l rpporto tr cus (e ) n ed effetto ( ) n. Unverstà d Npol Federco II, CdL Ing. Meccnc, A.A , Elettrotecnc. Lezone 9 Pgn 4

15 Qule pplczone del teorem d recproctà s può consderre un confgurzone ponte, n cu non s rscontrno confgurzon sere o prllelo d resstor. E I 5 I E E Per l clcolo dell ntenstà d corrente I 5, st consderre l secondo schem n cu l genertore è stto poszonto nel rmo 5 e clcolre n questo nuovo crcuto l ntenstà d corrente I E. Unverstà d Npol Federco II, CdL Ing. Meccnc, A.A , Elettrotecnc. Lezone 9 Pgn 5

16 Esstono ltre due forme del teorem d recproctà. Second form del teorem d recproctà rete R (t) 2 (t) rete R 2 v (t) j (t) (t) R v (t) v (t) 2 v (t) (t) R v (t) v (t) 2 j (t) j v j v Unverstà d Npol Federco II, CdL Ing. Meccnc, A.A , Elettrotecnc. Lezone 9 Pgn 6

17 Terz form del teorem d recproctà (t) rete R (t) 2 (t) rete R 2 + e (t) (t) R v (t) v (t) (t) R v (t) v (t) 2 v (t) 2 j (t) e v j Unverstà d Npol Federco II, CdL Ing. Meccnc, A.A , Elettrotecnc. Lezone 9 Pgn 7

18 Teorem del mssmo trsfermento d potenz S consder un genertore d tensone rele delzzto, costtuto d un genertore d tensone dele E posto n sere con un resstore R. Colleghmo morsett AB un utlzztore (crco) d resstenz R u. R AB (t) u A + E v (t) u R U B Unverstà d Npol Federco II, CdL Ing. Meccnc, A.A , Elettrotecnc. Lezone 9 Pgn 8

19 Al vrre dell resstenz R u vr l ntenstà d corrente nel crco e l potenz d esso ssort. Potenz ssort dl crco Potenz [W] Ru/R L potenz ssort dl crco è null per RU 0 Unverstà d Npol Federco II, CdL Ing. Meccnc, A.A , Elettrotecnc. Lezone 9 Pgn 9

20 L potenz ssort dl crco è null per RU Voglmo determnre l vlore d R u n corrspondenz del qule l potenz P u ssort dl crco è mssm. P u = v u u = R ue R + R u E = R ue 2 R + R u (R + R u ) 2 dp u = E 2 (R + R u ) 2 2(R + R u )R u dr u (R + R u ) 4 Unverstà d Npol Federco II, CdL Ing. Meccnc, A.A , Elettrotecnc. Lezone 9 Pgn 20

21 dp u = E 2 (R + R u )[(R + R u ) 2R u ] dr u (R + R u ) 4 dp u = E 2 [(R R u )] dr u (R + R u ) 3 = 0 Uguglndo zero l dervt, s ottene che l potenz trsfert l crco è mssm qundo l resstenz del crco è ugule ll resstenz ntern R. R = R u In tl cso, l crco s dce dttto. S defnsce rendmento η del genertore l rpporto tr potenz ssort dl crco e potenz d esso erogt: Unverstà d Npol Federco II, CdL Ing. Meccnc, A.A , Elettrotecnc. Lezone 9 Pgn 2

22 P R E R R R P E R R 2 u u u u 2 2 E R Ru u Rendmento Ru/R Qundo l potenz trsfert l crco è mssm, l rendmento è 0.5 Il rendmento è mssmo ( ) qundo R u R Unverstà d Npol Federco II, CdL Ing. Meccnc, A.A , Elettrotecnc. Lezone 9 Pgn 22

23 Il teorem del mssmo trsfermento d potenz è vldo nche qundo pplchmo l crco due morsett AB d un generc rete lnere. Bst pplcre l teorem d Thevenn: l dttmento del crco s h qundo R u = R TH. Attenzone! In tl cso non è possle ffermre che l rendmento è ncor 0.5 perché non s conoscono le potenze ssorte nell rete lnere. Unverstà d Npol Federco II, CdL Ing. Meccnc, A.A , Elettrotecnc. Lezone 9 Pgn 23