Teoremi dei circuiti

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1 Teorem de crcut (ersone del 9-3-0) Teorem d Tellegen Ipotes: Crcuto con n nod e l lt ers d rfermento scelt per tutt lt secondo l conenzone dell utlzztore {,..., l } = nseme d tenson ce soddsfno l LK per l crcuto consderto {,..., l } = nseme d corrent ce soddsfno l LKI per l crcuto consderto L somm estes tutt lt del crcuto de prodott è null l 0

2 Teorem d Tellegen Dmostrzone () Le tenson de lt soddsfno l LK possono essere espresse come dfferenze tr tenson d nodo (rspetto d un nodo d rfermento rtrro) S ndc con PQ QP l corrente totle de lt ce collegno l nodo P l nodo Q (drett d P Q) se non c è nessun lto tr nod P e Q PQ se c è un solo lto ce colleg nod P e Q se l lto d P Q P Q PQ se l lto d Q P Q P QP P Q PQ se c sono pù lt ce collegno nod P e Q l prodotto P Q PQ rppresent l somm de prodott estes tutt quest lt 3 Teorem d Tellegen Dmostrzone () Qund s l n n n n P Q PQ P PQ Q QP P0 Q0 n P0 P n 0 PQ Q0 n Q0 P0 Q0 Q n 0 QP P0 0 I fttor ½ derno dl ftto ce, se nod P e Q rno su tutto l nseme de nod del crcuto, ogn lto ene contto due olte Le sommtore tr prentes sono nulle percé rppresentno rspettmente l corrente totle uscente dl nodo P e dl nodo Q (e le corrent de lt per potes soddsfno l LKI) 4

3 Teorem d Tellegen - Note Il teorem rcede solo ce le tenson e le corrent de lt soddsfno le legg d Krcoff, non è necessro ce soddsfno nce le equzon de component Se le tenson e le corrent soddsfno nce le equzon de component prodott rppresentno le potenze ssorte L somme delle potenze ssorte d component d un crcuto è null S ndc con K l nseme de lor d per qul l lto è un genertore K K L potenz complessmente erogt d genertor è ugule ll somm delle potenze ssorte dgl ltr component 5 Propretà d non mplfczone Ipotes: Crcuto con n nod e l lt ers d rfermento scelt per tutt lt secondo l conenzone dell utlzztore (t),..., l (t) e (t),..., l (t) tenson e corrent de lt All stnte t 0 rsult (t 0 ) (t 0 ) < 0 (t 0 ) (t 0 ) > 0 Propretà d non mplfczone delle tenson (t 0 ) (t 0 ) Propretà d non mplfczone delle corrent (t 0 ) (t 0 ) 6

4 Propretà d non mplfczone per crcut d pol In un crcuto d pol cscuno de prodott rppresent l potenz ssort d un componente In un crcuto d pol, se ll stnte t uno solo de component erog potenz, mentre per tutt gl ltr l potenz ssort è post, lor ssolut dell tensone e dell corrente termnl del polo ce erog potenz non possono essere supert d quell delle tenson e delle corrent degl ltr pol In un crcuto formto d resstor pss contenente un solo genertore ndpendente, lor ssolut delle corrent e delle tenson de resstor non possono superre l lore ssoluto dell corrente e dell tensone del genertore In un crcuto contenente pol dnmc pss con un solo genertore, è possle ce l lore ssoluto dell tensone o dell corrente del genertore s superto d quello d ltr component (n questo cso l genertore non è l unco componente n grdo d erogre potenz) 7 Propretà d non mplfczone delle tenson Dmostrzone () P = nodo non concdente con un estremo del lto S ssume ce tutt lt collegt P no erso d rfermento entrnte n P S può ottenere quest condzone modfcndo ers d lcun lt (questo non cm segn de prodott ) P tensone del nodo P rspetto d un nodo d rfermento rtrro 8

5 Propretà d non mplfczone delle tenson Dmostrzone () LKI le corrent de lt collegt P non nno tutte lo stesso segno Per lt collegt P rsult > 0 Le tenson non nno tutte lo stesso segno Esstono due nod Q e M tl ce P < M e P > Q L mssm e l mnm tensone d nodo deono essere quelle degl estrem del lto L mssm tensone d lto (n lore ssoluto) è quell del lto 9 Propretà d non mplfczone delle corrent Dmostrzone () P, Q estrem d un lto j P, Q ( P Q ) tenson d P e Q rspetto d un nodo d rfermento rtrro S ddono nod del crcuto n due grupp, second ce l loro tensone s Q o Q I lt ce collegno due grupp d nod formno un tglo Per l propretà d non mplfczone delle tenson questo tglo dee comprendere l lto 0

6 Propretà d non mplfczone delle corrent Dmostrzone () Modfcndo (eentulmente) ers d lcun lt, s può fre n modo ce sno tutt concord con l erso del tglo Tenson e corrent modfcte:, Per costruzone: > 0 Per potes: > 0 < 0 Equzone del tglo: 0 Teorem d sosttuzone Ipotes: Crcuto con l lt Unc soluzone 0 0 ( =,...,l) Il lto concde con un polo Cso ): Il crcuto ce s ottene sosttuendo l lto con un genertore d tensone 0 mmette un unc soluzone Cso ): Il crcuto ce s ottene sosttuendo l lto con un genertore d corrente 0 mmette un unc soluzone S nel cso ) ce nel cso ) l soluzone del crcuto modfcto concde con l soluzone del crcuto orgnle Dmostrzone: è mmedto erfcre ce l soluzone del crcuto orgnle soddsf nce le equzon de crcut modfct ) e )

7 Teorem d sorpposzone Ipotes: crcuto formto d component lner resst e d N genertor ndpendent d tensone,..., N N I genertor ndpendent d corrente,..., NI L tensone e l corrente del generco lto sono comnzon lner delle tenson e delle corrent mpresse de genertor ndpendent N N g I N N I r Dmostrzone: l propretà è drett conseguenz del ftto ce le tenson e le corrent de lt sono l soluzone d un sstem d equzon lner lgerce nel qule le tenson e le corrent mpresse de genertor rppresentno termn not 3 Coeffcent d rete I coeffcent delle comnzon sono dett coeffcent d rete j j 0 j 0 j gudgno d tensone r j j 0 j 0 j resstenz d ngresso ( ) resstenz d trsfermento ( ) g j j 0 j 0 j j j 0 j 0 j conduttnz d ngresso ( ) conduttnz d trsfermento ( ) gudgno d corrente 4

8 Teorem d sorpposzone Note () Cscun tensone o corrente può essere espress come somm de lor ce ess ssume qundo nel crcuto gsce un solo genertore mentre tutt gl ltr sono zzert (coè come sorpposzone degl effett prodott d sngol genertor) D cò der nce ce è possle sudddere n modo rtrro genertor n grupp ed esprmere le tenson e le corrent del crcuto come sorpposzone degl effett prodott d sngol grupp S not ce zzerre un genertore ndpendente d tensone corrsponde sostturlo con un cortocrcuto zzerre un genertore ndpendente d corrente corrsponde sostturlo con un crcuto perto 5 Teorem d sorpposzone Note () Il teorem d sorpposzone non le per le potenze, legte d relzon non lner lle tenson e lle corrent de genertor p ( ) p p p p p 6

9 Teorem d sorpposzone e genertor dpendent Il teorem d sorpposzone non rgurd genertor dpendent dto ce le loro tenson o corrent non sono termn not delle equzon del crcuto E comunque possle utlzzre l teorem d sorpposzone per rsolere crcut con genertor dpendent mednte l seguente procedmento: S sosttuscono genertor dpendent con genertor ndpendent d lore ncognto Mednte sorpposzone, s determnno le tenson o le corrent ce controllno genertor (rl d controllo) n funzone delle tenson o corrent ncognte de genertor (rl controllte) S sosttuscono lle rl controllte le loro espresson n funzone delle rl d controllo In questo modo s ottengono delle equzon n cu compono come ncognte le sole rl d controllo Note le rl d controllo, e qund nce quelle controllte, s determnno le rmnent tenson e corrent 7 Esempo () Determnre le corrent ne resstor. 8

10 Esempo () S sosttusce l genertore dpendente con un genertore ndpendente d tensone ncognt e s clcol l rle d controllo 3 mednte sorpposzone Esempo (3) Sommndo contrut de due genertor e sosttuendo l su espressone n funzone dell rle d controllo 3 s ottene un equzone nell ncognt Not 3 s possono determnre le corrent ne resstor I I I A.5 A ( ) 3 5 A 0

11 Crcut nert e coeffcent d rete () I coeffcent d rete non dpendono dlle tenson e dlle corrent mpresse de genertor ndpendent I coeffcent d rete dpendono solo dll topolog del crcuto d prmetr de component ders d genertor ndpendent Crcuto nerte ssocto d un crcuto formto d component lner resst e genertor ndpendent = crcuto ottenuto zzerndo tutt genertor ndpendent I coeffcent d rete sono un propretà del crcuto nerte Crcut nert e coeffcent d rete () Tutt crcut ssoct llo stesso crcuto nerte s possono ottenere nserendo genertor ne mod seguent: Per cscun copp d lt j e è possle defnre coeffcent d rete ce legno l tensone o l corrente prodott nel lto j con l tensone o l corrente del genertore nserto nel lto n ssenz d ltr genertor

12 Crcut recproc S dce ce un crcuto nerte è recproco se, per ogn copp d lt e, lgono le seguent propretà r r l tensone del lto prodott d un genertore d corrente n prllelo l lto è ugule ll tensone del lto prodott dllo stesso genertore posto n prllelo l lto g g l corrente del lto prodott d un genertore d tensone n sere l lto è ugule ll corrente del lto prodott dllo stesso genertore posto n sere l lto l gudgno d tensone dl lto l lto è ugule ll opposto del gudgno d corrente dl lto l lto 3 Teorem d recproctà Un crcuto nerte formto d resstor lner e N-porte lner resst recproc è recproco Dmostrzone () S ndc con l l numero de lt S ggungono l crcuto due lt e ce possono essere: genertor d tensone collegt n sere lt e genertor d corrente I collegt n prllelo lt e S orentno tutt lt secondo l conenzone dell utlzztore S consderno due nsem d tenson e corrent ce s ottengono qundo uno de genertor ( o ) ene zzerto,,,,, ( j,,,,, ( j j j j j,, l),, l) 4

13 Teorem d recproctà Dmostrzone () I due nsem d tenson e corrent soddsfno le legg d Krcoff Per l teorem d Tellegen lgono le relzon 0 0 j Dto ce tutt component del crcuto sono resstor lner o N-porte recproc, s nce l j j j j Qund dee essere l l j j j j A prtre d quest relzone s può dmostrre ce lgono le condzon r r g g l j j j 5 Teorem d recproctà Dmostrzone (3) S ssume ce pol e sno genertor d corrente n prllelo, rspettmente, lt e S consderno le seguent condzon d funzonmento: I 0 0 I 0 I I 0 r I r I r r 6

14 7 Teorem d recproctà Dmostrzone (4) S ssume ce pol e sno genertor d tensone n sere, rspettmente, lt e S consderno le seguent condzon d funzonmento: g g g g 8 Teorem d recproctà Dmostrzone (5) S ssume ce l polo s un genertore d tensone n sere l lto e l polo s un genertore d corrente n prllelo l lto S consderno le seguent condzon d funzonmento: I I I

15 esstenz equlente () S consder un polo formto d component lner (non contenente genertor ndpendent) Se l polo è comndto n tensone è possle collegre suo termnl un genertore ndpendente d tensone Il crcuto così ottenuto è lnere l corrente entrnte nel polo rsult proporzonle ll tensone del genertore ndpendente l polo è equlente un resstore L costnte d proporzonltà rppresent l conduttnz equlente del polo (e l suo recproco l resstenz equlente) eq eq 9 esstenz equlente () Se l polo è comndto n corrente è possle collegre suo termnl un genertore ndpendente d corrente Dto ce l crcuto è lnere, l tensone termnl del polo rsult proporzonle ll corrente del genertore ndpendente L costnte d proporzonltà rppresent l resstenz equlente del polo (e l suo recproco l conduttnz equlente) eq eq 30

16 Esempo Determnre l resstenz equlente del polo A-B. Il polo è comndto s n tensone ce n corrente E possle lutre l resstenz equlente collegndo un genertore d tensone rtrr suo termnl e clcolndo l corrente I collegndo un genertore d corrente rtrr I suo termnl e clcolndo l tensone 3 Esempo Metodo S colleg un genertore d tensone termnl del polo A-B (l lore d è rrlente fn del clcolo d eq ) In prmo luogo s rc l espressone dell tensone, ce controll l genertore dpendente, n funzone d Dll LK s S esprme n funzone d I ( I g ) g Sosttuendo quest espressone nell equzone precedente s rc g g 3

17 Esempo Metodo Not s può clcolre l corrente I I I g Dto ce l polo A-B è lnere, s è ottenut un corrente proporzonle ll tensone del genertore ndpendente Il rpporto tr e I non dpende d e rppresent l resstenz equlente del polo A-B eq I g 33 Esempo Metodo S colleg un genertore d tensone termnl del polo A-B (l lore d è rrlente fn del clcolo d eq ) Dto ce è n sere l genertore, s ottene mmedtmente l espressone dell rle d controllo n funzone d I I S clcol l tensone Dll LK s S rc l espressone d n funzone d I I I g ) ( g ) ( I 34

18 Esempo Metodo Utlzzndo le espresson d e n funzone d I, s rc l seguente espressone d g ) ( I Dto ce l polo è A-B lnere, s è ottenut un tensone proporzonle ll corrente del genertore ndpendente Il rpporto tr e I non dpende d I e rppresent l resstenz equlente del polo A-B eq I g 35 Note Se l polo è comndto s n tensone ce n corrente due metod sono equlent S può sceglere d utlzzre l genertore con cu l soluzone del crcuto rsult pù semplce Se s dee rsolere l crcuto per numerc, s può ttrure ll tensone o ll corrente del genertore ndpendente un lore scelto rtrrmente. Ad esempo: s può collegre l polo un genertore d tensone d, n modo ce l lore numerco (n mpere) dell corrente I concd con quello dell conduttnz equlente del polo (n semens) s può collegre un genertore d corrente d A, n modo ce l lore numerco (n olt) dell tensone concd con quello dell resstenz equlente (n om) 36

19 Teorem d Téenn Ipotes: s consder un polo A-B formto d component lner e genertor ndpendent comndto n corrente Il polo A-B equle un polo formto d un genertore ndpendente d tensone 0 n sere con un resstore eq 0 è l tensone uoto del polo A-B eq è l resstenz equlente del polo A-B con genertor ndpendent zzert 0 eq 37 Teorem d Téenn Dmostrzone () Per potes l polo è comndto n corrente d ogn lore dell corrente corrsponde uno e un solo lore dell tensone Per determnre l relzone tr l corrente e l tensone s può mporre l lore dell corrente termnl mednte un genertore ndpendente d corrente e lutre l tensone rsolendo l crcuto così ottenuto Dto ce l crcuto è lnere, è possle pplcre l teorem d sorpposzone e scomporre l tensone n due contrut uno douto genertor ndpendent contenut ll nterno del polo, lutto con l genertore zzerto ( crcuto perto) uno douto ll corrente, lutto con genertor ndpendent ntern zzert 38

20 Teorem d Téenn Dmostrzone () A B 0 eq 39 Teorem d Téenn Dmostrzone (3) Il prmo contruto,, rppresent l tensone uoto del polo A-B è un comnzone lnere delle tenson e delle corrent mpresse d genertor ndpendent contenut nel polo A-B non dpende dll corrente Il secondo contruto,, è proporzonle ll corrente del genertore esterno l costnte d proporzonltà, coè l rpporto tr e, rppresent l resstenz equlente del polo ce s ottene zzerndo genertor ndpendent contenut nel polo A-B 40

21 Teorem d Norton Ipotes: s consder un polo A-B formto d component lner e genertor ndpendent comndto n tensone Il polo A-B equle un polo formto d un genertore ndpendente d corrente cc n prllelo con un resstore d conduttnz eq cc è l corrente d cortocrcuto del polo A-B (con erso d rfermento, nel cortocrcuto, dretto d A B) eq (/ eq ) è l conduttnz equlente del polo A-B con genertor ndpendent zzert cc eq 4 Teorem d Norton Dmostrzone () Per potes l polo è comndto n tensone d ogn lore dell tensone corrsponde uno e un solo lore dell corrente Per determnre l relzone tr l tensone e l corrente s può mporre l lore dell tensone termnl mednte un genertore ndpendente d tensone e lutre l corrente rsolendo l crcuto così ottenuto Dto ce l crcuto è lnere, è possle pplcre l teorem d sorpposzone e scomporre l corrente n due contrut uno douto genertor ndpendent contenut ll nterno del polo, lutto con l genertore zzerto ( cortocrcuto) uno douto ll tensone, lutto con genertor ndpendent ntern zzert 4

22 Teorem d Norton Dmostrzone () cc eq 43 Teorem d Norton Dmostrzone (3) Il prmo contruto,, rppresent l opposto dell corrente d cortocrcuto del polo A-B ( cc ) è un comnzone lnere delle tenson e delle corrent mpresse d genertor ndpendent contenut nel polo A-B non dpende dll tensone Il secondo contruto,, è proporzonle ll tensone del genertore esterno l costnte d proporzonltà, coè l rpporto tr e, rppresent l conduttnz equlente del polo ce s ottene zzerndo genertor ndpendent contenut nel polo A-B 44

23 Teorem d Norton Not Il erso d rfermento ttruto ll corrente nel cortocrcuto è correlto l erso del genertore presente nel crcuto equlente un corrente drett (nel cortocrcuto) d A erso B corrsponde ll corrente d un genertore con l erso d rfermento entrnte nel nodo A se l erso d fosse scelto d B d A, l corrente corrsponderee quell d un genertore con erso entrnte nel nodo B, qund l crcuto equlente doree essere modfcto come ndcto nell fgur 45 Bpol equlent d Téenn e Norton Se l polo A-B mmette s l crcuto equlente d Téenn s l crcuto equlente d Norton, quest sono nce equlent tr loro, qund (con ers d rfermento ndct nell fgur) lgono le relzon eq 0 eq eq cc 46

24 Teorem d Téenn e Norton Note Nel clcolo d eq o d eq deono essere zzert solo genertor ndpendent, genertor dpendent non deono essere ltert (questo è douto l ftto ce l prncpo d sorpposzone non le per genertor dpendent) I genertor e sono stt ntrodott solo fn delle dmostrzon de teorem, m non è detto ce s necessro utlzzrl ne cs prtc per l clcolo de prmetr de crcut equlent (n cs prtcolr, come s è sto, può essere conenente fre uso d un genertore esterno d tensone o d corrente per clcolre eq o eq ) L determnzone de tre prmetr 0, eq (o eq ) e cc rcede lo studo d tre crcut dstnt, ne qul, n generle, tutte le tenson e le corrent ssumono lor ders le tre nls sono ndpendent tr loro: nello studo d cscuno d quest crcut non s possono rutlzzre lor d tenson o corrent determnt rsolendo uno degl ltr due crcut 47 Teorem d rppresentzone de dopp pol ppresentzone comndt n corrente Ipotes: Q doppo polo formto d component resst lner e genertor ndpendent Q è comndto n corrente Crcuto equlente:, tenson uoto lle porte d Q ( e per 0) mtrce d resstenz del doppo polo ottenuto d Q zzerndo genertor ndpendent 48

25 Teorem d rppresentzone de dopp pol ppresentzone comndt n tensone Ipotes: Q doppo polo formto d component resst lner e genertor ndpendent Q è comndto n tensone Crcuto equlente:, corrent d cortocrcuto lle porte d Q ( e per 0) mtrce d conduttnz del doppo polo ottenuto d Q zzerndo genertor ndpendent 49 Teorem d rppresentzone de dopp pol ppresentzone rd (drett) Ipotes: Q doppo polo formto d component resst lner e genertor ndpendent Q mmette l rppresentzone rd drett Crcuto equlente: per 0, 0 per 0, 0 H mtrce rd (drett) del doppo polo ottenuto d Q zzerndo genertor ndpendent 50