Appunti su. Elementi fondamentali di Algebra Lineare

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1 CORSO DI RICERC OPERTIV ppunt su Element fondmentl d lger Lnere cur del Prof. Guseppe runo Ultmo ggornmento: prle

2 VETTORI, MTRICI E DETERMINNTI. Defnzon generl Un mtrce d dmensone o ordne (m n) è un nseme ordnto d element (numer rel), dspost su m rghe ed n colonne. L elemento generco dell mtrce è l elemento d rg e colonn. Un elemento è d posto pr se + è un numero pr e d posto dspr ltrment. Un mtrce può essere ndct n form comptt con l notzone =( ) o nell form estes m Due mtrc =( ) e =( ) sono ugul se hnno le stesse dmenson e tutt gl element corrspondent ugul ( = ). Esse sono opposte se hnno le stesse dmenson e tutt gl element corrspondent oppost ( =- ). Un mtrce T =( T ) s dce trspost dell mtrce =( ) se T =. S può fclmente dmostrre che l trspost d un mtrce trspost è l mtrce stess ( T ) T = Esempo d mtrce trspost T 9 9 Un vettore colonn (o semplcemente un colonn) d dmensone m è un mtrce d dmensone (m ). Un vettore rg (o semplcemente un rg) d dmensone n è un mtrce d dmensone ( n). Un vettore colonn trsposto è un vettore rg: per questo motvo d solto un vettore rg s denot come vettore trsposto. Esemp d vettore colonn m n n mn d e d vettore rg c 9 T Per ndcre l -esm rg d un mtrce s può usre l notzone T.; llo stesso modo con l notzone. s può ndcre l -esm colonn. Un mtrce d dmensone (m n) può essere vst come un rg d n colonne d dmensone m o come un colonn d m rghe d dmensone n. Pertnto, n form estes, ess può essere rppresentt nelle seguent forme. T. T. T m....n Un sottomtrce d un mtrce è un mtrce rcvt d per cncellzone d un o pù rghe e/o un o pù colonne. Un mnore d ordne k d è un sottomtrce d, d dmensone kk, dll qule sno stte cncellte m-k rghe e n-k colonne.

3 . Mtrc qudrte Un mtrce s dce qudrt d ordne n se è d dmensone (n n). S dce rettngolre se è d dmensone (m n) con mn. In un mtrce qudrt gl n element con =,,n rppresentno l dgonle prncple dell mtrce. Un mtrce qudrt s dce dgonle se gl element dvers dll dgonle prncple sono null. ) : ( Un mtrce dgonle s dce dentc o denttà se gl element dell dgonl sono tutt pr. ), : ( Un mtrce dentc d dmensone n può essere ndct con l notzone I n. Un mtrce qudrt s dce trngolre ss se ) : ( Un mtrce qudrt s dce trngolre lt se ) : ( J Un mtrce qudrt s dce smmetrc se ), : ( J Esemp d mtrc dgonle, dentc, trngolre ss, trngolre lt e smmetrc. I Mtrce dgonle Mtrce dentc ' Trngolre ss Trngolre lt Smmetrc Il complemento lgerco o mnore d un mtrce è un sottomtrce che s ottene dll soppressone dell -esm rg e dell -esm colonn. Esempo: Con rfermento ll mtrce ' smmetrc ndct, l complemento lgerco è

4 . Operzon tr mtrc Per somm (dfferenz) d due mtrc =( ) e =( ) vent stesse dmenson s ntende l mtrce C=(c = + ). Esemp d somm e dfferenz tr due mtrc 9 C 9 C Per prodotto d uno sclre k, per un mtrce =( ) s ntende l mtrce =( ) cu element vengono tutt moltplct per k ( =k ). Esempo k= ' k Per prodotto sclre d un vettore rg T =( ) e per un vettore colonn =( ) vent lo stesso numero n d element s ntende l vlore z= =,n. Esempo d prodotto sclre rg per colonn T ) ( ) ( z T Per prodotto tr due mtrc =( ) d dmensone (mk) e =( ) d dmensone (kn) s ntende un mtrce C= d dmensone (mn) l cu generco elemento c è dto dl prodotto sclre tr l -esm rg d e l -esm colonn d, ovvero c = =,k k k. Per defnzone, qund, l prodotto tr due mtrc s può effetture se e solo se l numero d colonne dell prm mtrce è pr l numero d rghe dell second mtrce. Per l prodotto non vle n generle l propretà commuttv ovvero. S può verfcre l vldtà delle seguent propretà () T = ( T T ) I n = I n = se è un mtrce qudrt d ordne n E possle decomporre locch un mtrce trccndo delle rghe orzzontl e vertcl che tglno l mtrce n sottomtrc dette locch.

5 L utltà delle decomposzon locch st nel ftto che sulle mtrc s possono esegure le operzon d somm e prodotto, seguendo le stesse regole delle mtrc. v precsto che, per pplcre le regole forml tr locch, l decomposzone v relzzt n modo tle che s possle effetture le operzon tr sngole coppe d locch. Esempo S consder d esempo le due mtrc 9 Suddvdendo le due mtrc locch come ndcto, l prodotto s può esprmere nell form DF CE F E F E D C essendo F E D C s ottene 9 DF CE DXF CE F E F E - Interpretzone geometrc l fne d fvorre l comprensone de concett ntrodott, è possle rcorrere d un nterpretzone geometrc. Dto un vettore d m component m ed uno spzo crtesno d m dmenson è possle ssocre l vettore l punto d coordnte crtesne (,., m ). Il vettore può, qund, essere rppresentto ttrverso un segmento dretto dll'orgne dello spzo l punto o d un qulss ltro segmento prllelo, d ugule lunghezz, e d verso concorde. Consderndo, ttolo esemplfctvo, un vettore d m= component,, esso, n prtc, può essere rppresentto ttrverso l segmento orentto dll'orgne l punto (, ) ovvero ttrverso un segmento le cu proezon lungo gl ss crtesn (, ) presentno lunghezz e. Il segno delle component e determn l'orentmento del vettore. Introducendo uno sclre λ, l prodotto può essere rppresentto ttrverso un segmento le cu proezon sugl ss crtesn (, ) presentno lunghezz λ e λ. In prtc se λ>, srà rppresentto d un vettore prllelo d d lunghezz mggore (se λ>), o mnore (se λ<). Nel cso d λ<, l'nterpretzone è l stess slvo nvertre l drezone del vettore. prtre d vettor e, l somm c srà rppresentto ttrverso un segmento le cu component sono dte dll somm delle rspettve component. Tle segmento può essere rcvto, prtre d segment rppresenttv de vettor e

6 , ttrverso l regol del prllelogrmm. In prtc s trcc dl punto, estremo del vettore, l rett prllel ll drezone d e, vcevers, dl punto, estremo del vettore, l rett prllel ll drezone d. Tl rette, ncontrndos nel punto C, consentrnno d ndvdure l segmento rppresenttvo d c, orentto dll'orgne l punto C. In Fgur, prtre d vettor e s evdenz come è possle rcvre l rppresentzone del vettore c ttrverso l regol del prllelogrmmo. Le nterpretzon fornte per l cso con m= possono essere nlogmente estese l cso con m. c C. Determnnte d un mtrce d un mtrce qudrt s può ssocre un vlore numerco detto determnnte d (det). Il determnnte s può clcolre n modo dverso secondo l ordne dell mtrce. In prtcolre Il determnnte d un mtrce d ordne, compost coè d un unco elemento =( ), è dto dl vlore del suo unco elemento ; Il determnnte d un mtrce d ordne, è dto dll dfferenz de prodott tr gl element dell dgonle prncple ( ) e restnt element ( ). In defntv det = - () Il determnnte d un mtrce d ordne mggore o ugule vene clcolto secondo l metodo d Lplce o dello svluppo d un su lne. Esso s fond sull scelt rtrr d un lne (rg o colonn), cu element, opportunmente cmt d segno, vengono moltplct per l determnnte del corrspondente complemento lgerco. Pù precsmente gl element sono cmt d segno se d posto dspr. In sntes, potzzndo d sceglere per lo svluppo l rg d dmensone n, s ottene: k det( ) det () k, n k Se k è un mtrce d ordne l suo determnnte s clcol secondo l (), ltrment sogn utlzzre tertvmente l () Un mtrce d dmensone m vente determnnte non nullo, è dett nvertle o non sngolre. In questo cso è possle defnre l su nvers - tle che - =I m k

7 Esempo d clcolo d determnnt det svluppndo secondo l rg s ottene det det det det det det ( ) ( ( )) ( ( )) det E evdente come, per rdurre l numero d clcol, nell utlzzre l metodo d Lplce, conveng clcolre l determnnte sceglendo l lne che present l mggor numero d element null. d esempo, svluppndo l clcolo secondo l colonn, s ottene det det det det det det ( ) ( ( ) ( )) S possono gevolmente verfcre le seguent propretà de determnnt: ) l determnnte d un mtrce trspost T =( T ) è ugule l determnnte dell mtrce =( ); ) se un mtrce h un lne tutt null, l suo determnnte è nullo; c) scmndo due lnee successve (rg con rg, colonn con colonn) d un mtrce, l suo determnnte cm solo d segno; d) se n un mtrce due lnee successve sono ugul l determnnte è nullo; e) se n un mtrce due rghe o due colonne sono proporzonl, l suo determnnte è zero; f) se n un mtrce gl element d un su lne vengono moltplct per uno sclre k, nche l determnnte rsult moltplcto per k. g) Il determnnte d un mtrce dgonle o d un mtrce trngolre è pr l prodotto degl element dell dgonle prncple.. Dpendenz lnere tr vettor Dt n vettor (,., n ) d m component, l vettore y n n con λ,., λ n numer rel non negtv (λ ) è detto comnzone convess de vettor,., n. Nel cso λ,., λ n possno essere d qulss segno, nvece, l vettore y vene detto comnzone lnere de vettor,., n. Dt n vettor (,., n ) d m component, se esste lmeno un n-upl d vlor λ,., λ n non tutt null tl che gl n vettor sono dett lnermente dpendent. ltrment sono dett lnermente ndpendent. In presenz d un nseme d n vettor (,., n ) lnermente dpendent, è sempre possle esprmere uno qulss de vettore dell'nseme come comnzone lnere degl ltr n- vettor: m k n n essendo k k n con k m

8 Per verfcre l lnere dpendenz o ndpendenz d un nseme d n vettor con n component è possle sfruttre le propretà del determnnte dell mtrce costtut dgl n vettor dspost per rg o per colonn. Inftt s può dmostrre che I vettor rg (o colonn) d un mtrce qudrt sono lnermente dpendent se det= I vettor rg (o colonn) d un mtrce qudrt sono lnermente ndpendent se det S defnsce rngo d un mtrce (r()) d ordne mn l numero de vettor rg lnermente ndpendent o l numero d vettor colonn lnermente ndpendent. S deduce che r() mn(m, n). L mtrce è d rngo mssmo se r()=mn(m, n). Il rngo d un mtrce s può determnre ndvdundo un sottomtrce d dmensone mssm l cu determnnte rsult non nullo (non sngolre). Uno spzo vettorle V n d dmensone n può essere defnto come l totltà de vettor d n component. Un sottonseme d vettor d V n dl qule è possle generre, come sue comnzon lner, lo spzo V n è detto nseme genertore dello spzo. Un se d V n è un nseme genertore d V n composto d n vettor lnermente ndpendent e rppresent un nseme genertore composto dl mnor numero possle d vettor. S deduce qund che d un mtrce d rngo r() è possle estrrre un se dello spzo d dmensone r() e, qund, è possle generre vettor dello spzo d r() dmenson.. Interpretzone geometrc de concett d dpendenz ed ndpendenz lnere tr vettor Pochè vettor λ e λ rppresentno vettor prllel e d verso concorde d e rspettvmente, pplcndo l regol del prllelogrmmo, l vettore c, comnzone convess d e, h drezone compres nell'ngolo convesso cu lt sono rppresentt dlle drezon d e. Due vettor rsultno lnermente dpendent se e solo se sono prllel. Inftt, per defnzone, dovendo esserc λ, λ tl che s deduce che =- (λ / λ ). Ne consegue che due vettor non prllel sono lnermente ndpendent e, qund, formno un se dello spzo due dmenson, ovvero un qulss vettore dello spzo due dmensone può essere espresso come comnzone lnere de due vettor costtuent l se. Estendendo tl consderzon l cso m= s può dedurre che tre vettor complnr non costtuscono un se dl momento che, essendo complnr, un vettore può essere espresso come comnzone lnere degl ltr due e qund rsultno lnermente dpendent. Pertnto tre vettor non complnr costtuscono un se dello spzo tre dmenson.

9 SISTEMI DI EQUZIONI LINERI. Il teorem d Rouchè-Cpell Un sstem d m equzon lner n n ncognte può essere espresso nell form esplct o nell form mtrcle m m m essendo n n mn m n n n mn n n n m m Le condzon d esstenz d soluzon d un sstem d equzon lner sono defnte dl Teorem d Rouchè Cpell. Dto un sstem d equzon lner = m equzon n n vrl, l sstem mmette soluzon se e solo se r() = r( ) ovvero r m m n n mn r m Inoltre l sstem = con d m equzon n n vrl mmette un unc soluzone se e solo se r()= r( )=n; n-k soluzon se r()= r( )=k<n. Dto un sstem d equzon lner con m<n, è sempre possle scrverlo nell form = con d rngo mssmo, elmnndo le rghe lnermente dpendent. Pertnto, per semplctà d notzone, s suppong d consderre un sstem = con d rngo mssmo pr m. In questo cso l sstem mmette: un unc soluzone se m=n; n-m soluzon se n>m,. Interpretzone geometrc Dto l sstem d equzon lner = d m equzon n n vrl, suddvdendo l mtrce n n locch, cscuno costtuto d un colonn, l sstem può essere scrtto nell form m n n mn m 9

10 ... n, ovvero, svluppndo l prodotto... nn n Pertnto l rsoluzone del sstem può essere vst come rcerc d n sclr (,, n ) che consentono d esprmere l vettore come comnzone lnere de vettor,, n. Perchè questo s possle è necessro che pprteng llo stesso spzo vettorle generle ttrverso un se d. Questo sgnfc che, pochè l rngo d (r()) rppresent l dmensone dello spzo vettorle generle ttrverso le nformzon present n, r( ) deve essere necessrmente ugule r(). In cso contrro (r( )= r()+) sgnfcheree che l'ggunt d ument l numero d colonne lnermente ndpendent e che qund non è esprmle come comnzone lnere d un se d. S potree dre che contene un dmensone che non è possle "rggungere" ttrverso le nformzon contenute n.. Rsoluzone d un sstem d equzon lner ) Cso m=n S consder un sstem = con mtrce qudrt nn. S suppong che l rngo d s pr d n e pertnto l sstem mmette un unc soluzone. Se l rngo è n, l determnnte d è non nullo e, qund, esste l mtrce nvers -. D conseguenz s può scrvere, ovvero rppresent l'unc soluzone del sstem. - = - = - ) Cso m<n S consder un sstem = con mtrce mn. S suppong che l rngo d s pr d m e pertnto l sstem mmette n-m soluzon. Questo sgnfc che, per ndvdure un soluzone del sstem, è necessro fssre rtrrmente l vlore d n-m vrl; n questo modo, nftt, l sstem dvent d m equzon n m vrl. Formlmente per rsolvere l sstem sogn prtzonre l nseme delle vrl n due sottonsem e N con - T N=( N, N,, Nn-m ) T composto d n-m vrl dette vrl ndpendent; - T =(,,, m ) T composto d m vrl dette vrl dpendent; essendo N e, rspettvmente le colonne d ssocte lle vrl N e lle vrl l sstem può essere scrtto nell form Scomponendo n mner opportun locch l mtrce N N N N ovvero, fssndo l vlore delle N vrl N = o N, l sstem dvent N o N + = d cu = - N o N = qund, se l è nvertle, s ottene = - N

11 In prtc per ndvdure un soluzone per un sstem d m equzon n n vrl d rngo mssmo sogn sceglere n-m vrl, fssrne l vlore rtrrmente, e ndvdure l'unc soluzone del sstem rsultnte d m equzon n m vrl. Quest soluzone esste se l mtrce de coeffcent è nvertle ovvero d rngo m. Esempo S consder l sstem d m= equzon lner n n= vrl ovvero E' fcle verfcre che l mtrce de coeffcent h rngo pr. Inftt è possle estrrre l sottomtrce costtut dlle ultme tre colonne che, essendo trngolre, h determnnte pr l prodotto degl element dell dgonle prncple e qund pr -. Il sstem pertnto mmette n-m = soluzon. Qund per ndvdure un soluzone sogn fssre n-m= vrl non d se. d esempo, ssumendo come vrl non d se l e l, l sstem s può decomporre locch N N N N ovvero ovvero e qund, fssndo d esempo = e = s ottene d cu, nvertendo l,. Pertnto l soluzone complessv è =, =, =-, =, =. Se nvece s ssumessero come vrl non d se l e l, l sstem s può decomporre locch ovvero e qund, fssndo d esempo = e = s ottene. Tuttv sccome l mtrce è non nvertle vendo determnnte pr, l sstem non h soluzon. Quest crcostnz dmostr che non è suffcente fssre n-m vrl qulss perchè se le colonne ssocte le vrl dpendent non costtuscono un se, l sstem non present soluzon. - Sstem n form cnonc L dffcoltà d ndvdure un soluzone, qund, è legt ll necesstà d clcolre l'nvers dell mtrce. Quest operzone rsult prtcolrmente gevole nel cso d sstem n form cnonc Un sstem = (con mtrce mn) rsult n form cnonc se ll'nterno dell mtrce è possle estrrre un sottomtrce dentc d ordne m (I m ). In tl cso, nftt, sceglendo come vrl d se le vrl ssocte lle colonne d I m, l sstem ssume l form

12 I N I N m N N m D conseguenz, fssndo le n-m vrl N = o N, l sstem dvent N o N + I m =, ovvero I m = - N o N =, e qund l sstem è utomtcmente rsolto pochè = Esempo S consder nvece l sstem d m= equzon lner n n= vrl n form cnonc ovvero ssumendo come vrl non d se l e l, l sstem s può decomporre locch ovvero e qund, fssndo d esempo = e = s ottene d cu, essendo l mtrce I m, s deduce mmedtmente che. Ne consegue che l soluzone complessv è =, =, =, =, =.