E definito prodotto di due cracoviani W V un cracoviano A il cui generico elemento vale

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1 Rsoluzoe de sstem ler co l metodo d Bchewcz U semplce e effcete metodo per rsolvere sstem d equzo ler è quello recetemete proposto d Bchewcz che cosete d rsolvere sstem geerc smmetrc e o smmetrc che sez l prevlez de term dell dgole prcple sugl ltr term (l elemeto dell prm rg e prm colo o deve essere ullo). Ioltre l metodo o h l dfetto d ggrvre le pprossmzo co cu s eseguoo clcol. Il metodo è fodto sull teor de crcov. U crcovo è u geerc mtrce rettgolre. U breve esposzoe del metodo è rportto Odoe Belluzz: Scez delle Costruzo, volume II, Zchell Bolog, pg Per u mggore pprofodmeto vedere T. Bchewcz: Etudes d lyse prtque, «Acc. Polcc d Sc. e Lett.», Crcov, 938. ) Clcolo dell mtrce vers Dto l sstem d equzo ler, A X = I dove I è l mtrce utà, l mtrce vers A - d A tle per cu rsult X = A - I = A - s può otteere, come oto, dll rsoluzoe dello stesso sstem lere. Allo scopo s procede secodo l metodo d Bchewcz. S scompoe l mtrce A due mtrc trgolr superor V e W (V e W crcov coc co W dgole utr) tl che rsult verfct l uguglz del seguete prodotto crcovo A = W V d cu l soluzoe, è otteut dl sstem W X = D co u fcle sosttuzoe ll detro essedo W mtrce trgolre superore. E defto prodotto d due crcov W V u crcovo A l cu geerco elemeto vle = w coè u prodotto colo per colo. v I term delle mtrc V e W (prmo e secodo crcovo) soo dt dlle formule: v = wv ) w = ( wv ) / v 2) term dell mtrce D (crcovo de term ot) soo dt dll formul d = ( d v ) / v 3) term dell mtrce X soo dt dll formul = ( d w ) / w = d w 4) co sosttuzoe ll detro, coè co d. Co lcue semplc cosderzo è possble bsrs sul solo spzo d memor occupto dll mtrce A(,) e d u vettore ggutvo d elemet. Iftt, cosderdo zché l mtrce V trgolre superore l su trspost U trgolre ferore, coè co Ũ=V, le ) e 2) dveto u = wu j )

2 w = ( wu ) / u 2 ) ed osservdo che term dell mtrce A soo ust u sol volt e per l clcolo del corrspodete terme delle mtrc W e U, e che l elemeto clcolto vee posto ell stess poszoe dell elemeto rlscto, le due formule ) e 2 ) possoo scrvers formlmete co rfermeto ll sol mtrce A = j co j ) = ( ) / co j> 2 ) co le operzo d esegure ell gust sequez. Il crcovo V è or posto ell prte trgolre ferore d A metre l crcovo W è or posto ell prte trgolre superore d A meo dell su dgole cu term soo d vlore utro e o memorzzt. Essedo po l I mtrce dettà, coè rsult I = 0 per j I = per =j dll 3) s deduce che l mtrce D è trgolre ferore, coè rsult d = 0 per <j d 0 per j qud l 3) può scrvers = j d = ( d v ) / v = ( d u ) / u 3 ) = j dove s osserv che l clcolo dell elemeto d rchede l uso de sol elemet u post sull stess rg e co j. Qud gl elemet d possoo metters ell mtrce U e duque A. L 3) può duque scrvers formlmete co rfermeto ll sol mtrce A = ( ) / co j 3 ) = j Ife, essedo D mtrce trgolre ferore, le 4) s scrvoo: = d w per j = 0 w per <j che teedo coto delle poszo precedet s trsformo elle seguet = per j = 0 per <j d cu teedo coto che l clcolo d u rg d X servoo solo gl elemet d A dell stess rg, gl elemet possoo metters A og volt che tutt l rg è clcolt ell sosttuzoe ll detro. Formlmete s può scrvere = per j, =, = 0 per <j, =, co l vvertez d sostture X A rg per rg. 2) Rsoluzoe sstem lere Dto l geerco sstem d equzo ler,

3 A X = B dove A è l mtrce de coeffcet, B l vettore de term ot ed X l vettore delle cogte, s scompoe l mtrce A due mtrc trgolr superor V e W (V e W crcov coc co W dgole utr) tl che rsult verfct l uguglz del seguete prodotto crcovo A = W V d cu l soluzoe, è otteut dl sstem W X = B co u fcle sosttuzoe ll detro essedo W mtrce trgolre superore. I term delle mtrc V e W (prmo e secodo crcovo) soo dt dlle formule ) e 2), vlgoo ovvmete che le ) e 2 ). I term del vettore D (vettore de term ot) soo dt dll formul d = ( b d v ) / v 3) term dell mtrce X soo dt dll formul = ( d w ) / w = d w 4) co sosttuzoe ll detro, coè co d. L 3) può scrvers d = ( b d v ) / v = ( b d u ) / u 3 ) dove s osserv che l clcolo dell elemeto d rchede l uso de sol elemet d co <. Qud gl elemet d possoo metters el vettore B. L 3 ) può duque scrvers formlmete co rfermeto ll mtrce A b = ( b b ) / 3 ) L 4) può fe scrvers = b 3) Rsoluzoe sstem lere smmetrco Per sstem ler smmetrc, come è fcle costtre, rsult w =v /v e le formule ) e 4) dveto v = vv / v b) = d w = ( d v v ) / v 4b) metre l 3) rme vld, duque che l 3 ). Teedo coto dell smmetr dell mtrce A ed seredo l mtrce V A sez trsporl (prede l posto dell mtrce W) ed seredo X B, le formule possoo scrvers formlmete co rfermeto ll mtrce A = / per j b = ( b = b = ( b b ) / b ) / 4) Rsoluzoe sstem lere smmetrco bd

4 Il metodo d Bchewcz gevol l memorzzzoe bd dell mtrce delle cogte vedo l prtcolre crtterstc che l lrghezz d bd delle rghe dell mtrce A durte l rsoluzoe del sstem o v d occupre poszo oltre quelle zl purchè s cosder per og rg che term ull oltre l ultmo o ullo modo tle che l lrghezz d bd dell rg + o rsult ferore ll lrghezz d bd dell rg dmut d. 5) Lstt D seguto soo rportt lstt delle routes Fortr. S rcord che fortr le mtrc soo memorzzte coloe. SUBROUTINE BchewczIv (,,Err) Subroute FORTRAN Iverte mtrce (,) co l metodo d Bchewcz ed l rsultto è rposto (,). (,): mtrce coeffcet (IN), mtrce vers (OUT) : umero equzo Err : =0, essu errore >0, (,) ullo INTEGER(4),Err,,j, REAL(8) (,),b(),r Err=0 Clcolo prmo e secodo crcovo do =, do j=, do =,- (j,)=(j,)-(,)*(j,) ed do ed do f ((,).eq.0d0) the; Err=; retur; ed f do j=+, do =,- (,j)=(,j)-(,j)*(,) ed do (,j)=(,j)/(,) ed do ed do Clcolo crcovo term ot do j=, r=d0 do =j, do =j,- r=r-(,j)*(,) ed do (,j)=r/(,) r=0d0 ed do ed do

5 Clcolo cogte do =,,- do j=, b(j)=0d0 f (j.le.) b(j)=(,j) do =+, b(j)=b(j)-(,)*(,j) ed do ed do do =, (,)=b() ed do ed do END SUBROUTINE SUBROUTINE BchewczSst (A,X,B,,Err) Subroute FORTRAN Rsoluzoe sstem lere A*X=B A(,): mtrce de coeffcet X() : vettor delle cogte B() : vettor term ot : umero equzo Err : =0, essu errore >0, (,) ullo INTEGER(4),Err,,j, REAL(8) A(,),X(),B(),r Err=0 Clcolo prmo e secodo crcovo DO =, DO j=, DO =,- A(j,)=A(j,)-A(,)*A(j,) IF (A(,).EQ.0d0) THEN; Err=; RETURN; END IF DO j=+, DO =,- A(,j)=A(,j)-A(,j)*A(,) A(,j)=A(,j)/A(,) Clcolo crcovo term ot DO =, r=b()

6 DO =,- r=r-b()*a(,) B()=r/A(,) Clcolo cogte DO =,,- X()=B() DO =+, X()=X()-A(,)*X() END SUBROUTINE SUBROUTINE BchewczSstSmm (,b,,err) Subroute FORTRAN Rsoluzoe sstem lere smmetrco A*X=B (,): mtrce de coeffcet b() : vettor term ot (IN), vettore delle cogte (OUT) : umero equzo Err : =0, essu errore >0, (,) ullo INTEGER(4),Err,,j, REAL(8) (,),b(),r Err=0 IF ((,).LE.0d0) THEN; Err=; RETURN; END IF DO =, DO =,- r=(,)/(,) DO j=, (,j)=(,j)-r*(,j) IF ((,).LE.0d0) THEN; Err=; RETURN; END IF DO =, r=b() DO =,- r=r-b()*(,) b()=r/(,) DO =,,- r=b()*(,) DO =+,

7 r=r-(,)*b() b()=r/(,) END SUBROUTINE 6) Mtrc ote Mtrce A A = /2 0 b -/2 -/ /2 -/2 0 0 A - = b 0 -/2 Co =(+2)/(2+2) e b=/(2+2)