STUDIO DELLA STABILITA' DEI SISTEMI IN RETROAZIONE CON IL METODO DEL LUOGO DELLE RADICI

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1 STUDIO DELLA STABILITA' DEI SISTEMI IN RETROAZIONE CON IL METODO DEL LUOGO DELLE RADICI U sste d cotrollo s defsce retrozoe, o cte chus, se oper utlzzdo, oltre l segle d rfereto solo forzo che rgurdo l vrle cotrollt. U sste retrozoe è defto postvo, se l vrle cotrollt vee rportt ote dell fuzoe d trsfereto dell cte d plfczoe drett co l sego vrto, egtvo el cso cotrro. L'teresse su tl sste è ltto quell retrozoe egtv, quto l retrozoe postv cocde ell ggor prte de cs d u coporteto stle. Lo sche locch tpco cu s può orlete rcodurre u sste dco retrozoe egtv è presetto fgur. R(s) E(s) C(s) + - H(s) Fg. Il sgfcto de sol fgur è l seguete: R(s): segle d rfereto (SET POINT) C(s): vrle cotrollt E(s): segle d errore : fuzoe d trsfereto dell cte d plfczoe drett H(s): fuzoe d trsfereto del trsduttore d segle retrozoe H(s): gudgo d ello Per lo sche locch fgur, è possle scrvere: C(s) C(s) C(s) R(s) C(s) H(s) + C(s) H(s) R(s) [ + H(s) ] R(s) poedo C(s) R(s) + H(s) G 0 (s) + H(s)

2 l sste retrozoe d fgur può essere seplfcto secodo lo sche seguete (fgur ). R(s) G 0 (s) C(s) Fg. Affché u sste retrozoe s stle, l su fuzoe d trsfereto G 0 (s) dovrà coteere solo pol co prte rele egtv. I pol dell G 0 (s) possoo essere clcolt rsolvedo + H(s) 0 equzoe crtterstc del sste retrozoe. Il prodotto H(s) può essere espresso coe l rpporto tr due polo s per u costte K. S scrve qud: per cu l'equzoe crtterstc dvet H(s) K N(s) D(s) D (s) + K N(s) 0 Quest'ult espressoe dell'equzoe crtterstc, ostr coe pol dell fuzoe G 0 (s) dpedo dl vlore che s ssue per l costte K. Ipotzzdo d fr vrre K d zero d fto, è possle fre le seguet osservzo: per K 0 l'equzoe crtterstc del sste retrozoe s rduce D (s) 0, qud pol del sste retrozoe cocdoo co quell dell fuzoe H(s) ; per K l'equzoe crtterstc s rduce ll for N (s) 0, ovvero pol del sste retrozoe, cocdoo co gl zer dell fuzoe H(s). Il trcceto sul po gro dell'deto de pol dell fuzoe d trsfereto del sste retrozoe l vrre d K d zero d fto vee defto luogo delle rdc.

3 TRACCIAMENTO DEL LUOGO DELLE RADICI L fuzoe H(s), può essere rscrtt ell seguete for che rrrgt dvet ( + τs) ( + τs) ( + τ H(s) K ( + τ s) ( + τ s) ( + τ s) s) ττ τ G (s) H(s) K τ τ τ s + s + s + τ τ τ + + s s s + τ τ τ fcedo le seguet poszo ττ K K τ τ τ τ τ z τ z τ p τ p l fuzoe H(s) s può scrvere ell seguete for H(s) K (s z ) (s z ) (s z ) (s p ) (s p ) (s p ) S osserv che K è scurete postv, e qud vrle tr 0 ed. K è vece vrle tr 0 ed oppure tr 0 ed - secod del sego del rpporto ττ τ τ τ τ D questo oeto po srà qud ecessro, ello studo del luogo delle rdc, dstguere tr due cs, ovvero K >0 e K <0. Affché u geerco puto s del po gro pprteg l luogo delle rdc, dovrà essere soddsftt l'equzoe crtterstc + H(s) 0 H(s) 3

4 che, se lle poszo ftte, potzzdo K >0 e ll fgur 3, essedo r 0, ±, ±...ecc. ), può essere scrtt coe j(r+ ) π e (co s I A A (s p (s z ) A ) A e e jβ jα β α Re Fg.3 K A A A j( α +α +α ) e j(r+ ) π e j( β+β +β ) AA A e l precedete equzoe può essere scopost due uguglze AA K AA ( α + α A A + + α ) ( β + β + + β ) (r + ) π Equzoe de odul Equzoe degl rgoet I odo del tutto logo, per K <0, s ottee AA K AA ( α + α A A + + α ) ( β + β + + β ) rπ Equzoe de odul Equzoe degl rgoet I geerle qud l trcceto del luogo delle rdc dovree vvere per tettv. Nello specfco, dopo ver poszoto sul po gro pol e gl zer dell fuzoe H(s), preso u geerco puto s del po, s trcco vettor che uscoo tle puto tutte le sgolrtà (pol + zer) preset. Se, per gl gol così detert, è soddsftt l'equzoe degl 4

5 rgoet, l puto s pprtee l luogo delle rdc e, rsolvedo l'equzoe de odul, è possle deterre l corrspodete vlore d K. I reltà l trcceto del luogo delle rdc esul fortutete dll rsoluzoe dell'equzoe degl rgoet e de odul, è può essere codotto seguedo u sere d regole prtche. 5

6 PROPRIETA' DEL LUOGO DELLE RADICI S psso desso rsseg le prcpl propretà del luogo delle rdc che possoo essere pegte per l trcceto. Il luogo delle rdc h tt r qut soo pol dell fuzoe H(s). Og ro del luogo delle rdc prte d u polo e ter uo zero dell H(s) o u puto ll'fto. Il luogo delle rdc è setrco rspetto ll'sse rele. Se K >0 u puto dell'sse rele pprtee l luogo delle rdc se s lsc ll su destr u uero totle d sgolrtà (pol + zer) dspr. Se vece K <0 perché u puto dell'sse rele pprteg l luogo delle rdc dovrà lscrs ll su destr u uero totle d sgolrtà pr. U rdce ultpl d orde h geer u puto del luogo delle rdc coue d h r. Ad og ro etrte corrspoderà u ro uscete. Il trcceto del luogo delle rdc questo cso può essere ftto seguedo seguet ccorget: ) r etrt ed uscet soo ltert ) le tget d r dvdoo lo spzo settor ugul, pr d h π u esepo d quto detto è rportto fgur 4. Fg.4 Rdce dopp Rdce trpl Se l uero () de pol è ggore del uero () degl zer, llor r prtoo d u polo e tero uo zero etre ret - prtoo d u polo e tero ll'fto seguedo le drezo dvdute dgl stot del luogo delle rdc. Tutt gl stot pssero per u puto coue dell'sse rele deoto rcetro delle rdc dto dll relzoe σ p z Re(p ) Re(z ) etre le drezo degl stot sro 6

7 (r + ) π per K >0 rπ per K <0 Il luogo delle rdc prte d u polo p co u golo j γ ( r + ) π + rg(p K >0 j z rg(p p j I γ rπ + rg(p K <0 z rg(p p j I e ter uo zero z co u golo j I z j ) rg(p p j γ ( r + ) π + rg(z K >0 j I z j ) rg(p p j γ rπ + rg(z K <0 I put d drzoe σ del luogo delle rdc s detero rsolvedo l'equzoe: z σ σ p 7

8 ESERCIZI SVOLTI.Trccre l luogo delle rdc dell fuzoe: per K >0 e K <0 Soluzoe K >0 K (s) H(s) s (s + ) (s + 3) (s + 4) G I seget dell'sse rele che pprtegoo l luogo delle rdc, lscdos ll propr destr u uero dspr d sgolrtà, soo: [0,-] e [-4,-3] Il puto d'cotro degl stot rsult: σ p z Gl stot foro co l'sse rele gl gol: (r + ) π (r + ) π 4 π 4 ( 7π 4 ) r0 (r-4) 3π 4 ( 5π 4 ) r (r-3) 5π 4 ( 3π 4) r (r-) 7π 4 ( π 4 ) r3 (r-) I put d drzoe soo le rdc dell'equzoe: σ z σ p s s + s + 3 s delle tre rdc che s ottegoo σ σ σ s scrt σ - quto o pprtee l luogo delle rdc. Il luogo delle rdc per K >0 è rportto fgur 5 8

9 K <0 I seget dell'sse rele che pprtegoo l luogo delle rdc, lscdos ll propr destr u uero dspr d sgolrtà, soo: [-3,-] e [-,-4] I puto d'cotro degl stot è ovvete lo stesso del cso precedete: σ Gl stot foro co l'sse rele gl gol: rπ rπ 4 0 ( π ) r0 (r-4) π ( 3π ) r (r-3) π ( 3π 4 ) r (r-) 3π ( π ) r3 (r-) I put d drzoe soo gl stess trovt el cso precedete σ σ σ solo che questo cso l'uco, de tre put, che pprtee l luogo delle rdc è σ -. Il luogo delle rdc per K <0 è rportto fgur 6 Fg.5 Fg.6 9

10 ESERCIZI PROPOSTI ) (s) H(s) K s + G ) s + (s) H(s) K s + G 3) H(s) K ( s + ) ( s + 3) 4) H(s) K ( s + + ( s + 0

11 5) H(s) K (s +.5) ( s + 0.5) ( s +.75) 6) H(s) K (s +.5) ( s ( s ) H(s) K ( s + 0.5) ( s + ) (s + ) 8) H(s) K ( s + 0.5) ( s (s +.5

12 9) H(s) K ( s + 0.5) ( s (s ) H(s) K ( s ( s (s + 3.5) ) G ( s) H ( s) K ( s + 4) ( s + ) ( s + ) ( s + 3)