3. PROGRAMMAZIONE LINEARE E ALTRE TECNICHE DI RICERCA OPERATIVA

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1 . PROGRAAZIONE LINEARE E ALTRE TECNICHE DI RICERCA OPERATIVA. Progrmmzoe lere due vrbl: rsoluzoe grfc Izmo l seguete cptolo rsolvedo u eserczo d ottmzzzoe vcolt teedo presete l procedmeto seguto per trovre mssm ed mm ssolut d u fuzoe z f(,y) soggett vcol espress d dsequzo, vsto el cptolo precedete. I questo cptolo dcheremo co ed le vrbl rel dpedet e co z l vrble dpedete d esse, ch ess rele. ESEPI. Determmo l mssmo ed l mmo dell fuzoe z - soggett seguet vcol 8 L regoe dvdut d vcol è l qudrltero d vertc O(,), A(,), B(, ) e C(, ). - B I fgur soo rppresette lcue lee d lvello che soo rette pprteet l fsco d rette mpropro, oss rette fr loro prllele, d equzoe -. Abbmo dsegto quelle psst per vertc del qudrltero. O A C Possmo osservre subto come l puto d mssmo ssoluto è O(,), metre quello d mmo ssoluto C(, ).. Determmo l mssmo ed l mmo dell fuzoe z soggett seguet vcol L regoe dvdut d vcol è llmtt ed dvdut d vertc A(,), B(, ) e C(,).

2 Ache tle cso le lee d lvello soo rette pprteet l fsco d rette mpropro d equzoe. Abbmo dsegto quelle psst per vertc che dvduo l regoe dvdut d vcol. Possmo osservre subto come l puto d mssmo o esste ( tle esempo o soo soddsftte le potes del teorem d Weerstrss, essedo l regoe o lmtt), metre l puto d mmo ssoluto è B(, ). B (, ) C A OSSERVAZIONI L progrmmzoe lere dvdu metod d soluzoe d problem d mssmo e d mmo vet come modello mtemtco: u fuzoe f(,,, ), d prmo grdo (oss lere) e dpedete d vrbl rel, geerlmete o egtve, u sstem d dsequzo o equzo, ch ess ler elle vrbl, L fuzoe d ottmzzre s chm fuzoe obettvo metre l regoe dvdut d vcol regoe mmssble. Abbmo vsto che el cso cu l fuzoe dpede d due sole vrbl dpedet fr esse llor può essere rsolt utlzzdo l metodo grfco. A tl fe s dmostr che l regoe mmssble è sempre u fgur covess, oss comuque cosdermo due put ess l segmeto vete quest come estrem è coteuto ell regoe, l soluzoe (o le soluzo) che mssmzzo (o mmzzo) l fuzoe obettvo, se esstoo, s trovo sul cotoro dell regoe mmssble, che è formt d segmet o semrette. Pertto, dopo ver rppresetto l regoe mmssble, procedmo come d seguto dcto: determmo le coordte de suo vertc, clcolmo l vlore del prmetro, che compre ell equzoe del fsco d rette, cu corrspode l rett psste per cscu vertce, l soluzoe è dt dlle coordte del vertce che rede mssm (o mm) l vlore d, qulor l soluzoe debb essere vlor ter, el cso cu bbmo trovto umer decml, s determ grfcmete quello che ottmzz l fuzoe, tr quell prossm ll soluzoe, se esstoo due put, estrem d u segmeto del cotoro, cu l fuzoe obettvo ssume l mssmo (o l mmo), le coordte d tutt put d quel segmeto soo soluzoe del problem. ettmo fuoco le precedet cosderzo rsolvedo seme seguet

3 ESERCIZI GIDATI. rtgo h progettto due tp d gocttol, che dchmo co A e B, per l cu costruzoe soo ecessre due fs successve: l prm d tpo mule, l secod d rftur, per l qule è ecessro l utlzzo d u mcch. Il gocttolo A rchede ore d lvoro mule ed or d rftur, foredo u proftto d.. Il gocttolo B rchede, ore d lvoro mule e ore d rftur, foredo u proftto d.. Voglmo stblre qut gocttol d cscu tpo covee produrre meslmete per vere l mssmo proftto, spedo che u mese le ore d lvoro mule o possoo essere mggor d 9, metre l umero d ore dedcto ll rftur o può superre le 8. Idchmo co ed l umero d gocttol d tpo rspettvmete A e B che dovrà costrure l rtgo per otteere l mssmo proftto. Il proftto procurto d gocttol d tpo A è qud d lre., quello proveete d gocttol d tpo B è d lre. ; l proftto complessvo è... Ovvmete umet l crescere s d che d. C soo però d rspettre lcu vcol sul umero d ore d lvoro. Il umero mssmo d ore d lvoro mule o può superre 9, qud. 9. Le ore dedcte ll rftur o possoo essere pù d 8, percò 8. Ife umer ed devoo essere ter postv. I questo modo bbmo trdotto term mtemtc l problem, costruedoe u modello: , N Lo scopo è quello d redere mssmo l proftto (, ). Rppresette l sstem d dsequzo, prededo cosderzoe solo l prmo qudrte dl mometo che le due vrbl devoo essere etrmbe postve. Potete otre che vertc dell regoe mmssble soo P(, ), R(, ), O(,) e Q (, ) ; procededo come e precedet esercz s vedrà che l vertce le cu coordte redoo mssm è Q. Il problem rchede, però, che ed y so ter postv. Le coordte d Q scrtte form decmle soo 9. 9 ;.. Arrotoddo per dfetto tl coordte, ottemo u puto dell regoe mmssble d coordte (9, ), per le qul è (9,)... Pertto ll rtgo covee produrre 9 gocttol d tpo A e d tpo B, relzzdo u proftto d...

4 . Guseppe possede u ce cu vuole molto bee, tto è vero che per l su lmetzoe utlzz due dvers prodott, A e B. Il prmo cost. l etto, l secodo 8. l etto. Og etto del prodotto A cotee g d protee, g d crbodrt e g d grss, metre g del prodotto B soo preset g d protee, g d crbodrt e,g d grss. Teedo presete che l suo ce h bsogo settmlmete d lmeo g d protee, g d crbodrt e g d grss, qul è l combzoe de due prodott che mmzz l spes? Idchmo co e l peso ett d prodotto rspettvmete A e B che Guseppe deve comprre settmlmete per otteere l mm spes. L fuzoe obettvo è l fuzoe spes C(, ). 8.. Le vrbl ed soo soggette seguet vcol: l quttà d protee deve essere lmeo d g, qud ; l quttà d crbodrt deve essere lmeo d g, pertto ; l quttà d grss deve essere lmeo d g, percò. ; le vrbl ed devoo ssumere vlor rel o egtv, qud ;. Pertto l modello mtemtco è dto d C. 8.., y Lo scopo è d redere mm l fuzoe C(,y). Rppresette l sstem d dsequzo Potete otre che vertc dell regoe mmssble soo put P(, ), Q (,), R (, ) ed S(, ). Procededo come e precedet esercz s vedrà che l vertce le cu coordte redoo mmo C è Q. Pertto Guseppe può otteere l mm spes cqustdo, ett d prodotto A e ett d prodotto B. APPLICHIAO. mpres produce due tp d rmd che devoo essere lvort mcch, rft e mott mulmete. Per l prmo prodotto soo ecessre ore d lvorzoe mcch, or per l rftur e ore per l motggo; esso dà u proftto d.. Per l secodo prodotto soo ecessre ore per l lvorzoe, ore per l rftur e ore per l motggo; l proftto è questo cso d.. Teedo presete che u settm o s possoo superre ore per l lvorzoe, 8 ore per l rftur e 8 ore per l motggo, determte qute utà d cscu tpo d rmdo covee produrre per relzzre l mssmo proftto.

5 . zed produce utesl d due tp utlzzdo plstc e lego. Per costrure u utesle del prmo tpo soo ecessr g d plstc e 8g d lego; esso dà u proftto d 8.. Per costrure u utesle del secodo tpo soo ecessr g d plstc e g d lego, co u proftto d.. L dspobltà settmle è d g d plstc e g d lego. Qule deve essere l produzoe settmle de due utesl ffché l proftto s mssmo?. Per rfforzre l too muscolre d u tlet, che h bsogo d lmeo 8g d protee e lmeo d 9g d vtme lugo u cclo d llemet, gl vee sommstrt u mscel d due prodott rcosttuet A e B. Il prodotto A cotee g d protee e g d vtme ; B cotee g d protee e g d vtme. Ioltre ell mscel l quttà d prodotto A o deve superre l trplo d quell d B. Se g d A costo. e g d B costo 8., qut grmm d cscu prodotto è bee comprre lugo l cclo d llemet per mmzzre cost?. srto deve cqustre due tp d tessuto, A e B, che costo rspettvmete 8. e. l metro. Nell rco d u o sro ecessr lmeo m d tpo B e, per og metro d stoff d questo tpo, soo ecessr lmeo,m d tpo A. Qut metr d cscu tessuto deve cqustre l srto per mmzzre cost, se l trplo d stoff d tpo B e l doppo d stoff d tpo A devoo superre m?. Perché u problem vete seguet vcol o può vere soluzo?,. Progrmmzoe lere vrbl: rsoluzoe grfc Possmo rcorrere ll rsoluzoe grfc che e problem d progrmmzoe lere coteet vrbl, co >, el cso cu però, l corrspodete modello mtemtco cotee equzo. Iftt d esse srà possble scrvere vrbl fuzoe delle restt due. Chrmo quto detto co seguet ESEPI. E ecessro preprre u composto lmetre per c modo che og g s presete lmeo l % d protee, lmeo d % d vtme ed l % d zuccher. S può sceglere tr tre prodott A, B e C vet le seguet composzo percetul e cost A B C Protee % % % Vtme 9% % % Zuccher % % % COSTI l g... Determte come covee combre tre prodott per vere l mmo costo l g. Idcto co,,, l umero d g rspettvmete de tre prodott per formre u g d composto, l problem h l seguete modello mtemtco:

6 mmzzre ,, Poché è presete u equzoe u vrble dpede dlle restt. Iftt, possmo d esempo scrvere fuzoe d ed :. Sosttuedo el precedete modello bbmo: mmzzre, Pertto l precedete modello cotee solo due vrbl dpedet e qud è possble rsolverlo grfcmete (ftelo!).. I egoz ll grosso I, I e I ho deposto rspettvmete, e pezz d u merce che dovrebbe essere vt due egoz l dettglo D e D che ho u ecesstà d 9 e pezz rspettvmete. Lo schem fco rportto mostr cost d trsporto per sgolo pezzo. I Determmo l po d trsporto I I che permette d mmzzre cost. Chmmo co, y, z e, y, z, rspettvmete l umero d pezz mdt d I, I e I D e D. Il problem h l seguete modello mtemtco: mmzzre y D D y y z z y z z y z y z,, y, y, y Poché soo preset quttro equzo effettvmete dpedet (l qut equzoe può essere otteut sommdo le prme tre e sottredo l qurt), delle se vrbl quttro possoo essere espresse fuzoe d due. Ad esempo bbmo

7 y z z ( y y Sosttuedo el precedete modello bbmo: mmzzre ) ( y y y ) y y y y, y Ache l precedete modello cotee solo due vrbl dpedet e qud è possble rsolverlo grfcmete (ftelo!). APPLICHIAO. E ecessro preprre u composto lmetre per c modo che og g s presete lmeo l 9% d zuccher e o pù del % d grss.. S può sceglere tr tre prodott A, B e C vet le seguet composzo percetul e cost A B C Zuccher % % % Grss % % % COSTI l g... Determte come covee combre tre prodott per vere l mmo costo l g.. I egoz ll grosso I ed I ho deposto rspettvmete e pezz d u merce che dovrebbe essere vt tre egoz l dettglo D, D e D che ho u ecesstà d, e pezz rspettvmete. Il seguete schem rport cost d trsporto per sgolo pezzo. D D D I 9 I Determmo l po d trsporto che permette d mmzzre cost.. rtgo deve preprre oggett d tre tp dvers A, B e C. Og oggetto d tpo A ecesst g d lego e g d plstc; og oggetto d tpo B ecesst g d lego e g d plstc; og oggetto d tpo C ecesst g d lego e g d plstc. Spedo che u cclo produttvo s h dsposzoe g d lego e 9g d plstc e che u oggetto d tpo A permette u proftto d., u oggetto d tpo B d. e che u oggetto d tpo C permette u proftto d., determte qut oggett d cscu tpo dovrà costrure per otteere l mssmo proftto.

8 8. Progrmmzoe lere vrbl: rsoluzoe lgebrc co l metodo del smplesso problem d Progrmmzoe lere h come obettvo quello d ottmzzre (mmzzre o mssmzzre) u fuzoe lere d vrbl, l fuzoe obettvo, soggett vcol dvdut d equzo o dsequzo ler elle vrbl. ostrmo come s può presetre l modello mtemtco d u problem d progrmmzoe lere. ssmzzre b b b c c c m m m m,,...,, ),...,, ( Possmo trsformre le prme m dsequzo ltrettte equzo troducedo le cosddette vrbl d scrto,,,, m, o egtve, che sommte prm membr delle dsequzo, l redoo rspettvmete ugul term ot b, b,, b m. Pertto l modello dvet mssmzzre m b b b c c c c m m m m m m m m,,...,, ),...,,,,...,, ( Essedo, ell sommtor, c c, c m. S può dmostrre che gl evetul put d mssmo e d mmo dell fuzoe obettvo s trovo tr le soluzo del sstem m m m m m b b b Osservmo tto che se le equzo del precedete sstem soo fr loro lermete dpedet llor questo mmette m m ) ( soluzo; pertto m cogte, delle m, possoo essere espresse fuzoe delle restt. Chmmo soluzo mmssbl d bse quelle soluzo del sstem precedete costtute d cogte ulle e le restt m o egtve.

9 9 OSSERVAZIONE Gl zer possoo essere dstrbut fr le (m)-ple m mod. Il metodo del smplesso, dovuto l mtemtco G.B.Dtzg, che rsolve problem d progrmmzoe lere, z d u soluzoe mmssble d bse e, dopo u certo umero fto d pss, pervee ll soluzoe ottm, el cso esst, mglordo d volt volt l soluzoe zle. ostreremo tle metodo rcorredo d esemp dove bbmo utlzzto l metodo d Jord-Guss che trsform u sstem ltr equvlet otteut medte opportu combzoe ler delle sue equzo. ESEPI. ssmzzre,,, 8 Itroduzoe delle vrbl d scrto,...,, 8 Prm soluzoe mmssble d bse: (,,,,8,) Prm tbell rssutv o complet b cs sol. 8 8 Abbmo dcto co cs coeffcet ell fuzoe obettvo delle vrbl vet vlore o ullo ell soluzoe, el ostro cso, e. Per spere se u soluzoe è mglorble o meo è ecessro clcolre le vlutzo. Esse s trovo questo modo:

10 ( ) c ( ) c ( ) c Qud geerle bbmo cs cs cs c ( ) c ( ) c ( ) c cs Ed ecco l prm tbell rssutv, complet delle vrzo cs cs cs cs 8 8 sol. b OSSERVAZIONI Nel cso cu l fuzoe obettvo debb essere mssmzzt llor s è perveut ll soluzoe ottm qudo tutte le vlutzo soo ulle o egtve, Nel cso cu l fuzoe obettvo debb essere mmzzt llor s è perveut ll soluzoe ottm qudo tutte le vlutzo soo ulle o postve. I bse lle precedet osservzo, poché lcue vlutzo soo postve l prm soluzoe può essere mglor. Vedmo come. Tr le postve (egtve, cso d problem d mmo) cosdermo quell mggore (more, cso d problem d mmo), el ostro cso. Vedmo qud se fr coeffcet dell corrspodete colo, ed (ugul el ostro cso rspettvmete, e ) esste lmeo uo che rsult postvo. OSSERVAZIONE Nel cso cu coeffcet dell colo corrspodete ll vrzoe mggore (o more, el cso d problem d mmo) soo egtv o ull llor l problem o mmette u mssmo (u mmo, el cso d problem d mmo) Nell esempo l vrble è l cosddett vrble etrte, oss l vrble che ell prossm soluzoe mmssble d bse comprrà co vlore o ullo. Ovvmete bsog determre qule srà l vrble uscete, oss quell vrble, tr, e, che, ell prossm soluzoe d bse ssumerà vece vlore ullo.

11 Tr rpport postv b, co,,, cosdermo l more. Nel ostro cso bbmo 8 e b b, qud l rpporto more è e l vrble uscete è quell cu corrspode cs, oss ; oltre, el ostro cso ugule ) è quello che s chm elemeto pvot. [ ] b cs sol. 8 8 A questo puto dvdmo term dell rg dell elemeto pvot, compreso l terme oto, per l pvot: [ ] [ ], qud redmo ull gl elemet dell colo del pvot medte opportue combzo ler dell rg del pvot co le ltre rghe fcedo modo che term ot resto postv. Secod tbell rssutv o complet [ ] b cs sol. ell colo del pvot bbmo reso ullo solo perché lo è gà. A tl fe bbmo: moltplcto per (-) l rg del pvot [ ] e bbmo sommto l rsultto ll secod rg 8. Abbmo qud Secod soluzoe mmssble d bse: (,,,,,)

12 Alogmete l prmo psso, per spere se quest soluzoe è mglorble clcolmo le vlutzo. ) ( ) ( ] ) ( [ ) ( ) ( ) ( Ed ecco l secod tbell rssutv, complet delle vrzo b cs sol. Poché l vlutzoe è postv, l secod soluzoe può essere mglor. Poché tr coeffcet dell corrspodete colo (ugul e, ) esste lmeo uo che è postvo, l vrble rsult l vrble etrte. Per determre l vrble uscete, tr, e, cosdermo rpport e,. Quello more è l ultmo, pertto l vrble uscete è ; l elemeto pvot è. [ ] b cs sol. Essedo gà ugule, è suffcete ullre gl elemet dell su colo, perveedo così ll Terz tbell rssutv o complet

13 [ ] b cs sol. Per pssre quest ultm tbell d quell precedete: bbmo moltplcto per ( ) l rg del pvot [ ] e bbmo sommto l rsultto ll secod rg ; bbmo moltplcto per ( ) l rg del pvot [ ] e bbmo sommto l rsultto ll prm rg. Abbmo qud Terz soluzoe mmssble d bse: (,,,,,). Per spere se tle soluzoe è mglorble o meo clcolmo le vlutzo. ] ) ( ) ( [ ) ( ] ) ( [ ) ) ( ) ( [ ) ( ) ( Ed ecco l terz tbell rssutv, complet delle vrzo [ ] b cs sol. Poché essu vlutzoe è postv l terz soluzoe o può essere mglort, pertto l soluzoe del problem è (,,,,,) per l qule l vlore dell fuzoe obettvo è.

14 . ssmzzre,,, Itroduzoe delle vrbl d scrto,...,, Prm soluzoe mmssble d bse: (,,,,) Prm tbell rssutv sol. - Poché lcue vlutzo soo postve l prm soluzoe può essere mglor. Tr le postve cosdermo quell mggore,. Fr coeffcet dell corrspodete colo esste che è l uco postvo. Qud l vrble è l vrble etrte, è quell uscete e l elemeto pvot è. [ ] sol. - Rededo ullo l elemeto dell colo del pvot, moltplcdo l colo per e sommdo l rsultto co l prm rg bbmo l Secod tbell rssutv sol

15 Secod soluzoe mmssble d bse: (,,,8,) Poché esstoo vlutzo postve, l secod soluzoe può essere mglor. coeffcet dell corrspodete colo soo tutt egtv. Cocludmo qud che l fuzoe o h u mssmo, umetdo le vrbl, tede ll fto.. mzzre,,, 8 Itroduzoe delle vrbl d scrto,...,, 8 Prm soluzoe mmssble d bse: (,,,,) Prm tbell rssutv sol. 8-8 Poché l vlutzoe è egtv, l prm soluzoe può essere mglor. L vrble è l vrble etrte e, poché l rpporto è more d, è quell uscete; l elemeto pvot è. [ ] sol. 8-8 Dvdedo l rg del pvot per lo redmo utro; qud moltplcdo l rg del pvot per (-) e sommdo l rsultto ll secod rg redmo l elemeto pprteete ll colo del pvot ullo. Pervemo qud ll Secod tbell rssutv

16 sol Secod soluzoe mmssble d bse: (,,,, 8 ) Poché esstoo vlutzo postve e ulle, l secod soluzoe o può essere mglor. Pertto l soluzoe è (,,,, 8 ) per l qule l vlore dell fuzoe obettvo è. APPLICHIAO. ssmzzre,,,. ssmzzre,,,. mzzre,,,. ssmzzre,,, 8. rtgo costrusce tre oggett A, B e C utlzzdo due mcche. Per og oggetto d tpo A occorroo. ore dell prm mcch e ore dell ltr; per og oggetto d tpo B occorroo. ore dell prm mcch ed ltrettte dell secod; per og oggetto d tpo C occorroo ore dell prm mcch e dell secod. Spedo che u settm l prm

17 mcch o può essere utlzzt per pù d ore e l secod o pù d 9 ore e che l utle d u oggetto A è d., d u oggetto B è d. e d u oggetto d tpo C è d., determte l combzoe produttv settmle pù coveete. OSSERVAZIONI Se el modello mtemtco che dvdu u problem d progrmmzoe lere soo preset de vcol espress d dsequzo vet l sego, l corrspodete vrble d scrto è precedut dl sego egtvo. Qud l prm soluzoe mmssble d bse o può essere determt modo mmedto come bbmo vsto egl esemp precedet. I tl cs utlzzeremo u tecc che cosste ell troduzoe delle cosddette vrbl rtfcl grze lle qul è possble prtre d u soluzoe mmssble d bse. Quest tp d vrbl s troducoo che el cso cu lcu vcol soo espress d equzo. Procededo come l solto s rrv ll soluzoe rcorredo l procedmeto del grde che cosste ell serre ell fuzoe obbettvo le vrbl rtfcl moltplcte d u vlore umerco postvo pesto mggore degl ltr coeffcet c. Esso dovrà essere preceduto dl sego egtvo el cso d problem d mssmo, d quello postvo el cso d problem d mmo. Il metodo del grde h l obettvo d fr elmre elle soluzo d bse le vrbl rtfcl. Chrmo quto detto elle precedet osservzo co l seguete ESEPIO mzzre,,, Itroduzoe delle vrbl d scrto,,..., Come gà detto precedetemete questo cso o possmo predere come prm soluzoe mmssble d bse quell cu le vrbl, e soo ugul perché ltrmet vremo - e - e cò o è possble per l vcolo d postvtà. Itroducmo qud le vrbl rtfcl e Pertto possmo prtre co l Prm soluzoe mmssble d bse: (,,,,,,) Prm tbell rssutv, j,,..., j,

18 8 sol. Essedo u umero che s cosder comuque grde, l soluzoe può essere mglort perché lcue vlutzo soo egtve. Quell more è l, pertto l vrble è l vrble etrte metre quell uscete è. Il pvot è percò. [ ] sol. Per semplfcre l tbell possmo elmre l colo dell vrble rtfcle uscete. Ioltre, dvdedo l rg del pvot per lo redmo utro; qud moltplcdo l rg del pvot per () e sommmo l rsultto ll prm rg redmo l elemeto pprteete ll colo del pvot ullo. Pervemo qud ll Secod tbell rssutv sol. Secod soluzoe mmssble d bse: (,,,,,) Poché lcue vlutzoe soo egtve, che quest soluzoe può essere mglor. L vrble cu corrspode l vlutzoe more è che dvet qud l vrble etrte e, poché l rpporto è more d, è quell uscete; l elemeto pvot è.

19 9 sol. oltplcdo l rg del pvot per lo redmo utro; qud moltplcdo l rg del pvot per e sommmo l rsultto ll prm rg rededo così l elemeto pprteete ll colo del pvot ullo. Pervemo qud ll Terz tbell rssutv sol. Terz soluzoe mmssble d bse: (,,,,,) Poché lcue vlutzoe soo egtve, che quest soluzoe può essere mglor. L vrble cu corrspode l vlutzoe more è che dvet qud l vrble etrte. Fr coeffcet dell corrspodete colo è l uco postvo, qud è l vrble uscete. Ovvmete l pvot è lo stesso. sol.

20 Per semplfcre l tbell possmo elmre l colo dell vrble rtfcle uscete. oltplcdo l rg del pvot per lo redmo utro; qud moltplcdo l rg del pvot per e, sommdo l rsultto ll secod rg, redmo l elemeto pprteete ll colo del pvot ullo. Pervemo ll Qurt tbell rssutv 8 sol. Qurt soluzoe mmssble d bse: (,,,,) Poché è egtv, quest soluzoe può essere mglor. è l vrble etrte. 8 Cosdermo rpport uscete è ed l pvot. e ; l more è l prmo, qud l vrble [ ] 8 sol. oltplcdo l rg del pvot per lo redmo utro; qud moltplcdo l rg del pvot per (-) e, sommdo l rsultto ll secod rg, redmo l elemeto pprteete ll colo del pvot ullo. Pervemo ll Qut tbell rssutv

21 sol. 8 9 Qut soluzoe mmssble d bse: (,,,, ) 9 9 Poché è egtv, che quest qut soluzoe può essere mglor. è l vrble etrte, metre l vrble uscete è perché fr coeffcet dell corrspodete colo l uco è, che è duque l pvot sol oltplcdo l rg del pvot per lo redmo utro; qud moltplcdo l rg del pvot per e, sommdo l rsultto ll secod rg, redmo l elemeto pprteete ll colo del pvot ullo. Pervemo ll Sest tbell rssutv sol.

22 Sest soluzoe mmssble d bse: (,,,, ) Poché essu vlutzoe è egtv l sest soluzoe è quell che rsolve l problem. OSSERVAZIONE Fccmo osservre che metre l troduzoe d vrbl d scrto trsform l modello mtemtco orgro u ltro equvlete, le vrbl rtfcl cmbo l modello mtemtco. Ed è per questo che vegoo sert coeffcete, d vlore ssoluto grde rspetto gl ltr. I tl modo l lgortmo del smplesso, che tede mglorre l soluzoe medte pss successv, tederà d elmre tl vrbl, che rsulto pertto utl solo l fe d zre l lgortmo co u soluzoe mmssble d bse. APPLICHIAO. ssmzzre,,,. ssmzzre,,, 8. mzzre,,, 8 8. mzzre,,, 9. rtgo costrusce tre oggett A, B e C utlzzdo tre mcche. Per og oggetto d tpo A occorroo. ore dell prm mcch, ore dell secod e. ore dell terz; per og oggetto d tpo B occorroo. ore dell prm mcch, ltrettte dell secod e ore dell terz; per og oggetto d tpo C occorroo ore dell prm mcch,. ore dell secod e dell terz. Spedo che u settm l prm mcch o può essere utlzzt per pù d ore, l secod o pù d 9 ore e l secod o pù d 9 ore e che l utle d u oggetto A è d., d u oggetto B è d. e d u oggetto d tpo C è d., determte l combzoe produttv settmle pù coveete.

23 . mpres deve produrre u cclo lvortvo pezz d rcmbo. Può utlzzre tre mcche. L prm mcch produce oggett per og or e o può essere utlzzt per pù d ore; l secod mcch produce pezz ll or e o può fuzore per pù d ore e l terz mcch produce pezz ll or m o può essere utlzzt per pù d 9 ore. Determre come deve essere rprtto l tempo d utlzzo rededo mmo l tempo totle d fuzometo delle tre mcche.. Progrmmzoe lere vrbl: rsoluzoe lgebrc d prtcolr problem Come è stto possble otre l lgortmo del smplesso, che e cs co poche vrbl, s crtterzz come u procedmeto elborto e co umeros clcol. Per questo e cs d mggore utlzzo soo stte elborte tecche pù veloc, che se o geerl come l smplesso. Vedmoe lcue. A Problem d trsporto Soo problem cu è ecessro pfcre u po d trsporto d u dt merce d m org O, O,, O, vet deposto cscu,,, m utà, destzo D, D,, D vet cscu u fbbsogo d b, b,, b utà. Soo ot cost utr c j, co,,m e j,,. Per esempo co c tedmo l costo per trsportre u pezzo dell merce dll orge O ll destzoe D. Supporremo che l costo s drettmete proporzole ll quttà d merce spedt. L obettvo d tl problem cosste ello stlre u po d trsporto co costo mmo. Nell esempo d pg.8 bbmo vsto che questo è u problem d progrmmzoe lere. I questo prgrfo vedremo però u procedmeto rsolutvo ltertvo che semplfc d molto l quttà d clcol. Per determre u soluzoe zle d bse fremo rcorso ll regol dell golo superore sstro. Qud s dovrà cotrollre l ottmltà, verfcdo se ess può essere mglort, ed quest ultmo cso s determ u uov soluzoe. Ovvmete, smlmete ll lgortmo del smplesso, tl pss vegoo rpetut so pervere ll soluzoe ottm. Vedmo u ESEPIO Suppomo d vere org O ed O e destzo D, D, D e D. Le due org ho deposto e pezz rspettvmete metre le quttro destzoe rchedoo,, e pezz rspettvmete. L seguete tbell de cost mostr cost utr d trsporto. D () D () D () D () O () 9 O () Determmo l po d trsporto ottmle.

24 Tbell zle d trsporto Poché l umero de pezz rchest ( ) è more del umero de pezz dspobl ( ) sermo u destzoe fttz vete fbbsogo pr, oss ll dfferez fr l umero d pezz dsposzoe ed l umero d quell rchest. I cost d trsporto dll destzoe fttz soo cosdert ull. D () D () D () D () D f () u O () 9 O () v j Vedremo d seguto come clcolre vr u e v j. Regol dell golo superore sstro Prtedo dll cell lto sstr sermo u umero che esprme qut pezz possmo trsportre d O D sez volre vcol (, el ostro cso). Qud c spostmo ell csell fco se rmgoo pezz d destre, ell csell bsso cso cotrro. S prosegue questo modo so sstemre vr pezz. D () D () D () D () D f () u O () 9 O () v j Costo totle: Clcolo d u e v j. Assegmo d uo degl u o v j l vlore. Per esempo s u. Qud clcolmo vlor restt modo che per cscu ssegzoe effettut s bb u v c. j Qud bbmo: j u, oss v, d cu u, oss v 9, d cu 9 u, oss v, d cu v c v c v c v c v c v c u, oss u v, d cu u, u u, oss v, d cu u, oss v, d cu L precedete tbell dvet

25 D () D () D () D () D f () u O () 9 O () - v j 9 Verfc dell soluzoe Per cscu csell cu o è stt effettut lcu ssegzoe clcolmo l quttà c u v Qud rsult: j c u v ; c u v ; u v j u v 9 c ( ) ; c ( ). Poché lmeo uo de rsultt è egtvo, l soluzoe è mglorble. glormeto dell soluzoe Premettmo l seguete DEFINIZIONE (gl) : (Sequez d celle cu: - cscu cop d celle cosecutve s trovo ell stess rg o ell stess colo, - o s trovo tre celle cosecutve ell stess rg o ell stess colo; - og cell dell sequez fgur solo u volt) A prtre dll cell cu corrspode l vlore mmo d c j u v, ell esempo l cell (,), costrumo u mgl costtut solo d celle cu è stt effettut u ssegzoe, ovvmete tre l prm. j D () D () D () D () D f () u O () 9 O () - v j 9 All cell (,) effettumo u ssegzoe quto pù lt possble ggustdo cotemporemete le celle dell mgl, modo d rspettre vcol. 9

26 E l uov tbell dvet Costo totle: D () D () D () D () D f () O () 9 O () S rcomc così d effetture l clcolo d u e v j. Poedo uovmete u, l tbell dvet D () D () D () D () D f () u O () 9 O () - v j 9 Verfc dell soluzoe Per cscu csell cu o è stt effettut lcu ssegzoe clcolmo l quttà c u v Abbmo: c u v ; c u v ; u v 9 j j u v c ( ) ; c ( ). Poché lmeo uo de rsultt è egtvo, l soluzoe è mglorble. glormeto dell soluzoe A prtre dll cell cu corrspode l vlore mmo d c j u v, el ostro cso l cell (,), costrumo u mgl costtut solo d celle cu è stt effettut u ssegzoe, tre l prm. j D () D () D () D () D f () u O () 9 O () - V j 9 Operdo come precedez bbmo: 9

27 E l uov tbell dvet D () D () D () D () D f () O () 9 O () Costo totle: clcolo d u e v j. Poedo u, l tbell dvet D () D () D () D () D f () u O () 9 O () - v j 9 Verfc dell soluzoe Per cscu csell cu o è stt effettut lcu ssegzoe clcolmo l quttà c u v Abbmo: c u v ; c u v ; u v 9 c u v j c ( ) ; ( ). Poché lmeo uo de rsultt è egtvo, l soluzoe è mglorble. glormeto dell soluzoe A prtre dll cell cu corrspode l vlore mmo d j c j u v, el ostro cso l cell (,), costrumo u mgl costtut solo d celle cu è stt effettut u ssegzoe, tre l prm. j D () D () D () D () D f () O () 9 O () - v j 9 Operdo come precedez bbmo:

28 E l uov tbell dvet D () D () D () D () D f () O () 9 O () Costo totle: 8 clcolo d u e v j. Poedo u, l tbell dvet D () D () D () D () D f () u O () 9 O () - v j 9 Verfc dell soluzoe Per cscu csell cu o è stt effettut lcu ssegzoe clcolmo l quttà c u v Abbmo: c u v ; c u v ; c u v 9 c u v ( ). ( ) ; Poché lmeo uo de rsultt è egtvo, l soluzoe è mglorble. glormeto dell soluzoe A prtre dll cell cu corrspode l vlore mmo d j j c j u v, el ostro cso l cell (,), costrumo u mgl costtut solo d celle cu è stt effettut u ssegzoe, tre l prm. j D () D () D () D () D f () u O () 9 O () - v j 9 Come l solto ell cell (,) effettumo u ssegzoe quto pù lt possble ggustdo cotemporemete le celle dell mgl, modo d rspettre vcol. 8

29 Ottemo qud l tbell Costo totle: clcolo d u e v j. D () D () D () D () D f () O () 9 O () Poedo u, l tbell dvet Verfc dell soluzoe D () D () D () D () D f () u O () 9 O () - v j 9 Per cscu csell cu o è stt effettut lcu ssegzoe clcolmo l quttà c u v Abbmo: c u v ; c u v ; u v 9 j j u v c ( ) ; c ( ). Poché essu rsultto è egtvo, l soluzoe è quell che cosete l mor costo. Pertto d O s dovro trsportre pezz D e D. Restero o utlzzte pezz. D O s dovro trsportre pezz D, D e D. APPLICHIAO. Suppoete d vere org O ed O e destzo D, D, D e D. Le due org ho deposto e pezz rspettvmete metre le quttro destzoe rchedoo, 8, e pezz rspettvmete. L seguete tbell mostr cost utr d trsporto. D D D D O 8 O 9 Determte l po d trsporto ottmle.. Suppoete d vere org O, O ed O e destzo D, D e D. 9

30 Le tre org ho deposto, e pezz rspettvmete metre le tre destzoe rchedoo, e pezz rspettvmete. L seguete tbell mostr cost utr d trsporto. D D D O O O Determte l po d trsporto ottmle.. Suppoete d vere org O, O, O, O ed O e destzo D, D, e D. Le org ho deposto rspettvmete,,, e metre le quttro destzoe rchedoo,, e pezz rspettvmete. L seguete tbell mostr cost utr d trsporto. D D D O 9 O 9 O O O Determte l po d trsporto ottmle. B Problem d ssegzoe I tl problem s rchede l ssegzoe d lvor O, O,, O, d lvortor D, D,, D. Soo ot cost (o temp) c j, co,, e j,,, ecessr per fr effetture l lvoro O l lvortore D j. Nel cso cu l umero d lvortor s dverso dl umero d lvor s procede come e problem precedet, seredo de lvortor o de lvor fttz, secod de cs. L obettvo è quello d ssegre og lvoro d og lvortore modo che tutt lvor so complett mmzzdo l costo totle (o l tempo totle). Ache questo tpo d problem soo d progrmmzoe lere, qud rsolubl medte l metodo del smplesso m l procedmeto che permette d rsprmre otevolmete clcol è l metodo ugherese che s bs sull pplczoe del seguete TEOREA Se ell tbell de cost s sottre uo stesso umero d tutt gl elemet d u le (rg o colo), l ssegzoe ottm che s ottee è ugule quell dll tbell orgr. Vedmo seguet

31 ESEPI. Cosdermo l seguete tbell de cost D D D D O O O O Determmo l ssegzoe co costo mmo. Sottrmo dgl elemet d og rg l elemeto mmo. D D D D O O O O Sottrmo dgl elemet d og colo l elemeto mmo. D D D D O O O O Nell precedete tbell dobbmo cercre d evdezre zer, el ostro cso, modo tle che rsult uo zero per rg ed uo per colo. D D D D O O O O Poché è stto possble vere u smle cofgurzoe llor l soluzoe ottm è O D O D O D O D Co costo totle dto d. Cosdermo l seguete tbell de cost D D D D D O 9 9

32 O 8 O 8 O O 8 Determmo l ssegzoe co costo mmo. Sottrmo dgl elemet d og rg l elemeto mmo. D D D D D O O O O O Sottredo dgl elemet d og colo l elemeto mmo s rottee l stess tbell. Dobbmo cercre d evdezre zer, el ostro cso, modo tle che rsult uo zero per rg ed uo per colo. D D D D D O O O O O Poché o è possble vere u smle cofgurzoe llor dobbmo procedere l mglormeto dell soluzoe che cosste el coprre co l mor umero possble d lee lcue rghe e coloe d modo che tutt gl zer rsulto copert (l umero totle d lee dovrà rsultre more d, d el ostro cso); D D D D D O O O O O dvdure tr umer o copert dlle lee l mmo, el ostro cso ; sottrrre questo umero d og elemeto o coperto d lcu le e sommrlo d og umero coperto d due lee

33 D D D D D O O O O O Pervemo qud ll seguete tbell D D D D D O O O O O Dobbmo cercre d uovo evdezre zer, el ostro cso, modo tle che rsult uo zero per rg ed uo per colo. D D D D D O O O O O Poché è stto possble vere u smle cofgurzoe llor l soluzoe ottm è O D O D O D O D O D Co costo totle dto d APPLICHIAO Rsolvete seguet problem d ssegzoe e seguet cs.. D D D D O O O O D D D D D O 9 O

34 ... O O 8 O D D D D D D O O O O O O 9 D D D D D D O O O O O O D D D D D D O O O O O O. L Rcerc Opertv: fltà e metod L progrmmzoe lere che bbmo ppe trttto è u prte d u dscpl molto pù mp che s chm Rcerc Opertv. Ess stud come mpegre le rsorse dsposzoe (cptl, mtere prme, temp d lvoro, eerg, ecc.) per trrre l mssmo proftto, modo effcce, mmzzdo sprech, cost, temp mort, ssorbedo quto pù è possble l mercto. Pertto forsce dt utl l fe d oretre decso sull orgzzzoe zedle, dustrle, mltre, ecc. Tle dscpl cque Ighlterr el 99, e servì zlmete per scop mltr. Precsmete ebbe lo scopo d mglorre l rete d vvstmeto degl ere emc. Dopo qulche o tle tecc prese pede che egl Stt t e fu utlzzt per pfcre l dfes de trsporto mr, co rsultt sorpredet. Successvmete l Rcerc Opertv s svluppò che ltr cmp, soprttutto quello ecoomco, zedle, dustrle ed orgzztvo geerle. L R.O. cost d vre fs:

35 ) Rlevzoe de dt. Vegoo rccolte le formzo su cu effetture successvmete le dg. b) Schemtzzzoe de dt. Vegoo stetzzte le formzo rccolte ell fse precedete. c) Als de dt. I dt, ordt ell precedete fse, vegoo prese esme d vr espert dopo essere stte seprte secod del loro tpo. Per esempo u cte d supermerct che tede prre u cetro vedte u luogo, esegue lcue rcerche mrte cooscere: l possbltà d reperre persole speclzzto, l possbltà d vedt relzoe lle codzo ecoomche dell zo, l luogo mggormete dcto per fr sorgere l cetro fuzo dell vbltà e de collegmet. Pertto vr dt, u volt rccolt, vegoo pres esme d vr rcerctor. Precsmete l prmo tpo d dt verrà studto d espert del modo del lvoro, l secodo d ecoomst, l terzo d geger del trsporto. d) Idvduzoe delle rsorse. S predoo cosderzoe que dt rteut utl l fe del rggugmeto dell obbettvo. Alcu dt soo cert, come per esempo le ve d comuczoe esstet, l reddto medo pro cpte degl btt dell zo pres cosderzoe; ltr letor, come l umero medo d possbl cquret, l quttà d merce che può restre vedut u goro, l umero d furt che possoo vvere u o. e) Costruzoe del modello mtemtco. Il problem vee trdotto term mtemtc sotto form d equzo e dsequzo. f) Soluzoe del modello. g) Verfc de rsultt otteut. Serve che provre l botà del modello e dell ccurtezz dell rcerc s qu svolt. I cso d rsultt suffcet s procede ll correzoe del modello e ll su uov soluzoe e verfc. Nel cso cu le vrbl goco el modello mtemtco ssumoo vlor ft, l problem s chm dscreto. Soo problem d questo tpo quell cu bsog sceglere l umero d oper d mpegre d u dto lvoro, oppure l umero d pezz d produrre u dto cclo produttvo. Nel cso cu le vrbl goco ssumoo vlor ft d u tervllo umerco, l problem s dce cotuo. Soo problem d questo tpo quell cu bsog sceglere l lughezz d lcu pezz d rcmbo, oppure l quttà d eerg elettrc mpegt, o cor l tempo d dedcre d u progetto. Ioltre el cso cu gl effett d u decsoe s rscotro d subto llor s prl d problem co effett mmedt, vece se tr mometo dell decsoe e quello degl effett c è u tervllo d tempo o trscurble, bbmo problem co effett dffert. A: Cso cotuo, co effett mmedt ESEPI A Problem d scelt codzo d certezz. dustr produce dell merce che vede ll grosso. Il costo d produzoe è d l g el cso d u produzoe totle d meo d q, d 9 l g el cso d u produzoe

36 totle d lmeo q. L domd dell merce è dt dll fuzoe..p ( : quttà d merce rchest, p : prezzo l g). Teedo presete che l dustr sostee, u tero cclo produttvo u spes fss d. e che o può produrre pù d q, ell potes che tutt l quttà prodott vee vedut, determte qut g d merce è bee produrre ell rco d u cclo produttvo per otteere l mssmo utle. Idchmo co l quttà d merce prodott g e co l proftto. D dt del problem rsult p ( ) se p ( 9 ) se < D ltrode, poché dll fuzoe d domd p, sosttuedo bbmo se 8 se g < Rppresetmo grfcmete l fuzoe. O S vede subto che l quttà che permette d mssmzzre l utle è cu corrspode.... turst, mte delle escurso bcclett desder fre u gro co u mout be e s rvolge due dvers oleggtor. Il prmo chede u quot bse d., cu ggugere per og or d utlzzo. Il secodo chede. per og or d utlzzo ed u spes per l rscho d rottur d qulche pezzo stmto pr l % del qudrto del umero d ore d utlzzo. Qule form d oleggo rsult pù coveete? Chmmo co S ed S le fuzo spes ssocte rspettvmete ll prm ed ll secod ltertv. D dt del problem emerge S S.

37 L rppresetzoe grfc delle precedet fuzo corrspode d u rett ed u prbol. S 9 O 9,9 S vede chrmete che, el cso cu l umero d ore che s tede utlzzre l mout be è ferore 9,, covee l secod ltertv, cso cotrro covee l prm ltertv. APPLICHIAO. Per produrre u bee so sostegoo le seguet spese: Spese fsse:.., Spese d produzoe:. per og utà prodott, Spese d mutezoe degl mpt: pr l % del qudrto d og utà prodott. Spedo che l prezzo d vedt è d., che l cpctà produttv è d. pezz, e che tutt pezz prodott soo ssorbt dl mercto, clcolre qut pezz bsog produrre l fe d relzzre l mssmo utle. Qut pezz bsog produrre per o vere perdte?. rtgo produce de gocttol. Le spese per og gocttolo costruto soo espresse dll seguete fuzoe dpedete dl umero d pezz prodott: C metre l domd è espress dll relzoe, dpedete d p, prezzo utro d vedt:.p. Ioltre soo prevste spese d mutezoe de mcchr pr... Determte qut gocttol l rtgo deve produrre per mmzzre l costo utro d produzoe, mssmzzre l utle, clcoldo l reltvo prezzo d vedt, ell potes che tutt pezz prodott soo ssorbt dl mercto.. I u cclo produttvo u dustr sostee seguet cost: Spese fsse:.., Spese per l mterle:. per og g d merce prodott, Spese per l lvorzoe:. per og or d lvorzoe ordr,. per og or d lvoro strordro. Og g d merce ecesst d mut d lvorzoe, Spedo che l dustr dspoe d oper che lvoro, cscuo e ell tero cclo produttvo, ore d lvoro ordro e o pù d ore d quello strordro, determte l

38 fuzoe del costo totle e quell del costo utro, clcoldo, quest ultmo cso per qule quttà s ottee l mmo.. Per l oleggo d u utomoble s può sceglere fr le seguet ltertve:. l m cu ggugere u quot fss d.; forfetre per u percorrez d mssmo m cu ggugere 9 per og m percorso pù;. per m, sez spese fsse. Stblte l ltertv pù coveete fuzoe de m d percorrere.. Per l stmp d u lbro u cs edtrce sostee u spes fss d.. ed u costo d. per pg. Per l dstrbuzoe s può sceglere fr due ltertve: Vedere lbr drettmete lle crtolbrere. l cop, sosteedo u spes per l trsporto e l pubblctà vlutt pr l % del qudrto del umero delle pge che compogoo l lbro, Vedere tutto d u dtt. cop. Spedo che u lbro o può essere pù d 9 pge, determte l scelt pù coveete. A: Cso dscreto, co effett mmedt Nel cso cu vlor che s cosdero o soo molt, s utlzz l crtero mrglstco che stud l sego dell dfferez fr due vlor cosecutv. S scegle qud quel vlore corrspodez del qule s pss d u sego postvo quello egtvo (e problem d mssmo), oppure quel vlore corrspodez del qule s pss d u sego egtvo quello egtvo (e problem d mmo). Se vlor del problem soo umeros ed esste u fuzoe mtemtc del problem llor l s rppreset come se fosse d tpo cotuo e, osservdo l grfco, s rcvo vlor ter d mssmo o d mmo. ESEPIO dustr produce de pezz che vede ll grosso. Il costo fsso gorlero d produzoe è d.. cu ggugere u costo d. per og pezzo prodotto. Il umero mssmo d pezz che s può produrre u goro è d. L seguete tbell mostr l prezzo d vedt che è decrescete l crescere del umero d pezz vedut. N pezz Prezzo utro Determte qut pezz s devoo produrre gorlmete per relzzre l mssmo gudgo. S l umero d pezz d produrre gorlmete. Il costo è dto d C()... qud, cotrrmete l prezzo d vedt, è esprmble d u legge mtemtc. 8

39 Costrumo llor l tbell cu soo rportt cost, rcv, gudg cost mrgl ed rcv mrgl (dfferez fr due vlor cosecutv). N pezz Costo Rcvo Gudgo Cost mrgl Rcv mrgl Il mssmo gudgo s ottee corrspodez d pezz prodott gorlmete. Osservdo le coloe del costo mrgle e del rcvo mrgle possmo otre l'pplczoe del prcpo ecoomco bse l qule covee espdere l produzoe fché l rcvo mrgle super l costo mrgle. APPLICHIAO. rtcolo è prodotto pcch d pezz cscuo. Per l produzoe s sostee u spes fss d. l pezzo. Il prezzo d vedt per pcco è decrescete rspetto l umero de pcch vedut ed è mostrto dll seguete tbell N pcch Prezzo per pcco ( ) Determte l umero d pcch d produrre meslmete l fe d mssmzzre l utle.. L seguete tbell mostr le quttà d pezz che s resce vedere fuzoe del prezzo d u determto bee: Prezzo Quttà vedute Per l produzoe s sostegoo le seguet spese:.. d spese fsse, 8 per pezzo, d spese per l lvorzoe, per pezzo, d mterle. Spedo che l cpctà produttv è d. pezz, determte qule prezzo permette d mssmzzre l utle. 9

40 . dtt che cofezo bt deve decdere l umero d bt d cofezore u cclo produttvo per otteere l mssmo utle. Spedo che l costo per og bto prodotto è d., che l spes fss è d.., l prezzo d vedt, rcvto dll fuzoe dell domd, p. - (co umero d bt), clcolte qut bt s devoo cofezore per mssmzzre l'utle ell'potes che l cpctà mssm produttv el cclo è d. bt. A: Effett dffert Crtero dell'ttulzzzoe Il metodo del vlore ttule che cosste ell ttulzzzoe d tutt cost e rcv futur per poter cofrotre u stess epoc cost e gudg. A tl fe rchmmo lcue formule uste egl esemp elle seguet OSSERVAZIONI Rcordmo che l legge d cptlzzzoe compost è dt d C( ) possble determre l vlore ttule co C ( ). dll qule è Per cmbre d u tsso ule quello perodco, fr loro equvlet, s utlzz l seguete formul: ( ), vedo dcto co l umero perod preset u o. ( ) Il vlore ttule d u redt postcpt d, rt R e tsso, è V R R. Nel cso cu l redt è tcpt bst moltplcre V, precedetemete determto, per l fttore ( ). L mmortmeto progressvo frcese è crtterzzto d rte costt e pr essedo l mmotre del prestto, l su durt ed l tsso pplcto. R, Ne cs cu c soo rcv e cost, occorre clcolre l dfferez fr l vlore ttule de rcv e quello de cost. Tle dfferez prede l ome d rsultto ecoomco ttulzzto. ESEPI. S vuole vestre ogg u cptle d.. e s deve decdere fr le seguet ltertve. Rcevere fr l cptle dto co gl teress mturt d u tsso del %. Dre prestto l cptle per essere rmborsto co mmortmeto progressvo frcese l tsso uo del %.

41 Dre prestto l cptle per essere rmborsto medte due somme d.. cscu, fr e. Determmo l scelt pù coveete bse l crtero del vlore ttule l tsso del %. Rsult: (.., ),.98.. V,.., R....,,,, pertto V ,, V..,..,..8. Qud, l tsso d vlutzoe del % è pù coveete l secodo vestmeto.. Acqustmo u mcchro che cost... Per l pgmeto possmo sceglere fr le seguet ltertve. Pgmeto cott, Versmeto d.., qud rte mesl postcpte d.., Versmeto d rte bmestrl postcpte d.., sez lcu ccoto. Determmo l scelt pù coveete bse l crtero del vlore ttule l tsso dell 8%. Rsult: V... Itto determmo l tsso mesle equvlete ll'8% uo: (,8) ( ),,8,. Qud, ,, Il tsso semestrle è dto d (,8) ( ),,8,9. V..,9..,9, Qud, l tsso d vlutzoe dell'8% è pù coveete l prm form d pgmeto zed deve cqustre due tp d mcchr ed vet stesse prestzo m co cost dvers. Il mcchro cost.., rchede spese d eserczo ue d.., h u durt prevst d e dopo tle dt può essere ceduto recuperdo.., l mcchro d tpo cost.., rchede spese d eserczo ue d 9., u durt d 8 e dopo tle dt può essere ceduto... S suppog u tsso d vlutzoe uo del %. Poché l durt delle mcche è dvers s è solt cosderre come durt comue delle mcche l mmo comue multplo delle durte. Nel ostro cso.

42 cch cch 8 Vlutmo ztutto l vlore ttule per cscu cclo:......, 8.8. V c, , V c 8, Qud determmo l vlore ttule complessvo de ccl. Per rsult: V , Per rsult: V , 9..9,.89.. Qud è pù coveete l'cqusto dell mcch. APPLICHIAO. S h dsposzoe u cptle d.. e le seguet ltertve: Soo prevst rcv d 9..,.. e.. fr, e 8, Soo prevst.. postcpt per d zre fr Determmo l scelt pù coveete bse l crtero del vlore ttule l tsso del %... S h dsposzoe u cptle d.. e le seguet ltertve: Dre prestto l somm l tsso del % co rmborso dello stesso co metodo progressvo frcese, Dre prestto l somm co resttuzoe fr e pgmeto uo degl teress l tsso del %, Dre prestto l somm co resttuzoe medte pgmeto d rte ue postcpte l tsso dell %. Determte l ltertv pù coveete pplcdo l crtero del vlore ttule l tsso del % uo.. Per cqustre u ppezzmeto d terreo vete u vlore stmto.., possmo sceglere le seguet modltà d pgmeto: Pgmeto cott, Pgmeto d.. subto e d rte mesl postcpte d.., Pgmeto d rte mesl postcpte d.. ed u sldo d.. fr. Clcolte qule form rsult pù coveete spedo che l tsso uo è del %.. Per cqustre u locle vete u vlore stmto.., possmo sceglere le seguet modltà d pgmeto: Pgmeto cott, Pgmeto d.. subto e d rte mesl postcpte d.., Pgmeto d rte mesl postcpte d.. ed u sldo d.. fr.

43 Clcolte qule form rsult pù coveete spedo che l tsso uo è del %.. dtt deve cqustre u mcchro e deve sceglere fr due mcchr ed vest stesse prestzo m co cost dvers. : costo 9.., spese ue d eserczo d.. per prm e d.. per gl successv, vlore d recupero 9.., durt ; : costo.., spese semestrl d eserczo d.. per prm e d.. per gl successv, vlore d recupero.., durt ; determte l ltertv pù coveete pplcdo l crtero del vlore ttule l tsso uo dell %.. zed deve cqustre u mcchro e può sceglere tr due forme d pgmeto: Pgmeto d rte mesl postcpt d.. e versmeto d.. del vlore del mcchro fr 8, Pgmeto d rte semestrl postcpte d.8.. Determte l scelt pù coveete pplcdo l crtero del vlore ttule l tsso del %. Crtero del tsso effettvo d'mpego OSSERVAZIONI So P (,y ) e P (,y ) due put del po. Rcordmo che l'equzoe dell rett psste per quest put s trov rcorredo ll seguete formul: y y. y y S or f() u fuzoe e so ot f( ) y ed f( ) y, co <. Se f è mooto ed è u puto tle che: < < suppomo che s vogl determre f( ) oppure, spedo questo vlore, rslre d. Qudo e soo vlor molto vc s pprossm l rsultto cosderdo l rett psste per P e P. y y r y y I tl cs s dce che bbmo operto medte terpolzoe lere.

44 Il tsso effettvo d'mpego è l tsso cu corrspode u vlore ttule de rcv ugule l vlore ttule de cost. Tle metodo offre buo rsultt qudo le scdeze de rcv e quelle de cost soo ugul o rvvcte. ESEPI. S vuole vestre ogg u cptle d.. e s deve decdere fr le seguet ltertve. Dre prestto l cptle per essere rmborsto trmestr co u rt ugule.8.. Dre prestto l cptle per essere rmborsto medte due somme d.. cscu, fr e. Determmo l scelt pù coveete bse l crtero del tsso effettvo d mpego. Rsult: , d cu,..8. Autdoc co le tvole trovmo:,8 e,,, Qud,; y,8 e,; y,. Poché y,, rslmo d utlzzdo l'terpolzoe lere. Itto determmo l rett psste per P (,y ) e P (,y ): y y y y ; y,8,,,8,, sosttuedo d y l vlore corrspodete d y, oss,, bbmo,,8,, ;,.,,8,,, Isoldoc l'cogt trovmo:, 9. Qud per l tsso trmestrle effettvo d'mpego possmo scrvere,9. Pssmo l tsso ule equvlete: (,9) ;,. ( ) ( ). Poedo ( ) precedete può essere scrtt, oss. ± ±,8,8 Rsolvedo rspetto ll :.,8, l relzoe Cosderdo solo l rdce postv bbmo ( ), 8,,8.,8,

45 Pertto rsult pù coveete per l'vesttore l prm ltertv vedo otteuto l tsso effettvo d'mpego mggore. OSSERVAZIONI Il cotrtto lesg (loczoe) cosste el fr cqustre u determto bee u Socetà fzr l qule lo fftt ll'mpres che s mpeg su volt pgre delle rte perodche (co). Qudo queste rte termo l'mpres può decdere d cqusre deftvmete l bee pgdo u somm per l rsctto.. Per l'cqusto d u mcchro dl costo d.., u'zed deve sceglere fr le seguet ltertve: utuo: pgmeto d.. e d rte qudrmestrl d... Lesg: pgmeto d.. e d co mesl d... Rsctto l terme dell'ultmo coe co pgmeto d... Clcolre l form d pgmeto pù coveete medte l crtero del tsso effettvo d'mpego. Rsult: utuo: B Problem d scelt codzo d certezz Per quto bbmo cceto precedez u problem codzo d certezz è crtterzzto d cosegueze che dpedoo dl verfcrs o meo d lcu evet. Se l decsoe deve cdere sulle possbl ltertve A, A,., A ed E, E,, E m soo gl evet, fr loro comptbl, che possoo verfcrs, l seguete tbell stetzz l problem. EVENTI / ALTERNATIVE A A A E E. E m m m m Nel cso cu o soo ote le vre probbltà degl m evet s utlzz l crtero del mm o mm che cosste el cosderre, el cso d utl, l vlore mmo de rsultt per cscu

46 ltertv e fr quest l mssmo; el cso d cost, l vlore mssmo de rsultt per cscu ltertv e fr quest l mssmo B: Crtero del vlor medo Tle crtero s utlzz el cso cu soo ote le probbltà degl m evet. I tle cso, per cscu ltertv s clcol l vlore medo dto d m ( A ) j j Qud, el cso d utl s scegle l ltertv cu corrspode vlore medo mggore, el cso d cost, l ltertv co vlore medo more. P(E j ) ESEPIO commercte deve decdere l cqusto d u cert quttà d merce. Il costo è d. l g ed l prezzo d vedt d. l g. I cso d merce vedut può relzzre, l goro dopo,. l g. S s che l rchest gorler d quell merce è compres tr g e g, secodo le seguete dstrbuzoe d probbltà erce Vedut ( g) 8 9 Probbltà APPLICHIAO. B: Co msur del rscho Teedo presete che u msur del rscho dell scelt è lo scrto qudrtco medo, problem cu s deve teere coto del rscho, dopo ver clcolto l vlore medo (A ) d og ltertv, d ess s clcol che lo scrto qudrtco medo dto d m [ ] ( A ) ( A ) σ P(E ). j j Nel cso cu due o pù ltertve ho lo stesso vlor medo, s scegle quell co scrto qudrtco medo more. Comuque el cso cu è dto u lmte l rscho, l ltertv che super tle lmte, o vee pres cosderzoe che el cso cu rsult pù vtggos. j

47 ESEPIO APPLICHIAO B: Effett dffert S determ l vlor medo de vlor ttul de rcv (o de cost), scegledo l mggore (more). ESEPIO S vuole vestre l cptle d.. e s può sceglere fr le seguet ltertve. S prevede d rcvre fr.. certe e fr.. co probbltà pr % oppure.. co probbltà del %. s prevede d rcvre per, ll fe d og o,.. co probbltà del %, oppure.. co probbltà del %. Determte l operzoe pù coveete spedo che etrmbe le ltertve l tsso pplcto è.. APPLICHIAO. ESEPIO (problem delle scorte) OSSERVAZIONI Qulss mpres dustrle, per l su produzoe ecesst d problem d gestoe delle scorte. Per l vedt dell merc è ecessro vere mgzzo u quttà d merce suffcete lle rcheste. Per le ordzo s devoo ffrotre o solo spese dell merce d ordre m che le spese per l vggo. Pertto per dmure tl tp d spese è ecessro dmure le ordzo.

48 D ltro cto l coservzoe dell merce mgzzo comport spese dovute ll su gestoe, oltre che lle spese per l depermeto dell merce. Qud è ecessro trovre u compromesso che permett d mmzzre cost rededo però suffcete l quttà d merce mgzzo. Ne ostr problem supporremo che l merce dmusc co uformtà rspetto l tempo e che l merce ordt rrv cocdez dell esurmeto d quell del precedete ordtvo. Idchmo co Q : quttà d merce ecessr per u dto tervllo d tempo, : quttà d merce ordt og volt, qud Q dc l umero d ordzo e, poché bbmo supposto che l merce dmusce co uformtà, l quttà d merce med mgzzo tr u ordtvo ed u ltro è, S : spes fss per ordzoe, m : costo d mgzzo per og utà d merce, C : costo totle dell merce d cqustre, : cpez del mgzzo. Allor l fuzoe costo d mmzzre è Q S m c < mpres h u vedt gorler med d g d u dt merce per gor l o. Og ordzoe comport u spes fss d. e spesse ue d mgzzggo d. l g. Nell potes che l costo dell merce s d $. l g, per cqust feror d g e d. per cqust superor d g, determte l umero uo d ordtv, el cso cu l cpctà del mgzzo s d 8q. APPLICHIAO 8