Integrazione numerica

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1 Cludo Esttco Itegrzoe umerc

2 Itegrzoe Numerc Itegrzoe umerc Formule d qudrtur. Grdo d esttezz. 3 Metodo de coecet determt. 4 Formule d Newto-Cotes semplc. Formule d Newto-Cotes composte. 5 Errore delle Formule d Newto-Cotes.

3 Itegrzoe Numerc Itegrzoe umerc Cosdermo l prolem d clcolre l tegrle deto d u uzoe :[,] R. I d Le ormule d qudrtur soo ormule che cosetoo l clcolo pprossmto d tegrl det. Queste soo prtcolrmete utl per l clcolo trmte elortore. 3

4 Itegrzoe Numerc L pprossmzoe dell tegrle deto I d vee tt per mezzo d u ormul d qudrtur del tpo I α j che rppreset u med pest degl + vlor ssut dll uzoe e put, dett od,,,,, co pes sst α,α,,α. j j 4

5 Itegrzoe Numerc Fssto, tedmo qud pprossmre l vlore estto I co I. Al vrre d pes e de od s ottegoo deret ormule d qudrtur. Dremo che u ormul d qudrtur h grdo d esttezz GdE, o precsoe lgerc r> se I pip per og polomo p d grdo l pù r. Pochè og ormul d qudrtur h lmeo grdo d esttezz, cosderdo l polomo p, ottemo ztutto che tt I α j j α j p j I p 5

6 Itegrzoe Numerc Metodo de coecet determt Per costrure u ormul d qudrtur, sst rtrrmete + od dstt,,,, s possoo determre pes α,α,,α modo che l ormul grdo d esttezz. Itt, grze ll lertà dell tegrle, è sucete mporre l codzoe d esttezz su polom dell se coc I I,,..., 6

7 Itegrzoe Numerc Pochè l tegrle estto s clcol clmete per v ltc, tt I d mpoedo l esttezz dell ormul d qudrtur o l grdo ottemo oss l sstem lere I,,..., + + +,,..., + + j α j,,..., + j V t α c, co V mtrce +*+ d Vdermode o sgolre e c vettore de term ot., j V j 7

8 Rssumedo, dl sstem lere co Itegrzoe Numerc V L L L c c c c V t c α co c 8 s ottee l vettore coteete coecet dell ormul d qudrtur L M M M M M c M t α α α α... + j j j I α

9 Itegrzoe Numerc Il metodo de coecet determt cosete, geerle, d otteere pes che coducoo precsoe lgerc per og scelt rtrr degl + od,,,. Tle metodo o è però coveete dl puto d vst computzole poché molto costoso ed stle. Rsult vece molto utle cosderre od equspzt, modo d semplcre l clcolro de coecet dell ormul d qudrtur. Tl coecet possoo essere così clcolt prelmrmete, u volt per tutte. 9

10 Itegrzoe Numerc Formule d Newto-Cotes semplc Soo ormule d qudrtur sull tervllo [,] costrute su od equspzt d psso h + jh, j,..., j Fssto h, tl ormule pes dpedoo solo d. Le ormule s dvdoo : α j Chuse se gl estrem e soo clus tr od,, h / Aperte se gl estrem e o soo clus tr od + h, h, h / +

11 Itegrzoe Numerc Trmte l cmo d vrle I + d h + ht ht dt s ottee che coduce ll ormul d qudrtur seguete w j I α j j j co vlor ss, clcolt u volt per tutte, dpedet solo dl tpo d ormul oss se pert o chus, e dl umero d put. h j w j j

12 S ottegoo così semplc telle coteet pes l vrre del grdo. S osserv che: Itegrzoe Numerc se l ormul è chus, llor se l ormul è pert, llor Vedmo lcu esemp. j j w w j j +

13 S ottegoo così semplc telle coteet pes l vrre del grdo. Vedmo lcu esemp. Itegrzoe Numerc Formul de rettgol, pert, GdE è l ormul pert otteut per. è che dett ormul del puto medo. S h d cu I h + w + 3

14 Itegrzoe Numerc Formul de trpez, chus, GdE è l ormul chus otteut per. S h w / w / d cu h I [ + ] [ + ] 4

15 Formul d Cvler-Smpso, chus, GdE3 è l ormul chus otteut per. S h d cu I Itegrzoe Numerc w / 3 w 4 / 3 w / 3 + Ovvmete s potree umetre l vlore d 5

16 Itegrzoe Numerc. 6

17 Itegrzoe Numerc. 7

18 Itegrzoe Numerc. 8

19 Itegrzoe Numerc. 9

20 Osservzo: Itegrzoe Numerc I pes delle ormule d qudrture d Newto Cotes soo smmetrc rspetto l cetro, oss α α, α α -, α α -, Pochè pes soo smmetrc, og ormul d Newto-Cotes è estt su og uzoe dspr tegrt su u domo smmetrco, oss [-,] s osserv che tl cso l tegrle deto è sempre ugule. Qud og ormul d Newto-Cotes è estt su og polomo d grdo dspr. Ne cosegue che le ormule d grdo pr ho grdo d esttezz + l prmo dspr successvo ll pr.

21 Itegrzoe Numerc Nell prtc, o s utlzzo ormule d Newto-Cotes d grdo elevto ell orm precedete, dett semplce. Questo poché l utlzzo d ormule d grdo elevto rtmetc t rsult essere umercmete stle per >6, pes α, α,, α o rsulto pù essere tutt d sego postvo, e questo cre prolem el clcolo trmte elortore.

22 Itegrzoe Numerc Formule d Newto-Cotes composte Cosdermo u dscretzzzoe d + put equspzt su [,] d psso h-/ + h,,..., Per l ddtvtà dell tegrle s h I d Per pprossmre I possmo qud sommre opportue pprossmzo degl tegrl su dom d mpezz more. d

23 Itegrzoe Numerc Sruttdo l propretà ddtv dell tegrle rspetto l domo d tegrzoe, s suddvde l tervllo [,] sottotervll cotgu ed equspzt e s utlzz su cscu sottotervllo u ormul d Newto-Cotes ell orm semplce. Itt, poché l mpezz h del domo d tegrzoe d og tegrle può essere res sucetemete pccol, u ormul d Newto-Cotes d grdo sso rsult gà sucetemete ccurt. I tl modo s ottegoo ormule d qudrtur molto precse e umercmete stl. Tl ormule vegoo dette ormule d Newto-Cotes composte. 3

24 Formul de rettgol compost Cosderdo l ormul de rettgol semplce su cscuo degl sottotervll [ -, ],,, Itegrzoe Numerc + d 4 s ottee l ormul de rettgol compost + C h I d

25 Itegrzoe Numerc. 5

26 Formul de trpez compost Cosderdo l ormul de trpez semplce su cscuo degl sottotervll [ -, ],,, Itegrzoe Numerc ] [ d + 6 s ottee l ormul de trpez compost + + h I C ] [ d +

27 Itegrzoe Numerc. 7

28 Formul d Smpso compost Cosderdo l ormul d Cvler-Smpso semplce su cscuo degl / sottotervll [ -, ],,,/ Itegrzoe Numerc [ ] 4 6 d per pr s ottee l ormul d Smpso compost / / h I C 6

29 Itegrzoe Numerc Errore elle ormule d Newto-Cotes Cosdermo l errore che s commette pprossmdo l tegrle medte l ormul d qudrtur E I I Svolgedo opportu clcol, per le ormule d Newto- Cotes de rettgol e d Smpso, semplc e composte, posto M m [,], s ottee l tell seguete, che permette d stmre l errore mssmo commesso E 9

30 . Itegrzoe Numerc Rettgol Formule composte Formule semplc h M E M E C / 9 Smpso Trpez h M E M E h M E M E C C

31 Itegrzoe Numerc Esempo: umero d od co.d.q. d Smpso compost S e. I tl cso M m [,] e per og. S eottee che l errore commesso dll ormul d qudrtur d Smpso compost è mggorto d e h 8 e E C I questo cso, se voglmo u errore more d τ -6, tegrdo su [,][,3], occorre utlzzre + od co e 8 4 < τ oss > e