UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BARI CATTEDRA DI MATEMATICA PER L'ECONOMIA DIPARTIMENTO DI SCIENZE ECONOMICHE E METODI MATEMATICI

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1 FASCICOLO FUORI COMMERCIO DISTRIBUITO GRATUITAMENTE AGLI STUDENTI DEL CORSO DI MATEMATICA PER L'ECONOMIA ANNO ACCADEMICO UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BARI CATTEDRA DI MATEMATICA PER L'ECONOMIA DIPARTIMENTO DI SCIENZE ECONOMICHE E METODI MATEMATICI LUIGI ALBANO APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA PER L ECONOMIA "L esse dell Mtemtc è ell su lbertà" Frse scrtt su u lpde che rcord GEORG CANTOR ell cttà d HALLE

2 INDICE CAPITOLO 0-PREREQUISITI 0 PRELIMINARI pg 0 0 LE FUNZ IONI pg 0 0 L INSIEME DEI NUMERI REALI pg 07 0 POTENZA DI UN BINOMIO pg 0 QUALCHE CENNO SUI POLINOMI pg 0 6 CENNI DI GEOMETRIA ANALITICA PIANA pg ESERCIZI pg 0 8 SISTEMI DI m EQUAZIONI LINEARI IN INCOGNITE pg 0 9 RAPPRESENTAZIONE DI R NELLO SPAZIO INTERPRETAZIONE GEOMETRICA DEI SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI IN TRE INCOGNITE pg 00 STRUTTURA VETTORIALE DI R pg CAPITOLO l-funzioni REALI DI UNA VARIABILE REALE GRAFICO DI UNA FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE REALE pg 7 FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE LIMITATE pg 8 FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE MONOTONE pg 9 FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE CONVESSE pg FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE SIMMETRICHE pg 6 FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE PERIODICHE pg 7 LE SUCCESSIONI DI NUMERI REALI-IL NUMERO DI NEPERO pg 8 LE FUNZIONI ELEMENTARI pg 7 9 EQUAZIONI E DISEQUAZIONI-INSIEME DI DEFÌNIZIONE DI UNA FUNZIONE pg 8 CAPITOLO -LIMITI DELLE FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE PRELIMINARI pg 6 LA DEFINIZIONE DI LIMITE pg 67 PRIMI TEOREMI SUI LIMITI pg 7 OPERAZIONI SUI LIMITI pg 7 LIMITE A SINISTRA E LIMITE A DESTRA pg 7 6 LIMITI NOTEVOLI pg 8 7 IL CASO DELLE SUCCESSIONI DI NUMERI REALI pg 8 CAPITOLO -FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE CONTINUE DEFINIZIONE DI FUNZIONE CONTINUA pg 89 OPERAZIONI NELL'INSIEME DELLE FUNZIONI CONTINUE pg 89 I TEOREMI DI WEIERSTRASS E DI BOLZANO pg 90 PUNTI DI DISCONTINUITA' pg 9 CAPITOLO -LA DERIVAZIONE l DEFINIZIONE DI DERIVATA pg 9 REGOLE DI DERIVAZIONE E DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI pg 97 CAPITOLO -APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE CRESCENTI O DECRESCENTI IN UN PUNTO pg 0 MASSIMI E MINIMI RELATIVI DI UNA FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE REALE pg 0 I TEOREMI DI ROLLE DI CAUCHY E DI LAGRANGE pg 07 CONSEGUENZE DEL TEOREMA DI LAGRANGE pg 07 I TEOREMI DI DE L'HOPITAL pg 09 6 RETTA TANGENTE IN UN PUNTO AD UN GRAFICO ASINTOTI pg 0 7 FUNZIONI MONOTONE DERIVABILI pg 8 FUNEIONI CONVESSE DERIVABI LI pg CAPITOLO 6-INTEGRAZIONE INDEFINITA 6 LA NOZIONE DI PRIMITIVA E L'INTEGRALE INDEFINITO pg 9 6 INTEGRAZIONE INDEFINITA DELLE FUNZIONI RAZIONALI pg 6 INTEGRAZIONE INDEFINITA PER PARTI pg 6 6 INTEGRAZIONE INDEFINITA PER SOSTITUZIONE pg CAPITOLO 7-CENNI SULLA TEORIA DELL'INTEGRALE SECONDO RIEMANN 7 ALCUNI SOTTOINSIEMI DI R pg 7 CENNI SULLA MI SURA SECONDO PEANO-JORDAN pg 7 DEFINIZIONE DI INTEGRALE pg 9 7 MISURABILITA' DELL' INSIEME NORMALE pg 7 IL CASO DELLE FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE pg INDICE ANALITICO pg 9

3 CAPITOLO 0 PREREQUISITI 0 PRELIMINARI Nel seguto c cpterà spesso d prlre d sem o qu o dremo l defoe d seme m c lmteremo d llustrre co qulche esempo l'tutv ooe d seme Soo esemp d sem:() " 0 "; (b) "le utovetture che u fssto goro soo d propretà d persoe resdet BARI"; (c) " umer ter postv" e (d) " umer ter" Gl oggett che cocorroo formre u seme s chmo che gl elemet dell'seme per e- sempo è u elemeto s d () che d (c) che d (d) metre o è elemeto d (b) Se u seme è costtuto d u umero o troppo grde d elemet llor gl oggett che cocorroo costturlo possoo essere fclmete elect o descrtt medte propretà dtte d dvdurl questo cso l'seme lo deoteremo scrvedo fr pretes grffe l'eleco d tutt suo elemet o u eleco completo d propretà dtte d dvdure tutt e sol suo elemet Per esempo l'seme () lo deoteremo col smbolo { 0} così se ell'mbto d u determto gruppo d persoe om Atoo Mr Adele Alessdro Mchele e Guseppe dvduo oguo u sol perso del gruppo cosderto l scrttur {Atoo Mr Adele Alessdro Mchele Guseppe} deot l'seme costtuto d tutte e sole le persoe del suddetto gruppo dvdute d om elect I geerle se è u umero tero postvo ed cmete oggett l scrttur { } soo smbol che dvduo uvo- deot l'seme costtuto d tutt e sol quegl elemet u- vocmete dvdut d smbol Se or tetssmo d rppresetre co l otoe sopr trodott l'seme (b) c troveremmo ser dffcoltà dto che dovremmo elecre per esempo smbol delle trghe d ogu delle utovetture che cocorroo formrlo fe c troveremmo ell'mpossbltà d rppresetre co l otoe sopr trodott s l'seme (c) che l'seme (d) dto che cocorroo ft elemet per costture oguo de due sem questoe I questo cso scrveremo: { utovettur che u fssto goro è d propretà d persoe resdet BARI} { umero tero postvo} e { umero tero} per deotre rspettvmete gl sem (b) (c) e (d) I geerle l scrttur {} dove l posto de put è scrtt u propretà dtt d dvdure tutt e sol gl elemet d u seme st deotre l'seme costtuto d tutt e sol quegl elemet dvdut dll propretà " " S ot che ell otoe or trodott dopo l e prm dell vrgol può essere deott qulche ltr otoe tedete meglo dvdure l'seme Per dcre gl sem useremo geerlmete le lettere muscole dell'lfbeto lto metre co le lettere muscole dello stesso lfbeto lto dcheremo geerlmete elemet DEF0 (APPARTENENZA) So: A u seme ed u elemeto Per dre che è u elemeto d A scrveremo A scrttur che s legge pprteete d A o equvletemete è u elemeto d A L scrttur A st deotre che o è u elemeto d A e s legge o pprteete d A oequvletemete o è u elemeto d A E' vlso l'uso d deotre sempre co u stess letter lcu sem d frequete mpego per e- sempo l'seme { umero tero postvo} s deot co l letter N e s chm l'seme de umer ter postv o equvletemete l'seme de umer turl e coseguetemete gl elemet d N s chmo umer ter postv o umer turl e l'seme { umero tero} s deot co l letter Z e s chm l'seme de umer ter e coseguetemete gl elemet d Z s chmo umer ter

4 E' che opportuo perché comodo trodurre qu l'seme prvo d elemet che s deot col smbolo e prede l ome d seme vuoto DEF0 (QUANTIFICATORI) Nel seguto l frse "per og" srà spesso deott col smbolo cu s dà l ome d qutfctore uversle e l frse "esste lmeo u" srà deott col smbolo cu s dà l ome d qutfctore esstele DEF0 (UGUAGLIANZA) So: A u seme ed ed due elemet d A L scrttur st deotre che co due smbol ed bbmo dcto lo stesso elemeto d A e s legge ugule d L scrttur st deotre che co smbol ed bbmo dcto due elemet dstt d A e s legge dverso d o equvletemete o ugule d DEF0 (INCLUSIONE) So: A e B due sem S dce che B è cluso A o equvletemete che B è u prte d A o cor che B è u sottoseme d A o fe che A clude B e s scrve B A se og elemeto d B è che elemeto d A L scrttur B A st deotre che B o è cluso A e coè che esste lmeo u elemeto d B che o pprtee d A Nel seguto srà opportuo rppresetre gl sem medte fgure geometrche del po delmtte d u curv semplce chus ed loro elemet trmte put del po stut ll'tero d tl curve (dgrmm d VENN) Co quest coveoe ell fgur 0 soo rppresett tre sem: A B e C co C cluso B e B cluso A Dll fgur 0 s vede mmedtmetecome del resto è fcle dmostrreche queste potes C è cluso che A coseguetemete possmo sserre che l'clusoe gode dell propretà trstv e coè s h che se A B e C soo tre sem e rsult: C B e B A llor rsult pure C A DEF0 (UGUAGLIANZA) So: A e B due sem S dce che A è ugule B e s scrve A B se og elemeto d B è elemeto d A ed og elemeto d A è elemeto d B o equvletemete se è B A ed A B L scrttur A B che s legge A dverso d B o equvletemete A o ugule B st deotre che A e B soo due sem dvers e coè che rsult B A oppure A B DEF06 (INCLUSIONE STRETTA) So: A e B due sem S dce che B è cluso strettmete A o equvletemete che B è u prte propr d A o cor che B è u sottoseme propro d A o fe che A clude strettmete B e s scrve B A se B è cluso A e B è dverso d A o equvletemete se og elemeto d B è elemeto d A ed esste lmeo u elemeto d A che o pprtee B L scrttur B A B A st deotre che B o è cluso strettmete A e coè che o B A oppure che DEF07 (UNIONE) So: S u seme ed A e B due prt d S

5 S dce uoe d A e B e s deot col smbolo A U B l sottoseme d S: A U B S A o B (Nell fgur 0 l prte trtteggt rppreset l'seme A U B ) { } È mmedto reders coto che è: A U B B U A coè l'uoe gode dell propretà commuttv - oltre è evdete che se X è u prte d S rsult: X U X X ed X U X Se A B e C soo tre sottosem d S è fcle reders coto che rsult: ( A B) U C A U ( B U C) U coè l'uoe gode dell propretà ssoctv coseguetemete vrtù dell propretà commuttv possmo scrvere l'seme ( A U B) U C se pretes e qud porre: A U B U C { S A o B o ll'seme A U B U C s dà l ome d uoe d A B e C C} Pù geerle se è u umero tero postvo ed X X X X X X e s deot col smbolo X U X U U X o col smbolo U { S X o X o o X } { S { } tle che } X soo prt d S s dce uoe d X l sottoseme d S: DEF08 (INTERSEZIONE) So: S u seme ed A e B due prt d S S dce terseoe d A e B e s deot col smbolo A I B l sottoseme d S : A I B S A e B (Nell fgur 0 l prte trtteggt rppreset l'seme A I B ) { } È mmedto reders coto che è: A I B B I A coè l'terseoe gode dell propretà commuttv oltre se X è u prte d S rsult: X I X X ed X I Se A B e C soo tre sottosem d S è fcle reders coto che rsult: ( A B) I C A I ( B I C) I coè l'terseoe gode dell propretà ssoctv coseguetemete vrtù dell propretà commuttv possmo scrvere l'seme ( A I B) I C se pretes e qud porre: A I B I C { S A e B e ll'seme A I B I C s dà l ome d terseoe d A B e C d S C} Pù geerle se è u umero tero postvo ed X X soo prt d S s dce terseoe X X X e s deot col smbolo: X I X I I X X o col smbolo I { S X e X e X } { S { } } : X X l sottoseme d E' che mmedto reders coto che se è u umero tero postvo ed A X X X soo prt d S rsult: A U I X I( A U X ) U U ed A I X ( A I X ) DEF09 (INSIEMI DISGIUNTI) So: S u seme ed A e B due prt d S S dce che A e B soo dsgut se o ho elemet comue o equvletemete se (Nell fgur 0 soo rppresett due sem dsgut) A I B DEF00 (RICOPRIMENTI E PARTIZIONI) So: S u seme ed A u prte d S

6 S dce rcoprmeto fto d A og seme { X X } U X d S tl che rsult: A S dce prtoe ft d A og seme { X X } X costtuto d u umero fto d prt X costtuto d u umero fto d prt d S U X tutte o vuote due due dsgute e tl che rsut: A (Nell fgur 0 è rppresetto u seme A ed u prtoe d A costtut d quttro sottosem d S : X X X ed X ) DEF0 (COMPLEMENTO) So: S u seme ed A u prte d S S dce complemeto d A e s deot col smbolo -A l sottoseme d S costtuto d tutt e sol gl e- lemet d S o pprteet d A e qud è: A { S A} (Nell fgur 06 l prte trtteggt rppreset l'seme -A) DEF0 (COMPLEMENTO RELATIVO) So: S u seme ed A e B due prt d S S dce complemeto reltvo d B rspetto d A e s deot col smbolo A-B quel sottoseme d S costtuto d tutt e sol quegl elemet d S che pprtegoo d A e o pprtegoo B e qud possmo scrvere: A B { S A e B} coseguetemete è: A B A I ( B) (Nell fgur 07 l prte trtteggt rppreset l'seme A-B) DEF0 (PRODOTTO CARTESIANO O COMBINATORIO) So: S e T due sem o vuot Se s è u elemeto d S e t è u elemeto d T ll'seme { s } { s t } s dà l ome d copp ordt d prm coordt o scss s e secod coordt o ordt t e s deot col smbolo ( s t) S dce prodotto crteso d S per T o prodotto combtoro d S per T e s deot col smbolo S T quell seme cu elemet soo tutte e sole le coppe ordte d prm coordt S e secod coordt T e qud è: S T {( s t) s S e t T} Se lmeo uo de due sem S e T è vuoto llor s poe: S T S ot che se S e T soo due sem o vuot ed s' ed s" soo due elemet d S e t' e t" soo due e- s t s t equvle dre che è s s e t t lemet d T llor dre che è ( ) ( ) Pù geerle se è u umero tero mggore d due e se S S S soo sem tutt dvers dl vuoto se suppomo d ver defto le (-)-ple ordte d elemet e se s è u elemeto d S s è u elemeto d S ed s è u elemeto d S ll'seme { ( s s s )} {( s s s ) s } s dà l ome d eupl ordt d prm coordt s d secod coordt s e d eesm coordt s e s deot col smbolo ( s s ) s S dce prodotto crteso d S per S per S o prodotto combtoro d S per S per S e s deot col smbolo S S S l'seme cu elemet soo tutte e sole le euple ordte d prm

7 coordt S d secod coordt S e d eesm coordt S e qud è: S S S {( s s s ) s S s S s S } Se lmeo uo degl sem S S S è vuoto llor s poe: S S S è S S llor s poe: Se S è u seme o vuoto e per og elemeto d { } S S S S DEF0l (IMPLICAZIONE ED EQUIVALENZA) Se P e Q soo due propretà frs del tpo:"codoe ecessr ffché s ver P è che s ver Q o equvletemete "Codoe suffcete '' ffché s ver Q è che P s ver" el seguto spesso le deoteremo col smbolo P Q che leggeremo P mplc Q metre frs del tpo: "Codoe ecessr e suffcete ffché Q s ver è che P s ver" o equvletemete "Codoe ecessr e suffcete ffché P s ver e che Q s ver" el seguto spesso le deoteremo co l smbolo P Q che leggeremo P è equvlete Q o equvletemete Q è equvlete P o cor P e Q soo equvlet 0 LE FUNZIONI Comcmo col porre l seguete defoe: DEF0l (DEFINIZIONE DI FUNZIONE) So S e T due sem o vuot S dce che ell'seme S è stt deft u fuoe o u'pplcoe vete vlor ell'seme T se è stt dt u legge che d og elemeto d S f corrspodere uo ed u solo elemeto d T Ad S s dà l ome d seme d defoe o domo dell fuoe f Se è u elemeto d S s dce vlore dell fuoe o vlore che l fuoe f ssume e s deot col smbolo f ( ) quell elemeto d T che f f corrspodere d Nel seguto srà opportuo rppresetre u fuoe f rppresetdo due sem S e T come due sem dsgut u dgrmm d VENN e per og elemeto d S cogugere co u curv semplce pert l puto del po che rppreset S col puto del po che rppreset f ( ) T Così operdo og elemeto d S rsult essere l prmo estremo d u curv semplce pert vete l secodo e- f d T stremo el puto ( ) Se per comodtà deotmo co Γ l'seme cu elemet soo tutte e sole le curve semplc perte del ' '' po che cocorroo rppresetre u fuoe f el modo sopr esposto osservmo che se γ e γ soo ' '' due elemet dstt d Γ llor l prmo estremo d γ è dstto dl prmo estremo d γ metre l secodo ' '' estremo d γ o è detto che s dstto dl secodo estremo d γ ed cor o sempre ccde che og elemeto d T s l secodo estremo d qulche elemeto d Γ (S ved l fgur 0) Per deotre u fuoe f deft S ed vete vlor T useremo come pù c frà comodo u delle seguet tre scrtture: f : S T o f : S f ( ) T oppure cor f ( ) T S che s leggoo rspettvmete: "f deft S ed vete vlor T" "f che ll'elemeto d S ssoc l'elemeto f() d T" e "d ssoc l'elemeto f() d T per og elemeto d S" DEF0 (UGUAGLIANZA FRA FUNZIONI) So: S e T due sem o vuot ed f e g due fuo defte S ed vet vlor T

8 6 f se per og elemeto d S è ( ) ( ) S dce che le fuo f e g soo ugul e s scrve g f g L scrttur f g che s legge f dvers d g st deotre che f e g o soo ugul e coè o che l' seme d defoe d f è dverso dll'seme d defoe d g oppure se f e g soo etrmbe defte el- f g lo stesso seme S che esste lmeo u elemeto d S tle che rsult: ( ) ( ) DEF0 (IMMAGINE ED IMMAGINE RECIPROCA) So: S e T due sem o vuot ed f u fuoe deft S ed vete vlor T Se X è u prte d S col smbolo f(x) deoteremo l'seme { T X : f ( ) } cu s dà l ome d mmge d X trmte f o seme de vlor che f ssume X Se Y è u prte d T col smbolo f ( Y ) deoteremo l'seme { S f ( ) Y} cu s dà l ome d mmge recproc d Y trmte f o d tmmge d Y trmte f DEF0 (FUNZIONI BIUNIVOCHE) So: S e T due sem o vuot ed f u fuoe deft S ed vete vlor T S dce che f è buvoc o ettv se per og copp ( ) d elemet d S se è llor è pure f ( ) f ( ) o equvletemete se per og elemeto d T esste l pù u elemeto d S tle che f rsult: ( ) S osserv che se f è buvoc llor e solo llor comuque s predoo due elemet dstt d Γ quest ho s prm estrem che secod estrem dstt DEF0 (FUNZIONI SU) So: S e T due sem o vuot ed f u fuoe deft S ed - vete vlor T S dce che f è su T o surettv se è f ( S) T o equvletemete se per og elemeto d T esste f lmeo u elemeto d S tle che rsult: ( ) S osserv che se f è su T llor e solo llor comuque s prede u elemeto d T questo è l secodo estremo d lmeo u elemeto d Γ DEF06 (FUNZIONI INVERTIBILI) So: S e T due sem o vuot ed f u fuoe deft S ed vete vlor T S dce che f è vertble o bettv se è buvoc e su T o equvletemete se per og elemeto f d T esste uo ed u solo elemeto d S tle che rsult: ( ) S osserv che se f è vertble llor e solo llor comuque s prede u elemeto d T questo è l secodo estremo d uo ed u solo elemeto d Γ DEF07 (FUNZIONE INVERSA DI UNA FUNZIONE INVERTIBILE) So: S e T due sem o vuot ed f u fuoe deft S ed vete vlor T Se f è vertble llor l fuoe T S tle che rsult f ( ) prede l ome d fuoe vers dell fuoe f e s deot col smbolo f S osserv che se f è u fuoe vertble per og elemeto ( ) d S T è: ( f ( ) ) f ( ) ( ) DEF08 (RESTRIZIONE E PROLUNGAMENTI) So: S e T due sem o vuot ed f u fuoe deft S ed vete vlor T Se X è u prte o vuot d S llor ll fuoe X f ( ) T s dà l ome d restroe d f d X e s deot col smbolo f X

9 7 Se Σ è u seme che clude S e se g è u fuoe deft Σ ed vete vlor T s dce che g è u prolugmeto d f su Σ se è g f g f o equvletemete se per og elemeto d S è ( ) ( ) S S osserv che se f è u fuoe deft S ed X è u prte o vuot d S llor per og elemeto f X f d X è ( ) ( ) DEF09 (FUNZIONI BIUNIVOCHE IN X FUNZIONI SU T IN X E FUNZIONI INVERTI- BILI IN X) So: S e T due sem o vuot f u fuoe deft S ed vete vlor T ed X u prte o vuot d S S dce che f è buvoc X se l restroe d f d X è buvoc S dce che f è su T X se l restroe d f d X è su S dce che f è vertble X se l restroe d f d X è vertble DEF0l0 (FUNZIONI COMPOSTE) So: ST ed U tre sem o vuot f u fuoe deft S ed vete vlor T e g u fuoe deft T ed vete vlor U S dce fuoe compost d g e d f e s deot col smbolo g o f l fuoe S g( f ( ) ) U (s ved l fgur 0) D otevole teresse è l seguete proposoe: g o 0 So:S T ed U tre sem o vuot f u fuoe deft S ed vete vlor T e g u fuoe deft T ed vete vlor U Se f e g soo etrmbe buvoche llor che l fuoe g o f è buvoc Se f è su T e g è su U llor l fuoe g o f è su U Coseguetemete se f e g soo etrmbe vertbl llor che l fuoe g o f è vertble e r- sult: ( g f ) f o S osserv che se S e T soo due sem o vuot ed f è u fuoe vertble deft S ed vete f f T f f o : ed f o f : ( ) T vlor T llor s possoo cosderre le due fuo: ( ) S f ( f ( ) ) S lcu dffcoltà dmostrre che per og elemeto d T è: f ( f ( ) ) f ( f ( ) ) ed l Lettore teedo presete l'equvle scrtt dopo l defoe 07 o vrà e per og elemeto d S è: 0 L INSIEME DEI NUMERI REALI Uo de mod per pervere ll costruoe dell'seme de umer rel R cosste el costrure per prm l'seme N de umer ter postv e prosegure qud costruedo successvmete l'seme Z de umer ter l'seme Q de umer rol d que umer coè che possoo scrvers sotto form d froe vete l deomtore tero postvo ed l umertore tero ed fe l'seme R de umer rel No qu o effettueremo tl costruo m c lmteremo supposto costruto l'seme R mettere evde le prcpl propretà de umer rel

10 8 Comcmo col rcordre che R soo defte due opero: l somm che d og copp ( b) d umer rel ssoc u ltro umero rele che s deot col smbolo b e s chm l somm d e b ed l prodotto che d og copp ( b) d umer rel ssoc u ltro umero rele che s deot col smbolo b e s chm l prodotto d e b L somm ed l prodotto R godoo delle seguet propretà: 0 Se e b soo due umer rel llor è: b b somm (rsp propretà commuttv del prodotto) ( b b) rsp propretà commuttv dell 0 Se b e c soo tre umer rel llor è: ( b) c ( b c) ( rsp ( b) c ( bc) ) ssoctv dell somm (rsp propretà ssoctv del prodotto) 0 Se b e c soo tre umer rel llor è: ( b c) b c propretà dstrbutv del prodotto rspetto ll somm propretà 0 Esstoo due sol umer rel dstt 0 (ero) ed l (uo) tl che per og umero rele rsul- 0 ed 0 s chm l'elemeto eutro dell somm ed l'elemeto eutro del prodotto t: 0 Per og umero rele esste u solo umero rele tle che rsult: 0 s chm l'opposto d e s deot col smbolo - 06 Per og umero rele dverso d ero esste u solo umero rele tle che rsult: s chm l recproco d e s deot co uo de seguet tre smbol: o Nell'seme R de umer rel come è oto è deft u reloe d'orde che s deot col smbolo che s legge more o ugule e gode delle seguet propretà: 07 Per og umero rele è: propretà rflessv 08 Se e b soo due umer rel e rsult b e b llor è b 09 Se b e c soo tre umer rel e rsult b e b c llor è c propretà smmetrc propretà trstv DEF00 (DISUGUAGLIANZA STRETTA) So: e b due umer rel Se è llor s dce che è more d b e s scrve < b b ed b L ooe d dsugugl strett c permette d mettere evde l seguete ltr propretà d R: 0 Se e b soo due umer rel llor s verfc u ed u soltto delle seguet tre evetul- < b o b o > b tà: Se b e c soo tre umer rel vrtù delle propretà 0 e 0 umer rel ( b) c ( b )c s possoo scrvere pù semplcemete se pretes poedo: ( b) c b c ( b ) c bc Pù geerle se è u umero tero mggore d uo ed somm (rsp prodotto) d ed ed soo umer rel s dce l umero rele ( ) (rsp ( ) ) e s deot co uo de seguet smbol: o (rsp o )

11 9 Dlle propretà f qu electe coseguoo le seguet ltre che vo sotto l ome d propretà forml delle dsugugle: 0 Se e b soo due umer rel è: ( b > 0) ( ( > 0 e b > 0) oppure ( < 0 e b < 0) 0 Se e b soo due umer rel è: ( b 0) ( 0 oppure b 0) ) 0 Se b e c soo tre umer rel è: ( b) ( c b c) ed ( b) ( c < b c) 0 So: b e c tre umer rel Se è > 0 b c bc Se è < 0 b c bc c llor è: ( ) ( ) ed ( b) ( c < bc) c llor è: ( ) ( ) ed ( b) ( c > bc) < < < DEF06 (VALORE ASSOLUTO) Se è u umero rele s dce vlore ssoluto d e s deot col smbolo l umero rele se è 0 l umero rele - se è < 0 S possoo dmostrre le seguet proposo: 07 Se è u umero rele è: 0 e ( 0 ) ( 0) 08 Se è u umero rele ed h u umero rele postvo è: ( h) ( h h) ( < h) ( h < < h) Coseguetemete è: ( > h) ( < h o > h) e ( h) ( h o h) 09 Se e b soo due umer rel è: b b e b b e d l'pplcoe ( ) DEF00 (METRICA EUCLIDEA IN R) S chm metrc euclde R e s deot col smbolo R l vlore d ( ) s chm dst (euclde) d d d d ( ) Teedo preset le proposo 07 e 09 s dmostr fclmete che l fuoe d gode delle seguet propretà: 0 Se ed soo due umer rel llor è: d ( ) d( ) e rsult: ( d ( ) 0) ( ) (dsugugl trgolre) 0 Se e soo tre umer rel llor è: d ( ) d ( ) d ( ) 0 (RAPPRESENTAZIONE DELL'INSIEME R SULLA RETTA) Su u rett r del po fssmo due put dstt 0 (orge) ed U (puto utà) deotmo qud co r l sottoseme d r costtuto d tutt e sol gl elemet d r che pprtegoo ll semrett d r co orge 0 che cotee l puto U (s ved l fgur 0) e se P è u puto d r deotmo co 0 P l lughe del segmeto d estrem 0 e P ssumedo ugule d uo l lughe del segmeto d estrem 0 ed U 0P se P r Cò premesso cosdermo l fuoe τ : P r 0P se P r È mmedto reders coto che

12 0 τ è u fuoe buvoc d r sull'seme de umer rel R τ s dà l ome d rppresetoe dell'seme R de umer rel sull rett r co orge 0 e puto utà U I questo modo fsst sull rett r due put dstt 0 ed U o come suole drs fssto sull rett r u rfermeto d orge 0 e puto utà U d og puto P d r rest ssocto u umero rele tle umero rele s dà l ome d scss d P (per esempo l'scss d 0 è ero e l'scss d U è uo)vcevers se è u umero rele esste u solo puto d r vete per scss Per quest rgoe u volt fssto su r u rfermeto o prleremo dfferetemete d umer rel o d put dell rett r S osserv che su r soo rppresett tutt e sol umer rel mggor o ugul ero coseguetemete sull semrett r r soo rppresett tutt e sol umer rel mor d ero S osserv cor che se ed soo due umer rel ed è more d llor l segmeto d estrem ed è oretto ello stesso modo cu è oretto l segmeto d r d estrem 0 ed U Spesso qudo s fss u rfermeto sull rett r l puto utà U o s seg esplctmete tle cso per deotre su qule delle due semrette d r co orge 0 è posoto l puto utà U s suole desgre tle semrett ppoedo u frecc così come dcto ell fgur 0 I fe qudo s fss u rfermeto sull rett r può ometters che d desgre l puto orge 0 così come è stto ftto ell fgur 0 Osservmo or che se A e B soo due put d r ed A s trov ll sstr d B (s ved l fgur 0) llor se su r o soo desgt put 0 ed U queste potes possmo solo dre che l'scss d A è more dell'scss d B se vece su r è rportto l puto 0 llor possmo che dre qule è l sego dell'scss d A e dell'scss d B fe se su r è rportto s l puto 0 che l puto U llor possmo dre qule è l'scss d A e qule è l'scss d B Osservmo fe che se A e B soo due put d r l prmo d scss ed l secodo d scss b l- AB d b lor è: ( ) b DEF0 (INTERVALLI LIMITATI DI R) So e b due umer rel R b s dà l ome d tervllo chuso e lmtto d R d prmo estremo e se- All'seme { } codo estremo b e s deot col smbolo [ b] All'seme { R < < b} s dà l ome d tervllo perto e lmtto d R d prmo estremo e secodo estremo b e s deot col smbolo ] b[ All'seme { R < b} s dà l ome d tervllo superormete semperto e lmtto d R d prmo estremo e secodo estremo b e s deot col smbolo [ b[ All'seme { R < b} s dà l ome d tervllo ferormete semperto e lmtto d R d prmo estremo e secodo estremo b e s deot col smbolo ] b] S osserv che se è b b b b > llor rsult: [ b] ] b[ [ b[ ] b] ed ] [ [ [ ] ] e se è b rsult: [ b] { } Se suppomo <b llor elle quttro fgure che seguoo soo rppresett rspettvmete l'tervllo chuso e lmtto l'tervllo perto e lmtto l'tervllo superormete semperto e lmtto e l'tervllo ferormete semperto e lmtto d R d prmo estremo e secodo estremo b

13 Se or troducmo due seguet smbol: seguete ltr defoe: (pù fto) e (meo fto) possmo porre l DEF0 (INTERVALLI NON LIMITATI DI R) S u umero rele R s dà l ome d tervllo chuso e o lmtto superormete d R d e- All'seme { } stremo e s deot col smbolo [ [ All'seme { R > } s dà l ome d tervllo perto e o lmtto superormete d R d estremo e s deot col smbolo ] [ All'seme { R } s d l ome d tervllo chuso e o lmtto ferormete d R d estre- R < s dà l ome d tervllo perto e o lmtto ferormete d R d estre- mo e s deot col smbolo ] ] All'seme { } mo e s deot col smbolo ] [ Nelle quttro fgure che seguoo soo rppresett rspettvmete l'tervllo chuso e o lmtto superormete d R d estremo l'tervllo perto e o lmtto superormete d R d estremo l'tervllo chuso e o lmtto ferormete d R d estremo e l'tervllo perto e o lmtto ferormete d R d estremo Dcmo fe che s poe: ] [ R e che qud R è l'uco tervllo d R o lmtto ferormete e o lmtto superormete No è dffcle covcers che sussste l seguete proposoe: 06 S I u prte o vuot d R Codoe ecessr e suffcete ffché I s u tervllo d R è che per og copp ordt b d R s cluso I ( b) d elemet d I l'tervllo chuso e lmtto [ ] DEF07 (SOTTOINSIEMI DI R DOTATI DI MINIMO O DI MASSIMO) S X u prte o vuot d R S dce che X è dott d mmo (rsp dott d mssmo) se esste u elemeto d X more o ugule (rsp mggore o ugule) d og elemeto d X se u tle elemeto esste è evdetemete uco e s chm l mmo (rsp l mssmo) d X o l prmo elemeto (rsp l'ultmo elemeto) d X o cor l pù pccolo elemeto (rsp l pù grde elemeto) d X e s deot col smbolo mx (rsp mx) DEF08 (SOTTOINSIEMI DI R LIMITATI INFERIORMENTE O LIMITATI SUPERIORMENE) S X u prte o vuot d R S dce che X è lmtt ferormete (rsp lmtt superormete) se esste u umero rele more o ugule (rsp mggore o ugule) d og elemeto d X se u tle elemeto esste s dce morte (rsp mggorte) d X S dce che X è lmtt se è lmtt s ferormete che superormete S ot che se X è lmtt ferormete (rsp lmtt superormete) llor mmette ft mort (rsp mggort) ftt og umero rele more (rsp mggore) d u morte (rsp d u mggorte) d X è cor u morte (rsp mggorte) d X S ot cor che se X è dott d mmo (rsp mssmo) llor X è lmtt ferormete (rsp lmtt superormete)

14 U'ltr propretà d cu gode l'seme R de umer rel è l seguete: 09 Se X è u prte o vuot d R lmtt ferormete (rsp lmtt superormete) llor esste l pù grde de mort (rsp l pù pccolo de mggort) d X Quest propretà d R permette d porre l seguete defoe: DEF00 (ESTREMO INFERIORE ED ESTREMO SUPERIORE DI UN SOTTOINSIEME DI R) S X u prte o vuot d R Se X è lmtt ferormete (rsp lmtt superormete) llor l mssmo de mort (rsp l mmo de mggort) d X s dce l'estremo ferore (rsp l'estremo superore) d X e s deot col smbolo f X (rsp sup X ) Se X è o lmtto ferormete (rsp o lmtto superormete) llor s dce che (rsp ) è l'estremo ferore (rsp l'estremo superore) d X e qud s scrve: f X (rsp sup X ) DEF0 (SOTTOINSIEMI SEPARATI DI R) So: A e B due prt o vuote d R S dce che A e B soo due prt seprte d R se og elemeto d A è more o ugule d og elemeto d B o equvletemete se è sup A f B Se A e B soo due prt seprte d R llor d A s dà l ome d prte sottostte ed B s dà l ome d prte sovrstte e d og elemeto dell'tervllo [ sup A f B] d R s dà l ome d elemeto seprtore delle prt A e B DEF0 (SOTTOINSIEMI CONTIGUI DI R) So: A e B due prt o vuote d R Se A e B soo due prt seprte d R ed A è l prte sottostte llor s dce che A e B soo due prt cotgue d R se è sup A f B o equvletemete se A e B ho u solo elemeto seprtore Al fe d dvdure R sottosem N Z e Q pomo l seguete defoe: DEF0 (SOTTOINSIEMI INDUTTIVI DI R) S X u prte o vuot d R S dce che X è u sottoseme duttvo d R se gode delle seguet due propretà: α ) pprtee d X β ) Se pprtee d X llor che pprtee d X DEF0 (INDIVIDUAZIONE DI N) N è quel sottoseme duttvo d R che è cluso og ltr prte duttv d R o equvletemete N è quel sottoseme duttvo d R che o clude proprmete lcu prte duttv d R DEF0 (INDIVIDUAZIONE DI Z) Z è quel sottoseme d R cu elemet soo tutt e sol gl elemet d N lo ero e gl oppost degl elemet d N o equvletemete possmo dre che è: Z R N : o { } DEF06 (INDIVIDUAZIONE DI Q) Q è quel sottoseme d R cu elemet soo tutt e sol que umer rel che possoo scrvers sotto form d froe m co m pprteete Z ed pprtee- Q R m Z ed N : m te d N o equvletemete possmo dre che è : { } Prm d pssre d elecre le prcpl propretà d N osservmo che se e b soo due umer ter postv llor b ed b soo cor due umer ter postv metre umer b ed b o sempre pprtegoo d N e pomo qud l seguete defoe: DEF07 (NUMERI PRIMI) S u umero tero postvo S dce che è u umero prmo se è dvsble solo per se stesso e per uo

15 08 (PRIMA PROPRIETA' DI N) L'seme de umer prm è costtuto d ft elemet 09 (SECONDA PROPRIETA' DI N) Og umero tero postvo o prmo può essere scrtto u solo modo come prodotto d u umero fto d umer prm 00 (TERZA PROPRIETA' DI N) Se X è u prte o vuot d Nllor X è dott d mmo oltre se X è costtut d u umero fto d elemet llor X è dott che d mssmo vece se X è costtut d ft elemet llor X è o lmtt superormete o cò che è lo stesso è: sup X Prm d pssre d elecre le prcpl propretà d Z osservmo che se e b soo due umer ter llor b b ed b soo cor tre umer ter metre se b è dverso d ero b o sempre pprtee Z 0 (PRIMA PROPRIETA' DI Z) Per og copp ( b) d umer rel l'seme [ b] I Z vuoto o è costtuto d u umero fto d elemet o è 0 (SECONDA PROPRIETA' DI Z) Per og elemeto d Z è: ] [ I Z ] [ I Z L prm propretà d Z suggersce d porre l seguete defoe: e DEF0 (PARTI LOCALMENTE FINITE) So: I u tervllo d R costtuto d pù d u puto ed Y u prte d I S dce che Y è u prte d I loclmete ft I se per og copp ( b) d elemet d I etrmb dvers dgl estrem d I l'seme ] b[ I Y o è vuoto o è costtuto d u umero fto d elemet Prm d pssre d elecre le prcpl propretà d Q osservmo che se e b soo due umer rol llor b b ed b soo cor tre umer rol ed oltre se b è dverso d ero che b è u umero role pomo qud l seguete defoe: DEF0 (RADICE ENNESIMA) So: u umero rele mggore o ugule ero ed u e- lemeto d N S dce rdce eesm d e s deot col smbolo quel umero rele se esste mggore o ugule ero e tle che rsult: Rcordmo che se è llor s poe: Notmo or che è possble dmostrre l seguete proposoe: 0 Se ed m soo due umer ter postv llor l rdce eesm d m o è u umero tero postvo oppure se o pprtee d N llor pprtee d R-Q S osserv che l proposoe 0 fferm che per esempo umer 7e 9 o soo rol Dll proposoe 0 cosegue l seguete propretà d Q: 06 (PRIMA PROPRIETA' DI Q) Nell'seme Q de umer rol o sempre è possble effetture l rdce eesm 07 (SECONDA PROPRIETA' DI Q) Esstoo prt d Q o vuote e lmtte ferormete (rsp superormete) che ho estremo ferore (rsp estremo superore) o role

16 Per covcers d quto ffermto ell secod propretà d Q l Lettore fcc vedere che l'seme I h estremo ferore ugule ed estremo superore ugule [ ] Q 08 (TERZA PROPRIETA' DI Q) Per og copp ( b) u umero role c pprteete ll'tervllo ] b[ d umer rel se è < b llor esste S osserv che l ter propretà d Q grtsce che se e b soo due umer rel e se è b I è costtuto d ft elemet l'seme ] [ Q < b llor L ter propretà d Q suggersce d porre l seguete defoe: DEF09 (PARTI DENSE) So: I u tervllo d R costtuto d pù d u puto ed Y u prte d I S dce che Y è u prte d I des I se per og copp ( b) d elemet d I se è < b llor esste u elemeto c d Y pprteete ll'tervllo ] b[ o equvletemete se per og copp ( b) d elemet d I se è < b llor l'seme ] b[ I Y è costtuto d ft elemet Osservmo or che l propretà 09 d R permette d dmostrre l seguete proposoe: 00 So: u umero tero postvo ed u umero rele mggore o ugule ero Esste uo ed u solo umero rele mggore o ugule ero che è l rdce eesm d 0 (PRINCIPALI REGOLE DI CALCOLO CON LE RADICI ENNESIME) Se è u ume- m m ro rele mggore o ugule ero ed ed m soo due umer ter postv llor è: ( ) m m m m m m e Se ed soo due umer rel mggor o ugul ero ed è u umero tero postvo è: e se è mggore d ero llor è pure: Per complete chudmo questo prgrfo eucdo l seguete proposoe: 0 Per og copp ( b) d umer rel se è < b llor esste u elemeto c d R Q pprteete ll'tervllo ] b[ o equvletemete R-Q è u prte d R des R 0 POTENZA DI UN BINOMIO Come è oto se e b soo due umer rel è: ( b) b b ed ( b) b b b o qu d seguto dremo u formul che serve clcolre ( b) qudo è u qulss umero tero postvo A questo scopo bbmo bsogo d porre le seguet due defo: DEF0 (FATTORIALE DI UN NUMERO INTERO) S u umero tero mggore o ugule ero S dce fttorle d e s deot col smbolo! l umero tero se è 0 o l prodotto de prm umer ter postv se è mggore d uo ( ) DEF0 (COEFFICIENTE BINOMIALE) So: ed h due umer ter mggor o ugul ero co h S dce coeffcete bomle d prmo dce e secodo dce h e s deot col smbolo l u- h

17 mero tero postvo:! h! ( h)! S osserv che comodo per l clcolo de coeffcet boml co prmo dce o molto grde è l trgolo sopr rportto dove ell prm rg s legge l coeffcete bomle d prmo dce 0 ell secod rg s leggoo ell'orde due coeffcet boml d prmo dce e secodo dce 0 o l ell ter rg s leggoo ell'orde tre coeffcet boml d prmo dce e secodo dce 0 o l o e così d seguto Smo or grdo d eucre l seguete proposoe: 0 (FORMULA DEL BINOMIO DI NEWTON) Se è u umero tero postvo ed e b soo h h b b b b b 0 h 0 h due umer rel llor è: ( ) 0 QUALCHE CENNO SUI POLI NOMI Comcmo col porre l seguete defoe: DEF0l (LA FUNZIONE POLINOMIO) So: u umero tero mggore o ugule ero ed 0 umer rel co 0 dverso d ero L fuoe h R 0 R s chm fuoe polomle d grdo o pù semplcemete polomo d grdo h 0 h I umer rel 0 s chmo coeffcet del polomo È possble dmostrre l seguete proposoe: 0 (PRINCIPIO DI IDENTITÀ DEI POLINOMI) So: ed m due umer ter mggor o h mh ugul ero p( ) h u polomo d grdo e q( ) b h h 0 h 0 Codoe ecessr e suffcete ffché per og umero rele rsult ( ) q( ) m e per og elemeto h d { } b 0 rsult: h h Pomo or l seguete ltr defoe: m u polomo d grdo m p è che s: DEF0 (SOLUZIONE REALE DI UN'EQUAZIONE POLINOMIALE) So: u umero tero postvo p u polomo d grdo ed α u umero rele S dce che α è uo ero rele del polomo p o equvletemete che α è u rdce rele dell'e- p o cor che α è u soluoe rele dell'equoe p ( ) 0 se rsult: p ( α ) 0 quoe ( ) 0 È or possble dmostrre l seguete proposoe: 0 So: u umero tero postvo p u polomo d grdo ed α u umero rele

18 6 Codoe ecessr e suffcete ffché α s u rdce rele dell'equoe ( ) 0 polomo p s dvsble per l polomo R α p mmette l pù rdc rel Coseguetemete l'equoe ( ) 0 p è che l Smo or grdo d studre le equo e le dsequo poloml d prmo e secodo grdo: 0 (EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI DI PRIMO GRADO) Se è u umero rele dverso d ero e b è u umero rele essedo: b 0 b b possmo sserre che: l ) L'equoe b 0 mmette u sol soluoe rele: b Osservdo or che essedo: b > 0 b < 0 ed b 0 b 0 o s lede l geerltà se suppomo mggore d ero quest potes rsultdo: b > 0 > b > > b e teedo presete quto ffermto l ) possmo dre che rsult: ) b > 0 ] b [ ) b 0 [ b [ ) b ] b ] ] b ] ) b < [ b [ ] b [ (EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI DI SECONDO GRADO) Se è u umero rele dverso d ero se b e c soo due umer rel e s poe: b c co semplc clcol s pervee ll seguete ugugl: e d qu cosegue fclmete che: b c ( b ) ) ) Se è < 0 l'equoe b c 0 o h lcu rdce rele ) Se è 0 l'equoe b c 0 h u sol rdce rele b e rsult ( b ) b c ) Se è > 0 l'equoe b c 0 ( b ) β e rsult b c ( α )( β ) h due rdc rel dstte ( b ) α e Osservmo or che essedo: b c > 0 b c < 0 ed b c 0 b c 0 o s lede l geerltà se suppomo mggore d ero quest potes teedo presete quto g detto e otdo che è α < β s dmostr fclmete che s h: ) Se è < 0 è: b c > 0 R e coseguetemete rsut: b c 0 b c < 0 R b c 0 R ed e coseguetemete rsult: b c 0 ) Se è 0 è: b c > 0 R { b } R b c 0 ( R { b } ) { b } 6 ) Se è > 0 ed b c < 0 R e coseguetemete rsult: b c è: b c > 0 ] α[ U ] β [

19 ] α ] U [ [ b c 0 ( ] α [ U ] β [ ) [ α β ] (] α ] U [ β [ ) ] α β[ 7 0 β ed b c < 0 Pomo or l seguete ltr defoe: DEF07 (POLINOMI PRIMI) S p u polomo S dce che p è u polomo prmo se p è u polomo d grdo ero se coè p è u fuoe costte o ull deft R se p è u polomo d prmo grdo col coeffcete d ugule d uo o se p è u polomo d secodo grdo col coeffcete d ugule d uo e o vete rdc rel Osservmo or che è possble dmostrre l seguete proposoe: 08 (DECOMPOSIZIONE DEI POLINOMI IN POLINOMI PRIMI) Og polomo o prmo può essere scrtto u solo modo come prodotto d u umero fto d polom prm Per complete rcordmo qu d seguto seguet prodott otevol: 09 (PRODOTTI NOTEVOLI) Per Og copp ( b) ( b) b b b b b b ( )( ) ( )( b b ) ( b b ) 06 CENNI DI GEOMETRIA ANALITICA PIANA d umer rel s h: b ( b) ed b ( b b ) 06 (RAPPRESENTAZIONE DELL'INSIEME R SUL PIANO) Su u po π cosdermo due rette perpedcolr s e t e dcmo 0 l loro puto comue (s ved l fgur 06) cosdermo qud su s u puto U dverso d 0 e l rppresetoe d R su s co orge 0 e puto utà U e su t u puto V dverso d 0 e l rppresetoe d R su t co orge 0 e put utà V e se P è u puto d π dcmo p l'scss del puto che l rett s h comue co l rett prllel ll rett t e psste per P ed p l'scss del puto che l rett t h comue co l rett prllel ll rett s e psste per P Cò premesso cosdermo l fuoe τ : P π ( ) R p p È mmedto reders coto che τ è u fuoe buvoc d π sull'seme delle coppe ordte R d umer rel τ s dà l ome d rppresetoe dell' seme delle coppe ordte d umer rel sul po π co orge 0 e put utà U e V I questo modo fsste su π due rette perpedcolr s e t detto 0 l puto comue d s e t e preso su s u puto U dverso d 0 e su t u puto V dverso d 0 o come suole drs fssto su π u sstem d ss crtes ortogol d orge 0 e put utà U e V d og puto P del po rest ssoct u copp ordt d umer rel ( ) ed s chmo le coordte d P prtcolre s chm l'scss d P ed s chm l'ordt d P vcevers se ( ) è u copp ordt d umer rel esste u puto d π

20 8 vete per scss ed per ordt Per quest rgoe u volt fssto su π u sstem d ss crtes ortogol o prleremo dfferetemete d put d π o d coppe ordte d umer rel Spesso qudo s fss u sstem d ss crtes ortogol sul po π put utà U e V o s sego esplctmete tle cso per deotre le semrette d s e t co orge 0 dove soo ubct rspettvmete puto U e V s suole desgre tl sem rette co u frecc così come dcto ell fgur 06 Dcmo cor che suole drs l ome d prmo qudrte l sottoseme d π cu elemet ho etrmbe le coordte mggor o ugul ero d secodo qudrte l sottoseme d π cu elemet ho l'scss more o ugule ero e l'ordt mggore o ugule ero d tero qudrte l sottoseme d π cu elemet ho etrmbe le coordte mor o ugul ero e d qurto qudrte l sottoseme d π cu elemet ho l'scss mggore o ugule ero e l'ordt more o ugule ero 06 (LUNGHEZZA DI UN SEGMENTO DI R ) Se su u po π è fssto u sstem d ss crtes ortogol e dcmo A ( ) e B ( ) due elemet d π è evdete che (s ved l fgur 06) vrtù del teorem d PITAGORA pplcto l trgolo rettgolo ACB se deotmo co AB l lughe del segmeto d π d estrem A e B è: AB ed osservdo che se è u umero rele rsult: possmo scrvere: AB ( ) ( ) R e s deot col sm- d ( ) bolo DEF06 (METRICA EUCLIDEA IN R ) S chm metrc euclde d l'pplcoe (( ) ( )) R R ( ) ( ) l vlore ( ) ( ) ( ) ( ) d d (( ) ( )) s chm dst (euclde) d ( ) d ( ) Il Lettore o vrà essu dffcoltà per reders coto che l fuoe d gode delle seguet due propretà: d e r- 06 Se ( ) ed ( ) sult: ( d (( ) ( )) 0) (( ) ( )) soo due elemet d ed ( ) ( ) 06 Se ( ) ( ) ( ) ( )) d ( ) ( ) d ( ) (( ) ( )) R è: ( ) ( ) d soo tre elemet d (dsugugl trgolre) R llor è: d ( ) ( ) ) 066 (PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO DI R ) Su u po π s fssto u sstem d ss A e B ( ) due elemet d π È evdete che (s ved l fgur 06) vrtù dell smltude de trgol ACB APM e BQM se crtes ortogol e dcmo ( )

21 9 M è l puto medo del segmeto d estrem A e B llor P è l puto medo del segmeto d estrem A e C e Q è l puto medo del segmeto d estrem C e B coseguetemete se pomo M ( m m ) deve essere: m m ed m m e cò equvle dre che è: m ( ) ed m ( ) per- tto possmo sserre che l puto medo del segmeto d estrem A e B è: (( ) ( ) ) Osservmo or che è possble dmostrre l seguete proposoe: 067 Su u po π s fssto u sstem d ss crtes ortogol e s r u prte d π Codoe ecessr e suffcete ffché r s u rett del po π è che essto tre umer rel d r s: b c 0 b e c co e b o cotemporemete ull tl che per og elemeto ( ) L proposoe 067 or euct legttm l seguete defoe: DEF068 (EQUAZIONE DELLA RETTA) So: π u po su cu è stto fssto u sstem d ss crtes ortogol ed b e c tre umer rel co e b o cotemporemete ull Se pomo: r {( ) R b c 0} llor l'ugugl b c 0 s chm l'equoe dell rett r Osservmo che se b c 0 è l'equoe d u rett r del po π per trccre r su π è suffcete dvdure due elemet dstt d r e coè due coppe ordte dstte d umer rel le cu coordte ed soddsfo l'equoe b c 0 Illustrmo co qulche esempo quto sopr detto: 069 (ESEMPI) Trccre sul po π l rett r d equoe 0 l rett s d equoe 0 0 l rett t d equoe 0 e l rett u d equoe 0 Per trovre u puto A d π pprteete d r bst fssre l vlore d u delle due coordte d A per esempo predmo l prm coordt d A ugule e rsolvere qud ell'cogt l'equoe che s ottee qudo ell'equoe d r s poe cò fcedo s ottee 0 e qud è A ( 0) Per trovre u puto B d π dstto d A ed pprteete d r bst fssre u vlore dell prm coordt (rsp dell secod coordt) d B dverso d (rsp dverso d 0) per esempo predmo l secod coordt d B ugule d l e rsolvere qud ell'cogt l'equoe che s ottee qudo ell'equoe d r s poe cò fcedo s ottee e qud è B ( ) Per trovre due put dstt d π pprteet ll rett t bst osservre che quest ho etrmb l prm coordt ugule metre l secod coordt può essere u qulss umero rele e pertto ( 0) e ( ) è u esempo d put soddsfcet quto rchesto Al Lettore l o dffcle compto d rspodere lle ltre due rcheste Come è oto due put dstt d u po π dvduo u rett d π osservmo qud che è possble dmostrre l seguete proposoe: 060 Se π è u po su cu è stto fssto u sstem d ss crtes ortogol ed A ( ) ( ) soo due put dstt d π llor ( )( ) ( )( ) 0 B e è l'equoe dell ret-

22 0 t d π psste per put A e B DEF06 (FASCIO DI RETTE DI UN PIANO) So: π u po e P u puto d π S dce fsco d rette d cetro P l'seme costtuto d tutte e sole le rette del po π psst per l puto P È mmedto reders coto che sussste l seguete proposoe: 06 So: π u po su cu è stto fssto u sstem d ss crtes ortogol e P ( ) puto del po π Se e b soo due umer rel o etrmb ull llor ( ) b( ) 0 delle rette del fsco d rette d cetro P L proposoe 06 legttm l seguete defoe: u è l'equoe d u DEF06l (EQUAZIONE DEL FASCIO DI RETTE) So: π u po su cu è stto fssto u sstem d ss crtes ortogol e P ( ) u puto d π Se e b soo due umer rel o etrmb ull llor ll'ugugl ( ) b( ) 0 s dà l ome d equoe del fsco d rette d cetro P Rcordmo or che è possble dmostrre l seguete proposoe: 06 (CONDIZIONI DI PARALLELISMO E PERPENDICOLARITÀ) So: π u po su cu è stto fssto u sstem d ss crtes ortogol r l rett d π d equoe b c 0 ed r l rett d π d equoe b c 0 Codoe ecessr e suffcete ffché le rette r ed r so prllele è che esst u umero rele h dverso d ero tle che rsult: h e b hb Codoe ecessr e suffcete ffché le rette r ed r so perpedcolr è che esst u umero rele h dverso d ero tle che rsult: hb e b h Formulmo or l seguete problem: 06 (PROBLEMA l ) Dte su u po π due rette r ed r determre l'seme: r I r Per l problem l sopr formulto possoo presetrs tre evetultà: ) Le due rette r ed r soo prllele e dstte llor è: r I r b) Le due rette r ed r o soo prllele llor l'seme r I r è costtuto d u solo puto c) Le due rette r ed r cocdoo llor è: r I r r r È mmedto reders coto che l problem l è equvlete l seguete ltro problem: 066 (PROBLEMA ) Dt se umer rel: b c b e c determre l'seme delle coppe ordte ( ) d umer rel che soddsfo cotemporemete lle seguet due equo: b c () b c Alle due equo () s dà l ome d sstem d due equo ler elle due cogte ed e d og copp ordt ( ) che soddsf cotemporemete le due equo () s dà l ome d soluoe del sstem () Stte l'ffermt equvle fr problem e lle tre evetultà )b) e c) corrspodero le

23 seguet tre evetultà reltve l sstem (): ) Il sstem () o mmette soluo questo cso dremo che l sstem () è comptble b ) Il sstem () mmette u sol soluoe questo cso dremo che l sstem () è determto c ) Il sstem () mmette fte soluo questo cso dremo che l sstem () è determto Se s verfc l'evetultà b ) o l'evetultà c ) llor dremo pure che l sstem () è comptble Per eucre u proposoe che forsce l soluoe complet del problem è opportuo porre l seguete defoe: b DEF067 Se b c e d soo quttro umer rel porremo: d bc cd Smo or grdo d eucre l seguete proposoe: 068 So: b c b e c se umer rel b Codoe ecessr e suffcete ffché l sstem () s determto è che resc: 0 e b c b b c b tle potes l'uc soluoe del sstem () è: c b b c b b Codoe ecessr e suffcete ffché l sstem () s determto è che resc: 0 b c b c che lmeo uo de umer rel b o b s o ullo e rsult: 0 ed tle potes se per esempo è 0 llor (( c b ) ) è per og umero rele u soluoe del sstem c b c () Coseguetemete codoe ecessr e suffcete ffché l sstem () s comptble è che b c b c resc: 0 e che lmeo uo de due umer rel o s dverso d ero b c b c Pomo or l seguete defoe: DEF06l9 (DISTANZA DI UN PUNTO DA UNA RETTA) So: A u puto del po π r u rett del po π e P l puto che r h comue co l rett perpedcolre d r e psste per A S dce dst del puto A dll rett r e s deot col smbolo d ( A r) l lughe del segmeto d π vete estrem A e P Co semplc clcol s dmostr l seguete proposoe: 060 So: π u po su cu è stto fssto u sstem d ss crtes ortogol A u puto d π ed r u rett d π b c Se è A ( ) e se b c 0 è l'equoe dell rett r llor è: d( A r) b 07 ESERCIZI 07 Se X è u prte o vuot d R llor è: ( f X X m X e m X f X ) X m X e m X sup X ) e ( sup X

24 07 Fr vedere che se e b soo due umer rel rsult: f [ b] f ] b[ f [ b[ f ] b] f [ [ f ] [ e coseguetemete è: m [ b] m [ b[ m[ [ metre gl tervll ] b[ ] b] ed ] [ soo lmtt ferormete m o dott d mmo sup [ b] sup] b[ sup[ b[ sup] b] sup] b] sup] b[ b e coseguetemete è: m[ b ] m ] b] m] b] b metre gl tervll ] b[ [ b[ e ] b[ soo lmtt superormete m o dott d mssmo S osserv fe che è: f ] b ] f ] b[ e sup[ [ sup] [ f [ b] I Q f ] b[ I Q f [ b[ I Q f ] b] I Q f [ [ I Q f ] [ I Q e coseguetemete se è u umero role è: m [ b] I Q m[ b[ I Q m[ [ I Q metre gl sem ] b[ I Q ] b] I Q ed ] [ I Q soo lmtt ferormete m o dott d mmo se vece è u umero o role llor gl sem [ b] I Q ] b[ I Q [ b[ I Q ] b] I Q [ [ I Q ed ] [ I Q soo lmtt ferormete m o dott d mmo sup [ b] I Q sup] b[ I Q sup[ b[ I Q sup] b] I Q sup] b] I Q sup] b[ I Q b e coseguetemete se b è u umero role è: m [ b] I Q m] b] I Q m] b] I Q b metre gl sem ] b[ I Q [ b[ I Q e ] b[ I Q soo lmtt superormete m o dott d mssmo se vece b è u umero o role llor gl sem [ b] I Q ] b[ I Q [ b[ I Q ] b] I Q ] b] I Q ed ]- b[ I Q soo lmtt superormete m o dott d mssmo f b I Q f b I Q e sup [ [ I Q sup] [ I Q S osserv fe che è: ] ] ] [ 07 Cosderte le seguet coppe d prt o vuote d R: ] 0] ed N [ 0] e [ [ Z N N [ [ ed N [ ] e [ 7[ [ 7[ e ] 7 [ I Q [ 0[ ed N [ 0[ I Q ed ] ] I Q Z N e ] [ ed fr vedere che l l l e l soo seprte m o cotgue l l e l 6 soo cotgue e l 7 l 8 e l 9 o soo seprte 07 Fr vedere che è: 0 ] ] < 0 > 0 ] [ 0 [ [ [ 9 [ 7 < 7 < 7 ] [ p è dvsble per l polomo ed effet- 07 Fr vedere che l polomo ( ) ture l dvsoe: p ( ) ( ) Essedo () 0 p l polomo p è dvsble per l polomo e s h: e coseguetemete possmo scrvere: ( )( ) per og umero rele o equvletemete:

25 per og umero rele dverso d uo 076 Effetture l dvsoe del polomo 7 per l polomo s h: e coseguetemete possmo scrvere: ( )( ) per og umero rele o equvletemete: per og umero rele dverso d e d 077 Effetture le seguet dvso: per per per per e dedurre che rsult: ( )( ) per og umero rele o equvletemete: per og umero rele dverso d ( )( ) per og umero rele o equvletemete: per og umero rele dverso d S osserv che essedo l resto ugule ero possmo sserre che è u soluoe dell'equo-

26 8 7 6 e 6 0 ( )( ) o equvletemete per og umero rele per og umero rele o equvletemete: ( )( ) per og umero rele dverso d e d 078 Trovre le soluo delle seguet dsequo: 0 > > ( )( ) < 0 < 0 ed 0 9 ( )( ) 0 Essedo: ( ) ( 8) 6 o ( 60) 6 ( 8) 6 è 0 [ ] Essedo: 0 ( 6 ) ( ) o ( 6 ) ( ) è > 0 ] [ U ] [ Essedo: 0 ( 8) o ( 8) è 0 Essedo: > 0 > ed 9 > 0 < o > (s ved l fgur 07 dove sopr l rett è dcto l sego d e sotto l rett l sego d 9 9 > 0 U ) è ( )( ) ] [ ] [ Essedo: > 0 > ed > 0 < o > (s ved l fgur 07 dove sopr l rett è dcto l sego d e sotto l rett l sego d ) è ( )( ) < 0 U ] [ ] [ Essedo: > 0 < o > ed 9 > 0 < o > (s ved l fgur 07 dove sopr l rett è dcto l sego d e sotto l rett l sego d 9 ) è < 0 ] [ U ] [ 9 Essedo: > 0 < o > 6ed > 0 < o > (s ved l fgur 07

27 dove sopr l rett è dcto l sego d e sotto l rett l sego d ) è 0 ] ] U ] [ U [ 6 [ 079 Al Lettore l compto d verfcre che è: < 0 ] [ ] [ [ U < Dt su u po π put A ( ) e ( ) 0 ] 7 0 > 0 ] [ ed 0 ] ] U ] ] B scrvere l'equoe dell rett r psste per A e per B l'equoe dell rett s perpedcolre d r e psste per l'orge degl ss trovre fe le coordte del puto comue d r ed s 07 Dt su u po π l rett r d equoe 0 scrvere le equo delle rette prllele d r e tl che og loro puto bb dst d r ugule 07 Dt su u po π l rett r d equoe 0 scrvere l'equoe dell rett perpedcolre d r e psste per l puto medo del segmeto che h per estrem put d r comu co gl ss 07 So: A ( ) A ( 0 ) A ( 7) A ( 0 ) A ( ) B ( 0 ) ( ) B ( ) B ( ) e B ( 00) dec put d u po π Per og elemeto d { } s scrvo: B ) L'equoe dell rett del po π psste per put A e B ) Le coordte del puto medo del segmeto del po π d estrem put A e B ) L'equoe dell rett del po π psste per l puto medo del segmeto del po π d e- strem put A e B e perpedcolre ll rett del po π psste per put A e B ' '' 07 Su u po π so r ed r due rette l prm d equoe 0 e l secod d equoe 0 Determre quttro vertc e l're del rettgolo che h due lt sulle rette r ' '' ed r ed l lto che '' '' gce su r h per estrem put che r h comue co gl ss coordt 07 Cosdert tre sstem: ed fr vedere che l prmo è determto l secodo è comptble ed l tero è determto trovre oltre l soluoe del prmo sstem e le soluo del tero sstem 08 SISTEMI DI m EQUAZIONI LINEARI IN INCOGNITE I questo prgrfo formuleremo e rsolveremo u problem che è u geerloe del problem (FORMULAZIONE DEL PROBLEMA) So: m ed due umer ter postv per og elemeto ( ) umero rele d { m } { } u umero rele e b per og elemeto d { m} u Determre l sottoseme d tl che rsult: ( ) R costtuto d tutte e sole quelle euple ordte d umer rel