VARIABILI ALEATORIE (v.a.) DISCRETE

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1 Corso d Sttstc, Lure Ecoom Azedle, Uverstà C. Ctteo, Cstellz, 7 Ottobre R. D Agò VARIABILI ALEATORIE: SIMBOLOGIA, DEFINIIONI, PROPRIETA VARIABILI ALEATORIE (v.. DISCRETE pgg. -3 VARIABILI ALEATORIE (v.. CONTINUE pgg. 3-6 VARIABILI ALEATORIE (v.. DISCRETE x = x < x + Smbolog per l v.. dscret : = p ( x = P( = x = p > 0 p = = S = x, x x = seme de vlor possbl dell v.. è u seme d vlor solt. è tle che { } P S = P x, x x = P x x = p = = P < < = P = ( ( ( ( (, { } = Fuzoe d probbltà dell v.. dscret : p x = x =,, p ( x = 0 CALCOLO DELLE PROBABILITA DEGLI EVENTI ALEATORI PER LE v.. DISCRETE P( A, A = (, : P( A = Defzoe d: probbltà co cu l v.. ssume u osservzoe u qulss vlore rele x che soddsf l codzoe d pprteere d A, ovvero tle che x A Clcolo d: P( A = SOMMA delle probbltà p de vlor possbl x che soddsfo l codzoe d pprteere d A, ovvero tl che x (I A. ( <, ( : P( < b P( b P b P b Defzoe d: [e ] = probbltà co cu l v.. ssume u osservzoe u qulss vlore rele x che soddsf l codzoe dt dll dsuguglz dct tr pretes, coè x < b [ x b]. Clcolo d: P( < b [e P( b ] = SOMMA delle probbltà p de vlor possbl x che soddsfo l codzoe dt dll dsuguglz dct tr pretes, coè x (II < b [ x ( P < b,( P b,(3 P < b, (4 P < b : Defzoe d: (,(,(3,(4 = probbltà co cu l v.. ssume u osservzoe u qulss vlore rele x che soddsf l codzoe dt dll dsuguglz dct tr pretes, coè: ( < x b, ( x b, ecc. Clcolo d: (,(,(3,(4 = SOMMA delle probbltà p de vlor possbl x che soddsfo l codzoe dt dll dsuguglz dct tr pretes, coè: ( < x b, ( x b, ecc.. Ioltre s h che: (P( < b = P( b P( (P( b = P( b P( < (3P( < < b = P( < b P( (4P( < b = P( < b P( < b ]. S

2 Corso d Sttstc, Lure Ecoom Azedle, Uverstà C. Ctteo, Cstellz, 7 Ottobre 008. (III ( >, ( : P( P P 008 R. D Agò Defzoe d: > [e P( ] = probbltà co cu l v.. ssume u osservzoe u qulss vlore rele x che soddsf l codzoe dt dll dsuguglz dct tr pretes, coè x > [ x ] Clcolo d: P( > [e P( ] = SOMMA delle probbltà p de vlor possbl x che soddsfo l dsuguglz dct tr pretes, coè x ( > = ( ( = ( < P P P P > [ x ]. Ioltre s h che NOTA BENE: (I, (II e (III sopr l presez o l ssez dell ugule = può fr cmbre l vlore dell probbltà, e precsmete f cmbre l vlore dell probbltà tutte e sole le volte che l estremo (oppure b è uo de vlor possbl dell v... QUANTILE DI ORDINE α ( 0, d u v.. dscret q α = qutle d orde α : è l pù pccolo vlore possble dell v.. che verfc l codzoe: P( q α α. VALORE MEDIO ATTESO, o MEDIA, o MOMENTO PRIMO d u v.. dscret E = µ = x p = Propretà d E ( : ( terltà: m S E mx S c ( cosstez: E ( = c per l v.. degeere = S = {} c, prmetroc p ( c = MOMENTO SECONDO d u v.. dscret E x = = p VARIANA e SCARTO QUADRATICO MEDIO d u v.. dscret = [ ] ( = µ = V x p E E = sqm... = = Propretà d V ( (e sqm...( : ( o egtvtà: 0 ( 0 ( = 0 ( = 0 se e solo se è u v.. degeere (3 V E se e solo se = ( E( = 0 c = S = c p ( c = v.. DISCRETE NOTEVOLI ( {}, prmetroc v.. DEGENERE Tpco sgfcto pplctvo dell uco vlore possble c dell v.. degeere: serve per vere che el clcolo delle probbltà l ozoe d costte come mtemtc. c Smbolog: =, ( S = {} c, prmetroc p ( c =

3 Corso d Sttstc, Lure Ecoom Azedle, Uverstà C. Ctteo, Cstellz, 7 Ottobre 008. x = c Fuzoe d probbltà: p( x = 0 = µ = c, V E = = R. D Agò v.. BERNOULLIANA Tpco sgfcto pplctvo de due vlor possbl [ x = 0,] dell v.. beroull: x = umero totle delle volte che u dto eveto A può verfcrs u osservzoe (co p probbltà che s verfch. 0 Smbolog: Be( p ( prmetro p ( 0,, S = { 0, }, = p p p x = 0 Fuzoe d probbltà: p( x = p x = 0 E µ p V = = p p = =, v. UNIFORME DISCRETA x =,,... Smbolog: U( ( prmetro tero postvo, S = {,,... }, = p( x = x =,,... Fuzoe d probbltà: p( x = 0 + = =, V E µ = = v.. BINOMIALE Tpco sgfcto pplctvo de vlor possbl [ x = 0,, ] dell v.. bomle: x = umero totle delle volte che u dto eveto A può verfcrs osservzo (co p probbltà costte che A s verfch u qulss osservzoe. B p; prmetr: p 0,, tero postvo, S = 0,, Smbolog: { } x p x ( p - x 0,, Fuzoe d probbltà: p( x x = = 0! Dove ; ; 0! x = = = = x! ( x! ( x ( ( x 0 = E = µ = p, V ( = = p( p VARIABILI ALEATORIE (v.. CONTINUE Defzoe d v.. cotu: U v.. è cotu se e solo se suo vlor possbl x soo tutt umer rel d u tervllo (fto o fto d =, (ovvero u v.. è cotu se e solo se l seme S de suo vlor possbl x è u tervllo (fto o fto d umer rel ed oltre per cscuo de vlor possbl x è deft u fuzoe d destà d probbltà f x (ved defzoe qu sotto. 3

4 Corso d Sttstc, Lure Ecoom Azedle, Uverstà C. Ctteo, Cstellz, 7 Ottobre 008. Defzoe d fuzoe d destà d probbltà f x d u v.. cotu: 008 R. D Agò U fuzoe f : è l fuzoe d destà d probbltà d u v.. cotu se h le seguet tre propretà: ( o egtvtà su e postvtà su S, ovvero: 0, e 0 f x x f x > x S ( ormlzzzoe (dell re sottes co l sse delle scsse, ovvero f ( x dx = ( (3 P b = AREA sottes dll fuzoe d destà co l sse delle scsse d fo d b, ovvero: b P < b = P b = f x dx dove P( b = P( b < = probbltà co cu l v.. ssume u osservzoe u qulss vlore rele x che soddsf l codzoe dt dll dsuguglz dct tr pretes, coè x < b [ x b] (dove, dfferez delle v.. dscrete, l presez o l ssez dell ugule = o f cmbre vlor delle ree e qud le probbltà. (I CALCOLO DELLE PROBABILITA DEGLI EVENTI ALEATORI PER LE v.. CONTINUE ( P < b,( P b,(3 P < b, (4 P < b : Defzoe d: (,(,(3,(4 = probbltà co cu l v.. ssume u osservzoe u qulss vlore rele x che soddsf l codzoe dt dll dsuguglz dct tr pretes, coè: ( < x b, ( x b, ecc. Clcolo d (,(,(3,(4 = AREA sottes dll fuzoe d destà co l sse delle scsse d b, ovvero: b P < b = P b = P < b = P < b = f x dx dove l presez o l ssez dell ugule = o f cmbre vlor delle ree e qud le probbltà. Ioltre s h, come per le v.. dscrete, che: (P < b = P b P ( (P( b = P( b P( < (3P( < < b = P( < b P( (4P( < b = P( < b P( < dove però, dfferez delle v.. dscrete, l presez o l ssez dell ugule = o f cmbre vlor delle ree e qud le probbltà. (II ( >, ( : P( P P Defzoe d: > [ P( ] = probbltà co cu l v.. ssume u osservzoe u qulss vlore rele x che soddsf l codzoe dt dll dsuguglz dct tr pretes, coè x > [ x ] Clcolo d: P( > [ P( ] = AREA sottes dll fuzoe d destà co l sse delle scsse d, ovvero: P( > = P( = f ( x dx Ioltre s h che P( > = P( P( = P( < dove, dfferez delle v.. dscrete, l presez o l ssez dell ugule = o f cmbre vlor delle ree e qud le probbltà. 4

5 Corso d Sttstc, Lure Ecoom Azedle, Uverstà C. Ctteo, Cstellz, 7 Ottobre R. D Agò QUANTILE DI ORDINE α ( 0, d u v.. cotu q α = qutle d orde α : è l vlore rele tle che P( q α = α. VALORE MEDIO ATTESO, o MEDIA, o MOMENTO PRIMO d u v.. dscret µ xf E = = x dx Propretà d E ( : ( terltà: m S E mx S MOMENTO SECONDO d u v.. dscret E = x f x dx VARIANA e SCARTO QUADRATICO MEDIO d u v.. dscret = = ( µ = V x f x dx E E sqm... = = Propretà d V ( (e sqm...( : ( o egtvtà: 0 ( 0 ( V = E( se e solo se E( = 0 v.. CONTINUE NOTEVOLI v. UNIFORME CONTINUA x ( b, Smbolog: U(, b ( < b;prmetr, b, S = (, b, = f ( x = b x [, b] oppure x (, b,ecc. Fuzoe d destà d probbltà: f ( x = b 0 + b = =, V E µ = = ( b v.. GAUSSIANA o NORMALE STANDARDIATA Smbolog: N 0; dove s dmostr che 0 µ E Iseme de vlor possbl: = =, = = V ( S = z Fuzoe d destà d probbltà: f ( z = e z ( π = , e= π Rppresetzoe grfc dell fuzoe d destà d probbltà: è l tpc form cmp smmetrc co sse d smmetr dto dll sse delle ordte e co le due code che tedoo zero sstr e destr dell sse delle ordte rspettvmete per z ed z. Il cmbmeto dell cocvtà d verso l bsso verso l lto, ecessro ffché le code posso tedere zero rmedo postve, h luogo corrspodez d z = e z =. Tvole umerche dell fuzoe d destà d probbltà dell guss stdrdzzt per l clcolo delle probbltà. 5

6 Corso d Sttstc, Lure Ecoom Azedle, Uverstà C. Ctteo, Cstellz, 7 Ottobre 008. z.. P (. = f ( z dz = e dz? = = π ESEMPIO d lettur dell tvol umerc dell guss stdrdzzt Determre l probbltà d cu sopr co l tvol umerc dell guss stdrdzzt: P. =?. prme due cfre rg dell tvol. 0.0 terz cfr colo dell tvol 008 R. D Agò colo dell tvol 0.0 rg dell tvol = P. ( = ( ( > 0, P( z = P( z ( z > 0 P z P z z v.. GAUSSIANA o NORMALE NON STANDARDIATA Smbolog: N µ ; ( dove s dmostr che due prmetr soo dt propro d: µ = E, = V ( 0, Iseme de vlor possbl: = S Fuzoe d destà d probbltà: ( x µ f x = e x = , e= π ( π Rppresetzoe grfc dell fuzoe d destà d probbltà: è l tpc form cmp smmetrc co sse d smmetr dto dll perpedcolre ll sse delle scsse che pss per l puto µ (= 0, el cso dell guss stdrdzzt e co le due code che tedoo zero sstr e destr dell sse delle ordte rspettvmete per x ed x. Il cmbmeto dell cocvtà d verso l bsso verso l lto, ecessro ffché le code posso x = µ e x = µ +.( (= - e, el cso dell tedere zero rmedo postve, h luogo corrspodez d guss stdrdzzt. Clcolo delle probbltà per l guss o stdrdzzt N µ ;. C s rcoduce l cso stdrdzzt co l seguete formul: P x P x µ ( = co N 0;. Qutle q α d orde α ( 0, dell v.. ( ; N µ ( Cso d α 0.5 (e qud q α µ, e qud q α µ 0 : qα = µ + zα Cso d α 0.5 (e qud q α µ, e qud q α µ 0 : qα = µ z α v.. LOGONORMALE = LN µ ; d prmetr µ e Smbolog: e Iseme de vlor possbl: S = ( 0, co N ( µ ; Fuzoe d destà d probbltà: ( l y µ e y 0, π = , e= f y = y π 0 6

7 Corso d Sttstc, Lure Ecoom Azedle, Uverstà C. Ctteo, Cstellz, 7 Ottobre R. D Agò Rppresetzoe grfc dell fuzoe d destà d probbltà: f ( y è ull per vlor y egtv, po comc cresce bbstz rpdmete prtre d zero e per vlor y crescet o troppo grd, dopodché, rgguto l mssmo, decresce tededo zero per vlor y tedet d fto. I coclusoe f ( y è oblqu destr. Iftt, s dmostr che: mod + = < = < = =, oltre s h: V E ( e = = µ µ med µ e e E e µ Clcolo delle probbltà per l logoormle = e LN( µ ; co N ( µ ; guss stdrdzzt co l seguete formul: l y µ P ( y = P( l y = P L v.. Logoormle ed u su pplczoe Fz: l v.. S = prezzo l tempo t > 0 d u ttolo quotto t co N( 0; fuzoe dell v.. R N ( µ ; R = redmeto gusso del ttolo stesso dl tempo zle 0 l tempo t > 0 t R t t e precsmete, s dmostr sotto opportue rgoevol potes, che tle fuzoe è dt d: St R t Rt = s0e co e LN ( µ R; R s0 t t e = prezzo (osservto del ttolo l tempo zle 0. C s rcoduce l cso dell 7