Con una rappresentazione parametrica, una curva c è data come una funzione a valori vettoriali di un singolo parametro reale:

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1 Co u rppresetzoe prmetrc, u curv c è dt come u fuzoe vlor vettorl d u sgolo prmetro rele: c : D R E t.c. c( u o ( x ( u... x ( u I cu o è l orge del rfermeto, D geere cocde co l tervllo [,] e x soo le fuzo compoet (f. coordte dell curv. Qudo le fuzo coordte soo fuzo poloml d u sol vrble, l curv è dett prmetrc polomle, se soo rzol è dett rzole. c o k... x ] : D E dove x : u u è u polomo d grdo k [ x curv prmetrc cosete ce llo stesso vlore dell vrble dpedete so ssoct vlor multpl delle vrbl dpedet, cos ce o ccde co le equzo esplcte. L polomle gode d: vrz ffe (coè può essere ruott, trslt o sclt e dmuzoe delle oscllzo, metre u rzole può ce essere proettt. curv prmetrc polomle può essere vst come u combzoe lere coeffcet vettorl degl elemet d u opportu bse polomle, dove coeffcet vettorl soo mc d cotrollo. curv lere è u curv polomle d prmo grdo, coè dpedete d due prmetr vettorl. I form lgebrc: ( p p u p c ( u u b c(u [u ] dove l mtrce rg cotee gl elemet dell bse b d poteze dello spzo vettorle de polom d grdo more o ugule uo. er otteere l form geometrc, mpomo ce l curv terpol put p e p per vlor estrem del prmetro: p p c( p, c( p BG c( u [ u ] BG BG p p dove B è l mtrce d bse, G è l tesore de mc d cotrollo dell form geometrc e B è l bse polomle, coè soo le fuzo d bse (o d mescol. DEF OWERBASIS(::IsNt=AA:(**~[K:ID,K]:(RANGE:< -,>; DEF mkvoly = AA:Ierrod ~ DISL ~ [OWERBASIS~LEN,fu~RANS] were fu = (AA ~ AA:K polomo prmetro vettorle ed; DEF kcurve(geolgt::ist=mkvoly~*~[k:(v:geolgt,id]; DEF LINE=kCurve:<<,>,<,>>; coè l curv è lere (mtrce X A:(CONS:(LINE:<<,>,<,>>~S:(Itervls::8; curv cubc è u curv polomle d terzo grdo, coè l form lgebrc cotee quttro vcol (prmetr vettorl: c ( u u bu cu d ( u u u er l form geometrc, e dstgumo due tp. L form geometrc d Hermte s ottee mpoedo l pssggo per prm due put p e p, co tget estreme ssegte s e s ell tervllo [,]. c ( p c( p c'( s c'( s, dove c'(u u u è l dervt d c(u D cu s ottee sosttuedo c(u e c (u: p p p s s C( u B G ( u u u p s s

2 dove B è l mtrce dell bse d Hermte e G è l tesore d cotrollo delle curve cubce d Hermte. S può rscrvere tle form come prodotto de mc per l bse polomle d Hermte: ( u ( u ( u ( u ( u p p s s c DEF HermteBss (u::isfu = <,,,> were = k: * u - k: * u + k:, = k: * u - k: * u, = u - k: * u + u, = u - u, u = u*u*u, u = u*u ed; DEF Hermte(u::IsFu(p,p,t,t::IsSeq = (AA:Ierrod ~ DISL: < HermteBss:u, (RANS~fu:<p,p,t,t> > were fu = (AA ~ AA:(IF:<IsFu,ID,K> ed; DEF mc=<<,>,<,>,<,>,<,>>; A:(Hermte:s:mc:(tervls::6; L form geometrc d Bezer s ottee mpoedo l pssggo per put d cotrollo estrem e fcedo modo ce vettor tget zle e fle so prllel ll dfferez de due put d cotrollo cetrl. I prtc put o estrem vegoo pprossmt. c ( q c ( q c '( s ( q q c '( s ( q q sdo l equzoe dell form geometrc d Hermte s ottee: = dove l mtrce scrtt è quell d trsformzoe dll bse d Hermte quell d Bezer. dove coeffcet,,, soo dt dl bomo d Newto co = e k ce vr d. I geerle, l form geometrc d u curv d Bezer d grdo e co + put d cotrollo è: c( u B ( u q dove : B ( u u ( u co dove B soo polom d mescol e compogoo l bse d Berste d grdo. Vegoo ce dett BLENDING FNCION. er qulss grdo, l curv d Bezer è sempre coteut el gusco covesso de suo put d cotrollo. DEF Berste (u::isfu(::isit(::isit = * ~ [K:(Coose:<,>,** ~ [ID,K:], ** ~ [- ~ [K:,ID],K:(-]] ~ u; DEF BersteBss (u::isfu(::isit = AA:(Berste:u::(..; DEF Bezer(u::IsFu(CotrolDt::IsSeq=(AA:Ierrod ~ DISR: < (fu~rans:cotroldt,berstebss:u:degree > were degree = LEN:CotrolDt -, fu = (AA ~ AA:(IF:<IsFu,ID,K> ed; DEF mc = <<,>,<,>,<,>,<,>,<,>>; DEF domo = tervls::; DEF curv = mybezer:s:mc; A: curv: domo;

3 sple è u curv composte, defte cogugedo lcu segmet d curv dcet co u pproprto orde d cotutà gl estrem. C soo tre clss fodmetl d sple. Le sple crdl cubce soo costtute d segmet cubc d Hermte ce terpolo tutt put dell sequez d cotrollo co cotutà C (rspetto ll dervt prm. Abbmo m+ put d cotrollo (m>= ce geero m- segmet d curv, deft come: C ( C ( C '( ( - C '( ( - coè d p e p m- put soo terpolt, metre tr p e p e tr p m- e p m l sple o è deft. rtedo dll form mtrcle delle curve d Hermte: C ( u ( ( - ( - co u [,] C ( u u u Dove c è l mtrce dell bse crdle, G è l tesore d cotrollo dello esmo segmeto dell sple e c è l mtrce d trsformzoe dll bse d Hermte quell crdle (c=c*k. L seme de polom dell bse crdle s ottee moltplcdo l bse d poteze per l mtrce dell form geometrc c. Affcdo quttro polom d c4(u c(u s ot ce due d ess o soo postv ell tervllo utro. DEF CubcCrdlGrp = SRC ~ [box,a:[u,c], k:(::, box,a:[u,c], k:(::, box,a:[u,c], k:(::, box,a:[u,c]] were C = ((k: - * u + ((k: * * u - ( * u, C = ((k: - * u + (( - k: * u + (k:, C = (( - k: * u + ((k: - k: * * u + ( * u, C = ( * u - ( * u, u = s, u = u * u, u = u * u, = k:, Box = K:(@:(CBOID:<,> ed; %%per CubcCrdlBss mettere = < C,C,C,C > CubcCrdlGrp:(tervls::4; %%per vsulzzre 4 polom DEF Bled (Bss::IsSeq (Cotrolots::IsSeq = (AA:errod ~ DISL:< Bss, (AA:(AA:K~RANS:Cotrolots >; DEF subsets (::IsItos(seq::IsSeq = (CONS ~ AA:(AS:SEL ~ FROO ~ [ID - K: + K:,ID]:(..LEN:seq:seq; DEF Sple (Curve::IsFu = SRC ~ AA:Curve ~ subsets:4; DEF CubcCrdl (segmetdom::isol (q,q,q,q4::isseq = A:(Bled:CubcCrdlBss:<q,q,q,q4>:segmetDom segmetdom = Itervls::spleSmplg DEF out=(src~[polyle,polymrker:, mysple:(mycubccrdl:dom]: <<,->,<-,>,<-,>,<,>,<,>,<,>,<,->> dom = tervls:: u G c G

4 Le B sple cubce uform pprossmo u sequez d m+ put d cotrollo (m>= usdo segmet d curv cubc cogut co cotutà C, coè l esmo segmeto d curv Q (u è geerto mpoedo l cotutà geometrc e quell delle dervte prm e secod gl estrem del segmeto. l put defscoo m- segmet dcet. Og segmeto è otteuto per combzoe d quttro put d cotrollo co l bse B sple uforme, cu polom o domo [,]. 6 Q ( u BsG 6 co m - 4 dove Bs è l mtrce dell B sple uforme cubc. I polom dell bse soo dt d *Bs. Affcdol d B 4 B, soo tutt postv ell tervllo utro e oltre og segmeto d curv è coteuto el gusco covesso del suo vettore geometrco G. Gl m- segmet d cotrollo possoo essere dczzt d Q Q m : u segmeto Q è l combzoe polomle de put -4+j co j 4, qud Q è geerto d, metre Q m d m- m. sdo l prmetro globle t m possmo scrvere l B sple uforme cubc: m Q Q ( t, dove og vlore tero d t,4,..., m è u odo, metre l mmge Q(t, co Q (=Q + (, è l guto. DEF CubcBspleBss = < B,B,B,B > B = * ((k: * u - (k: * u - (k: * u + (k:, B = * ((k: * u - (k:6 * u + (k:4, B = * ((k: * u - (k: * u + (k: * u + (k:, B = * u, u = s, u = u * u, u = u * u, = k:/k:6 DEF CubcBsple (segmetdom::isol (q,q,q,q4::isseq = A:(Bled:CubcBspleBss:<q,q,q,q4>:segmetDom; DEF out = (SRC~[polyle,polymrker:,Sple: (CubcBsple:dom]: <<,->,<-,>,<,>,<,>,<,->> dom = tervls::

5 Le B sple poloml o uform soo sple molto flessbl. Dfferet segmet d sple possoo corrspodere dvers tervll ello spzo del prmetro; s l form dell sple ce polom d bse soo deft d u sequez odle, coè u sequez d rel o decrescet: t t... t S k l grdo dell sple e =k+ l orde, l umero + d od deve essere mggore degl m+ put d cotrollo e, prtcolre, m k. I od soo ust per defre polom dell bse dell B sple, modo ce co k+ od dcet s clcol u polomo d bse d grdo k. Alcu od dcet possoo cocdere (o coè u molteplctà: se due od cosecutv cocdoo, l segmeto d curv ssocto dvet u puto. Qud umetdo l molteplctà d u odo s può rdurre l cotutà de gut o ddrttur rrvre ll dscotutà. L sequez odle d u B sple d grdo k vle: ( t,..., tk,..., tm,..., tm k co t t, d cu l segmeto esmo d sple è defto come: k Q p l B l, co k m t [ t, t l dove p è u puto d cotrollo e B è l polomo d bse d dce e orde, geerto dll sequez odle t,...,. ( t Coè l esmo segmeto è otteuto per combzoe dell esmo puto d cotrollo e de k precedet co l su bse polomle d orde. C soo m-k+ segmet d sple. L B sple o uforme d grdo k può percò essere scrtt come: m m Q Q p B co t [ tk, tm e B, k ullo fuor d t [ t, t, I polom d bse soo clcolt secodo le formule rcorsve d Cox e de Boor: se t t t t t t t B, B, B, ( t B, ( t ltrmet t t t t E possble otteere l curv cubc d Bezer d u B sple o uforme cubc (k=, =4 corrspodete ll sequez odle: (,,,,,,,, dove 4 put d cotrollo rcedoo =8 od. I quttro polom d bse B,4 o ssocte le sequeze d od (,,,,, (,,,,, (,,,,, (,,,,. Og segmeto pprossm k+ put,coè 4. - l tervllo prmetrco tr due od dcet è vrble - le fuzo d bse possoo vrre d segmeto segmeto, percò c è grde flessbltà dell form, ce se l vlutzoe de polom è costos - l cotutà de segmet può essere rdott umetdo l molteplctà d u vlore odle, trsformdo u segmeto u puto (vee terpolto u puto d cotrollo. - S possoo serre fclmete od e put d cotrollo

6 fuzoe rzole è u rpporto d fuzo poloml: u curv rzole è u fuzoe vettorle d u prmetro rele, le cu fuzo coordte soo rzol. Le fuzo coordte d u sple rzole E d soo dte d rpport delle fuzo coordte dell sple polomle E d+. I E : è u curv polomle dello spzo omogeeo. I polom dello spzo omogeeo soo d solto B-sple o d Bezer. Le curve rzol d Bezer soo defte proettdo l curv polomle d Bezer C8u ello spzo omogeeo E d+ dll orge sull perpo x d+ =, ce s ottee elmdo l ultm coordt d E d. S o: co e D cu l curv rzole Q(u d grdo : dove dove s ot ce è l proezoe d q ormlzzto. I coeffcet rel w soo pes de put d cotrollo. le curv rzole gode dell vrz ffe, dell rduzoe delle oscllzo, dell vrz proettv e del cotemeto el gusco covesso de put d cotrollo. er fre l mppg rzole d Bezer s cosdero put d cotrollo omogee. DEF RtolBled (Bss::IsSeq (Cotrolots::IsSeq = Rtolze:( Bled:Bss:Cotrolots ; DEF RtolBezer (Cotrolots::IsSeq = RtolBled:(berstebss:S:degree: Cotrolots degree = LEN:Cotrolots - dove rtol bled f l bled tr l bse e put d cotrollo e po rzolzz, coè dvde tutte le coordte per l ultm (o ull. S può defre ¼ d ellsse come curv rzole qudrtc d Bezer, usdo put d cotrollo omogee:, dove l cetro è ell orge, l rggo sell sse x è, quello sull sse y è b. S può po geerre l ter ellsse co u prmetro ce stblsce l umero d segmet ust ell pprossmzoe poledrle dell mmge del qurto d curv: DEF ellpse (,b::isrel(::isintos = SRC:< lf, S::-, lf > lf = SRC:< qurter, S::-, qurter >, qurter = A: mppg: (Itervls::, mppg = myrtolbezer:<<,,>,<*c,b*c,c>,<,b,>>, c = SQR:/

7 Le NRBS soo B-sple o uform (NB e rzol: Cosetoo d modfcre l orm del vettore veloctà lugo l sple solo modfcdo l sequez odle: cò cosete d modfcre l destà del cmpometo de put su segmet co curvtur mggore o more, mteedo l cotutà. Rppreseto le sezo coce Godoo d vrz ffe e proettv (essedo rzol, percò bst trsformre o proettre put d cotrollo, lscdo l computer l cmpometo dell curv 4 Soo molto flessbl, cosetedo sulle guzo dvers ord d cotutà, permettedo d pprossmre o terpolre put d cotrollo e lterdo segmet d sple d dverso grdo. Rcorddo ce le B-sple rzol soo defte proettdo u segmeto d B-sple polomle ello spzo omogeeo E d+ dll orge ll perpo x d+ =, l segmeto d B-sple rzole d grdo k co + od e m+ put d cotrollo omogee q : cu N, (t è l fuzoe bse NRBS d vlore zle t e orde. L NRBS complessv vle:. ossmo defre u crcoferez co u NRBS qudrtc cus, co 9 put d cotrollo e od: DEF NurbCrcle = DsplyNRBsple:<,kots,ctrlts> kots=<,,,,,,,,,4,4,4>, ctrlts=<<-,,>,<-:c,c,c>, <,,>,<c,c,c>, <,,>,<c,-:c,c>, <,-,>,<-:c,-:c,c>,<-,,>>, c=(sqr:/