Sistemi Dinamici Lineari. tempo-discreti

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1 Ssem Dmc Ler u empo-dscre y u u B Δ C y y u 3 y 3 S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre pg.

2 Defzoe d ssem dmco lere Gl sem d gress, s e usce soo spz veorl Vle l prcpo d sovrpposzoe degl effe L relzoe Igresso/So/Usc è lere L mpp d uo spzo ll lro è d d mrc D B C U X Y L mrce D rpprese l rsmssoe dre gresso/usc S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre pg.

3 Sruur d u ssem dmco lere Tempo-dscreo Δ ) y ) C ) ) B u ) Tempo-couo d ) ) B d y ) C ) u ) & u ( ) Δ) ( ) B Elemeo d memor & d/δ y( ) C ggormeo dello so S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre pg. 3

4 Propreà d u ssem dmco lere Cuslà: u ssem dmco o può essere cpvo L usc o può precedere l gresso Composzoe el empo Σ, ) 3 3 D re s d empo < < 3 l evoluzoe del ssem d 3 può essere scompos come evoluzoe d e d 3 Sovrpposzoe degl effe L usc del ssem provoc d due gress ge coemporemee è l somm delle usce provoce d cscu gresso gee seprmee u y u Σ u u Σ Σ, ) Σ, 3 ) Σ y y y y y S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre pg. 4

5 Dmeso d veor e mrc Igresso u: veore colo m compoe u R m So : veore colo compoe R Usc y: veore colo p compoe y R p Mrce B gresso-so: m compoe B R m Mrce so-so: compoe R Mrce C so-usc: p compoe C R p m B C p S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre pg. 5

6 pg. 6 S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre Coformblà d veor e mrc C p B m Esempo: m; 4; p c c 3 c 4 c 4 3 u u

7 Dmesolà del ssem Le dmeso d Igresso, So e Usc, possoo essere geerle qulss, purché coformbl Mrce B gresso-so: m compoe B R m Mrce so-so: compoe R Mrce C so-usc: p compoe C R p I queso cso l ssem s dce Mul-Ipu-Mul-Oupu (MIMO) Co mol gress e mole usce Nel cso che m p, l ssem s dce Sgle-Ipu-Sgle-Oupu (SISO) Co u gresso ed u usc Nel seguo c occuperemo prevleemee d ssem SISO S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre pg. 7

8 Ssem empo-dscreo SISO Il empo vr modo dscreo Rppresezoe er (Igresso/So/Usc) y ) ) Rppresezoe eser (Igresso/Usc) c ) ) b u ) y α y β u α y α y βu βu S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre pg. 8

9 proposo del empo e ssem empo-dscre Il empo o h pù u sgfco fsco (secod, mu, ore,) m d sequez fr u se d cmpomeo e l successvo Solo ques s l ssem è defo. Δ m Δ 3 R Tempo fsco Δ m m m 3 m 4 m 5 m Δ h Δ 3 R h h h 3 h 4 h 5 h Sequez d cmpo Δ Z S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre pg. 9

10 Esempo d ssem empo-dscreo MISO MISO Mul-Ipu-Sgle-Oupu 3 4 ) ) ) ) ) ) ) ) b b b b 3 4 b b b b 3 4 u u ) ) y ) [ c c c c ] ) ) ) ) B c R R R S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre pg.

11 Dll form mrcle lle sgole equzo ) ) ) 3 3 ) 4 4 ) b u ) b u ) ) ) ) 3 3 ) 4 4 ) b u ) b u ) 3 ) 3 ) 3 ) 33 3 ) 34 4 ) b 3 u ) b 3 u ) 4 ) 4 ) 4 ) 43 3 ) 44 4 ) b 4 u ) b 4 u ) j ) j j ) bk uk ) m k y ) c ) c ) c3 3 ) c4 4 y ) c ) ) S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre pg.

12 Evoluzoe d u ssem uoomo Il ssem è uoomo se evolve sez corbuo degl gress (u ) L equzoe d so s rduce ) che s può rsolvere ervmee ) () ( ) ( ) () ( ) ( 3 ) ( ) ( ). ) ) ( ) ( ) S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre pg.

13 Rppresezoe locle e globle L equzoe d so lle dffereze è u rppresezoe locle D s v ) L evoluzoe oeu rsolvedo ques ervmee è u rppresezoe globle D s v v u quluque ) ( ) L mrce s dce mrce d rszoe, perché rspor lo so dll codzoe zle () quell fle () S può geerlzzre, scegledo due s qulss d empo > s ) s ) s) ( s ) S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre pg. 3

14 Mrce d rszoe S defsce mrce d rszoe Φ l operore lere che rspor lo so s ello so co > s Φ,r) Propreà d Φ(,s) -s Ideà: Φ(,) I Prov: - I Composzoe: Φ(,s) Φ(s,r) Φ(,r) > s > r Prov: -s s-r -ss-r -r Iversoe: se - esse, Φ - (,s) Φ(s,) Prov: ( -s ) - s- Commuzoe: Φ(,s) Φ(,s) Prov: -s -s -s r Φ ( s,r) Φ,s) s S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre pg. 4

15 U esempo umerco ( ) empo mbedue gl s edoo zero: ssem sble -,4,636 -,46 -,955 -,3 -,897 -,7 -,6 -,55 -,379 -,3 -,7 -,79 -,34,,84,94,3938,48,78,37,58,83,663,49,384,9,3 S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre pg. 5

16 U esempo umerco ( ) empo mbedue gl s edoo crescere sez lme: ssem sble S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre pg. 6

17 Prm defzoe d Sblà U ssem lere uoomo s dce socmee sble se lm ) Cò mplc che og compoee del veore d so ed dvdulmee zero L soc sblà o dce che modo e dopo quo empo s verfc l codzoe Vedremo pù v defzo pù resrve d sblà Ques ozoe d sblà covolge solmee l compormeo rseco del ssem Nel cso d ssem co gress, s vrà u uov versoe d sblà. S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre pg. 7

18 Ch comd el ssem? Cos fluez l compormeo del ssem? Come è possble prevedere l suo compormeo sez effeure u smulzoe o rsolvere lcmee l ssem? Il compormeo del ssem è defo d uovlor () e uoveor (v) dell mrce, def dll equzoe v v Gl uoveor soo drezo prvlege ello spzo X R Se lo so zle () cocde co u uoveore, lo so gl s successv rme lugo le uoveore, vrdo solmee d scl secodo l vlore del corrspodee uovlore Il compormeo del ssem è esprmble come fuzoe lere degl uoveor. S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre pg. 8

19 pg. 9 S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre Soo u seme lermee dpedee e percò formo u bse R Og veore R può essere espresso come combzoe lere degl uoveor (v, v,., v ) per or suppos ds I prcolre, per lo so zle Rcorddo l espressoe dell evoluzoe globle uoveor ) ( v v v v α α α α ( ) ) v v v v v α α α α α v v v 3 ( ) α v α v α 3 v 3

20 Evoluzoe fuzoe degl uoveor L evoluzoe dello so può essere espress come combzoe lere degl uoveor e uovlor ) α v S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre.8 ( )..5 ( ) v v pg.

21 ( ) () ( ( 3 ) ( ).. ) ) v ( ) () v Evoluzoe lugo u uoveore v v v v v 3 v Se l codzoe zle () cocde co l uovlore v, lo so () è cosreo muovers lugo l drezoe dell uoveore per qulss. Può solo cmbre modulo e/o verso. L uoveore rpprese u drezoe prvleg ) ( s ) v Drezoe dell uoveore S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre pg.

22 Esempo: ssem sble v v Se l ssem pre d u uoveore è cosreo muovers lugo quell drezoe e può vrre solo l modulo fuzoe del corrspodee uovlore Drezoe d v ( ) v Drezoe d v ( ) v S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre pg.

23 Evoluzoe el empo: cso sble empo S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre ( ) v ( ) v Osservzoe: L evoluzoe lugo v è oscllor perché è egvo: d og erzoe s h u cmbo d sego L evoluzoe lugo v è mooo perché è posvo: memeo del sego pg. 3

24 lro esempo: ssem sble v v L uoveore v corrspode d u uovlore sble ( ). Percò l evoluzoe prre d queso è dvergee. L uoveore v corrspode d u uovlore sble ( ). L evoluzoe prre d queso ede zero Drezoe d v Drezoe d v ( ) v ( ) v S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre pg. 4

25 Evoluzoe el empo: cso sble Modo sble ( ) v Modo sble ( ) v empo Osservzoe: L evoluzoe lugo v è oscllor dvergee (sble) perché è sble. L evoluzoe lugo v è mooo covergee (sble) perché è sble. S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre pg. 5

26 Equlbro d u ssem uoomo U ssem è ll equlbro qudo l suo so o cmb el empo ) ) R Rsolvedo ques equzoe ( I ) I I ( I ) Se I- è o sgolre, l orge ( ) è l uco puo d equlbro per u ssem uoomo e osgolre sgolre N S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre pg. 6

27 Sblà d u ssem uoomo L sblà è u coceo lego ll equlbro: Se u ssem (uoomo) è sble ede d dre ll equlbro per qulss codzoe zle Se u ssem (uoomo) è sble ede d llors dll equlbro per qulss codzoe zle (slvo zre lugo u eveule uoveore sble) No: queso o è geerle vero Per ssem co gresso, perché u gresso grde pcere può porre lo so loo dll equlbro Per ssem oler, che possoo vere pù s d equlbro olre e le reore dpedoo dlle codzo zl Come s può prevedere se u ssem lere uoomo è sble? Corolldo suo uovlor, do che l su evoluzoe dpede d ques S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre pg. 7

28 Sblà e uovlor Se l evoluzoe è esprmble co gl uovlor Og uovlore modulo mggore d por d u evoluzoe crescee Og uovlore modulo more d por d u evoluzoe decrescee < > rspos m rspos ezoe: bs u solo uovlore sble per desblzzre l ero ssem ) α v rspos sble socmee sble ± semplcemee sble S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre pg. 8

29 Poszoe degl uovlor e po d rspos Im Re S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre pg. 9

30 pg. 3 S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre uovlor dell mrce S defsce polomo crersco dell mrce R Gl uovlor d soo le rdc del polomo crersco Teor. d Cley-Hmlo: l mrce soddsf l propro polomo crersco ( ) ( ) o q q q q de q I Δ ( ) ( )( ) ( ) ( ) q q.. q q q Δ I o

31 Qulche precszoe sul polomo crersco Il polomo crersco dell mrce è defo come Δ ( ) ( ) q de qi q q q o L mrce h coeffce rel, percò che coeffce del polomo ( -,,, o ) soo rel e le sue rdc soo essere Rel o Complesse couge D, s può rovre Δ (q) pplcdo l defzoe: clcoldo de(qi-) D gl uovlor (,,, ) s può rcvre Δ (q) ugugldo erm d pr poez (prcpo d deà de polom) Δ ( q) ( q )( q )..( q ) q ( )q ( )q 3.. o.. 3 S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre pg. 3

32 Relzo fr mrce, uovlor e pol. cr. defzoe d polomo crersco de( qi ) Δ ( q) [ ] ls Ses (,,, ) 3.. o prcpo d deà de polom S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre pg. 3

33 Rppresezo coche per ssem SISO I geerle l ssem è defo d re mrc R, B R, C R Possoo servre percò fo p coeffce. Domd: esse u rppresezoe pù ecoomc? Rspos: s, essoo forme, dee coche, che mmzzo l umero d coeffce Soo due le forme coche d eresse. Form coc corollble Ule per problem d corollo progere u regolore. Form coc d rcosruzoe Ule per problem d rcosruzoe dello so progere u osservore S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre pg. 33

34 Form coc corollble (cc) Nell mrce prmer s rducoo gl eleme dell ulm rg, mere l mrce b h sruur obblg ( ell ulm rg) c o Ess soo colleg coeffce del polomo crersco essedo gl sess coeffce co l sego cmbo Δ L mrce c c o h lcu resrzoe ( ) q q q q o c b c Δ c ( q) S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre pg. 34

35 pg. 35 S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre Form coc d rcosruzoe (cr) Nell mrce prmer s rducoo gl eleme dell ulm colo, mere l mrce b èlber Vle l sess relzoe fr coeffce del polomo crersco Δ (s r ) e coeffce dell mrce r L mrce c o h solo l ulm compoee pr d ( ) o q q q q r Δ o 3 r o r b b b b b [ ] c r

36 Relzoe fr le due forme coche Per uo sesso ssem s può pssre d u rppresezoe ll lr secodo le segue equvleze r T c r T c b c c r b T c Ssem dvers per qul vlgoo quese relzo s dcoo dul I og cso l polomo crersco è lo sesso ( ) ( ) q q q q q o Δ Δ c r Percò gl uovlor soo gl sess Rdc dell equzoe de(si-) S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre pg. 36

37 Smlrà Il veore d so è rfero d u cer bse Tlvol u cmbo d bse mee evdez crersche mpor del ssem S può effeure u cmbo d bse z T -, che por d u cmbmeo elle mrc (,b,c) che rppreseo l ssem Se è lo so rfero ll bse d prez e z quello rfero ll uov bse, se pomo lo so fuzoe d z T z s vrà y z y c γz Λz bu β u z T Tz Λ T Tz y T ctz Tz β T bu b γ z y ct T ctz Tz T bu S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre pg. 37

38 pg. 38 S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre Smlrà fr mrce dgole e cc Se è form coc corollble suo uoveor ho l sruur seguee: poeze cresce de rspev uovlor L mrce d smlude T è ell form d Mrce d Vdermode Percò, rov gl uovlor, l mrce d smlude è subo deerm T T T T Λ Λ T.. v v v

39 pg. 39 S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre Esempo d smlude cc dg Λ v v ( )( ) ( ) o q q q q q q q ) ( Δ ( ).479. o o

40 Esempo d smlude ( ) T T TΛT S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre pg. 4

41 Relzo fr vrbl d so form cc U ssem uoomo espresso form coc corollble ) ) ) ) o ) ) ) ) Scro per compoe è.. ) ) 3 ) ) Cscu vrble d so è l successv l empo precedee ) o ) ) ) ) S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre pg. 4

42 S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre Effeo dell dgolzzzoe L rsformzoe z T - rede lo so del ssem dgole z z z ) ) ) z z z Cò sgfc che ello spzo Z le vrbl d so evolvoo dpedeemee l u dll lr z ) z ) z ) z ).. z ) z ) S perdoo legm d erzoe fr vrbl d so che essevo el rfermeo orgle X ) ) ) pg. 4

43 Esemp d rspos: due uovlor rel posv sse mmgro - - modo veloce modo leo - - sse rele Modo veloce Il prmo uovlore rpprese l modo veloce perchéèpù pccolo (vco ll orge) mere l secodo l modo leo perché pù vco l cercho uro z z z ) ) ).3533 z z z ) ) ) Modo leo z ).964 z ) S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre pg. 43

44 Evoluzoe dpedee el modo dgole 3.5 Nel rfermeo dgole due mod evolvoo mer dpedee Cmbdo rfermeo z T - co T modo leo z z T ΛT modo veloce empo ) ) ) ).374 ) S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre pg. 44

45 uovlor rel posv sse mmgro sse rele Compormeo sble moooo.5 v v empo S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre.5.5 pg. 45

46 uovlor compless pre rele posv sse mmgro sse rele,.7844 ± j v.57 j v Compormeo sble osclloro j empo S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre pg. 46

47 uovlor compless pre rele egv sse mmgro sse rele, ± j v j v Compormeo sble osclloro j empo S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre pg. 47

48 uovlor rel egv sse mmgro sse rele Compormeo sble osclloro v v empo S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre pg. 48

49 uovlor mmgr coug (ero l cercho) sse mmgro sse rele Compormeo (poco) sble (molo) osclloro.5 j v j j.95 v.74 - j empo S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre pg. 49

50 uovlor mmgr coug (fuor dl cercho) sse mmgro sse rele Compormeo sble osclloro j j.37 v v j j empo S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre pg. 5

51 Rppresezoe eser (I/O) u ( ) ) ( ) y( ) B Δ C Rppresezoe che leg dremee gl gress lle usce S perde l ozoe d so del ssem, come memor del ssem Per meere l dmc s devoo rcordre u mggor umero d gress ed usce psse Nel cso SISO l modell vegoo che chm RM: uo Regressve Movg verge Usce y Igress u S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre pg. 5

52 pg. 5 S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre Pssggo d rppresezoe er d eser Do u ssem SISO form d so (er) S può rodurre l operore cpo q: q esprmedo lo so come Iroducedo l usc y c, s può rcvre u legme dreo gresso-usc Ques relzoe covolge gress ed usce psse cus dell mrce polomle y u c b ( ) ( ) u q u q u q b I b I b ( ) u q y b I c c ( ) ( ) ) q ( q ) ( q de q ) ( q P I P I Δ

53 Formul d Souru per l clcolo d (qi-) - S cosder che Il deomore è, per defzoe, l polomo crersco d, Δ (q) Il umerore è u polomo d orde - (se è ) Schem ervo per l clcolo smuleo del umerore e del deomore ( qi ) P P P P S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre 3. P( q ) Δ ( q ) I P P α I P α I P( q ) P q P Δ( q ) q αq α I q α P q α α r α r α3 r 3. α ( P ) r ( P ) ( P ) 3 ( P ) pg. 53

54 Rppresezoe eser L rppresezoe eser (gresso-usc) può essere llor scr come fuzoe d rsfermeo (quozee fr polom) P( q ) y c ( q ) ( ) qi bu y c bu y u Rducedo form er s h l modello RM D( q ) y N( q ) u N( q ) D ( q ) Esplcmee, rcorddo l fuzoe dell operore cpo q y Co (β β ) coeffce dell pre M, oeu d cp(q)b Δ Δ ( q ) y y α y β u cp( q ) b u α β u S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre pg. 54

55 Modello RM come predore u psso Se s fss (covezolmee) l empo corree, l modello RM forrà l predzoe dell usc queso se, bsdos su gress e usce dl empo - dero fo - Il modello s può llor rscrvere vedo come rfermeo l empo y α y α α β β u y y u Cò equvle d usre l operore rrdo (q - ), recproco dell operore cpo (q) S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre pg. 55

56 Esempo d pssggo ISO IO P.4.5 Σ ~.6. pplcdo rcorsvmee l formul d Souru per I (, b, c) b c [ ] ( ) α r r P αi α r r..6. ( P ) S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre pg. 56

57 Modello RM Δ ( P q ) q αq α P( q ) P q α β β.6 α [ ]. [ ]. 3 P P y y α y β u α β u y.6 y. y.3u S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre pg. 57

58 Smulzoe co u gresso csule L usc del modello RM cocde co l usc del modello rppresezoe er y y RM empo S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre pg. 58

59 Iclusoe degl gress For s soo cosder ssem uoom ) Se cosdermo l ssem compleo, co gress eser Cos cmb? Cose che o cmbo B u L Sblà: è u propreà er Cò o mpedsce l ssem co gress d rggugere uo so llmo se l gresso è llmo Cose che cmbo: L rspos globle: bsog cludere l corbuo degl gress L equlbro: dpede dl vlore degl gress H seso solo per gress szor S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre pg. 59

60 Evoluzoe d u ssem forzo (co gress) Bu Φ o o (, ) o Bu Bu [ Bu ] Φ o o Bu (, ) Φ(, ) o o o Bu Bu Bu o Bu Somm co poeze d decresce che molplco gress pù rece 3 Bu [ ] Bu Bu o o Bu Φ 3 o Bu o Bu ( 3, ) ( ) ( ) o Φ, Buo Φ, Bu Bu Bu S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre pg. 6

61 Geerlzzdo Il forze u compre ell somm d covoluzoe l secodo erme Gl gress pù vecch soo pes d poeze mggor dell mrce o Evoluzoe lber Effeo L rspos del ssem s compoe d due erm ( ) dell' gresso L evoluzoe lber, che dpede solo dll dmc e dlle codzo zl o Il erme forze, che dpede d u gl gress pss Bu S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre pg. 6

62 Equlbro d ssem -d forz L equlbro dpede dl vlore dell gresso (cose) rverso B L sblà dpede cor dgl uovlor d Dversmee d ssem uoom, s possoo vere equlbr o ull Se l ssem, supposo sble, vee pplco u gresso cose lo so s porerà l vlore e l copp (,u) dovrà soddsfre l equzoe Bu u D cu oo l gresso d equlbro s può rcvre lo so d equlbro ( ) I Bu S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre pg. 6

63 .4 ) ) ( I ).4 Bu Esempo d clcolo dell equlbro.6 Ssem sble, rspos mooo perché gl uovlor soo posv ) ) u ) - Il vlore d equlbro dello so per u gresso cose è dpedee dll codzoe zle Equlbro per u empo S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre pg. 63

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