esercizi di Combustione e Trasmissione del Calore Capitolo 2 Scambio termico (CONDUZIONE)
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- Virginia Poli
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1 srcz d Comuso rsmsso dl Clor Cpolo Scmo rmco (CONDUZIONE) ESERCIZIO Cosdrmo u ror uclr (vd fgur) l cu cuor è uo d u lvo umro d rr d comusl vrcl d spssor. All zo l ssm l uform. Qud,, l ror r fuzo grdo u poz rmc pr uà d volum pr W ll ro dll rr. Il coffc d scmo rmco r l rr d l rfrgr è. dl rfrgr rm dur l srczo; lo spssor dll rr è pccolo cofroo co l lr dmso. S dsdr formulr l prolm o szoro dll mprur dl ror. S prdrà sm u sgol rr d comusl s rrvrà ll rsoluzo d pù compl, complss, prdo d soluzo pù smplc. COOAN CONRO RODS CORE (FUE PAES) SOUZIONE SEMPIFICAA [ o vr co, m solo col mpo ] W U rr r rpprs l osro ssm, com d fgur. Immgmo, smplfcdo, c l dll,, rr o dpd dll vrl spzl, m solo dl mpo. A (Ar) 9
2 srcz d Comuso rsmsso dl Clor Cpolo Scmo rmco (CONDUZIONE) Applcmo l prcpo dll rmodmc: de d A W A [] covo I lr rm, d ρ, c,, l [] dv: d ρca W A A( ) [] d codzo zl (c..) è, ssumdo com vrl pr ( ) : d W [3] d ρc ρc soluzo dll [3] è l somm d: d u soluzo prcolr (udo ) p, d l, soluzo dll uzo omog ssoc. Svolgdo clcol s : ρc W p ρc pr cu W p λ C dov λ ρc p Allor C p pr (c..) p p λ p λ p λ ( ) Admsolzzdo: W λ l cu rpprszo grfc è mosr ll pg sgu.
3 srcz d Comuso rsmsso dl Clor Cpolo Scmo rmco (CONDUZIONE) ( ) W SOUZIONE COMPEA [ (,)] uzo dffrzl d rsolvr s rcv dll ls fsml sull lmo d volum d spssor d sso f: A A A W A ρca, vdo poso. d Allor: W ρc d W d [] ssdo ρc,, W W
4 srcz d Comuso rsmsso dl Clor Cpolo Scmo rmco (CONDUZIONE) NOA: pr smplfcr lo svolgmo scglmo com c.c. vc d codzo l cooro soo: c.c. pr, c.c. pr, codzo zl: pr rovmo u soluzo dl po (,) com somm d du soluzo: (,) Ψ (,) Φ ( ) du uzo soo: d Φ W [] Ψ Ψ [3] c.c d [] soo d Φ pr Φ ( ) Φ pr soluzo d [] è: Φ W ( ) rpprszo grfc è mosr lo. uzo [3] v rsol co l sprzo dll vrl: (,) ( ) τ ( ) Ψ ' ( ) τ ( ) ( ) τ ( ) ( ) ( ) ' τ ( ) τ ( ) d l codzo l cooro omog ll drzo :
5 srcz d Comuso rsmsso dl Clor Cpolo Scmo rmco (CONDUZIONE) ' τ ( ) ( ) ( ) τ ( ) l soluzo grl è: ( ) ( ) τ( ) [ C s ( ) C ( ) ] Ψ, Ψ c.c. pr c.c. pr Ψ codzo zl d Ψ : pr ud Ψ(,) Φ ( ) oss Ψ (, ) Φ ( ). pplcdo l c.c. C pplcdo l c.c. ( ),,...,,... o Ho f soluzo: Ψ C ( ) π, ud Applco or l codzo zl crco lo svluppo sr c l soddsf: W W C ( ) ( ) C ( ) C S prcò: Ψ (,) W W ( ) 3 ( ) ( ) 3 ( ) Sdy prolc profl soluzo fl dmsolzz è ud: W ( ) ( ) 3 ( ) Ψ (, ) (, ) Φ ( ) (, ) rpprszo grfc è mosr lo. 3
6 srcz d Comuso rsmsso dl Clor Cpolo Scmo rmco (CONDUZIONE) 3 SOUZIONE COMPEA CON C.C. c (CONVEZIONE) zl [ (,)] S s foss voluo vc rspr l codzo l cooro d covzo, l soluzo s sr ou rvrso l sgu svolgmo: W ρc d [] co o (o o!),, W codzo l cooro soo: c.c. pr, c.c. pr, c.. rovmo u soluzo dl po (,) com somm d du soluzo: (,) Ψ (,) Φ ( ) du uzo soo: d Φ W [] Ψ Ψ [3] 4
7 srcz d Comuso rsmsso dl Clor Cpolo Scmo rmco (CONDUZIONE) d Φ c.c d Φ [] soo pr Φ Φo pr Igrdo: dφ W C C pr c.c. W W Φ C pr Φ Φo, llor: Φo C l soluzo è duu: W Φ Φ o com rovr Φ o? Applcmo u lco d rg. I rgm szoro l rg prodo dv uscr dll suprfc com covzo ( ) o : W W [( ) ( )] o ( Φ ) W (pocé l vrl è ) o W Φ o, llor: Φ ( ) W W uzo [3] v rsol co l sprzo dll vrl: (,) ( ) τ ( ) Ψ ' ( ) τ ( ) ( ) τ ( ) ( ) ( ) ' τ ( ) τ ( ) d l codzo l cooro omog ll drzo : ' τ ( ) ( ) ( ) τ ( ) l soluzo grl è: 5
8 srcz d Comuso rsmsso dl Clor Cpolo Scmo rmco (CONDUZIONE) ( ) ( ) τ( ) [ C s ( ) C ( ) ] Ψ, Ψ c.c. pr c.c. pr Ψ Ψ codzo zl d Ψ : rcorddo c pr pr cu, (,) Φ ( ) Ψ (,) Φ ( ) Ψ (,) ud Ψ (,) Φ ( ) pplcdo l c.c. C. pplcdo l c.c. s ( ) ( ) g( ) B f uovlor,,...,,... ud g ( ), B π π 3 3 π π 5 π 3 π 4 g ( ) Ho f soluzo: Ψ (,) C ( ) 6
9 srcz d Comuso rsmsso dl Clor Cpolo Scmo rmco (CONDUZIONE) Applco or l codzo zl crco lo svluppo sr c l soddsf: Φ ( ) C ( ) ( Φ ( ) ) ( ) C ( ) S ( ) Φ ( ) ( ) ( ) s s s s C è u vlor : W W ( ) ( ) ( ) C ( ) W s C W ( ) W ( ) s ( ) s ( ) W ( ) s ( ) ( ) W ( ) s( ) Rcordmo c: 3 ( ) s ( ) C ( ) s ( ) ( ) s ( ) s ( ) W W W ( ) s ( ) s ( ) s ( ) W W C 3 W ( ) s ( ) B B g( ) pr cu g ( ) Rscrvmo l scodo rm dro prs udr: W s g W B W B W sosumolo: ( ) g( ) g( ) ( ) W W W ( ) s ( ) ud: ( ) C s W W s ( ) C ( ) s ( ) ( ) s ( ) 7
10 srcz d Comuso rsmsso dl Clor Cpolo Scmo rmco (CONDUZIONE) S prcò: ( ) Ψ, s ( ) ( ) W ( ) s ( ) soluzo fl è ud: (,) Φ ( ) Ψ (,) W (,) ( ) s ( ) s W o c, form dmsol: (,) W B W ( ) ( ) ( ) s ( ) W s W ( ) ( ) ESERCIZIO 3 Nl cso proposo o ss u soluzo rgm, l vr ll fo l mpo. Suppomo d sooporr u lsr f d spssor d u flusso rmco ll s. ( Esrczo logo coord cldrc è l umro 4) Iuvm possmo mmgr c l vr com d fgur ll pg sgu. Rgodo fscm s può mmgr c l soluzo s compog d du rm: uo c rpprs l form dll curv d dopo u mpo lugo, d u lro c rpprs l rslzo d us form d curv l pssr dl mpo. 8
11 srcz d Comuso rsmsso dl Clor Cpolo Scmo rmco (CONDUZIONE) 9 Alcm, l soluzo s compo d du coru: s szor mpo. szor su vol s comporrà d u () d u (). D l lrà dll uzo d rvzo dll rg è fcl dmosrr c è c vr l s s Rsolvmo sprm l sprsso
12 srcz d Comuso rsmsso dl Clor Cpolo Scmo rmco (CONDUZIONE) s s s s co ( ) ( ) s codzo l cooro soo l sgu: c.c. pr s c.c. pr s codzo zl è: pr s S ss s, do c u rm è fuzo solo dl mpo l lro solo d, dv ssr: d d d Pr ssr soddsf, l uzo rcd c d d d Igrmo l sprsso: d d d d C C C pr c.c. C llor d C ud C C pr c.c. d llor C ud C pr cu ( ) C Igrmo l sprsso: d d
13 srcz d Comuso rsmsso dl Clor Cpolo Scmo rmco (CONDUZIONE) d d ρ c ρ c ρ c Rm d rsolvr l sprsso, fuzo d d : soo l sgu codzo l cooro: c.c. pr c.c. pr c.c. è l prcé l codzo l cooro o omog d pr, è s ssor ll soluzo s. soluzo grl d è: ( C s ( ) C ( ) ) dll c.c. C dll c.c. C s ( ) ( ) s pr π co,,,... Amo f C ( ) prr d C, o o (drm) codzo zl dll pr s o d: pr, c possmo c scrvr com s ( ) ( ) m ( ) ud ( ) f l codzo zl pr rsul ( ).
14 srcz d Comuso rsmsso dl Clor Cpolo Scmo rmco (CONDUZIONE) Bsog or rovr lo svluppo sr c soddsf us codzo zl: ( ) C ( ) C ; Rcordmo c ( ) ; pr s c ( ) C ssummo c ( ) o o (drm). Allor ( ) ud ( ) C ( ) Applcmo l uovlor molplcmo mmro pr () grmo r d : ( ) C ( ) C ( ) ( ) 3 C 3 C 3 Molplcmo or mmro pr ( ) ulzzr l mglo l orogolà dll fuzo o: m d grmo fr, pr ( ) ( ) ( ) C ( ) [ s ( ) ] s ( ) [ ] ( ) s ( ) C 3 s pr π co,,,..., l sprsso s Rcorddo c ( ) rduc ( ) C oss: ( ) s ud c 3 C ( ) ( )
15 srcz d Comuso rsmsso dl Clor Cpolo Scmo rmco (CONDUZIONE) Il rsulo fl è: ( ) ( ) ρ c ( ) 3 ( ) S può flm scrvr l soluzo fl: Pr ulss : ρ c 3 ( ) ( ) 3 ( ) ( ) 3 3 ( ) 6 3 codzo zl è vrfc l form dll ll psr llo scorrr dl mpo è ull for dl dgrmm d pg. 9. ESERCIZIO 4 Immgmo u suprfc ss spos covzo co u fludo d,, c ll rdc ll s ssum l vlor., d, Il cso d rsolvr prs dll complczo rspo l prcd: f è -D rsoro, m l suprfc ss d rrlo com us -D. Il prmo psso è scrvr l uzo d rvzo dll rg u lmo d volum sso : A 3 P
16 srcz d Comuso rsmsso dl Clor Cpolo Scmo rmco (CONDUZIONE) m [] dov P m A ρc codzo l cooro soo l sgu: d c.c. pr c.c. pr soluzo dll [] è l somm d u soluzo szor s d u rsor. s s rcv dll uzo omog ssoc: d s m s [] dov l codzo l cooro soo: d c.c. pr s c.c. pr s soluzo è (vd Esrczo 9): s ( m) ( m) s rcv dll uzo: m [3] l cu codzo l cooro soo: 4
17 srcz d Comuso rsmsso dl Clor Cpolo Scmo rmco (CONDUZIONE) c.c. pr c.c. s rcv d: pr, pr cu s codzo zl è s ud s. Pr rsolvr l [3] pplcmo l sprzo dll vrl: ( ) τ ( ) ' ( ) τ ( ) m ( ) τ ( ) ( ) τ ( ) ( ) ( ) m ' τ ( ) τ ( ) d l codzo l cooro omog ll drzo : ( ) ( ) ' τ ( ) τ ( ) m ' τ ( ) ( ) ( ) ( m ) τ ( ) [4] [5] soluzo dll [4] è ( ) C ( ) ud, f soluzo C ( ),,,..., co dov π soluzo dll [5] è τ ( ) p[ ( m ) ] Qud ( ) τ ( ) è pr : ( ) p[ ( m ) ], C. Crcmo lo svluppo sr c soddsf l, :, p[ m ] C p[ ] ( ) 5
18 srcz d Comuso rsmsso dl Clor Cpolo Scmo rmco (CONDUZIONE) pr grdo r d dopo vr molplco pr ( ) c l codzo zl dll m, uo coo, s rcv dll codzo grl, : s ( m) ( m) ( m) ms ( ) C ( ) ( m) ( ) ( m) s ( ) m C ud: C ( m) ms ( ) ( m) m ( m) π ( m)( ) ( m)( m ) ( ) ( m ) C sprsso dll è ud l sgu: m ( ) ( m ) ( ) soluzo fl è prcò: (,) s ( ) (,) ( ) ( ) m (,) m m ( ) ( m ) ( ) soluzo fl dmsolzz è: ( m) ( m) m ( ) ( m ) ( ) All pg sgu è rporo l dmo d. 6
19 srcz d Comuso rsmsso dl Clor Cpolo Scmo rmco (CONDUZIONE) d u s prossmo ll ulro s d u s molo pccolo ESERCIZIO 5 U dll du suprfc d u lsr p d spssor, d sso lugzz f, è sm sogg d u flusso rdvo (vd lo Fg. ). zl dll lsr ( ) è ugul ll m,. Il coffc d scmo rmco è dco sull du fcc dll lsr. rovr l dll lsr l rsoro.,, Fg. 7
20 srcz d Comuso rsmsso dl Clor Cpolo Scmo rmco (CONDUZIONE) uzo d rsolvr, coord crs, è: ssdo ρc S cm vrl: c.c. pr o o c.c. pr c..3 pr S può provr rsolvr ì: (,) Ψ (,) Φ ( ) com d Fgg. 3 d Φ Ψ Ψ,,, l, Fg. Fg. 3 Fccmo rfrmo ll suzo d Fg. : c.c. dφ o Φ c.c. dφ Φ 8
21 srcz d Comuso rsmsso dl Clor Cpolo Scmo rmco (CONDUZIONE) d Φ [] Φ C C pr l c.c. C C pr l c.c. C ( C ) d cu: C C C ud: Φ Φ ( ) ( ) Fccmo or rfrmo ll suzo d Fg. 3; rcordmo c s è ffuo u cmo d vrl spzl, ll uov l. c.c. Ψ l Ψ Ψ c.c. c..3 (,) Φ( ) Ψ Ψ Ψ [] Il cso rsoro com soluzo grl, sprdo l vrl: ( ) ( ) τ( ) Ψ uzo [] dv, dopo sosuzo dvddo pr τ : τ' [3] τ prmo scodo mmro d [3] dvoo ssr ugul, pr cu: 9
22 srcz d Comuso rsmsso dl Clor Cpolo Scmo rmco (CONDUZIONE) τ τ soluzo grl è: Ψ [ C s ( ) C ( )] pr l c.c. C s ( l) C ( l) pr l c.c. C d cu ( l) B g ssdo l l B omo gl uovlor l, l,... B l π π 3 π π l l 3 l l 5 π 3 π 4 l g ( l) S o ud f soluzo Ψ C ( ) pplcmo l c..3 : (,) Φ( ) Ψ Ψ, coè l (,) C C pplcmo l ls d Fourr pr drmr C : 3
23 srcz d Comuso rsmsso dl Clor Cpolo Scmo rmco (CONDUZIONE) C l C C ( ) l ( C C ) ( ) C ( ) l [ C ( l) C ] ( ) C l ( l) s ( l) l C ( ) ( C l C ) ( ) l C l ( l) s ( l) Rcorddo c: ( ) s ( ) ( ) c ( ) ( ) s( ) l C Svolgdo clcol s rrv : C C ( C l C ) s ( l) ls( l) s ( l) l C ( l) s ( l) Sosudo vlor d C d C, s ll f c: Ψ (,) ( ) s, s : l ( ) C ( l) s ( l) l ( l) ls ( l) s ( l) l ( l) s ( l) [ ( l) ] Pro l soluzo fl è: (,) Φ ( ) Ψ(,) (,) ' ' ' ( l) ls ( l) l ( l) s ( l) s ( l) [ ( l) ] 3
24 srcz d Comuso rsmsso dl Clor Cpolo Scmo rmco (CONDUZIONE) ESERCIZIO 6 Cso rsoro -D. Il corpo Fg. v sposo, l mpo, ll codzo l cooro, (). zl è. Cm l vrl -, -. Modll l cso com d Fg. (pr smmr). Fg., y,,,,, S l uzo d rsolvr è: y ssdo ρc l codzo l cooro soo: c..,, y, y y, y prov scrvr l uzo c dvoo ssr rsol, sprdo l vrl (,y,) () Y(y) τ(). y Fg. "Yτ Y"τ " Y" Y τ' τ - -β -( β ) Yτ' 3
25 srcz d Comuso rsmsso dl Clor Cpolo Scmo rmco (CONDUZIONE) " ( ) C s ( ) C ( ) Y" β Y ( y) C s( β y) C ( βy) Y 3 4 ( β ) τ τ' ( β ) τ pr c.c. s c C pr c.c. s c g( ) B,dov B, ogo gl uovlor,,...,,... pr c.c.3 s c C 3 pr c.c.4 s c g( β) By,dov β B y, ogo gl uovlor β,β,...,β m,... Ho f soluzo: C m [ ( ) ( )] ( βm ) β y m Sfrudo l c.. pr, l orogolà dll fuzo so o, ogo l vlor dll C m : C m ( ) ( ) ( β y) m ( β y) m dy dy Pomo C C m ( ) ( ) ( β y) m ( β y) m dy dy 33
26 srcz d Comuso rsmsso dl Clor Cpolo Scmo rmco (CONDUZIONE) soluzo fl (, y,), form dmsol coè dvs pr è pro: C ( ) C ( β y) m m m βm dov: C ( ) è l soluzo dl cso rsoro -D psr, Cm ( βm y) m m è l soluzo dl cso rsoro -D psr, Coè, fscm: (, y,) (, ) ( y,) y (, y,) (,) ( y,) 34
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