Serie di Fourier Discrete Fourier Transform (versione 1.0, 18/01/2006)

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Guido Salvatore
5 anni fa
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1 Sri di Fourir Disr Fourir rsfor (vrsio., 6) Ig. Giuspp Fdl Dip. Elroi, Ifori Sisisi Uivrsià dgli Sudi dll Clbri Eil:

2 Sviluppo i sri di Fourir U sgl () è -priodio s vl l rlzio: ( ) ( ) L for d od di u sgl priodio risul opl dfii s l do di è oo i u qulsisi irvllo di po di dur, d spio,. () L ivrso di, ovvro f si di frquz fodl dl sgl rpprs il uro di priodi oui ll uià di po. Fuzioi orogoli Du fuzioi i () (), ppri ll isi { ( ) }, soo orogoli ll irvllo [,b] s: b i * () () i d i i S i l fuzioi soo d oroorli. or : Do u sgl () -priodio l h:. si ssolu igrbil sul priodo ; () d <. si oiuo o prsi i u priodo u uro fiio di disoiuià di pri spi; 3. si drivbil rispo l po l priodo, sluso l più u uro fiio di pui i quli sisoo fii l driv dsr siisr llor sso può ssr rpprso o: ()

3 dov () d Di: L fuzioi () { } soo orogoli ll irvllo,, ifi: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) si d d Ipoizzio h () si vr; oliplihio rbi i bri pr [] d, si h: () ( ) d d d d ui: () d Ossrvzioi: Il or ffr h l figli di fuzioi () { } osiuis u bs pr i sgli priodii di priodo. l bs risul, iolr, orogol. ull vi di sglir u lr bs o rpprszio di sgli priodii; l fuzioi di l bs dovro ssr orogoli l priodo dl sgl. 3

4 Espio Esprir il sgl ( ) i sri di Fourir. os., h risul priodio di priodo quluqu si, Fuzio os () ( ) si d ( ) Pr ui U sgl os possid quidi u solo offii dllo sviluppo, o d lrod r vid ofrodo il sgl ssso o lo sviluppo i sri. 4

5 Espio Esprir il sgl () os i sri di Fourir () d d d d os Pr l orogolià dll figli di fuzioi, il prio igrl risul divrso d ( pri ) solo pr d il sodo igrl è divrso d solo pr -. Di osguz:,,,, 5

6 Sri di Fourir i for rgolr () Ipoizzio h () os si b rovio i uovi offiii ffihé l ugugliz si vrifi. Cosidrio l -si opo dll sri isi l ri oo: ( ) ( ) si si si si b os os os os d ui: () () () d d d os log () d si b 6

7 E fil diosrr h: fuzio pri () ( ) f f () os b d fuzio dispri ( ) ( f f ) () d si b 7

8 Espio 3 Sviluppr i sri di Fourir i for rgolr il sgl (),,, f iplr lo sviluppo i sri i Mlb Foo di Gibbs os si si si si d d () si f os

9 l lr los ll ipu('uro roih '); % % Foo di Gibbs % M 5; 4; ; d.; s -:d:; i -:d:; % Priodo sgl % Dur ipulso % Psso irl % sl sgl % sl ipulso % Sgl bordo zros(,lgh(d:d:)); ipulso M*os(,lgh(i)); sgl [bordo ipulso bordo]; figur(); plo(s,sgl); il('foo di Gibbs'); % Sviluppo i sri di Fourir sf zros(,lgh(s)); % vlor dio sf sf M*; % roih pr zros(,); for : pr() si(*pi*)**m(*pi); sf sf pr()*os(**pi*s); d % visulizzzio figur(); plo(s,sgl,'b',s,sf,'r'); il('sgl riosruio'); ylbl(['uro roih ',usr()]); figur(3); br(:,pr); il('roih'); 9

11 rsfor disr di Fourir L rpprszio di u squz -priodi ( ) i po frquzil log llo sviluppo i sri di u fuzio oiu priodi di priodo, è dfii o: ( ) X X ( ) Ossrvzio: S i pioi dl sgl disro priodio, soo oui dl pioo dl sgl oiuo o psso di pioo, è possibil srivr: ( ) X Si o h i vri spozili oplssi ll soposizio osillo ll frquz f h buo dirio possoo hirsi l roih rliv l priodo di ripizio, ovvro ll frquz fodl Mosrio o u spio l logi sis r lo sviluppo i sri di u fuzio oiu l quivl vrsio disrizz. bbio viso h pr l fuzio oiu (), os - priodi si h:

12 C dll fuzio ()*os(*pi*) C Cosidrio or l quivl fuzio disrizz: ( ) priodi - os Qus può ssr sri o: ( ) I offiii dll sri disr di Fourir soo: X Pr l proprià di orogolià dll fuzioi spozili si h:

13 , X Ossrvzio: I offiii dll sri disr soo priodii di priodo, ifi: X ( ) X pr ui, ll spio prd, si h: 7 X X X X dll fuzio ()*os(*pi*) X 3

14 Espio: rovio, uilizzdo Mlb, i offiii dll sri di Fourir disr di u u sgl osiusoidl frquz Hz, pioo ll frquz di Hz, osidrdo u priodo di ossrvzio dl sgl di.5 sodi..; oss.5; ::(oss-); % Priodo di pioo dl sgl % Priodo di ossrvzio dl sgl; % orrispod l priodo virul di ripizio % dl sgl % Sl di pi % Dfiizio dl sgl yos(*pi**); % uro di pioi sri oss lgh(); % FF dl sgl Yff(y,); % Frquz fodl dl sgl (*) ff(oss); % Sl dll frquz fff*(:-); % Visulizzzzio odulo dll FF figur(), plo(f,()*bs(y));

15 Espio : % U uilizzo lssio dll FF è qullo di rovr % l opoi frquzili di u sgl orroo d ruor. l; % Cosidrio u sgl d.5 pioo % d u frquz di Hz. :.:.5; siz(,); % Cosruio il sgl o frquz: 5Hz Hz. si(*pi*5*)si(*pi**); figur(); plo(,); il('sgl origil: si(*pi*5*)si(*pi**)'); % ggiugio ruor sul % o disribuzio uifor ll'irvllo [.,.]. yrd(,); figur(); plo(,y); il('sgl orroo d ruor'); % Clolio l FF di du sgli Xff(,); Yff(y,); f*(:-); figur(3); subplo(), plo(f,bs(x)); subplo(), plo(f(:5),bs(x(:5))); il('ff dl sgl origil'); figur(4); subplo(), plo(f,bs(y)); subplo(), plo(f(:5),bs(y(:5))); il('ff dl sgl orroo d ruor'); 5

16 Sgl origil: si(*pi*5*)si(*pi**) Sgl orroo d ruor

17 FF dl sgl origil FF dl sgl orroo d ruor

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Successioni numeriche 08//05 uccssioi umrich uccssioi umrich Dfiizio U succssio è u fuzio ch d ogi umro turl ssoci u umro rl 0 : 0 : Es. 08//05 uccssioi umrich Dfiizio Il it dll succssio ch ch covrg d ) si idic è il umro rl