Evoluzione Temporale in Meccanica Quantistica

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1 Evoluzoe Temporle Me Qus

2 Sommro Rhm d Me Qus Evoluzoe emporle Rppresezo d Shroedger e d Heseberg Sere d Dyso Mre S Probbl d rszoe Regol d oro Fore d spzo delle fs F. Bh 2

3 Ke Br Operor 1 ke veore d so spzo veorle omplesso. + b somm d ke e u ke umero omplesso e rppreseo lo sesso so fso osservble A puo essere rpprese d u operore. geerle A e dverso d Per gl uoke d A vle l propre A A L seme de umer e l seme degl uovlor d A Gl s fs orrspode gl uoke soo hm uos d A Gl uoke d u osservble A osusoo u bse uo spzo veorle: geero ke puo essere sro ome b Σ F. Bh 3

4 Ke Br Operor 2 Spzo de br spzo veorle dule dello spzo de ke + b b * + * b b Prodoo ero: b b b* e b orogol se b X X + X + e operore gguo d X rppresezoe mrle l gguo d X s oee sosuedo X j o X* j Operor Herm: XX + XY + Y + X + Auovlor d u operore Hermo soo rel Auoke d u operore hermo soo orogol e possoo essere ormlzz: j δ j. Formo u bse Relzoe d ompleezz: F. ΣBh 1 Operore de 4

5 Rppresezoe Mrle XΣ Σ j X j j C soo N 2 umer dell form X j Possoo essere dspos u mre qudr de d rg j d olo Gl so u bse. Allor:... *... * *... * b b b b b b F. Bh

6 Msur MQ msur f sempre slre l ssem u uoso dell vrble dm he s msur P.A.M. Dr Prm dell msur: b Σ L msur dell osservble A f slre l ssem uo degl uos d A Eezoe: qudo l ssem s rov g u uoso d A l rsulo d u msur e uo degl uovlor d A. Probbl he l ssem sl ell uoso e b 2 Vlore d spezoe d A uo so b: b XbA Se e l uovlore dell uoso A Σ b 2 F. Bh 6

7 Osservbl Compbl Operor r Qudo orrspode operor ommuo: [AB] Soo dgolzzbl oemporemee Ho uos omu: b A b b B b b b Auovlore degeere: qudo dvers uos d u operore orrspode lo sesso uovlore. De due bs d ke oroorml e omplee e b esse u operore uro le he: b j j b j X + X dove X e l rppresezoe mrle d u operore ell bse e X e l su rppresezoe ell bse b F. Bh 7

8 Evoluzoe Temporle MQ 1 Tempo e prmero e o u operore A so del ssem e Ad u empo lo so del ssem e ; lm - ; ; Voglmo sudre l evoluzoe emporle ; rodumo l operore d evoluzoe emporle ; propre d omposzoe Operore fesmo d evoluzoe emporle: ; +d +d lm d- +d 1 Tue rhese soo soddsfe o +d 1-Wd; W + W defdo W o l Hmlo H: WH/h: +d 1-Hd/h F. Bh 8

9 Evoluzoe Temporle MQ 2 sdo l propre d omposzoe: Ques e l equzoe d Shroedger per l operore d evoluzoe emporle Molpldo mbo membr per l ke d so : Che e l equzoe d Shroedger per u ke d so. Se vee do e sppmo ome gse su o bbmo bsogo d oupr dell equzoe d Shroedger per ke d so bs pplre per oeere ;. Dobbmo rovre soluzo dell equzoe d Shroedger per o l odzoe zle 1 1 H d H d Hd d d H H ; ; 9 F. Bh

10 Evoluzoe Temporle MQ 3 Equzoe d rsolvere: Tre s: F. Bh 1

11 Evoluzoe Temporle MQ 4 Oupmo del so 1 H o dpede dl empo. Per spere ome gse su u geero ke dobbmo pre ome gse su ke d u bse. Seglmo ome bse gl uoke d u operore A le he [AH] uoke d A soo uoke d H: H E H exp H E' Σ ' Σ'' '' '' exp ' ' Σ' ' exp Se e o l espsoe del ke zle b: b Σ b ; ' ' ' ' ' b H exp E exp Σ ' b Σ ' ' ' ' ' ' b E exp ' ' N.B.: Le fs relve delle dverse ompoe Cmbo el empo perhe le frequeze d osllzo soo dverse F. Bh 11

12 Evoluzoe Temporle MQ 5 Cso spele: b ' b E ' exp Se l ssem e u uoso d A ed H rme le uoso Se [AH] llor A e u ose del moo ; S puo flmee geerlzzre l so d dverse osservbl ompbl r d loro e o H. E fodmele rovre u seme d osservbl ompbl fr loro e o H ' F. Bh 12

13 Evoluzoe Temporle MQ 6 Cosdermo or u osservble B he o ommu eessrmee o A od H e lolmoe l vlor medo u uoso d A ' ; B ' ' + B ' E' E ' ' exp B exp ' ' B ' B e dpedee dl empo uos dell eerg soo szor Clolmo B uo so o szoro. Se lo so o e szoro lo s puo esprmere ome u sovrpposzoe d uos dell eerg. b Σ ' ' ' Σ B Σ ' Σ '' * ' ' '' * ' E ' exp B Σ E ' B '' exp ' '' '' '' E F. Bh exp ' E'' '' 13

14 Rppresezoe d Shroedger Quell vs for: Gl s evolvoo el empo gl operor soo szor exp ; ; H H + H B H B B exp exp Vlore d spezoe 14 F. Bh

15 Rppresezoe d Heseberg Gl s reso os Le osservbl gl operor evolvoo el empo B ; + B H H B exp B exp db [ B H ] d H H B exp B exp Equzoe del moo d Hesemberg Vlore d spezoe deo elle due rppresezo F. Bh 15

16 Momeo Mgeo Cmpo Cose1 F. Bh 16

19 Rppresezoe d erzoe1 Dovu Dr le qudo H H + H H erme lbero V erme d erzoe eveulmee dpedee dl empo ermed r l rppresezoe d Heseberg e quell d Shroedger Osservbl vro el empo: evoluzoe deerm d H A e da d 1 H / H / Ase [ A H S vro el empo: evoluzoe deerm dl erme d erzoe H / ; e ; S H ' F. Bh ] 19

20 Rppresezoe d erzoe2 Suppomo he: H H + H H E Cosdermo u ke rbrro he ll se e do d: Σ l osro problem e deermre l he: ; Σ exp-e /h Aezoe ll forzzzoe dell dpedez emporle: l fore exp-e /h srebbe presee he ssez d H L dpedez dl empo d e dovu H. ssez d H F. Bh 2

21 Rppresezoe d erzoe3 ' ' ' ' ' / / / / e H d d m e H m m e H e m m H H m E E m m E E m m H H m m m m Σ Σ Σ Σ Σ Svluppo d u ke geero ell bse d uos d H Molplhmo mbo membr dell equz. d Sh. per ke per ed usdo l relzoe d ompleezz Defzoe de Equzoe mrle!!! 21 F. Bh

22 Sere d Dyso1 Soluzoe d equzoe dfferezle per geerle ompl pproo perurbvo Lvormo o l operore d evoluzoe emporle defo d: ; ; Che qud soddsf ll equz: d d H ' Co l odzoe zle 1 F. Bh 22

23 Sere d Dyso2 Equz dfferezle + odz zle equvlee equzoe egrle: Soluzoe erv: ' ' ' ' 1 1 d H h ' ''... ' ''... '... '' ' ' ' '' ' ' ' ' 1 ' '' '' '' ' 1 ' ' 1 '' '' 2 ' H H H d d d h H H d d h d H h d d H h H h F. Bh

24 Probbl d Trszoe 1 Relzoe r ed ell rpp d Shroedger Elemeo d mre d r uos d H : Ampezz d rszoe: dvers ell rpp d erzoe ed quell d Shroedger M l probbl d rszoe: E l sess! N.B.: solo r uos d H / / / / / / ; ; ; ; H H H H S H S H e e e e e e 2 2 / f f f e f E E f 24 F. Bh

25 Probbl d Trszoe 2 Suppomo he l ssem s u uoso d H : ; Σ Cofrodo o: Σ S vede he: Ahe possoo essere svlupp modo perurbvo: F. Bh 25

26 Probbl d Trszoe 3 Cofrodo o lo svluppo perurbvo d : 1 2 δ h h H ' 2 ' d' m d' '' h d'' e E e E E E '/ ' e '' Ampezz d rszoe ll orde j d d: j Terme d orde : essu erzoe L Σ m el erme d orde 2 h l seso d somm su possbl s ermed Probbl d rszoe d d s dvers fr loro!: m '/ H ' H ' m ' d' E m E ''/ H ' m P F. Bh 26

27 uvmee. F. Bh 27

28 Perurbzoe Cose 1 H ose Svluppo dell mpezz d rszoe f: F. Bh 28

29 Perurbzoe Cose 2 Terme orde zero: evoluzoe lber dello so zle d sez smbo eerg o erzoe Terme prmo orde:evoluzoe lber dello so zle d 1 u vvee smbo eerg o erzoe he ls l ssem ello so fle he evolve lbermee d 1 Terme seodo orde: evoluzoe lber dello so zle d 1 u vvee smbo eerg o erzoe he ls l ssem uo so ermedo he evolve lbermee d 1 2. Nell se 2 e u ulerore smbo eerg o erzoe he ls l ssem ello so fle he evolve lbermee d 2. Olre d egrre su u possbl s 1 e 2 oorre he sommre su u possbl s ermed. E os v per u gl lr ord perurbv. Ad og orde l ssem evolve lbermee o H fr ver dove ergse o l perurbzoe H F. Bh 29

30 Mre S 1 For: mpezz d rszoe per ervllo d empo fo Per sudo d problem d serg e pu eresse l esesoe d ervllo d empo fo. rodumo l mre d Serg: Smbo d sommor e lme forz u po l mem. l ssem s osder o ergee o l perurbzoe emp lugh el psso e el fuuro. Gl s so ed f soo uos d H F. Bh 3

31 Mre S 2 Somm su s ermed lude egrzoe F. Bh su grd d lber ou 31

32 Mre T Se l sere s spesse sommre s porebbe srvere: Dove T e l mre d rszoe l u svluppo perurbvo e : Gl eleme d T r s mperurb rppreseo l somm prpo f delle mpezze per lo smbo d 12.. qu fr ssem mperurbo e perurbzoe erprezoe:egl ord superor l prmo ompoo s ermed vrul he orrspodoo rszo ere l proesso u l ssem smb eerg o l perurbzoe N.B: elle erzo ermede l ssem o oserv l eerg he vee vee oserv globlmee grze ll δ S puo fr rslre ll relzoe d deermzoe empo-eerg. F. Bh 32

33 Probbl d Trszoe 1 F. Bh 33

34 Probbl d Trszoe 2 Probbl d rszoe l prmo orde r gl uos ed f d H : Probbl d rszoe per u d empo: F. Bh 34

35 Probbl d Trszoe 3 Prob. d rszoe per u d empo l orde perurbvo: Qudo e mpore osderre ord perurbv 1? Qudo l elemeo d mre l orde e P.es. per mov d smmer Qudo e eessr elev urezz N.B: Tu gl eleme d mre d proess relvs fr prelle rel soo ome mmo del orde; quell del orde o oservo Ep F. Bh 35

36 Rppresezoe dell δ F. Bh 36

37 Lm Sbrzz F. Bh 37

38 Comme sulle Probbl d Trszoe For: rszoe r s ed f spef solo dlle eerge geerle fssre E f o fss uvomee lo so fle: esse u molepl d s fl degeer orrspode d u d eerg Ques molepl e fuzoe dell eerg. Per u d E f s puo deermre l des degl s fl per ervllo d eerg pr smo eress ll probbl d rszoe verso u gruppo d s u ll eerg E f Oorre sommre w f su u gl s fl he s osdero. Normlmee s puo pprossmre l somm o u egrle. F. Bh 38

39 Regol d Oro N. 2 Se gl s fl osusoo u ouo: Prob. fesm d rszoe verso u ervllo fesmo d s Al orde: regol d oro. 2 Dr Ferm: Nel so d rszo verso lo spero ouo l δ d fo sompre d/de f :des' d s fl/ervllo d eerg; Fore d spzo delle fs Fore purmee emo o dmo rerso dello so fle remeo del umero d s fl essbl l ssem per remeo uro dell eerg dspoble F. Bh 39

40 Fore d Spzo delle Fs1 Esempo 1: F. Bh 4

41 Fore d Spzo delle Fs2 Esempo 2: F. Bh 41

42 Fore d Spzo delle Fs3 Esempo 3: Due prelle lbere sez vol r gl mpuls Qud: F. Bh 42

43 Aomo d drogeo Codesore 1 Aomo d H ello so fodmele odesore po ollego geerore d orree ler d frequez ω Geerore eso e speo E eerg ozzzoe Hmloo d erzoe: Due s: hωe e hωe F. Bh 43

44 Aomo d drogeo Codesore 2 Prmo so: hωe Aomo o vee ozzo possmo lolre mpezz d rszoe fr so fodmele ed uo degl s e seme dsreo: D u: F. Bh 44

45 Aomo d drogeo Codesore 3 Se E f E solo l seodo erme e mpore e l probbl d rszoe dve: L probbl d rszoe osll el empo fuzoe dell dur dell perurbzoe o l frequez d bmeo dfferez fr frequez dell perurbzoe e frequez urle dell rszoe F. Bh 45

46 Aomo d drogeo Codesore 4 Seodo so: hωe L omo s ozz e lo so fle ppree l ouo. Probbl d rszoe verso u gruppo d s: Pohe slde 4: Ne segue: F. Bh 46

47 Aomo d drogeo Codesore 5 Alue osderzo: l volume d quzzzoe L 3 s ell o for d ormlzzzoe L 3/2 delle fuzo d od Per vere probbl d rszoe f oorre egrre su rge fo d eerg ed golo soldo dell eleroe Trmo l elemeo d mre ome ose: F. Bh 47