Approssimazione di dati e funzioni: generalità
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- Iolanda Giovannini
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1 Arossmzoe d dt e uzo: geertà Probem: rossmzoe d u uzoe : ot g { } vor che uzoe ssume e ut { } s vuoe otteere u rresetzoe tc de uzoe u tervo [b] geere coteete g { }; esressoe tc de è ot m comct er e oerzo che s tedoo eetture d es. tegrzoe se e rchede u rresetzoe ù semce. I geere ot tbe de dt { } s vuo trovre u uzoe tc che rossm dt. Per uzoe terote è ecessro: seezore csse d uzo F que deve rteere; scegere u crtero er seezoe d u uzoe tr quee de csse F metodo d rossmzoe.
2 Arossmzoe d dt e uzo: css P seme de oom gebrc d grdo coecet re: Π seme de oom trgoometrc t d orde coe. re: 3 R m seme dee uzo rzo: 4 seme dee uzo esoez: 5 S [b] seme dee uzo se d grdo ovvero dee uzo d C - che s rducoo oom gebrc d grdo og sottotervo d msur d [b]. { } R ; L P [ ] { } b b t t R ; s cos Π { } m m m m m m r r P P R ; / { } b b g g R ; e
3 Arossmzoe d dt e uzo: metod Iterozoe uzoe rossmte è te che: K ormmete megt se dt z soo ccurt; b Arossmzoe mm qudrt dscret: uzoe rossmte m è que che red mm quttà: [ ] m ovvero trodott es w : w [ ] m Scrto qudrtco Codzo d terozoe Scrto qudrtco esto metodo usumete megto se dt dsoszoe soo umero eevto secod s reersce se è oto ror esstez d vor qu s vuo dre u eso mggore.
4 A. d dt: terozoe oome Iterozoe oome: ort tbe d dt { } s cerc u uzoe d rossmzoe rteete csse de oom gebrc che tero dt; s cerc oomo d grdo mmo che sodds e codzo d terozoe: dt > oomo d grdo ; svudo: dove e cogte soo coecet de oomo. K M M L L L L L L L L K F VA
5 Iterozoe oome: Vdermode L mtrce V de coecet de sstem gebrco è dett mtrce d Vdermode; er mtrce d Vdermode d od dstt { } s dmostr che: det V j> j Pertto V è regore qud esste u uc souzoe de sstem e qud oomo terotore è uco. Teorem: esste uo ed u soo oomo P che verc e codzo d terozoe er. Probem: mtrce d Vdermode geermete è mcodzot.
6 Iterozoe oome: bs I oomo terotore è uco m uò ssumere esresso dverse bst cmbre bse de oomo terotore: oomo gebrco. bse de moom: { } K ormu d Lgrge oom d bse d Lgrge: L { } b K Dt uctà de oomo terotore è ovvo che: L
7 Bse d Lgrge: ormu d Lgrge Dt g od { } g oom d bse d Lgrge soo det come oom d grdo t che: δ D que e segue che L : e ertto er oomo terotore e bse { } ssume esressoe d Lgrge: L j j esct comrs de vor od de uzoe; bse dedete d vor od de uzoe; ormu estt er oom d grdo more o ugue d ; osto > R. j j
8 Bse d Lgrge: esressoe tertv Dt tbe { } e deedo oomo ode come: w w s ottee che oom de bse d Lgrge ossoo essere esress come: cu dervt rm ssume orm:
9 Iterozoe oome: error Ne rocedur d t. o. soo reset seguet error: rrore d trocmeto dovuto sosttuzoe de uzoe tc co u oomo terote: dove co s è dcto oomo terotore dee coè oomo terore ssez de rrore d rogzoe dovuto g error d msur o d rossmzoe su dt ε : Per cu errore tote è esrmbe come: t
10 It. oome: errore d trocmeto Per errore d trocmeto e t. o. s dmostr che: b ] [! ξ ξ dove [b] è tervo chuso mmo coteete od ed uto d terozoe. I uto ξ o è oto ror e dede d ; e cso so ot o stmt vor estrem de dervt -esm d :! ] [!!!! ] [ < Λ > Λ Λ M b M b λ λ λ
11 rrore d trocmeto: esemo Nod equszt: h ; dett s u vrbe cotu te che: sh er s cocd co h er s h: L s s L s h P s h 8 6 P 7 s P s serczo cosgto [GL] 3.
12 It. oome: errore d rogzoe Per errore d rogzoe s h: ε Se ε ι ε s h:!!!! Λ Λ ε ε Dove Λ è uzoe d Lebesgue e rreset coecete d mczoe deg error su dt; s desce costte d Lebesgue quttà: m b Λ Λ
13 Fuzoe d Lebesgue: roretà Per uzoe d Lebesgue s h che: dede soo d oom odmet d Lgrge e qud soo d dstrbuzoe de od; è mggore o ugue d uo; e cso d od equszt: o h K e cso de od Chebyshev [b]: Λ eog b b cos Λ og K
14 Iterozoe oome: reogo I oomo terotore è uco m uò ssumere esresso dverse bst cmbre bse de oomo terotore: bse de moom oomo gebrco: oom d bse d Lgrge ormu d Lgrge: oom d bse d Lgrge: { } K { } L K j j j j δ
15 Iterozoe oome: error reogo rrore d trocmeto: rrore d rogzoe:! ξ Λ ε ε K ε ε ε
16 Iterozoe oome: esemo semo 6.3.: Dt tbe d vor er /: dre u vore rossmto d /.78 medte oomo terotore d secodo grdo dre u stm de errore e doo ver vutto qu cre s ossoo cosderre estte ccore ogrtmo ture de umero così otteuto corotdoo co og/e. S eseguo cco rrotoddo su sest cr decme.
17 Iterozoe oome: eserczo serczo [GL] 3.3: scrvere esressoe de oomo terotore d Lgrge retvo seguete tvo d vor de uzoe: e t dt stmre errore d trocmeto e ut d scss t. teedo coto che rsut: < <.3 [.] sercz cosgt [GL]
Approssimazione di dati e funzioni: generalità
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