Approssimazione di dati e funzioni

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1 Arossmzoe d dt e uzo

2 Arossmzoe d dt e uzo: geerltà Problem: rossmzoe d u uzoe : ot gl { } vlor che l uzoe ssume e ut { } s vuole otteere u rresetzoe ltc dell uzoe u tervllo b geere coteete gl { }; l esressoe ltc dell è ot m comlct er le oerzo che s tedoo eetture d es. tegrzoe se e rchede u rresetzoe ù semlce. I geerle ot l tbell de dt { } s vuol trovre u uzoe ltc che rossm dt. Per l uzoe terolte è ecessro: selezore l clsse d uzo F ll qule deve rteere; sceglere u crtero er l selezoe d u uzoe tr quelle dell clsse F metodo d rossmzoe.

3 Arossmzoe d dt e uzo: clss P seme de olom lgebrc d grdo coecet rel: Π seme de olom trgoometrc t d orde coe. rel: R m seme delle uzo rzol: 4 E seme delle uzo esoezl: 5 S b seme delle uzo sle d grdo ovvero delle uzo d C - che s rducoo olom lgebrc d grdo og sottotervllo d msur d b. { } R ; L P { } b b t t R ; s cos Π { } m m m m m m r r P P R ; / { } b b g g R ; e E

4 Arossmzoe d dt e uzo: metod Iterolzoe l uzoe rossmte è tle che: K ormlmete megt se dt zl soo ccurt; b Arossmzoe mm qudrt dscret: l uzoe rossmte m è quell che red mm l quttà: m ovvero trodott es w : w m Scrto qudrtco Codzo d terolzoe Scrto qudrtco esto metodo usulmete megto se dt dsoszoe soo umero elevto l secod s reersce se è oto ror l esstez d vlor qul s vuol dre u eso mggore. 4

5 5 A. d dt: terolzoe olomle Iterolzoe olomle: ort l tbell d dt { } s cerc u uzoe d rossmzoe rteete ll clsse de olom lgebrc che terol dt; s cerc l olomo d grdo mmo che sodds le codzo d terolzoe: dt > olomo d grdo ; svludo: dove le cogte soo coecet del olomo. K M M L L L L L L L L K F VA

6 Iterolzoe olomle: Vdermode L mtrce V de coecet del sstem lgebrco è dett mtrce d Vdermode; er l mtrce d Vdermode d od dstt { } s dmostr che: det V j> j Pertto V è regolre qud esste u uc soluzoe del sstem e qud l olomo teroltore è uco. Teorem: esste uo ed u solo olomo P che verc le codzo d terolzoe er. Problem: l mtrce d Vdermode geerlmete è mlcodzot. 6

7 Iterolzoe olomle: bs Il olomo teroltore è uco m uò ssumere esresso dverse bst cmbre l bse del olomo teroltore: olomo lgebrco. bse de moom: { } K ormul d Lgrge olom d bse d Lgrge: L { l l l l } bl K Dt l uctà del olomo teroltore è ovvo che: L 7

8 Bse d Lgrge: ormul d Lgrge Dt gl od { } gl olom d bse d Lgrge soo det come olom d grdo tl che: l δ Dll qule e segue che L : e ertto er l olomo teroltore ell bse {l } ssume l esressoe d Lgrge: L l eslct comrs de vlor odl dell uzoe; bse dedete d vlor odl dell uzoe; ormul estt er olom d grdo more o ugule d ; osto > l R. l j j j j 8

9 9 Bse d Lgrge: esressoe ltertv Dt l tbell { } e deedo l olomo odle come: l cu dervt rm ssume l orm: w w l s ottee che olom dell bse d Lgrge ossoo essere esress come:

10 Iterolzoe olomle: error Nell rocedur d t. ol. soo reset seguet error: Errore d trocmeto dovuto ll sosttuzoe dell uzoe ltc co u olomo terolte: dove co * s è dcto l olomo teroltore dele coè l olomo terolre ssez dell Errore d rogzoe dovuto gl error d msur o d rossmzoe su dt ε : * E * * E Per cu l errore totle è esrmble come: * * * E E E t

11 It. olomle: errore d trocmeto Per l errore d trocmeto ell t. ol. s dmostr che: b E! ξ ξ dove b è l tervllo chuso mmo coteete od ed l uto d terolzoe. Il uto ξ o è oto ror e dede d ; el cso so ot o stmt vlor estrem dell dervt -esm d :!!!!! < Λ > Λ Λ M E b M E E b λ λ λ

12 Errore d trocmeto: esemo Nod equszt: h ; dett s u vrble cotu tle che: sh er s cocd co h er s h: L s s L s h P s h P 7 s P s Eserczo cosglto GL.

13 It. olomle: errore d rogzoe Per l errore d rogzoe s h: l l l l E * * ε Se ε ι ε s h:!!!! * Λ Λ l l E ε ε Dove Λ è l uzoe d Lebesgue e rreset l coecete d mlczoe degl error su dt; s desce costte d Lebesgue l quttà: m b Λ Λ

14 Fuzoe d Lebesgue: roretà Per l uzoe d Lebesgue s h che: dede solo d olom odmetl d Lgrge e qud solo dll dstrbuzoe de od; è mggore o ugule d uo; el cso d od equszt: o h K el cso de od Chebyshev b: Λ elog b b cos Λ log K 4

15 5 Iterolzoe olomle: relogo Il olomo teroltore è uco m uò ssumere esresso dverse bst cmbre l bse del olomo teroltore: bse de moom olomo lgebrco: olom d bse d Lgrge ormul d Lgrge: olom d bse d Lgrge: { } K { } l L l l l l K j j j j l l δ

16 6 Iterolzoe olomle: error relogo Errore d trocmeto: Errore d rogzoe:! * E ξ * * l E Λ ε ε K ε ε ε

17 Iterolzoe olomle: esemo Esemo 6..: Dt l tbell d vlor er /: dre u vlore rossmto d /.78 medte l olomo teroltore d secodo grdo dre u stm dell errore e doo ver vlutto qul cre s ossoo cosderre estte clcolre l logrtmo turle del umero così otteuto corotdolo co log/e. S eseguo clcol rrotoddo sull sest cr decmle. 7

18 Iterolzoe olomle: eserczo Eserczo GL.: scrvere l esressoe del olomo teroltore d Lgrge reltvo ll seguete tvol d vlor dell uzoe: e t dt E stmre l errore d trocmeto e ut d scss t. teedo coto che rsult: < <.. Esercz cosglt GL

19 Iterolzoe olomle: dereze dvse L esressoe d Lgrge er l olomo teroltore sore d u roblem d o-dmctà ; olom odmetl dedoo d tutt od dell tbell ertto se ggugessmo u dto dovremmo clcolre tutto l olomo teroltore. L esressoe term delle dereze dvse ermette quest dmctà el seso che l ggut d ulteror ormzo comort u umero lmtto d oerzo rtcolre: dto l olomo teroltore esresso lle dereze dvse d orde l ol. t. d orde che s ottee ggugedo ulteror ormzo comort l clcolo d uov term. 9

20 Dereze dvse: dezo Le dereze dvse dell uzoe reltve ll seme { } soo dete modo rcorsvo sotto l codzoe che od so rbtrrmete dsost m tutt dstt deedo: dereze dvse rme j j j j j ; K dereze dvse d orde zero

21 Dereze dvse: dezo dereze dvse secode j j j j j dereze dvse d orde K K K

22 Dereze dvse: tbell Tbell lle dereze dvse dell uzoe reltve ll seme { } : K N L O M M M M M M

23 Tbell: ggut d u elemeto K N L O M M M M M M Aggut d u elemeto ell tbell K N K

24 Dereze dvse: roretà Le dereze dvse verco le seguet roretà: le dereze dvse d orde mggore d zero d u costte soo ulle; due uzo e g tl che g ho le stesse dereze dvse; og derez dvs è uzoe vrte o smmetrc de su rgomet ovvero u ermutzoe degl dc de od lsc vrt l derez dvs cosdert; 4 er u olomo d grdo s h: P K > 4

25 Dereze dvse: rogzoe dell errore Le dereze dvse soo estremmete sesbl gl error su dt; cus dell lertà delle oerzo ell costruzoe delle dereze dvse s h: η K K η K dove ed η soo le dereze dvse reltve dt estt ed quell ett d errore su dt e η l uzoe che descrve l errore su dt; qud er vere u de uò essere sucete lzzre l tvol delle dereze dvse dell uzoe η. 5

26 6 Progzoe dell errore: esemo Per u tbell lle dereze dvse su 5 od equszt ed u errore sul solo dto cetrle s h: / / / / / / / / h h h h h h h h ε ε ε ε ε ε ε ε ε L errore cresce l dmure del sso; l errore cresce co l orde dell derez dvs; er dereze dvse d orde elevto s h l eomeo dell ccellzoe umerc; lt sesbltà che er gl error d rrotodmeto. L rogzoe dell errore dede dll su oszoe ell tbell lle dereze dvse eserczo: errore sull ultmo dto.

27 7 Iterolzoe olomle: Newto vt Le dereze dvse reltve d u tbell d dt { } osso essere uste er orre u esressoe del olomo teroltore: Teorem: l olomo: detto olomo d Newto lle dereze dvse vt è l olomo teroltore dell uzoe e od coè è l olomo teroltore reltvo ll tbell d dt { }. K L L

28 8 Iterolzoe olomle: Newto vt

29 9 Dereze dvse: errore d trocmeto Errore d trocmeto ell terolzoe olomle: b E! ξ ξ Nel cso cu s costrusc u olomo teroltore d grdo e s bb dsoszoe u derez dvs d grdo -esmo u stm dell errore d trocmeto è dt dll relzoe: E K

30 Dereze dvse: esemo Esemo 6.5.: dt l tbell: reltv ll uzoe s scrvere l tvol delle dereze dvse e vlutre s.5 medte l olomo teroltore d Newto lle dereze dvse vt d orde due; vlutre oltre l errore d trocmeto.

31 Dereze dvse: eserczo Eserczo GL.5: dte due tvole lle dereze dvse reltve d u uzoe. sceglere quell delle due er l qule: Il olomo teroltore d terzo grdo reltvo rm quttro od orsce u rossmzoe d.8 co u errore d trocmeto E -4 ; seccre se e qul od d terolzoe soo gl stess e due cs; sedo che sh corotre vlor degl error d trocmeto E ed E reltv due olom teroltor del uto e corotre tl vlor co l rmo terme omesso seccdo se l rossmzoe otteut è er eccesso o detto mmesso d trscurre gl error su dt.

32 Dereze dvse: eserczo Tvol Tvol. t t t t t Eserczo cosglto GL.4

33 Iterolzoe olomle: covergez Cos ccde se s umeto l umero de od e qud l grdo del olomo teroltore? L errore d rogzoe coè quello ssocto gl error su dt e d rossmzoe cresce. Cos ccde ll errore d trocmeto? Ovvero l crescere del umero de od l olomo teroltore tede ll uzoe? I u uc rol l olomo teroltore è u rossmzoe covergete dell uzoe ltc ovvero u ormul: lm lm E

34 Covergez: uzoe d Ruge I geerle l covergez o è grtt d esemo: b b

35 Covergez: codzo sucet Teorem: se C b e osto M b d es. uzoe co dervte equlmtte rsult: lm b lm M! llor: uormemete e er quluque scelt dell dstrbuzoe de od b. Teorem: se è lschtz b l successoe de olom teroltor su od d Chebyshev coverge uormemete b. 5

36 6 Nod d Chebyshev: dezoe e roretà I od d Chebyshev b soo det come: cos ˆ b b Ioltre l olomo odle costruto sull bse de od d Chebyshev verc le seguet roretà: ˆ m b b m ˆ m b b dove è u quluque ltro olomo odle costruto su u bse d od dvers d quell d Chebyshev.

37 Nod d Chebyshev: esemo b b C