Analisi di una distribuzione. Analisi di una distribuzione

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1 Als d u dstrbuzoe Idc d cetrltà Als d u dstrbuzoe Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 Al crescere del umero d osservzo, e rducedo l mpezz degl tervll, l stogrmm d frequeze tede dvetre u curv, che rppreset l form dell dstrbuzoe dell vrble L curv descrve l dstrbuzoe d frequeze reltve: qud l re totle sottes ll curv è pr.

2 Als d u dstrbuzoe Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 U dstrbuzoe d frequeze descrve l dmeto d u feomeo u popolz, che preset u vrbltà, o dspersoe, toro d u vlore cetrle. U dstrbuzoe è crtterzzt prm d tutto dll su form: lt e strett / lrg e ptt smmetrc / smmetrc uo / pù pcch Possmo dvdure due prcpl prmetr che descrvoo stetcmete u dstrbuzoe: l tedez cetrle l dspersoe Per descrvere l tedez cetrle d u dstrbuzoe, ovvero l modltà toro ll qule s cocetr mggormete l feomeo, esstoo dverse possbltà: l modltà che s preset co mggore frequez l modltà cetrle, rspetto ll qule metà delle osservzo soo rsultte mor e l ltr metà mggor l vlore medo, otteuto sommdo tutt vlor osservt e dvdedo l rsultto per loro umero Als d u dstrbuzoe Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 Mod: l modltà corrspodez dell qule s osserv l frequez mggore è l uco dce d cetrltà che s può determre per le vrbl qulttve oml possoo esstere pù modltà che preseto l stess frequez mssm: se d es. e bbmo due, l dstrbuzoe s dce bmodle el cso d u dstrbuzoe uforme, tutte le frequeze soo ugul: l dstrbuzoe è prv d mod Esempo: L mod è pr 9 per etrmbe le fcoltà Se cosdermo l dstrbuzoe d 3 : - per Formzoe l mod rsult - per Flosof l dstrbuzoe rsult bmodle, co le due mode: e 3 Frequeze Assolute Sceze Età Formzoe Flosof Totle 5

3 Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 Als d u dstrbuzoe Per le vrbl qutttve cotue, qudo s h u tbell d frequeze costrut prtre d clss d vlor, s determ gevolmete l clsse modle, coè l clsse cu s cocetr l frequez mggore Se fosse ecessro determre u vlore putule per l mod, s porrebbe l problem d spere come soo dstrbute le frequeze ll tero dell clsse. o cooscedo come soo dstrbut vlor ll tero dell clsse: u soluzoe lquto pprossmtv cosste ell dcre come mod l vlore cetrle dell clsse modle u soluzoe pù sofstct è quell d determre l vlore per terpolzoe: l mod dovrebbe essere pù spostt verso l clsse cotgu co frequez mggore Frequeze Assolute Età Formzoe Flosof Totle 5 Als d u dstrbuzoe Med: è l vlore cetrle dell sere de dt ordt Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 L'de che ll bse dell med è cercre u umero che dvd metà l seme de dt, coè s mggore del 5% delle osservzo e more del restte 5% de dt E quel vlore che, u sere d dt dspost orde crescete, è preceduto e seguto dllo stesso umero d osservzo E determble per vrbl su scl lmeo ordle L med dvde due prt ugul l re che st sotto l curv che rppreset l dstrbuzoe re,5 re,5

4 Als d u dstrbuzoe Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 Come s determ? Per prm cos s ordo vlor degl dt osservt: qudo è dspr: è semplcemete l terme cetrle dell sere ordt: poszoe / qudo è pr: o bbmo u terme cetrle m due: può essere ssuto come med quluque vlore compreso tr due term med, poszoe / e / covezolmete s ssume come med l semsomm de due term med Als d u dstrbuzoe Qudo bbmo dt u tbell d frequeze, s determ l clsse med, cu cde l vlore medo : ell tbell delle frequeze cumulte reltve s trov l clsse cu cde l 5% delle frequeze reltve qudo dt soo rggruppt clss d vlor, per vere u vlore putule s può potzzre l uforme rprtzoe de vlor ell clsse e determre l vlore medo per terpolzoe d esempo: se ll estremo ferore dell clsse l frequez reltv è,45 e ll estremo superore è,55: l med cdrà esttmete l cetro geerle, occorre fre u proporzoe: Me 3 *,5,45,5,55,45 Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 Sceze Formzoe Età Frequeze Reltve Freq. Rel. Cumulte 9-,75,75 -,5,35 -,5,45-3,,55 3-4,75,65 4-5,9,75 5-6,,85 6-7,4, ,65,9 8-9,3,95 9-3,5, ,5, ,5, ,5, ,, ,5, ,5, Totle,

5 Als d u dstrbuzoe L med è l vlore cu corrspode l 5% de cs sull Fuzoe d rprtzoe: possmo determrl gevolmete propro prtre dll curv delle frequeze cumulte sull fuzoe d rprtzoe, s determ l puto cu corrspode u frequez cumult pr,5 proettdo l puto dell curv sull sse delle scsse s ottee l vlore medo,9,8,7,6,5,4,3,, Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 Sceze Formzoe Età Frequeze Reltve Freq. Rel. Cumulte 9-,75,75 -,5,35 -,5,45-3,,55 3-4,75,65 4-5,9,75 5-6,,85 6-7,4, ,65,9 8-9,3,95 9-3,5, ,5, ,5, ,5, ,, ,5, ,5, Totle, Als d u dstrbuzoe Propretà dell med Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 L med mmzz l somm de vlor ssolut degl scrt: coè è quel vlore che rede mm l somm d tutt gl scrt pres vlore ssoluto Me m ovvero : Me < Me Se predmo, l posto dell med, u quluque ltro vlore costte, l somm degl scrt vlore ssoluto clcolt rspetto tle vlore, -, rsult, per quluque seme d umer, mggore dell somm degl scrt vlore ssoluto clcolt dll med - Me Quest propretà h seso, turlmete, solmete co rfermeto dt qutttv scl tervllo o rpporto L med rsete poco de vlor estrem perché dpede solo dl umero d osservzo che cdoo ll su destr e sstr, e o dll loro dstz: quest crtterstc è u vtggo presez d vlor oml Idczoe prtc: l med è resstete o robust rspetto ll presez d vlor oml es. error d msur Vededo le cose dll ltro puto d vst, s può dre che l med o è sesble vlor estrem, che possoo però vere molt mportz, qudo o soo oml m descrvoo stuzo estreme rel

6 Als d u dstrbuzoe Med Artmetc Semplce: è l somm de vlor osservt dvs per l umero totle d utà M µ Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 : vlore dell modltà -esm : umero totle d osservzo L med rtmetc è costrut come l vlore che può essere sosttuto dt osservt sez fre vrre l somm E clcolble solo per le vrbl qutttve su scl tervllo e scl rpporto Fmlrzzmo co l otzoe sttstc: l formul è solo u modo d descrvere le operzo d clcolo d esegure, pù veloce e stetco rspetto lle prole: Als d u dstrbuzoe Med Artmetc Podert: Qudo dt soo orgzzt u tbell d frequeze, cscu modltà deve essere pest per l umero d utà che l preseto S clcol sommdo vlor osservt moltplct per le rspettve frequeze, dvso l somm de pes pr M : vlore dell modltà o clsse -esm : frequeze ssolute modltà -esm : umero d modltà dstte o d clss : umero totle d osservzo V soo ltre stuzo, cu dt possoo essere podert co pes dvers dlle frequeze: l deomtore vremo sempre l somm de pes, m o srà pù ugule Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 Frequeze Assolute Sceze Età Formzoe Flosof Totle 5

7 Als d u dstrbuzoe L med podert può essere clcolt che poderdo le osservzo drettmete co le frequeze reltve: Per essere covt, esplctmo le somme: f... f... f f el cso dell poderzoe co le frequeze reltve, l somm de pes è ugule f Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 Frequeze Reltve Sceze Età Formzoe Flosof 9,8,6,5,4,3,,, 3,8,4 4,9, 5,,6 6,4,4 7,7, 8,3, 9,, 3,3, 3,, 3,, 33,,3 34,,5 35,, Totle,, Als d u dstrbuzoe Eserczo. Clcolmo l età med podert de ostr scrtt: Avedo u tbell d frequeze ssolute pplchmo l prm formulzoe e ottemo: MEtà Sceze Formzoe 9*35 *3 *5 * 34*5 35*5 / / 4538 /,69 Per eserczo clcolre MEtà Flosof [,94] f Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/ Totle 4538 Med,69

8 Als d u dstrbuzoe el cso d tbell d frequeze co dt rggruppt clss d vlor, o s cooscoo vlor d tutte le osservzo dell clsse, m solo gl estrem dell tervllo Come s clcol llor l med? Bsog sceglere che vlore dottre per le clss, come, per pplcre l formul Ipotzzdo che questo cso che dt so dstrbut uformemete ell tervllo, come vlore rppresettvo d tutte le utà dell clsse, s utlzz l vlore cetrle dell tervllo el determre l vlore cetrle dell tervllo, occorre prestre ttezoe cosderre correttmete gl estrem el ostro esempo, se cosdermo che l età è reltà u vrble cotu, è pù corretto cosderre l clsse dct co 9- comput come tervllo [9, : qud l vlore cetrle dell clsse d utlzzre el clcolo dell med srà: 9 /,5 e o. Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 Età 9-9? -4 53? 5-7 4? ? ? 34-36? Totle Età Itervllo 9- [9-,5-4 [-5 3,5 5-7 [5-8 6,5 8-3 [8-3 9, [3-34 3, [ ,5 Als d u dstrbuzoe Duque rsulterà: MEtà Sceze Formzoe,5*9 3,5*53 6,5*4... 3,5*5 35,5* / / 3,3 Per eserczo, clcolre MEtà Flosof [ 3,53 ] Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 Frequeze Assolute Età [9-, , [-5 3, , [5-8 6, , [8-3 9, ,5 [3-34 3, ,5 [ ,5 355, Totle , Med - - 3,3 Frequeze Reltve Età f f [9-,5,45 9,5 [-5 3,5,65 6,75 [5-8 6,5,5 5,435 [8-3 9,5,675,993 [3-34 3,5,75,438 [ ,5,5,775 Totle -, 3,975 Med - - 3,975

9 Als d u dstrbuzoe Propretà dell Med Artmetc Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 E l med lgebrc d gr lug pù utlzzt, tto che qudo d prl d med sez specfcre, s tede quell rtmetc, perché gode d mportt propretà. Per defzoe, l med rtmetc coserv l somm de vlor, coè può essere sosttut sgol vlor e l totle rest lo stesso. Tee coto de vlor d tutt dt osservt: quest crtterstc può rppresetre u prego m che u dfetto relzoe ll stuzoe cu s pplc sesbltà vs. stbltà E sempre compres tr l more e l mggore de dt. L med d u costte è l costte stess. L somm degl scrt de vlor osservt dll med rtmetc è sempre ugule zero. L somm de qudrt degl scrt dll med rtmetc è mm, coè è l more possble. Als d u dstrbuzoe Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 Propretà dell Med Artmetc L med d u costte è l costte stess. Ovvero, se dt soo tutt ugul u costte c, l med è ugule c. se llor :... M M c c c c c... c c c Osservmo che l med d u sere d vlor, u volt clcolt, è u costte: effett è u umero es. 3,3 e qud u quttà costte U ruolo mportte ho cosddett scrt de vlor osservt dll med. Gl scrt d u costte soo deft come l dfferez tr vlor osservt e l costte:,...,

10 Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 Als d u dstrbuzoe Propretà dell Med Artmetc L somm degl scrt dll med è sempre ugule : : poderto cso l per Dmostrzoe semplce cso l per Dmostrzoe : podert med dell cso el e Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 Als d u dstrbuzoe Propretà dell Med Artmetc L somm de qudrt degl scrt dll med è mm S dce che l med mmzz l somm de qudrt degl scrt < ] [ ] [ m :, sempre d dverso umero ltro quluque u predmo se Iftt ovvero b b b

11 Als d u dstrbuzoe Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 Eserczo: Top che uoto U rcerctore vuole verfcre se top ho l stess cpctà d uotre u lqudo opco e qud ll cec rspetto d uo trsprete. Come lqudo opco decde d usre l ltte. L espermeto vee codotto msurdo l tempo mpegto d 5 top per percorrere uoto u stess dstz, e due tp d lqudo. - Clcolre med e med. Qul è l dctore mglore questo cso e cos suggersce l rsultto? e cos è successo l topo. 4? Als d u dstrbuzoe Rsposte: Acqu: Med Med, Ltte: Med 4 Med36,4 Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 I top sembro u po pù loro go uotre cqu che o ll cec u lqudo opco L med rtmetc rsete molto pù dell med del vlore estremo 6

12 Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 Als d u dstrbuzoe Relzo tr Mod, Med e Med L mod è l vlore co l frequez mggore, qud è quello corrspodez del mssmo dell curv dell dstrbuzoe d frequeze L med dvde l re sottes ll curv due metà ugul 5% destr e 5% sstr L med tee coto de vlor d tutte le osservzo, qud rsete mggormete de vlor estrem molto pccol o molto grd I u dstrbuzoe umodle smmetrc: med, mod e med cocdoo Al crescere dell smmetr, tre dctor s lloto progressvmete Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 Als d u dstrbuzoe L med rtmetc è fodmetle e process d msur, e el cmpometo, perché permette d cotrollre l precsoe delle stme: per umetre l precsoe d u msur, s effettuo pù msurzo e se e f l med È semplce d clcolre: è l pù semplce delle mede lgebrche, e per questo tede d essere ust che qudo o è pproprt. Clcolre l med rtmetc h seso qudo le quttà espresse dll vrble soo ddtve, coè h sgfcto sommrle. Le grdezze ddtve soo le pù dffuse. o tutte le grdezze però soo ddtve, ovvero o sempre h seso sommre determte quttà tutt cotest. L med rtmetc è l vlore che coserv l somm de dt d medre. Qudo l rsultto dell operzoe che h sgfcto coservre o è l somm, l med rtmetc o è pproprt, coè coduce cocluso o corrette. Ad es. o è corretto fre l med rtmetc d tss d cresct, o d tss d teresse grdezze moltplctve, o d veloctà rpporto spzo/tempo, Per medre correttmete grdezze o ddtve è ecessro trodurre ltr tp d mede lgebrche: med geometrc, med rmoc, med qudrtc,

13 Als d u dstrbuzoe Propretà dell Med Artmetc Podert Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 U teresste propretà fsc dell med è quell d essere l brcetro cetro d grvtà coè l puto d equlbro del sstem rppresetto d dt Mede Algebrche u ultmo sforzo

14 Mede lgebrche Med de Qudrt: è l med rtmetc del qudrto de vlor osservt M Per dt tbell d frequeze dvet: M : vlore dell modltà -esm : frequeze ssolute modltà -esm : umero totle d osservzo : umero d modltà dstte dell vrble ovvero d clss dell tbell d frequez L med de qudrt è u quttà molto mportte sttstc, che vedremo torre spesso e ostr dscors Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 ^ ^ Totle 4998 Med 54,99 Mede lgebrche Med Qudrtc: è l rdce qudrt dell med de qudrt de vlor M Per dt tbell d frequeze: Propretà: L med qudrtc è sempre mggore dell med rtmetc, clcolt sugl stess dt M > M Eserczo. Verfchmolo su ostr dt: M è > M,69 54,99,9 Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 ^ ^ Totle 4998 Med 54,99

15 Mede lgebrche Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 Med Geometrc: è costrut come l vlore che può essere sosttuto dt osservt sez fre vrre l prodotto M geom Per dt tbell d frequeze:... M geom dc l prodotto d term Propretà: L med geometrc è sempre more dell med rtmetc clcolt sugl stess dt M geom < M L med geometrc è pproprt per clcolre l med d grdezze moltplctve, come tss d cresct o tss d teresse Mede lgebrche Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 Med Armoc: è l recproco dell med rtmetc de recproc de vlor M rm Propretà: L med rmoc è sempre more dell med geometrc e qud che dell med rtmetc clcolt sugl stess dt M < M M rm geom < L med rmoc è pproprt per clcolre l med d grdezze che dervo d rpport, come l veloctà rpporto spzo/tempo Esempo: Percorrmo l trgtto Vero-Treto ll veloctà d 9m/h e l rtoro d Treto Vero m/h. Qul è stt l ostr veloctà med? M rm

16 Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 Eserczo: L fermt dell utobus Lugo u strd rettle soo colloct cque codom: A, B, C, D ed E. L AMT deve decdere dove poszore l fermt dell utobus, modo che rsult pù comod possble per potezl utet che bto ell strd. I dt rlevt per predere l decsoe soo seguet: - e 5 stbl bto rspettvmete l seguete umero d qul: 6, 6,,, 8 - le dstze tr gl edfc soo le seguet: dstz d A d B m dstz d B d C m dstz d C d D m dstz d D d E 5 m S vuole determre l poszoe dell fermt modo d mmzzre l dsgo complessvo de resdet ell strd per rggugere l fermt, cosderdo due dfferet potes: - l dsgo cresce lermete co l dstz - l dsgo cresce co l qudrto dell dstz