Variabili casuali. Esempio. Variabili casuali discrete. Ω continuo V.C. discreta o continua. Ω discreto V.C. discreta ( ) = 1. continua.

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1 Vrl csul U vrle csule X e u fuzoe deft sullo spzo cmporo Ω che ssoc d og eveto Ω u uco umero rele. X Ω semp: somm de putegg el lco d due dd, umero d pezz dfettos u lotto, vrzoe gorler el redmeto d u ttolo, umero d prodott d u certo tpo vedut gorlmete u prtcolre puto vedt Vrl csul dscrete U vrle csule dscret X è crtterzzt dll su fuzoe d proltà che ssoc d oguo de vlor l corrspodete proltà P(X ). L fuzoe d proltà deve verfcre le due propretà: ( X ), P P X U vrle letor dscret può che crtterzzrs ttrverso l su fuzoe d rprtzoe che f corrspodere vlor le proltà cumulte P(X ): F ( ) P ( X ) P ( X w ) L fuzoe d rprtzoe verfc le seguet propretà: w F() è o decrescete ( ) e lm F ( ) lm F F() è cotu destr 3 U vrle csule può essere clssfct come dscret o cotu. U vrle csule dscret può ssumere u seme dscreto (fto o umerle) d umer rel. U vrle csule cotu può ssumere tutt vlor compres u tervllo rele. Ω dscreto V.C. dscret Ω cotuo V.C. dscret o cotu sempo Corrspodez tr evet e vlor dell vrle csule X{somm de putegg}, ell prov lco d due dd X P() F()

2 Rppresetzoe grfc dell fuzoe d rprtzoe per l esempo del lco d due dd F(),8,6,4, sempo S cosder l v.. X che può ssumere tutt vlor dell tervllo rele [ ; ] modo che tutt sottotervll d ugule mpezz o l stess proltà. L fuzoe d destà è L fuzoe d rprtzoe è f se [ ; ] ltrmet ( ) se [ ; ] Fuzoe d destà d proltà Fuzoe d rprtzoe F se se < > 7 Vrl csul cotue U vrle csule cotu X è crtterzzt dll su fuzoe d destà, f() tle che l re sottes ll fuzoe, u tervllo, è pr ll proltà che X ssum u vlore quell tervllo: L fuzoe d destà deve verfcre le propretà: f ( ) f ( ) d P ( X ) f ( ) L proltà che l v.c. ssum u prtcolre vlore è. d U v.. cotu può che crtterzzrs ttrverso l fuzoe d rprtzoe: F ( ) P ( X ) f ( w ) L fuzoe d rprtzoe verfc le propretà gà vste precedez; oltre per v.. cotue, ess è ssolutmete cotu. dw 6 Vlore tteso d u v.. Il vlore tteso d u v.c. X, è defto come ( ) X P se l v.c. è dscret X f d se l v.c. è cotu Il vlore tteso d u fuzoe Y g(), dell v.. X, può essere clcolto come: ( ) ( ) Y g P se l v.c. è dscret Y g f d se l v.c. è cotu 8 5

3 sempo v.. dscret sempo v.. cotu X{somm de putegg}, ell prov lco d due dd S cosder l v.. X deft ell tervllo [ ; ] vst prm X P() F() ( X ) f ( ) d d f ( ) ( ) ( ) ( X ) Vrz d u v.. L vrz d u v.c. X, è deft come A secod del tpo d v.., l precedete defzoe dvet ( ) V X X P se l v.c. è dscret ( ) V X X f d se l v.c. è cotu { } ( X ) [ X ( X ) ] V L vrz può essere, modo equvlete, deft come: [ X ] ( X ) ( X ) V S defsce devzoe stdrd d X, l rdce qudrt dell su vrz Med e Vrz d u comzoe lere S Y u comzoe lere d u v.c. X, oss Y X, dove e soo delle costt. S possoo llor dmostrre le seguet propretà: ( Y ) V ( X ) V ( X ) Poedo -(X) e /SD(X), s ottee u vrle letor Y stdrdzzt, oss, co vlore tteso e devzoe stdrd. SD X V X V ( Y ) ( X ) ( X ) V ( Y ) ( Y ) Y X SD ( X ) ( X ) 9

4 Teorem d Cheyshev S X u vrle csule e k u vlore rele postvo, llor vle l seguete dsuguglz: ( X ( X ) k SD ( X ) ) P k Idpedetemete dll dstruzoe dell v.c., l proltà che X ssum vlor dstt dll med pù d k devzo stdrd è l pù /k 3 Modell d v.. dscrete: v.. d Beroull U v.. Beroull, dct come X Beroull(π) ssume solo due vlor, o, rspettvmete co proltà π e -π. L fuzoe d proltà d u v.. d Beroull è: P ( X ) π ( π ) per, Med e vrz d u Beroull soo rspettvmete: ( X ) π e V ( X ) π ( π ) Tutte le prove che producoo solo due possl rsultt geero v.c. d Beroull: l lco d u moet, l supermeto o meo d u certo lvello d flzoe, l umeto o meo dell quotzoe d u ttolo, l cqusto o meo d u certo prodotto, l dfettostà o l tegrtà d u certo pezzo 5 Modell d v.. dscrete: v.. uforme U v.. uforme dscret X ssume vlor ter compres u certo tervllo [,s-], cscuo co l stess proltà. Vee dct come X UD(,s). L fuzoe d proltà d u uforme dscret è: se [ ; s ] P s ltrmet Med e vrz d u uforme dscret soo rspettvmete: s s ( X ) e V ( X ),4 sempo: X UD(,8) V P(),,,8,6,4,, SD ( X ) 4,5 ( X ) 5,5 ( X ), Modell d v.. dscrete: v.. Bomle L v.. Bomle è u dstruzoe dscret che s utlzz qudo s è presez d prove dpedet (es. estrzo co rpetzoe o estrzo d u popolzoe ft), cscu prov h solo due est possl, dct come successo e successo (es. dfettoso/o dfettoso, umeto/decremeto, cqusto/mcto cqusto), e l proltà π (es. tsso d dfettostà) d osservre u successo u sgol prov rme costte per tutte le prove. U v.. Bomle s dc come X Bomle(π;) e l su fuzoe d proltà è: P ( X ) π ( π ) per,, K, e π 6

5 U v.. Bomle può essere otteut cosderdo l somm d v.c. d Beroull, dpedet e detcmete dstrute: X X X K X X dove X Beroull(π), dpedetemete per og. Med e vrz d u Bomle soo rspettvmete: ( X ) π e V ( X ) π ( π ) U v.. Bomle è crtterzzt dlle seguet propretà: Il vlore tteso e l vrz crescoo l crescere d ; Per π,5 l dstruzoe è smmetrc rspetto l vlor medo (/); Per l dstruzoe tede d essere smmetrc rspetto l vlor medo. 7 sempo U dustr che produce tpp d sughero s che l tsso d dfettostà de mcchr dsposzoe è del 5%. Per cotrollre gorlmete che tle tsso rmg vrto, l resposle del cotrollo d qultà og goro estre tpp cso tr quell prodott e osserv qut d ess rsulto dfettos. È pù prole che s trov d osservre solo tppo dfettoso o essu tppo dfettoso? qul è vece l proltà d osservre? 9 semp d Bomle,3 Bomle(7;,5),5, Bomle(;,5),5,,5, Idchmo co: π l proltà d produrre u tppo dfettoso; l umero d tpp estrtt; X l umero d tpp dfettos tr quell estrtt. Le formzo dsposzoe soo: π,5; ; Voglmo clcolre P(X ), P(X ) e fe P(X ).!! P X p ( p )! ( )!! ( )!!! ( ),5 P X p p (,5 ),3774!!!! ( ),5,5,3585 P X p p!!!!!!,5,5,887

6 Dstruzoe d proltà dell vrle " d tpp dfettos osservt P(X) X I geerle, u v.. dscret che rppreset l umero d volte che s relzz u certo eveto letoro u dto tervllo (d tempo o d spzo) può essere pprossmt ee d u Posso se, suddvdedo l tervllo tt sottotervll, vlgoo le seguet codzo L proltà d osservre esttmete u eveto el sottotervllo è costte L proltà d osservre pù d u eveto el sottotervllo è pr zero Il verfcrs d u eveto u sottotervllo è dpedete dl verfcrs d u eveto u ltro sottotervllo U v.. d Posso è crtterzzt dlle seguet propretà: Se X Posso(λ ) dpedetemete per og,,, llor X Posso(λ λ λ ), dove X X X X. L v.. Bomle l crescere d e per π pccolo, tede d u v.. d Posso co prmetro λ π. 3 Modell d v.. dscrete: v.. d Posso U v.. d Posso, dct come X Posso(λ) può ssumere qulss vlore tero. L fuzoe d proltà d u v.. d Posso è: λ e λ P ( X ),,, K λ! Med e vrz d u Posso soo rspettvmete: ( X ) λ e V ( X ) λ L dstruzoe d Posso è degut per pprossmre v.. che rppreseto cotegg: l umero d persoe che rrvo d uo sportello u certo tervllo d tempo, l umero d error d tttur u pg, l umero d cdet u trtto strdle, l umero d rmors chest u goro d u compg sscurtv semp d v.. d Posso,4,35 Posso(),3,5 Posso(3),,5 Posso(7),,5,

7 Modell d v.. cotue: v.. uforme U v.. Uforme cotu X, dct come X U(;), può ssumere vlor sull tervllo rele lmtto [;], modo che tutt sottotervll d ugule mpezz o l stess proltà. L fuzoe d destà è se [ ; ] f ltrmet Med e vrz d u uforme soo rspettvmete: ( ) X e V X,5 sempo: X U(;),,,5,5,, -,5 -,5,,5,5,75,,5,5 5 semp d v.. Norml,75 σ,5,6,45 N(;),3,5 σ σ 3 σ 4, -4,5-3, -,5,,5,45 3, 4,5 µ µ µ µ3 µ4 µ5,3,5, -,5,,5 3, 4,5 6, 7,5 7 Modell d v.. cotue: v.. Normle U v.. Normle (o Guss) X, dct come X N(µ;σ ), può ssumere vlor su tutto l sse rele. L fuzoe d destà è ( µ ) f ep µ σ σ π σ Med e vrz d u ormle soo rspettvmete: ( X ) µ e V ( X ) σ L Normle gode delle seguet propretà: Og trsformzoe lere d u v.. Normle è cor u v.. Normle L somm d v.c. Norml dpedet è cor u v.c. Normle co med e vrz pr, rspettvmete, ll somm delle mede e delle vrze delle v.c. Norml. 6 Se l v.. X h u dstruzoe ormle co prmetr µ e σ, llor Z (X- µ)/σ è cor u v.. Normle co med e vrz. L v.. Z è ot come Normle stdrdzzt e s dc come Z N(;). L fuzoe d destà dell Normle stdrd è f z ep z π,3,5,95, -,96,,96 8 f

8 L fuzoe d rprtzoe d u v.. Normle stdrd vee geere dct come Φ( ), oss ( z ) P ( Z z ) ( z ) F Φ I vlor dell fuzoe d rprtzoe d u Normle stdrd soo tult e questo semplfc clcol delle ree sottese dll fuzoe d destà. sempo: Clcolo dell re sottes ell tervllo [-,] Φ ( ) Φ ( ) Φ ( ) [ Φ ( ) ] Φ ( ), 977, SMPIO U dustr che produce compoet st vlutdo l possltà d forre u gross dtt. I mcchr soo settt per produrre compoet co u dmetro d mm, tuttv o tutt pezz prodott ho esttmete l stess dmesoe. È oto vece che l dmetro de pezz prodott segue u dstruzoe ormle co med mm e devzoe stdrd,5mm. L dtt che dovree cqustre quest pezz può utlzzre esclusvmete compoet co u dmetro compreso tr 9 e mm. S vuole stlre se lmeo l 9% dell produzoe d compoet cotr le ecesstà dell dtt. 3 3 Destà dell vrle "dmetro" Destà stdrdzzt Idchmo co X l vrle dmetro : 9 µ X µ µ P ( 9 X ) P σ σ σ 9 P Z P Z,5,5 ( ),

9 SMPIO U puto vedt d u cte d fst food h comcto d offrre u servzo d coseg pst domclo. Per ttere l cocorrez l propretro h decso d offrre l psto grts clet che rcevoo l coseg co u rtrdo eccessvo. Dto l ttule mrge d proftto, l propretro coclude che è possle offrre u umero d pst grts pr l,5% delle ordzo. Spedo che l tempo d coseg s dstrusce pprossmtvmete mer ormle co med pr m. e devzoe stdrd pr 5 m., l propretro vuole determre u lvello sogl per l tempo d ttes, oltre l qule forre l psto grts, modo tle che l umero d pst grts offert o super l,5% delle ordzo. 33 Perché l dstruzoe ormle è così mportte? Bcoot d Mrch co l mmge d Crl Fredrch Guss e l fuzoe d destà ormle. Molt feome tedoo turlmete d vere u dstruzoe cmpulre e pprossmle co u dstruzoe ormle. Oss è u modello teorco che s dtt ee molt dt emprc. È fclmete trttle d u puto d vst mtemtco. I molte pplczo, cocluso ste sull ssuzoe d ormltà de dt o soo sermete ffette d scostmet dll ormltà coteut. M soprttutto Deve l su mportz ll esstez del teorem del lmte cetrle. 35 Destà dell vrle "tempo d coseg" Destà stdrdzzt ,5...5, ? 35 4 Idchmo co X l vrle tempo d ttes e co l sogl d determre:, , X µ µ µ P ( X ) P P Z σ σ σ Dlle tvole dell dstruzoe ormle ottemo:, 5 P ( Z,96 ) Qud µ, 96 σ e,96 σ µ,96 5 9,8 34 Il teorem del lmte cetrle So X,, X, vrl csul dpedet e detcmete dstrute (..d.) co med (X ) µ e vrz V(X ) σ etrme fte. S S X X, l loro somm vete med (S ) µ e vrz V(S ) σ. Allor per, S tede dstrurs ormlmete. U eucto equvlete del teorem stlsce che, posto X X e restdo vlde le codzo eucte sopr, s h che l vrle v ( X ) Z µ σ coverge, per, d u Normle stdrd. SMPIO So X,, X, vrl eroulle dpedet co detc proltà d successo p (qud (X ) p e V(X ) p(-p)). Amo vsto che l loro somm S X X s dstrusce come u vrle omle co med (S ) p e vrz V(S ) p(-p). I vrtù del teorem del lmte cetrle, per, S tede dstrurs ormlmete.

10 Applczo del teorem L v.c. Bomle può essere vst come somm d vrl csul Beroulle d, qud per stz grde l su dstruzoe è molto smle d u N ( π ; π ( π ) ) Se cosdermo u successoe d Posso X ~ Posso ( λ ), X ~ Posso ( λ ), ~ Posso ( λ λ ) λ X,... co 3 λ 3 λ >, se λ λ λ 3... λ s h che l dstruzoe d X N λ ; λ. può essere pprossmt, per grde, d u L v. c. Ch-qudrto X s può otteere come somm d vrl csul Norml stdrdzzte dpedet l qudrto, qud, per stz grde, l su dstruzoe è molto smle d u N ( ) ;. 37 Modell d v.. cotue: Ch-qudrto U v.. Ch-qudrto X, dct come X χ (g), può ssumere vlor ell tervllo [; ]. L fuzoe d destà è f Med e vrz d u Ch-qudrto soo rspettvmete: ( X ) g e V ( X ) g ( ) e per g Γ g g U v.. χ (g) s può otteere come somm de qudrt d g v.. Norml stdrdzzte dpedet, oss χ ( g ) Z Z K Z g 39 Curtos perormle Normle poormle dce d curtos d Perso γ X - SD ( X ) ( X ) 4 dce d curtos d Fsher γ - 3 semp d v.. Ch-qudrto χ ( 4 ),5, χ ( 8 ) χ ( ) χ ( ),5,, 7,5 5,,5 3, All umetre d g l dstruzoe tede d u N(g;g) 38 4

11 Modell d v.. cotue: t d Studet U v.. t d Studet T, dct come T Studet(g), può ssumere vlor ell tervllo [- ; ]. U v.. T Studet(g) s può otteere come rpporto tr u v.. Normle stdrdzzt e l rdce qudrt d u v.. Ch-qudrto dvs per suo grd d lertà, oss Z T Y g dove Z N(,) e Y χ (g). 4 Ce sulle v.. doppe U vrle letor dopp (X,Y) è u fuzoe deft sullo spzo cmporo Ω, che ssoc og rsultto ω u copp d umer rel (,y). U v.. dopp è completmete deft dll su fuzoe d proltà cogut o dll su fuzoe d destà cogut, secod che s dscret o cotu. I cso d dpedez s deve vere: Cso dscreto (, y ) P ( ) P ( y ) P Cso cotuo (, y ) f ( ) f ( y ) f 43 Modell d v.. cotue: F d Fsher U v.. F d Fsher X, dct come X Fsher(ν,ν ), può ssumere vlor ell tervllo [; ]. U v.. X Fsher(ν,ν ) s può otteere come rpporto tr due v.. Ch-qudrto dvse per loro grd d lertà, oss X Y Y ν ν dove Y χ (ν ) e Y χ (ν ). 4 Med e vrz d comzo ler d v.. Il vlore tteso d u comzoe lere d p v.. X X X K p X p è dto d ( X ) ( X ) ( X ) K p X p metre l vrz è dove V p p p ( X ) V ( X ) Cov ( X, X ) ( X, X ) σ [ ( X ( X ) ) ( X ] Cov X X X, è l covrz tr X e X. 44