Fgli elementi di Insiemi misurabili

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1 Algebre d Isem / Per lo svluo dell teor smo teresst fmgle ce so cuse rsetto lle oerzo d uoe, tersezoe e comlemetzoe, el seso ce udo ueste oerzo soo lcte sem dell fmgl l loro rsultto rtee cor ll fmgl. U rmo esemo d fmgle d uesto to e secfct ell seguete Def. Algebr Dto u seme S e u fmgl Φ d sottosem d S, s dce ce Φ e u lgebr su S se soo verfcte le seguet codzo : S A A, B c A A B Def. Sgm-Algebr σ-algebr U collezoe d sottosem {A } Se S S A c A costtusce u σ-lgebr se: A, A,... A A A... È u σ-algebr su S llor S è detto szo msurble e gl elemet d Isem msurbl

2 Algebre d Isem / s. Dto u uluue seme o vuoto S, l fmgl d sottosem = {, S} è u σ-lgebr. Ace l fmgl P costtut d tutt sottosem d S seme delle rt è u σ-lgebr. Queste soo rsettvmete l ù ccol e l ù grde σ-lgebr su S ; oss se è u σ- lgebr su Ω, llor P. I geere, ueste due σ-lgebre soo dette mrore o bl. Ad esemo: ell esermeto lco d u ddo, S = {,,,,, }, P è l σ-lgebr geert dgl evet elemetr d S, coè d ftto, uell er ul è ossble clcolre u robbltà. Ad esemo = umero r = {,, }, = umero mggore d = {, }, ed rtegoo P Covezoe : se S è u seme dscreto fto o fto umerble dcmo co S L σ-lgebr dell seme delle rt ot : se S è fto umerble, l seme delle rt l otez del cotuo, coè co l stess crdltà d R.

3 Algebre d Isem / Def. Algebr d Borel L'lgebr d Borel, o ù rormete l σ-lgebr d Borel, è l ù ccol σ-lgebr su d u seme dotto d struttur toologc ce s comtble co l toolog stess, ovvero ce coteg tutt gl ert dell toolog. L ozoe d lgebr d Borel è stt trodott d Émle Borel ell'mbto de umer rel, ed seguto geerlzzt sz toologc rbtrr. L'lgebr d Borel R è deft come l ù ccol σ-lgebr lgebr geert dll collezoe d tutt gl tervll dell form ; b] e vee dct come BR

4 Sz d Probbltà / Def. Szo d Probbltà Uo szo d robbltà è u ter S,,P, dove S è u seme uluue geere esto come l seme de rsultt ossbl d u esermeto csule, è dett σ-lgebr, ovvero u seme d sem gl evet er ul s uò clcolre u robbltà, e P è uto u msur d robbltà su S P : [, ] s. Sz d Probbltà Dscret S S,,..,,... u seme dscreto, co crdltà ft o ft umerble. I tl cso, s uò sceglere come σ--lgebr l seme delle rt S Α I U eveto è defto come S co I dove gl ω soo gl evet elemetr e dsgut. Allor, l robbltà vee deft come : P P I Per crtterzzre modo comleto uo szo d robbltà dscreto è suffcete, ud, clcolre soltto le robbltà de sgol elemet d S.

5 Vrbl Csul letore Dscrete / Def. Vrble Csule Aletor Dscret Dto u szo d robbltà S, A,P, s defsce vrble csule u fuzoe msurble* : I R Qud: I tle ce I R, I È u eveto ed è ossble ud, vlutre l robbltà: P I ; el cso sgfctvo cu I={x } seme dscreto, fto o fto umerble llor s scrve brevemete: P I P x P A volte: P x P x P ** s dce ce l vrble letor è u vrble letor dscret. * ot: fuzoe msurble è u fuzoe oortumete deft su sem msurbl, sull ule o etreremo dettgl ** ot: l vrble csule è u modo er durre l robbltà su sottosem d R.

6 Vrbl Csul letore Dscrete b/ Scem : P robbltà [,] S R vrble letor S smle sce szo evet lgebr

7 Vrbl Csul letore cotue c/ Scem : P robbltà [,] S R vrble letor S smle sce szo evet lgebr d Borel 7

8 Sesso s oe: s. Lco d u ddo Vrbl Csul letore /,.., P x S, " esce l fcc " :,.., I R I I R I... I R : I co : Ovvmete ormlzzzoe: P x I vlor,,,. Costtuscoo l Dstrbuzoe d robbltà dell vrble letor :,.. Vrble letor : I... I P P I P I P...,.., Dstrbuzoe dscret uforme. 8

9 Sesso s oe: Vrbl Csul letore / P x s. Lco er due volte d u moet, S, " soo uscte umero teste":,, I co,, R : I Ovvmete ormlzzzoe: P x I vlor,,,. Costtuscoo l Dstrbuzoe d robbltà dell vrble letor Vrble letor : I P I P Dstrbuzoe dscret o uforme. 9

10 Vrbl Aletore Beroulle / S dto u eveto A tle ce P A S cosder l fuzoe dett dctrce o crtterstc d A così deft su S: A A Def. U vrble letor co uesto to d legge vee cmt vrble letor Beroull, e l su legge dstrbuzoe vee dct co Be. Be s. Lco d u ddo: A=«Usct del umero» =PA=/, l vrble letor vle uo se è uscto l e vle ltrmet. Vlore medo o d settzoe Vrz P P Vr P P Vr x x x :

11 Dstrbuzoe Bomle bs/ Suomo or d vere u successe d rove beroulle tr d loro dedet d esemo l lco successvo er volte del ddo er og eveto lco cosdermo l vrble letor sor descrtt come esemo. So,.., ueste -vrbl Beroulle. Costrumo l vrble Y= + +. Pocé le vrbl ssumoo vlore oure secod del successo o dell successo dell rov usct o o usct del umero l vrble Y ssumerà vlor codomo tr ed. Qule srà l legge d dstrbuzoe dell vrble letor Y «somm» d vrbl beroulle dedet? Qule srà PY=? co <=. ssedo le rove dedet, le robbltà de sgol evet s moltlco: vrro cso d successo ed - cso d successo sesso s us =- ù bsog teer coto delle ossbl combzo. d es. l robbltà ce su tre lc esc u volt l : è /*/*/ m deve essere cott tre volte, cosderdo l ftto ce l tre uò uscre l rmo l secodo o l terzo lco. Duue:

12 Dstrbuzoe Bomle ter/,..., Vrbl letore Beroulle dedet co robbltà d successo Be,., S Y così deft: Y... L legge d dstrbuzoe d Y ce ssume vlor d, dscret e ft, è dett dstrbuzoe Bomle dct co B, Così deft: Y B, ;,,..., P Y s. Clcolre l robbltà d otteere tre volte l umero el lco d cue volte d u ddo. ; ; P Y.

13 Crtterstce d u dstrbuzoe Dscret / Def. uzoe d rrtzoe R R : x P x s. el cso recedete :,] er x x,] er x x,] er x x,] er x x

14 Crtterstce d u dstrbuzoe Dscret / x er x,] x er x, ]

15 Crtterstce d u dstrbuzoe Dscret b/ Proretà dell fuzoe d Rrtzoe lm x x lm x x x è mooto crescete

16 Crtterstce d u dstrbuzoe Dscret 7/ ormlzzzoe dell Dstrbuzoe L somm d tutte le robbltà deve dre s. el cso dell dstrbuzoe Bomle: x Bomo d ewto b b Def. Vlore Atteso Med, Serz Mtemtc : x x s. el cso dell dstrbuzoe Bomle: : Rcord:

17 7 Crtterstce d u dstrbuzoe Dscret 8/!!!!!!!!!!!!!!!!!! Def. Vrz x x Vr : Def. Scrto Qudrtco Medo Devzoe Stdrd : Vr

18 8 Crtterstce d u dstrbuzoe Dscret 9/ s. el cso dell dstrbuzoe Bomle: Vr : Teo. : Vr Dm. x x x x x x Vr x x s. Rctoldo: : Vr :, B

19 9 Crtterstce del Vlore d Asettzoe 8/ Y Y Omogeetà d I grdo Addtvtà s., B è l somm d vrbl Beroulle Be * P P *

20 Vr [ ] Vr Crtterstce dell Vrz8b/ [ ] Vr Vr Omogeetà d II grdo Vr Y Vr Vr Y Cov, Y Addtvtà Def. [ ] Y [ ] Cov, Y: Y s. Be Vr P P

21 sercz Dstrbuzoe Bomle 9b/ s Due sudre d rugby s sfdo gocdo fr loro vre rtte. L sudr ce vce rtte è vctrce dell sfd. L sudr A l ù forte vce og rtt co robbltà /, d cu segue ce l sudr B vce co robbltà /. Clcolre l robbltà ce l sudr A vc 7 rtte. P 7 7!!!.9 s U sorgete br geer le cfre e rsettvmete co robbltà. e.. Clcolre: L robbltà ce u seuez lug 8 cfre s verfc cue volte e tre volte. b L robbltà ce u seuez lug 8 cfre v s lmeo due volte. c S l umero letoro ce cot ute volte comre l cfr u seuez d cfre. Determre l dstrbuzoe e l med d. 8 P. b. 8 P P P P P P7 P8 P P,, 8 8,, 7 c B;. P...

22 Dstrbuzoe Dscret Uforme 9c/ P Def. evet tutt egulmete Probbl,..., s. Vlor Medo s. Vrz V ] [ V

23 Dstrbuzoe d Posso / I molte stuzo cocrete c soo cs cu l rmetro ssume vlor molto grd e vlor molto ccol. I ltre role s eseguoo umerose retzo dell rov ce esto ostvo co robbltà ccol. Suomo, d esemo, d cosderre l umero d ccess, u fssto tervllo d temo, d u certo servzo lo sortello d u uffco ubblco, u g web, u cetrlo... V srà u umero grde d utet, dcmo, ce ccesso tle servzo. S osserv erò ce, tcmete, u umero d utet molto more d ccede effettvmete l servzo u tervllo d temo dell lugezz d uello fssto. U rgoevole modello mtemtco er tle stuzoe è d suorre ce og utete bb u robbltà ccol,, d ccedere l servzo. I u rossmzoe, ce è ss buo molt cs, ssummo ce l vlore d s ugule er tutt gl utet, e ce og utete s comort modo dedete dgl ltr. Sotto ueste otes, l umero d utet ce effettvmete ccede l servzo è u vrble letor bomle d rmetr e, coè: P Se l umero tede + è ossble sostture ll vrble letor bomle u uov vrble letor ce s dstrbusce secodo l seguete legge co rmetro λ ce ossmo detfcre co l rodotto udo tede + e tede :

24 Dstrbuzoe d Posso / Def. U vrble letor ce ssume vlor, dscret m ft s dce d Posso co rmetro λ> se s dstrbusce secodo l seguete legge dstrbuzoe d Posso: Crtterstce: P Y e! : Y P P,,...,,... Vr : Molt feome seguoo l dstrbuzoe d Posso dett ce legge degl evet rr: Il umero d cmte telefoce l muto l cetrlo Il umero d rtcelle emesse d u mterle rdottvo Il umero d error d stm er g u testo volumoso umero d cmte rcevute u cll-ceter u determto rco temorle, come u mttt lvortv.

25 Dstrbuzoe d Posso / ot Pocé:! e! P e ormlzzzoe ot P!!!!! e e e e e e e ot Vr!!!! e e e!! e e e Vr

26 Dstrbuzoe d Posso / s. Ad u cetrlo d u dtt rrvo medmete telefote l muto, ul é l robbltà ce e gugo o 9 u muto? S cosder l muto dvso tt tervll temorl ccol Δt cscuo de ul uò rrvre o o rrvre l telefot. Allor: P e!,% P9 e 9! 9,% s. L robbltà ce s verfc u gusto settmle motor sottoost forte mego è del %. Cosdert motor ul è l robbltà ce se e gusto?. P e. cedo l clcolo er u dstrbuzoe bomle s otterrebbe: P.!..8.%.9%

27 t Dstrbuzoe d Posso / Sesso è utle eslctre l rmetro λ fuzoe del temo ttrverso l relzoe: Co α umero d evet med ell utà d temo cu è msurto t t t P t e! s. I u fume esctor o stblto ce med due ore s esco esc. Clcolre l robbltà ce mut se e redo. /; t t m P m e t t!,,...,,... e! /,8 s. I rfermeto ll eserczo. Cosdert semre motor, ul è l robbltà ce se gusto u goro? P g e t t! tg e!./7,% s. I rfermeto ll eserczo. Qul è l robbltà ce se gusto gor? P g e!./7,9%,8 7

28 Dstrbuzoe d Posso / Alcu esem dell dstrbuzoe d Posso 7 S dmostr ce l crescere del umero delle rove, co u robbltà d successo og sgol rov molto ccol, l dstrbuzoe Bomle uò essere rossmt co l dstrbuzoe d Posso. I sttstc s dott l'rossmzoe dell dstrbuzoe bomle trmte l dstrbuzoe d Posso udo > e </, o referblmete udo > e <. 8

29 Dstrbuzoe Geometrc / Def. L dstrbuzoe Geometrc è u dstrbuzoe d robbltà dscret su umer turl sez l'elemeto. Cosdermo l robbltà evet dedet ce l rmo successo o eveto geerle vveg ll -esm rov doo - rove co successo. S l robbltà d successo e ud -= uell d successo. L robbltà ce ll -esm rov s otteg l rmo successo è: P Ge I ltr term è ossble defre u vrble letor tle ce l eveto { = } corrsode l rmo esto ostvo è stto otteuto l tettvo -esmo, ed robbltà. I ltre role è l stte cu s verfc l rmo successo. Le vrbl letore geometrce godoo d u roretà rlevte, dett ssez d memor, ce s uò esrmere co l ffermzoe: se e rm tettv o è stto otteuto lcu successo, l robbltà d dover ttedere ltr m tettv rm del rmo successo o dede d. L coseguete utltà d utre, d esemo, su umer rtrdtr el goco del Lotto è, sermo, evdete! 9

30 Dstrbuzoe Geometrc /.... ] [ V s.... ] [ s. V s. ormlzzzoe

31 s. Dstrbuzoe Geometrc / I u roduzoe d cod co mcc utomtc, med u % dell roduzoe vee scrtt ercé ferore l mmo ermesso d cm. Uo scem d cotrollo cosste el redere cod cso dll roduzoe e el cotre ut e vegoo res rm d redere uo merfetto. Rresetre rm term d uest dstrbuzoe. s. I u ls d lbortoro, u esermeto l % d robbltà d dre u rsost ostv. Qute rove occorre fre er vere u robbltà del 9% d vere u rsost ostv?

32 Dstrbuzoe IerGeometrc / L dstrbuzoe ergeometrc è u dstrbuzoe d robbltà dscret ce descrve l'estrzoe sez resermeto d lcue lle, erdet o vcet, d u'ur. L'estrzoe co resermeto l ll estrtt vee rmess ell'ur vee vece descrtt dll dstrbuzoe bomle. Ad esemo, estredo lle d u'ur ce e cotee bce e 7 ere, l umero d lle bce estrtte è descrtto dll dstrbuzoe ergeometrc. I geerle s cosdero successv esermet o dedet. S vuole l robbltà d estrrre lle, sez teere cosderzoe l orde, su totl d u certo to.es. bce, el cso vego effettute estrzo sez resermeto d u ur cotete lle. = lle ell ur Def. Hy,,, = lle bce ell ur = umero estrzo = umero lle bce estrtte P ;

33 Dstrbuzoe IerGeometrc / P Cs Possbl umero totle -ule estrbl umero estrzo d lle su u totle d umero estrzo d - lle su u totle d - Cs fvorevol rodotto crteso ;

34 Dstrbuzoe IerGeometrc / [ ] Vr[ ] ; s. Clcolre l robbltà d estrrre sez re-mmssoe lle bce d u ur coteete lle d cu 8 bce, estrzo. =;=;=8;= P 87,

35 Dstrbuzoe IerGeometrc / s. el goco del oer clcolre l robbltà d rcevere,,,, ss. =;=;=;=,,,, P, P 99, P, P P

36 ,,, Hy P ome Dstrbuzoe IerGeometrc: rssuto / Iergeometrc Vl. Asettzoe Dstrbuzoe Vrz ; ] [ ] [ Vr

37 7 Rssuto Proretà Dstrbuzo Dscrete / Vl. Asettzoe Dstrbuzoe ome Vrz Be P P Beroull ] [ Vr P Posso,...,,..., e P Y! [ ] Vr Bomle,..., ;, P Y ] [, B Vr Uforme U P,.., V Ge Geometrc P V Iereometrc,,, Hy P