Approssimazione di dati e funzioni: generalità

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1 Arossmzoe d dt e uzo: geertà Proem: rossmzoe d u uzoe : ot g { } vor che uzoe ssume e ut { } s vuoe otteere u rresetzoe tc de uzoe u tervo [] geere coteete g { }; esressoe tc de è ot m comct er e oerzo che s tedoo eetture d es. tegrzoe se e rchede u rresetzoe ù semce. I geere ot te de dt { } s vuo trovre u uzoe tc che rossm dt. Per uzoe terote è ecessro: seezore csse d uzo F que deve rteere; scegere u crtero er seezoe d u uzoe tr quee de csse F metodo d rossmzoe.

2 Arossmzoe d dt e uzo: css P seme de oom gerc d grdo coecet re: Π seme de oom trgoometrc t d orde coe. re: 3 R m seme dee uzo rzo: 4 seme dee uzo esoez: 5 S [] seme dee uzo se d grdo ovvero dee uzo d C - che s rducoo oom gerc d grdo og sottotervo d msur d []. { } R ; L P [ ] { } t t R ; s cos Π { } m m m m m m r r P P R ; / { } g g R ; e

3 Arossmzoe d dt e uzo: metod Iterozoe uzoe rossmte è te che: K ormmete megt se dt z soo ccurt; Arossmzoe mm qudrt dscret: uzoe rossmte m è que che red mm quttà: [ ] m ovvero trodott es w : w [ ] m Scrto qudrtco Codzo d terozoe Scrto qudrtco esto metodo usumete megto se dt dsoszoe soo umero eevto secod s reersce se è oto ror esstez d vor qu s vuo dre u eso mggore.

4 A. d dt: terozoe oome Iterozoe oome: ort te d dt { } s cerc u uzoe d rossmzoe rteete csse de oom gerc che tero dt; s cerc oomo d grdo mmo che sodds e codzo d terozoe: dt > oomo d grdo ; svudo: dove e cogte soo coecet de oomo. K M M L L L L L L L L K F VA

5 Iterozoe oome: Vdermode L mtrce V de coecet de sstem gerco è dett mtrce d Vdermode; er mtrce d Vdermode d od dstt { } s dmostr che: det V j> j Pertto V è regore qud esste u uc souzoe de sstem e qud oomo terotore è uco. Teorem: esste uo ed u soo oomo P che verc e codzo d terozoe er. Proem: mtrce d Vdermode geermete è mcodzot.

6 Iterozoe oome: s I oomo terotore è uco m uò ssumere esresso dverse st cmre se de oomo terotore: oomo gerco. se de moom: { } K ormu d Lgrge oom d se d Lgrge: L { } K Dt uctà de oomo terotore è ovvo che: L

7 Bse d Lgrge: ormu d Lgrge Dt g od { } g oom d se d Lgrge soo det come oom d grdo t che: δ D que e segue che L : e ertto er oomo terotore e se { } ssume esressoe d Lgrge: L j j esct comrs de vor od de uzoe; se dedete d vor od de uzoe; ormu estt er oom d grdo more o ugue d ; osto > R. j j

8 Bse d Lgrge: esressoe tertv Dt te { } e deedo oomo ode come: w w s ottee che oom de se d Lgrge ossoo essere esress come: cu dervt rm ssume orm:

9 Iterozoe oome: error Ne rocedur d t. o. soo reset seguet error: rrore d trocmeto dovuto sosttuzoe de uzoe tc co u oomo terote: dove co * s è dcto oomo terotore dee coè oomo terore ssez de rrore d rogzoe dovuto g error d msur o d rossmzoe su dt ε : * * * Per cu errore tote è esrme come: * * * t

10 It. oome: errore d trocmeto Per errore d trocmeto e t. o. s dmostr che: ] [! ξ ξ dove [] è tervo chuso mmo coteete od ed uto d terozoe. I uto ξ o è oto ror e dede d ; e cso so ot o stmt vor estrem de dervt -esm d :! ] [!!!! ] [ < Λ > Λ Λ M M λ λ λ

11 rrore d trocmeto: esemo Nod equszt: h ; dett s u vre cotu te che: sh er s cocd co h er s h: L s s L s h P s h 8 6 P 7 s P s serczo cosgto [GL] 3.

12 It. oome: errore d rogzoe Per errore d rogzoe s h: * * ε Se ε ι ε s h:!!!! * Λ Λ ε ε Dove Λ è uzoe d Leesgue e rreset coecete d mczoe deg error su dt; s desce costte d Leesgue quttà: m Λ Λ

13 Fuzoe d Leesgue: roretà Per uzoe d Leesgue s h che: dede soo d oom odmet d Lgrge e qud soo d dstruzoe de od; è mggore o ugue d uo; e cso d od equszt: o h K e cso de od Cheyshev []: Λ eog cos Λ og K

14 Iterozoe oome: reogo I oomo terotore è uco m uò ssumere esresso dverse st cmre se de oomo terotore: se de moom oomo gerco: oom d se d Lgrge ormu d Lgrge: oom d se d Lgrge: { } K { } L K j j j j δ

15 Iterozoe oome: error reogo rrore d trocmeto: rrore d rogzoe:! * ξ * * Λ ε ε K ε ε ε

16 Iterozoe oome: esemo semo 6.3.: Dt te d vor er /: dre u vore rossmto d /.78 medte oomo terotore d secodo grdo dre u stm de errore e doo ver vutto qu cre s ossoo cosderre estte ccore ogrtmo ture de umero così otteuto corotdoo co og/e. S eseguo cco rrotoddo su sest cr decme.

17 Iterozoe oome: eserczo serczo [GL] 3.3: scrvere esressoe de oomo terotore d Lgrge retvo seguete tvo d vor de uzoe: e t dt stmre errore d trocmeto e ut d scss t. teedo coto che rsut: < <.3 [.] sercz cosgt [GL]

18 Iterozoe oome: covergez Cos ccde se s umeto umero de od e qud grdo de oomo terotore? L errore d rogzoe coè queo ssocto g error su dt e d rossmzoe cresce. Cos ccde errore d trocmeto? Ovvero crescere de umero de od oomo terotore tede uzoe? I u uc ro oomo terotore è u rossmzoe covergete de uzoe tc ovvero u ormu: m m

19 Covergez: uzoe d Ruge I geere covergez o è grtt d esemo: [ ] [ 55]

20 Covergez: codzo sucet Teorem: se C [] e osto M [] d es. uzoe co dervte equmtte rsut: m m M! or: uormemete e er quuque scet de dstruzoe de od []. Teorem: se è schtz [] successoe de oom terotor su od d Cheyshev coverge uormemete [].

21 Nod d Cheyshev: dezoe e roretà I od d Cheyshev [] soo det come: cos ˆ Iotre oomo ode costruto su se de od d Cheyshev verc e seguet roretà: ] [ ˆ m m ˆ m ] [ ] [ dove è u quuque tro oomo ode costruto su u se d od dvers d que d Cheyshev.

22 Nod d Cheyshev: esemo [ ] [ 55] C