( ) ( ) ( ) Equazioni non lineari: generalità
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- Massimo Massari
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1 Equzo o ler: geerltà Prolem: rcvre le rdc o zer d u uzoe evetulmete o lere e/o trscedete coè trovre quel o que vlor tle che: Se l soluzoe o è esprmle orm chus l prolem può essere rsolto umercmete Molteplctà d u rdce: è rdce semplce se, multpl d molteplctà ν se: ν,, K, ν
2 Eq. o ler: seprzoe delle rdc A pror o è oto dove so colloct gl zer d u uzoe, l processo per l dvduzoe d u tervllo I[,] detto tervllo d seprzoe coteete u sol rdce è detto seprzoe delle rdc. Procedmet: studo sommro del grco decomposzoe dell uzoe g h e rcerc de put d tersezoe gh tulzoe dell uzoe psso dell tulzoe Teorem: se C [,] e < llor esste lmeo u vlore tle che
3 Seprzoe delle rdc: esemp Esempo 3..: l++sqrt+- Esempo 3..: t[-cos]- Eserczo: uso d MtL, grco dell esempo 3..
4 Metod tertv: geerltà U metodo tertvo orsce u successoe d pprossmzo { } tle che lm I geerle u metodo tertvo orsce l -esm pprossmzoe prtre d pprossmzo gà clcolte: +,,, G K N G è dett uzoe d terzoe. G dpede dll uzoe e dgl rgomet, se o dpede d llor l metodo è detto stzoro. Utlzzdo gl ultm vlor clcolt l metodo detto put. ATTENZIONE: l covergez d u metodo tertvo NON E INDIPEDENTE dll scelt de vlor d prtez!
5 Metod tertv: geerltà Dt u successoe d pprossmzo { } covergete, s desce errore d trocmeto: e Se esstoo due rel p e C> tl che: e+ lm C p e s dce che l successoe h orde d covergez p e ttore d covergez C. L orde d covergez orsce u dczoe dell veloctà co cu l soluzoe vee rggut. Se p l covergez è lere, se p l covergez è qudrtc. Per grd s h: e+ C e p se p le cre estte rddoppo d og terzoe.
6 Metod tertv: geerltà lm e e + p C Metod d orde elevto covergoo pù velocemete. U dczoe rele dell veloctà d covergez d u metodo o può prescdere dl peso computzole d cscu terzoe, coè dl umero d operzo eettute. S troduce l ecez computzole det come: E p / r dove r è l umero d vlutzo dell uzoe e delle se dervte.
7 Eq. o ler: metodo delle sezo I I I [ ] [ ],, I + < > [ ], I + > < [ ], 3 I +
8 Metodo tertvo pplcle se C [,], < e se I[,] esste u uco vlore tle che Algortmo N K, + < < se ], [ ], [ se ], [ ], [ Se llor ltrmet: Eq. o ler: metodo delle sezo Cos ccde se esstoo ltr zer [,]? Cos ccde se o è cotu?
9 Metodo delle sezo: esempo Esempo 3.4.: l++sqrt+- Itervllo d seprzoe I[-/,] d Esempo F / / / K K K K 3 8
10 Metodo delle sezo: covergez I I Errore l psso : - - e I I + Errore l psso +: - + e + I + I Ad og psso l mssmo dell errore s dmezz, l metodo è covergete.
11 Errore l psso : Metodo delle sezo: covergez e e / L L qule orsce u stm pror dell errore commesso dopo pss, e dll qule: e lm lm Il metodo delle sezo orsce u successoe d pprossmzo covergete o mooto.
12 Metodo delle sezo: orde Per grde: e qud: e + e Il metodo h orde d covergez, d og psso l errore s dmezz.
13 Metodo delle sezo: crtero d rresto Qudo rrestre l procedur tertv? Ad esempo qudo l tervllo d seprzoe è more d u sst tollerz ε: + log D cu: ε ε log ε log log log + log ε log ε Dove è l umero mmo d terzo ecessre per otteere u soluzoe co u errore ssoluto more d u cert tollerz sst ε.
14 Metodo delle sezo: esempo Esempo 3.4.: l++sqrt+- Itervllo d seprzoe I[-/,], qute terzo soo ecessre per vere u errore more d 3? log log ε Dopo 9 terzo l errore stmto è: e Eserczo cosglto [GL].
15 Metod tertv d u puto Prolem: rdce d u equzoe o-lere: è l puto uto dell trsormzoe : Scelt, ed u vlore zle, l successoe: + costtusce l metodo del puto uto metodo tertvo d u puto stzoro.
16 Metodo del puto uto +
17 Metodo del puto uto: esemp cos { K} cos K.857K.654K K K K K
18 Metodo del puto uto: esemp e e I I NN
19 Metodo del puto uto: esemp + {, }, / I I I I
20 Metodo del puto uto: covergez c.. Teorem: se l successoe -, co dto è covergete t, e se è cotu t, llor t è puto uto dell trsormzoe. t lm lm lm t Not: s trtt d u codzoe ecessr. Pù utl soo codzo sucet che grtsco l covergez dell successoe { } d u puto uto.
21 Metodo del puto uto: covergez c.s. Teorem del puto uto: s dervle I[,] e s : : Ι Ι, tle che co I coè s u cotrzoe, llor: c esste u uco puto uto, coè I tle che d ed oltre l successoe + è covergete per quluque scelt d I, coè I s h: lm Not: L covergez del metodo del puto uto dpede dll scelt d e d.
22 Dll: Teorem del puto uto: dmostrzoe I I, ], [ : Se vle u uguglz, llor o è puto uto d. Altrmet: > < F F F Poché F C[,], llor esste uo zero d F: e qud u puto uto per l. F
23 Per l uctà del puto uto, potzzmo per ssurdo che e essto due dstt e : Teorem del puto uto: dmostrzoe Dll potes, tle che co I: ' ' ζ ζ < ' ζ < < Il che è ssurdo. Avedo tto uso del teorem del vlor medo: ' ζ
24 Per l covergez s h: Teorem del puto uto: dmostrzoe < < Coè I ed è u pprossmzoe mglore d per, oltre: L Ed essedo,, s h: Qud l successoe coverge quluque s Ι. lm lm
25 Metodo del puto uto: orde d covergez Teorem: s C p I co I toro d u puto uto d, co covergete, e s : p, K, p llor l orde d covergez del metodo è dto d p. Not: L orde d covergez del metodo del puto uto dpede dll scelt d.
26 Orde d covergez: dmostrzoe Svluppdo sere d Tlor ttoro : +! /! / '!!!! p t p t p p p p K Dove t è compreso tr e, e tede per. Qud:! lm! + + p t p t p p p p
27 Metodo del puto uto: pprossmzo Dll relzoe: Impegdo l teorem del vlor medo: S ottee che: [ ] [ ],, ' t t ' t
28 Metodo del puto uto: pprossmzo Dll relzoe: ' t S h che: t,, se ' < < > App. per detto App. per eccesso se ' < Approssmzo lterte
29 Metodo del puto uto: esempo Esempo 3.5.: dt l uzoe l + Se e rcv l rdce mggore medte l metodo del puto uto.
30 Metodo del puto uto: esempo g l + g h h l + >> lspce,4,; >> glog+; >> h.^; >> plot,g,,h; h g Itervllo d seprzoe I [, e] e
31 Metodo del puto uto: esempo l + l + Nell tervllo d seprzoe I[,e], s h l>, e pertto come uzoe d terzoe s può cosderre: l + Nell tervllo d seprzoe è crescete, qud: e 3 < < e Qud : Ι Ι coè è verct l potes del teorem del puto uto.
32 Metodo del puto uto: esempo Per l dervt prm s h: l + ' / l + l + Nell tervllo d seprzoe è postv e decrescete: < ' ' < [, e] Ache l potes del teorem del puto uto è verct, qud s h covergez per quluque scelt d.
33 Metodo del puto uto: esempo l + l + + e /
34 Metodo del puto uto: esempo Eserczo [GL].3: dt l equzoe: e seprre le rdc ed pprossmrle medte opportue uzo d terzoe metodo del puto uto.
35 Metodo del puto uto: esempo e g g e h 6 5 g h h 4 3 >> lspce-,,; >> gep-; >> h*-.^; >> plot,g,,h; - - -
36 Metodo del puto uto: esempo >> ormt short e; >> tolle-;m; >> ph -log+*log- ; >> [zero,ter]putoutoph,-3,toll,m;.e e+.858e-8 >> [zero,ter]putoutoph,-4,toll,m; >> ph -ep-//sqrt ; >> [zero,ter]putoutoph,.,toll,m; >> ph3 +ep-//sqrt ; >> [zero,ter]putoutoph3,.5,toll,m;
37 Metodo del puto uto: esempo e 3 [-4,-3] [,.5] 3 [,.5]
38 Metodo del puto uto: esempo Iterzoe
39 Metod tertv: crtero d rresto Prolem: qudo rrestre u procedur tertv? Errore more d u vlore pressto vlutzoe dell errore? Numero d terzo ugule d u vlore mssmo ssto stm dell errore commesso? Dto u metodo tertvo d u psso stzoro, s dmostr che se l dervt prm dell uzoe d terzoe modulo è more d uo ell tervllo d seprzoe, llor l derez tr due soluzoe successve orsce u mggorzoe dell errore commesso rspetto ll soluzoe estt!!!!. ε Crtero d rresto co ε vlore ssto
40 Se l metodo verc le potes d covergez, s h: Metod tertv: crtero d rresto t Sosttuedo: Stm dell errore Stm pror dell errore
41 Metod tertv: Newto-Rphso Dto l prolem, s cosder l metodo tertvo d u puto, stzoro: T + T dove ' co CI, I[,] tervllo d seprzoe, ed oltre I, llor se è u rdce d llor è che puto uto d Τ. dto zle +, K, N ' Algortmo
42 Metodo d Newto-Rphso r Rett psste per,, e tgete ll : r : + ' Itersezoe sse : + '
43 Metodo d Newto-Rphso: covergez Teorem: s C [,], <, [,] e s estremo d Fourer d [,], llor: esste u uco,, tle che l successoe { T } è mooto e covergete c Ioltre se C 3 [,], llor l covergez è lmeo qudrtc. Per l puto c s h: T T T '' ' ' [ ' ] '' [ ' ] '' [ ' ]
44 Metodo d Newto-Rphso: covergez Teorem: s I[,], u tervllo d seprzoe d u rdce d e s C [,], per [,], llor esste u toro J d, co J I, tle che se J, l successoe { T } è covergete, e se C 3 [,] llor l covergez è lmeo qudrtc. Not: Questo teorem o specc l scelt d m è pplcle che se o è covess o cocv [,]. Ecez computzole: E Esercz cosglt [GL].6
45 Metodo d Newto-Rphso: eserczo Esempo 3.6.: l + Se e rcv l rdce mggore medte l metodo d Newto-Rphso; s corot l rsultto otteuto co quello otteuto ell eserczo 3.5. soluzoe medte l metodo del puto uto. Trcc delle soluzoe:. Idvdure l tervllo d seprzoe. Vercre che so soddstte le potes del teorem d covergez [G] Idvdure l estremo d Fourer
46 Metodo d Newto-Rphso: esempo Teorem 3.6.: s C [,], <, [,] e s estremo d Fourer d [,], llor: esste u uco,, tle che l successoe { T } è mooto e covergete c Ioltre se C 3 [,], llor l covergez è lmeo qudrtc. l + It. d seprzoe: I [, e] Le potes per l covergez soo soddstte: C [, e] e < < e e > qud e è estremo d Fourer
47 Metodo d Newto-Rphso: esempo l + Puto uto: l + e Metodo del Puto Uto Metodo delle Tget
48 Metodo d Newto-Rphso: esempo Puto Uto Newto-Rphso Iterzoe
49 Metodo d Newto-Rphso: esempo Eserczo [GL].3: e It. d seprzoe: I [ 4, 3], I [,.5], I3 [,.5] Le potes per l covergez soo soddstte: C I e 4 e 4, l 4.38 I, I I, 3
50 Metodo d Newto-Rphso: esempo e It. d seprzoe: I [ 4, 3], I [,.5], I3 [,.5] e 4 Estrem d Fourer d vercre come eserczo: I I I 3 [ 4, 3] [,.5] [,.5] F F F 4.5
51 Metodo d Newto-Rphso: esempo Eserczo [GL].3: e [-4,-3] [,.5] [,.5]
52 Metodo d Newto-Rphso: esempo Eserczo [GL].3: rsolto co l metodo del p.u. 3 [-4,-3] [,.5] 3 [,.5]
53 Metodo d Newto-Rphso: esempo 4 ΠΥ ΠΥ 3 ΠΥ ΝΡ ΝΡ ΝΡ ΝΡ Iterzo Esercz cosglt [GL].5,.6
54 Metodo d Newto-Rphso: rdc multple Se lo zero dell uzoe h molteplctà multpl mggore d uo l metodo delle tget h covergez lere, modc: ψ ν νt + ν ' Se l molteplctà o è ot, dett F/ : * F F' ' ' '' Etrme metod ho covergez qudrtc. Ecez? Eserczo cosglto [GL].
55 Metod tertv: sect co estremo sso Algortmo dto zle c + S, K, N c Teorem: s C [,], <, [,], c estremo d Fourer d [,] e l ltro estremo d [,], llor: esste u uco,, tle che l successoe { S } è mooto e covergete c l covergez è lere.
56 Metod tertv: sect co estremo vrle Algortmo dt zl +, K, N S dmostr che: se C I, dove I è u toro smmetrco d cu, llor esste u seme A I cu l metodo coverge co covergez superlere p+ 5/. Coroto tr le eceze de tre metod: Newto-Rphso: Ε Sect estrem ss: Ε Sect estrem vrl: Ε.6 Eserczo cosglto [GL].3
57 Sstem d equzo o ler,, g Sstem d due equzo o lere: Lerzzzoe: ,,,,,,,, g g g g
58 + +,,,,,, g g g Sstem d equzo o ler L soluzoe del sstem lerzzto: Forsce u soluzoe pprossmt del prolem d prtez: + + det / det / g g g g J J g g J
59 Equzo o ler: esercz d esme Eserczo [GL] 7.: dt l equzoe: α 4 3 α > seprre grcmete le soluzo postve, ed dvdure per qul vlor d α l equzoe mmette u rdce >; posto α trodurre u opportu uzoe d terzoe: [,.5] dtt d pprossmre l rdce >; 3 se l comportmeto dell crtterzzre l successoe delle pprossmzo orde d covergez, mooto, ecc.
60 Equzo o ler: esercz d esme Eserczo [GL] 7.36: cosdert l equzoe: 3 + α cos dvdure per qul vlor d α rele tle equzoe o mmette rdc postve; per α/3 seprre l rdce postv; 3 dvdure u uzoe d terzoe dtt geerre u procedmeto tertvo covergete, speccdo motv dell covergez ed l coecete d cotrzoe. Le rsposte vo motvte.
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