2. Indipendenza lineare

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1 Idpedez lere Sere tr l ltro geerlzzre l ostro spzo d prtez R llo spzo R Cosdermo u -pl d ettor {,,, } Defmo l somm d ettor per sclr così Def ) U seme d ettor è detto lermete dpedete (LI) se e solo se l uco modo ffché l somm sopr dt d l ettore ullo è che so ull tutt coeffcet per tutt gl I smbol, se ccde ( ) llor ettor soo LI 75

2 Iftt, se uo de coeffcet o fosse ullo, per esempo S ottee Def Uo spzo ettorle V è -dmesole se mmette l mssmo ettor lermete dpedet ' poedo ' Coè l ettore s scre come combzoe lere degl ltr Teor Dto u seme d ettor lermete dpedet, og ltro ettore V può essere scrtto come u combzoe lere d quest I questo cso gl ettor che rcoproo lo spzo V formo u bse e le compoet dell espsoe d s chmo coeffcet 76

3 Dmostrzoe del teorem precedete Dt sclr e ettor, per defzoe d dp lere d ettor, dee lere l seguete relzoe co qulche derso d : ltrmet, se tutt gl sclr fossero ull, remmo ettor LI uo spzo -dmesole, l che è mpossble per l def I pù è o ullo, perché ltrmet, cus l defzoe d dlere d ettor, (def ), c srebbe qulche sclre ell sommtor derso d, cò che cotrst co l potes che ettor so LI (def Ne segue che, poedo ' ' s h 77

4 Teor I coeffcet dell espsoe d, dt ettor fsst dell bse, soo uc So b per ssurdo due derse espso d Sottredo, s h - ( b) Se o s esse b per tutt gl, gl ettor o srebbero LI, cotro l potes del teorem; tl cso essterebbe ftt uo sclre derso d tr gl sclr - b S ot che questo rsultto d uctà le rspetto u bse fsst, e o cotrddce qud l esprmbltà multpl d uo stesso ettore bs derse st sopr 78

5 Il prossmo cocetto, quello d opertore lere, c serrà specfcre l ozoe d osserble d u sstem qutstco 79

6 Opertor ler su spz ettorl U opertore che gsce su u seme d ettor h u ettore come put e u ettore come output: : V V U opertore è lere se soddsf due ssom seguet: ( w) w () () 8

7 Esemp d opertor ler R Opertore d proezoe P P ' w P proett sull sse, zzerdo l coordt d quluque ettore P w P 8

8 Il cteto rosso d u trg rett è ugule ll poteus per l seo dell golo opposto (quello blu è ugule ll poteus per l coseo dell golo dcete) r se θ θ cos θ 8

9 Le mtrc U mtrce è u geerlzzzoe d u ettore, che è su olt l geerlzzzoe d umero I geerle, u mtrce rghe e coloe è ftt d elemet (qu 4) Il prodotto tr due mtrc e B s effettu rghe per coloe e g s f t e c r b t g c b d ;B e g f h ;B e bg ce dg f bh cf dh 8

10 U opertore d rotzoe R φ mut l oretmeto d u ettore d u golo θ, m lsc ltert l su lughezz No cofodere R φ co u proezoe R θ cos(θ φ) (cosθcosφ sθsφ) cosθ sθ s(θ φ) (sθcosφcosθsφ) θ φ sθ cos θ mtrce R θ ' ' ' cosθ sθ sθ cosθ def cosθ sθ sθ cosθ 84

11 Ne segue che l opertore d rotzoe R θ R corrspode buocmete ll seguete mtrce qudrt R θ cos s θ θ s cos θ θ L corrspodez questoe è geerle: og opertore lere d R è esprmble trmte u mtrce d umer rel e, ceers, u mtrce soddsf le due codzo d u opertore lere 85

12 Opertore d rflessoe ttoro ll sse Eserczo: Trore l mtrce (opertore) corrspodete S b S c d ' S c b ; b d c ; d - S 86

13 Esercz: trore le mtrc corrspodet ll opertore d dettà I, S, P e P Impomo che P c b d S h llor ' c b d {{ b { e b c d c d P 87

14 Prodotto tr opertor (mtrc): scoprmo l o-commutttà c b d ;B e g f h ;B e ce bg dg f cf bh dh No sempre l prodotto tr due opertor è commutto: l commuttore [, B] def B - B può essere derso d zero Per esempo, se θ e θ π R θ P cosθ sθ -sθ cosθ θ P R θ cos sθ -sθ cosθ Il prodotto destr proett sull sse, metre se θ o è o π, per quello sstr 88 questo o è ero

15 Opertore d proezoe P θ su u geerc le L che pss per l orge m ders d e P θ cos θ cosθsθ cosθsθ sθ L L L Perché le l espressoe d cu sopr? (suggermeto: P θ R θ P R θ P θ L θ NB L drezoe torr d rotzoe h per coezoe l sego e gl opertor s pplco dl pù estero l pù tero 89

16 9 Solgmeto dell eserczo precedete s cos s s cos cos s cos cos s s cos cos s s cos s cos cos s s cos cos s s cos ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ PR R P R PR P R

17 Lo spzo delle mtrc è uo spzo ettorle! Poché l ddzoe tr due mtrc (oero, due opertor ler e B) è fclmete defble (l prmo elemeto lto sstr dell mtrce somm C è l somm de due elemet corrspodet delle mtrc ddede e B), e l prodotto d u mtrce per uo sclre obbedsce lle legg ler ste per l struttur d uo spzo ettorle, che lo spzo delle mtrc è uo spzo ettorle lere c b d B e g f h C e c g b d f h () () r t s r t s 9

18 4 utolor e utoettor U ettore o ullo è u utoettore d u opertore co utolore se e solo se I questo cso, l zoe dell opertore sul suo utoettore produce u multplo d (), dto dll moltplczoe d per l utolore sclre 9

19 I ; I è l opertore dettà, co utolore Nel secodo esempo, è u utoettore dell opertore rppresetto d, co utolore I e soo mtrc smmetrche (oero gl elemet fuor dgole soo ugul) No tutt gl opertor ho utoettor Studre gl utoettor d questo opertore : ; (l effetto d è prm d trplcre, po d ruotre d 9 seso torro e po rflettere ttoro ll sse ) 9

20 94 Impossble sulzzre l'mmge L memor del computer potrebbe essere suffcete per prre l'mmge oppure l'mmge potrebbe essere deggt Rre l computer e prre d uoo l fle Se ee sulzzt d uoo l ross, potrebbe essere ecessro elmre l'mmge e serrl d uoo ; h utoettor solo se è tle che (e l utolore ) e gce lugo l bsettrce del prmo qudrte, oppure se gce lugo quell del secodo qudrte (l utolore è -) I geerle, per mtrc smmetrche cosfftte s h: L utolore questo cso è L utolore questo cso è - form u golo d 45 form u golo d 4595

21 S S ' S Qul soo gl utoettor e gl utolor d S? utolore: (per ) e - (per ) Qul quell d R θ? Rsp: per θ, per θ8 L θ9 - o è utoettore d P θ P θ L L L P θ L9 L9 L θ L θ P θ (che proett lugo L θ ) h solo due utolor: e (che è mmssble) e suo utoettor soo tutt lugo 95 L e L9

22 Rssumedo, bbmo tre tp d opertor (Hughes p4) lcu, come R θ (se s eccettu R e R 8 ) geere o ho lcu utoettore (per θ, R Ι e l utolore è metre per θ8 ο l utolore è ) I ltr cs, come per S, P θ e gl utoettor soo su due lee dstte e tr loro ortogol (per le mtrc smmetrche) e bbmo due utolor dstt Per l opertore dettà I e per R 8 tutt ettor dello spzo soo utoettor et l medesmo utolore (rspettmete e -) 96

23 P θ cosθ cosθsθ Esprmmo or questo opertore, che come bbmo sto h utoettor lugo 45 e 5, come somm d ltr due opertor d proezoe, moltplct per relt utolor cosθsθ sθ P 45 P 5 / / / / / / / / cos45s45 s5 - cos5 / / Studmo l opertore P P P45 ( ) 5 P / / / / / / / / / / / / / / / / NB Questo tpo d decomposzoe P P le se e solo se è smmetrco, coè se 97

24 Teorem d decomposzoe spettrle R Se è u opertore smmetrco su R, esstoo due opertor d proezoe P e P che proetto su due drezo mutumete ortogol, e tl che P P Se due utolor soo dstt l decomposzoe d è uc e tutt gl utoettor sto o sull le su cu proett P o su quell su cu proett P co rspett utolor Se due utolor soo ugul, l decomposzoe o è uc, e tutt ettor del po soo utoettor d 98

25 5 Ce su umer compless Importz d estrrre rdc d umer egt: o h soluzo rel: l sstem de rel o è chuso rspetto I umer compless possoo essere deft prtre d coppe ordte d umer rel (,b) S chm umero complesso u copp d umer rel che soddsf queste codzo Uguglz (, b) (c, d) sse c e b d ddzoe (, b) (c, d) (c, bd) Moltplczoe (, b)(c, d) (c-bd, dbc) I (, b), l prm compoete è l prte rele del umero, b è l prte mmgr Le due operzo ste soo commutte, ssocte e dstrbute 99

26 Il umero (,) è l elemeto eutro per l ddzoe, così come (,) è l elemeto eutro per l moltplczoe I umer compless soo u estesoe d quell rel, che soo tutte e sole le coppe dell form (, ), co umero rele qulss, oero le coppe co prte mmgr ull L seme de rel C è u sottoseme d C Il umero (,) è dcto co (,) (,)(,) (-,) (-,) Per esempo: 6 6 ± 6

27 S ot che b b (b,)(,) (, b) Qud (, b) (, )(, b) (, )[(b,)(,)] b Og umero complesso (, b) è esprmble ell form b Po complesso r θ rcosθ z(r cosθ, r sθ) rsθ r modulo del umero z ( ) / Se r, z cosθ sθ e θ (ed pg success)

28 Se z, z * è detto complesso cougto d z zz * ()( ) z modulo qudro d z (z z ) * z * z * Notmo che s - /! 5 /5! - (sluppo sere d McLur) che cos /! 4 /4! - e che e /! /! 4 /4! Sosttuedo θ ell ultmo sluppo, per ettor compless utr (r ) ottemo l seguete, oteole relzoe d Eulero: e θ cosθ sθ che Fem defsce come l formul pù oteole dell mtemtc (Fem Lectures o Phscs, ol, cp ) Per umer compless qulss s h z r e θ

29 Esercz Mettere () / e / ell form b Clcolre l modulo de seguet umer 4 /- Determre umer rel che soddsfo - L prossm ozoe, quell d prodotto sclre, serrà defre l ozoe d probbltà

30 6 Prodotto sclre defto V sopr u cmpo (corpo) complesso F U prodotto sclre, dcto co < u > bse ll otzoe d P Drc, è u fuzoe che ssoc coppe d ettor u, uo sclre e che soddsf seguet tre ssom: () ( solo se ) () u u * () u bw u b u w Il prodotto è lere el secodo ettore 4

31 Utlzzmo () e () per mostrre che l prodotto sclre è tlere el prmo ettore u b w wu b () * ( ) ( ( w u b w ) * * w u * b * w * ( ) * u w b * w Se u Per defzoe, è l orm d u Se llor è ortogole u u u u l ettore è ormlzzto ozo d rcordre (ed p46) 5

32 I R, per due ettor u e s h u-c u u u ; u u u uu u u u u u uu u θ c Poedo u speghmo l dell pg precedete teorem d Ptgor Determmo u umero c tle che < u-c > <u > - c < > > c <u >/ < > Poché c u cosθ > c cosθ u / Ugugldo due lor d c s h cosθ u / <u >/, oero <u > u cosθ; se θπ/, <u > perché cos(π/) (ed l dell pg 6 precedete: due ettor u e soo ortogol)

33 U seme d ettor e, e, e è detto ortoormle sse e e δ δ se ltrmet <u, > ucosθ, doe θ è l golo compreso tr due ettor Se, Pcosθ P P cosθ ()(cos θ cosθ è u probbltà! ) θ P Eserczo: Teedo preset gl ssom, erfcre che ' ' ' * ' 7

34 Se l posto d due qulss, o complr, utlzzmo due ettor ortoorml e, e ettor, s scroo e e e e e ' Il seso del secodo ssom <u/)</u)*, che mplc l tlertà, è dto dll esgez d ere, che V (C), u orm post: og ettore R (C ) è esprm come e e co complesso Se, term soo rel, come de essere per delle orme, metre o soo ecessrmete post per complesso: * * ' e e * ' 8

35 Due teorem solo euct ) L dsuguglz d Schwrz u u I R h u terpretzoe o, se s tolgoo qudrt e s cosder che u u cosθ u ) L dsuguglz trgolre u u I R h u terpretzoe o: l lughezz d u somm d ettor (d u lto d u trgolo) è ferore ll somm degl ltr due lt 9

36 7 L otzoe d Dr c Dt u bse, u ettore V è corrspodez buoc co u -pl d coeffcet compless dt u bse trspoedo e pssdo l cougto complesso ( ) *, *,,,, * ' ' ( *, *) *,,,, * ' ' ' dt u bse

37 ( *, *) *,,,, è defto come br è defto come ket br ket Lo spzo de br è detto dule d quello de ket e c è u corrspodez buoc tr gl elemet corrspodet

38 Vettore colo e ket br e (,,,,,,,) Per u bse ortoormle, s h e *e * Vettore rg Br e ket s corrspodoo come u umero e l suo complesso cougto, e, come sppmo, < > è l complesso cougto d < >, oero < > < >* b * ' '' ''' ''' '' ' c'''' b* ''' c* Iertedo l orde del prodotto sclre e de fttor, cougdo coeffcet compless ottemo l equzoe ggut ll prm

39 Moltplcdo sclrmete etrmb lt per l br s h δ Iftt l ultm sommtor è ders d solo per u lore d, quello ugule Poché l -esm compoete del ettore è dt d rscrmo l prm formul lto sstr sosttuedo l posto dell - esm compoete d l suo lore espresso come prodotto sclre L ultm uguglz dell equzoe qu sopr s gustfc co l ftto che l moltplczoe tr l coeffcete complesso < e l su bse è commutt e s può qud ertre l orde > e

40 * * * Prore trore l ggut dell seguete equzoe ggut Come s ede, l regol è l seguete: s trsform u ket u br e ceers, s erte l orde de fttor (oero s pss l complesso cougto del prodotto sclre), e s cougo gl 4 eetul coeffcet compless, qu sset

41 ESERCIZIO Teorem d Grm-Schmdt:,, Dt u quluque -pl d ettor LI possmo sempre trore ettor ortoorml,,,,, costruedo opportue combzo ler Ide dell dmostrzoe: prm s costruscoo ettor mutumete ortogol ', ',, ' e po s ormlzzo,otteedo >, >, > esempo co ; ; 5 Tre ettor LI ' ; ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 5

42 I R l proezoe del ettore > su > t >, è u multplo d >, ed è ugule l prodotto sclre tr due ettor < > dso l modulo d > θ t > > > > t > > > Moltplcdo per < t< > < > < > S ot che > > - t > è ortogole > qud t < >/< >, perché < > L proezoe d su, t > ( > < >)/ < > 6

43 7 5 ; ; ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ; ' ' ' ' ' ' ' ' ' Come s ede, > e > soo ortogol 9 ' ' ) ( '

44 ' 5 ( 5) ' / ' ' 9 ' / 5 ' / 5 /5 ' /5 / 5 ' 4/ 5 / 5 / 5 / / ( 4) /5 /5 Normlzzzoe ( > è utro) e (< >) / Verfcre che tre ettor >, > e > soo due due ortogol e che ho orm utr 8

45 lcue osserzo D quest procedur costrutt segue che l mssmo umero d ettor due due ortogol egugl l umero mssmo d ettor LI (prore l sserto erfcdo ztutto che u seme d ettor due due ortogol è LI) Dto uo spzo ettorle V, u sottoseme d suo elemet che formo ess stess uo spzo ettorle s chm sottospzo Deotmo l sottospzo -esmo d dmesoe co V Dt due sottospz V e l loro somm s defsce V m m V V V m k k e cotee tutt gl elemet de due sottospz e delle loro combzo ler I V, l sottospzo costtuto dl po per esempo è dto d V 9

46 Prm d rrre ll ozoe d gguto d u opertore lere, rscrmo lcu opertor ot el lguggo d Drc uo spzo dmeso Itto, opertor ler possoo gre su kets > > o su brs < < Suppomo che l zoe d su > s >! > > l zoe d u opertore lere è completmete determt dll su zoe su ettor d bse Scrmo le compoet dell uo bse fuzoe d quell orgle, oero le proezo de r > su ' '

47 Le compoet del ket trsformto d soo esprmbl term d u mtrce Pomo che s > > ' ' Le compoet dell prm colo dell mtrce soo le proezo del prmo ettore dell bse d sull bse d, oero le compoet del prmo ettore > dell bse d rspetto ll bse orgr > d ; tl compoet (proezo) rsulto dll zoe dell opertore sul prmo ettore dell bse, < > < >, < > < >, etc ' ' '

48 Esempo: s l opertore d rotzoe d 9 grd ttoro ll sse z R(z π/) R(z π/) > > > è l prm colo d R R(z π/) > > - > è l secod colo d R R(z π/) > > è l terz colo d R z π R R R R R R R R R /) R(z Quest ultm mtrce esprme quto detto sopr ; ; > > >

49 Rpetmo l p 5) V V V V V δ δ Pochè < V> sosttumo questo lore ell secod espressoe lto sstr L ultm uguglz s speg perché l prodotto tr lo sclre e l bse è commutto Rpetmo l p 5) u t Impossble sulzzre l'mmge L memor del computer potrebbe essere suffcete per prre l'mmge oppure l'mmge potrebbe essere deggt Rre l computer e prre d uoo l fle Se ee sulzzt d uoo l ross, potrebbe essere ecessro elmre l'mmge e serrl d uoo

50 4 L opertore d dettà form mtrcle è L opertore d proezoe: poché l prm uguglz qu sotto le per og, l oggetto tr pretes è l proettore dettà I I δ P è l proettore per l ket > I P Equzoe d completezz I P P P I

51 P è l compoete d lugo, oero l su proezoe lugo U ettore è qud l somm delle sue proezo lugo drezo Gl opertor P gscoo che su brs * P * PP δ δ P L opertore d proezoe è dempotete (PPP), come due fltr polrzztor co ugule drezoe ello spzo Per l secodo proettore d lo sclre, come due fltr polrzztor ortogol l uo rspetto ll ltro 5

52 6 Scrmo P >< form mtrcle ( ) Metre < > è uo sclre, è u opertore L opertore d proezoe P h solo u elemeto derso d, u sull -esmo elemeto dell dgole Sommdo gl ltr proettor, sppmo che s dee otteere l dettà e ftt l dgole dell mtrce somm srà costtut d tutt P P P I

53 8 L gguto d u opertore Così come u ket (ettore colo) s trsform el br che gl corrspode (ettore rg) co u trsposzoe e cougzoe compless de suo coeffcet, che u opertore è legto modo logo l suo gguto * * Quest eguglz le per defzoe Mostrmo or che l mtrce corrspodete ll gguto d u opertore, oero è l mtrce trspost (scmbo rghe co coloe) e compless cougt d ( ) * * ( ) * ( ) ( ) * 7

54 8 cougdo trspoedo t esempo ( ) B B CB BC (BC) BC C(B) (B)C BC Dm Dll e espressoe segue l Trore l ggut d * B * * * B Rspost

55 Opertor hermt, t-hermt e utr (I MQ prm rppreseto le osserbl) U opertore è hermto se U opertore è t-hermto se Come u umero complesso, u opertore hermto s può screre come u somm d u prte purmete rele e d u purmete mmgr 9

56 Esempo: s u opertore su compless C e u ket Notmo che è u utoettore d co utolore 4, che è u umero rele ()() ( )( ) 4 4 ( )() ()( ) 4( ) * ( T) * Poché è ugule l suo gguto, llor è u opertore hermto, e corrspode e compless u mtrce smmetrc R : suo elemet fuordgole soo l uo l complesso cougto dell ltro, metre gl elemet sull dgole soo rel e, come edremo, ho u somm, che s chm trcc, che è ugule ll somm degl utolor ssoct d

57 Vedmo or perché Gl utolor d u opertore hermto soo umer rel moltplc do scl per etrmb membr Pssmo or ll equzoe ggut, s ottee * * PER DEFINIZIONE DI OPERTORE HERMITINO, e qud le che ; sottredo le due equzo membro membro s h ( *) * è rele perché ugule l suo *

58 Rssumedo, u opertore lere su V s dce hermto se per og e u, s h u u U opertore lere su V s dce d proezoe se è () hermto e () dempotete, oero L seme d proettor P è corrspodez buoc co l seme d sottospz d V su cu r P proetto Dmostrmo or u relzoe estremmete mportte che cotreremo dopo S P u opertore d proezoe; llor le l seguete: P P P demp P hermtctà PP P

59 Esercz: Se e B soo hermt, che cos s può dre d () B; ()BB;()[, B] ; [, B]? L regol per pssre gl ggut è (oltre ertre l orde de fttor) sostture: * () R sì solo se [B] (NB: gg() gguto d ) gg(b) gg(b)gg() (per hermtctà) B geerle derso d B R () sì gg(bb)gg(b)gg(b)gg(b)gg()gg()gg(b)bbbb () gg(b-b)gg(b)gg()- gg()gg(b)b-b -(B-B) t-hermto ()gg([, B]) -(gg(b)-gg(b))- (gg(b)gg()- gg()gg(b)) -(B-B) - B B (B-B) [, B] oero [,B] è ugule l suo gguto e qud è hermto

60 Opertor utr U opertore U è utro se UU I Quest equzoe c dce che U e U soo l uo l erso dell ltro Poché s dmostr che qudo u opertore h u erso le - - I che per U s h U U I log umer compless utr, u e θ per qul le uu* e θ e -θ e Eserczo: Mostrre che l prodotto d opertor utr è utro 4

61 So U e U due opertor utr llor UU I U U e U U I U U Dobbmo dmostrre che UU (UU ) I Poché s h (UU ) U U (p68), UU (UU ) U U U U M dto che U è utro, possmo screre U U I e s h UU (UU ) U I U U U I, doe l peultm uguglz le perché I U U (I è l opertore dettà) Gl opertor utr presero l prodotto sclre tr ettor su qul gscoo ' ' U U ' U ' UU U 5

62 Gl opertor utr soo qud u geerlzzzoe V (C) degl opertor d rotzoe R, qul ultm presero l lughezz de ettor e l prodotto sclre Poché l mtrce che esprme l gguto d u opertore è l cougt dell mtrce trspost, el cso d u cmpo rele come R l prte mmgr d og umero è ull e l ers d U, che è U è semplcemete l su trspost: U U T (rcordmo che qudo spz rel R T I, s dce mtrce ortogole) Teorem: Le coloe e le rghe d mtrc utre U, se ste come compoet d ettor, soo ortoorml (ortog e d orm ) Dm poché () l colo -esm dell mtrce che rppreset U è l mmge del ettore d bse > dopo l pplczoe d U, e () og ettore dell bse è ortogole gl ltr, e () U preser l prodotto sclre de ettor su cu gsce, llor che l colo dell mtrce che rppreset U srà ortogole ll colo Or cosdermo che le coloe dell mtrce U, che è esso stesso corrspodete u rotzoe, soo, prte u fttore d cougzoe compless, le rghe d U: poché bbmo gà dmostrto che le coloe d ettor d rotzoe come U soo ortogol, lo sro che le rghe d U QED 6

63 U dmostrzoe ltert del teorem precedete Le due potes soo U U I ; I k k k Rcord l Eq d completezz p 6 δ I U U U IU U kuk Uk* Uk k U k ku k k l rre dell dce d rg k d, per derso d l colo -esm e quell -esm possoo essere peste come le coordte d due ders ettor colo u e che formo l mtrce U Per l loro ortogoltà, bst mostrre che l prodotto sclre tr due ettor <u > è ullo; oero che le somme Σ k u k * k de prodott delle cougte complesse delle compoet d u k U k * per le compoet d k U k è, propro come ee sopr Per, moltplchmo sclrmete l ettore colo per sé stesso (Σ k u k *u k ), determdo qud l modulo qudrto del ettore u; m poché, per come è defto δ tle prodotto dee lere, l ettore questoe è ormlzzto I ettor colo dell mtrce U soo duque ortoorml Per le rghe, bst utlzzre l ltr relzoe UU I per derso d

64 ssumere che () det det (b) det (B) det det B det c b d d cb Eserczo: Prore che l determte ( det ) d u mtrce utr è u umero complesso d modulo utro Verfcre che queste due mtrc soo utre, che l loro determte è dell form e θ e edere se soo hermte / L trcc d u mtrce è, come l fuzoe determte, u fuzoe che ssoc d uo sclre L trcc, deott co Tr, è ugule ll somm degl elemet dgol dell mtrce stess: Tr( ) 8

65 Mostrre che ) Tr (B) Tr (B) Esercz ) Tr(BC) Tr(BC)Tr(CB) ) L trcc d u opertore è rte per cmbo utro d bse > U>; ltertmete, mostrre che Tr()Tr(U U) 4) Mostrre lo stesso per u determte Det()Det(U U), oero che l determte d u mtrce è rte per cmbo d bse utro 9

66 9 Equzoe crtterstc per mtrc fte Se è u trsformzoe lere (u opertore lere dello spzo V), l equzoe gl utolor () può (portdo sstr del sego d l terme e ggugedo l opertore dettà), scrers ell form ( - I )() Trore le soluzo d quest equzoe è equlete trore gl utoettor e gl utolor d u opertore lere qulss S può dmostrre che quest equzoe h soluzo derse dll utoettore se e solo se l mtrce - I o è ertble, oero se o esste u mtrce ers (-I) - tle che -I per l su ers s l dettà I L o ertbltà, su olt, è equlete ll seguete codzoe sul determte dell mtrce d cu sopr (s ed T postol, Geometr, ol, p, oppure Lg, p ) det (- I) 4

67 4 det det det det Esempo d determzoe d utoettor d u opertore : Impomo che det (-I) L ultm sommtor s ottee clcoldo l determte d -I come dcto ell prm rg: l polomo che e rsult, detto crtterstco, è d grdo pr ll dmesoe dello spzo cu è defto l opertore Il polomo crtterstco è u equzoe d grdo che h come soluzo o rdc propro gl utolor d I ssez d degeerzoe (oero qudo o s erfc che uo stesso utolore s ssocto d utoettor dstt) gl utolor soo tt qut le rdc dell equzoe det det c

68 Per og opertore hermto V esste lmeo u bse d ettor ortoorml I quest utobse l opertore è dgole e h come elemet dgol propro gl utolor dell opertore ffrotmo prm l cso (o degeere) cu tutt gl utolor soo dstt Dto l opertore hermto, scrmo prm l equzoe crtterstc det ( - I ) >, rcorddoc che l clcolo del determte c forsce l polomo crtterstco gà trodotto: Σ c Tle polomo, grze l teorem fodmetle dell lgebr, h lmeo u rdce, oero u utolore, chmmolo I corrspodez tle utolore, dee esstere u utoettore o ullo >, perché ltrmet l mtrce ( - I ) srebbe ertble e cò è escluso dll potes che l suo determte s ullo (ed l presetzoe sull equzoe crtterstc) Predmo desso cosderzoe l sottospzo V - _ costtuto d ettor tutt ortogol > e sceglmo u bse costtut dll utoettore ormlzzto > e d ltr - ettor ortoorml scelt el sottospzo V - _ ; quest bse l opertore h l form seguete: 4

69 L mmge del ettore > dopo che esso pplchmo è l prm colo, che h tutt zer sotto l utolore perché le sue compoet rspetto gl ltr ettor dell bse del sottospzo ortogole > soo ulle: < > < > e cò per l potes d ortogoltà Lo stesso dcs per l prm rg, dto che è hermto, coè ( T )*, coscché l prm colo è ugule ll prm rg prte Prtedo d det(-i), che mplc l uo equzoe crtterstc è ( - ) det(mtrce el bo), oero c ( ) c NB: Gl ltr term corrspodet ll equzoe lto p 8 soo ftt tutt ull perché l prm rg e l prm colo soo ull tre Dto che l polomo d grdo - dee su olt geerre u rdce e u utoettore ormlzzto > per le rgo gà ste proposto d, s può defre l sottospzo V -_ cu ettor soo tutt ortogol > Iterdo l procedur per > fo s ottee l seguete mtrce: c 4

70 Come s ede l mtrce che esprme l opertore hermto è dgolzzt (tutt tre sull dgole, doe tromo tutt gl utolor d ) C può essere pù d u bse che dgolzz, e questo ccde qudo c è degeerzoe Suppomo che per due ders ettor ortoorml e ; llor s h: ; [ α β ] α β [ α β ] Poché soo ortogol, ess geero u sottospzo bdmesole chmto utospzo cu elemet soo tutt utoettor d co lo stesso utolore Quluque copp d ettor otteut d u rotzoe rgd d soo u possble utobse per : el cso degeere bbmo duque u ftà d bs ortoorml Se l polomo crtterstco h u rdce d molteplctà m, l dmesoe del sottospzo l cu uco utolore è srà dt propro d m 44

71 45 Vedmo or l cso degeere co u esempo, cu bbmo u opertore hermto qulche bse dt Determmo l equzoe crtterstc mpoedo ( ),, ) ( ] )[ ( )] ( [ ] ) )( )[( ( det I Per determre l utoettore corrspodete d, dobbmo determre u equzoe che c s utle llo scopo

72 46 Scrmo l ultm relzoe u bse, moltplcdo per < e rcorddo che l dettà I s può decomporre I Σ > < ( ) I Sosttumo or ell espressoe del bo rosso lor dell esempo precedete per determre l utoettore d coordte (,, z), corrspodet ll utolore z z z z z Quluque ettore co z- bee e dt l lbertà d scl, sceglmo ; se moltplchmo per u ettore orm, bee lo stesso ( ) ( ) ) )( ( δ I

73 Per le ltre due rdc (utolor) cocdet,, s ottee u uc equzoe, come coseguez dell degeerzoe S troo per eserczo le tre seguet codzo seguedo l flsrg dell esempo precedete: z z Le codzo z e rbtrro () defscoo u seme d ettor che è ortogole l prmo utoettore > gà troto, e che gccoo u po ortogole l prmo ettore gà troto > Scegledo per l prmo utoettore corrspodete d ( o poe lcu codzoe), z e ormlzzdo, s h ' 6 Il terzo ettore è scelto modo che s ortogole l secodo Og dstt scelt dell frzoe /z c dà coppe dstte d utoettor co l medesmo utolore 47

74 48 Teorem: (Metre) gl utolor (d u opertore hermto soo rel, quell) d u opertore utro U soo umer compless d modulo, e suo utoettor soo mutumete ortogol ssummo dpprm che o c s degeerzoe (utolor tutt dstt): ggut U U U * Moltplchmo sclrmete l ggut dell secod equzoe per l prm ) * ( * * I U U * ) ( Poché gl utolor soo tutt dstt, e og utoettore è derso dl ettore ullo, bbmo due cs )

75 ) cso ( ) Moltplco etrmb membr per * ( ) ( ( )) * * * ( * ) * Se U è degeere, per l teorem p 76 (che fferm che le coloe e le rghe d mtrc utre U, se ste come compoet d ettor, soo ortoorml), e rpetedo l dmostrzoe p 8-8, l somm de modul qudr degl elemet d og rg dee dre (ortoormltà de ettor rg); se sceglmo l prmo utoettore co orm utr, tutt gl ltr elemet dell prm rg soo ull Iterdo l procedur per le ltre rghe s ottee l coclusoe 49

76 Dgolzzzoe d mtrc hermte grze cmbmet utr dell bse Cosdermo u bse ortogole per u opertore hermto V,,,, quest bse possmo sempre pplcre u trsformzoe U tle che per og ettore ortoormle > c d propro l bse (utobse) > U >, che è quell che dgolzz l mtrce Tle trsformzoe U, preserdo gl gol, srà utr, e d bs ortoorml port bs ortoorml Ne segue che per og hermto esste u mtrce utr U tle che U U è dgole Trore u bse che dgolzz equle duque rsolere l problem degl utolor, coè trore possbl lor delle osserbl d u sstem 5

77 5 Eserczo () Trore gl utolor e gl utoettor ormlzzt dell opertore ; ) stblre se l mtrce è hermt e se ) suo utoettor soo ortogol 4 () det (-I) ()determmo l utoettore No c soo codzo sull prm compoete, metre le ltre due soo ulle Sceglmo qud, z 4 ) det z z z z z z z I ( - w 4 ; ; )] )(4 )[( ( 4 ) - det I (

78 5 5 z z z z z 5 Normlzzmo due ettor dededol per l rspetto modulo w 4 ) det z z I ( ) det z z I ( - 9 w z

79 4 No è smmetrc e duque o è hermt, dto che l trspost d o è detc d w ( z ) w z No le l ortogoltà ()Cosderdo l seguete mtrce B, stblre se è hermt, trore suo utolor e utoettor e chmdo U l mtrce d utoettor d B, erfcre che U BU è dgole B cosφ sϕ sϕ cosϕ () Verfcre che C è utr, mostrre che suo utolor soo d modulo (e φ e -φ ) e trore suo utoettor, mostrdo che soo ortogol Verfcre che U BU è dgole, poedo U ugule ll mtrce degl utoettor d C C 5

80 Teorem: Se e B soo due opertor hermt commutt, esste lmeo u bse d utoettor comu che l dgolzz etrmb Dmostrmo solo l cso cu lmeo uo de due opertor (per es ) s o degeere (per og utolore c è u solo utoettore ) Per u dmostrzoe cu etrmb soo degeer, ed R Shkr, pp48-5 B B( ) B [,B] B - B (B ) B (B ) Ne segue che B >è u utoettore d co utolore Poché dgl esercz sppmo che gl utoettor soo ddut meo u fttore d scl b, s può screre: B b Questo mostr che > è che u utoettore d B co utolore b ; poché og utoettore d è che u utoettore d B, ed esste u uc bse per (perché è o-degeere), llor l bse 54 > dgolzzerà etrmb gl opertor