CIRCUITI IN REGIME SINUSOIDALE PERMANENTE

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1 U N EGME SNUSODAE PEMANENE rsformzoe delle equzo d Krchhoff form smbolc trsformt d Stemetz rppreset uo strumeto essezle per lo studo d crcut elettrc ler regme susodle l metodo utlzzto tl fe, detto metodo smbolco, cosste el trsformre secodo Stemetz l sstem d equzo dfferezl per vlor stte delle teso e delle corret u sstem lgebrco d pù gevole soluzoe Nell potes che tutte le corret e le teso del crcuto oggetto d studo so sosudl ed sofrequezl, vrtù delle propretà d lertà dell trsformt d Stemetz, è ftt possble trsformre le legg d Krchhoff vlor stte ltrettte equzo lgebrche complesse ove compoo fsor ssoct lle teso ed lle corret Dt ftt u qulss sequez chus d od, ed essedo v l tesoe dell -esmo degl m trtt costtuet l percorso chuso dvduto d tle sequez, l trsformzoe secodo Stemetz dell legge d Krchhoff per le teso forsce: m ( ) 0 v t 0 () Qud, l somm lgebrc de fsor ssoct lle teso de trtt del percorso chuso dvduto d u qulss sequez chus d od è ull Dt oltre u qulss superfce chus, che tersech l crcuto solo corrspodez delle coesso, ed essedo l correte dell -esmo degl rm che terseco tle superfce, pplcdo l trsformt d Stemetz ll legge d Krchhoff per le corret s ottee: ( t) 0 0 m (b) Per l (b), l somm lgebrc de fsor ssoct lle corret uscet d u qulss superfce chus, che tersech l crcuto solo corrspodez delle coesso, è ull Esplctdo l : prte mmgr d ): prte rele ed mmgr dell equzoe compless (b) ( [ ] o che: [ ] + j [ ] 0 [ ] 0, [ ] 0 troducedo compless cougt [ ] [ ] qud: [ ] j [ ] 0 de fsor ssoct lle corret, s ottee 0 (c) K vle qud che per compless cougt de fsor ssoct lle corret: l somm lgebrc de compless cougt de fsor ssoct lle corret uscet d u qulss superfce chus, che tersech l crcuto solo corrspodez delle coesso, è ull rsformzoe form smbolc delle egg osttutve de Bpol ler E oltre possble trsformre le legg costtutve de compoet, otteedo dlle equzo vlor stte ltrettte equzo lgebrche complesse Adottdo le cosuete covezo per vers postv d tesoe e d correte, le legg costtutve de compoet vst for dveto: esstore: egme susodle -

2 ( t) ( t) v () duttore: d ( ) ( t) j v t jω ; dt ω (b) odestore: dv ( ) ( t) j t jω ; dt ω (c) Geertore d tesoe (dpedete): v( t) e( t), e( t) E cos( ω t + α ) E, jα E Ee (d) Geertore d correte (dpedete): t t, t cos ω t + α, jα e (e) ( ) ( ) ( ) ( ) g g e equzo () e (), otteute medte l trsformzoe secodo Stemetz, vegoo dette equzo smbolche, poché v compoo fsor, grdezze smbolche delle teso e delle corret e legg costtutve form smbolc soo sempre d tur lgebrc, che se, el cso de compoet co memor, soo stte otteute trsformdo equzo dfferezl Ne segue che, per compoet pssv, è possble defre l mpedez Z come u opertore complesso ugule l rpporto fr fsor tesoe e correte: Z / (3) jα jα Dto qud u geerco compoete, so e e e fsor ssoct ll tesoe ed ll correte, dll defzoe (3) s rcv: jα e j ( α α ) jϕ Z e e (4) jα e mpedez è qud u umero complesso d modulo pr l rpporto tr modul de fsor tesoe e correte, ed rgometo ϕ α α golo ϕ vee detto sfsmeto ed esprme l dfferez d fse che vee dott dl compoete tr tesoe e correte o sfsmeto ϕ è postvo qudo α > α, coè qudo l tesoe è tcpo rspetto ll correte verso dell mpedez vee defto mmettez: Y Z (5) tbell rssume rsultt otteut tesoe è stt scelt come rfermeto d fse, coscché α 0 e ; lo sfsmeto è qud ϕ α Gl sfsmet tr fsor soo llustrt fgur dmeto delle corrspodet grdezze susodl è mostrto fgur 3 g g egme susodle -

3 Fgur Fgur b Fgur c Z Z jω Z j/ω correte smbolc è u umero rele fse co :, ϕ 0 ω ω π π jω jω j e correte smbolc è u umero mmgro qudrtur rtrdo rspetto :, ϕ π/ ω jω ωe correte smbolc è u umero mmgro qudrtur tcpo rspetto : ω, ϕ π/ Fgur Fgur b Fgur c v(t) (t) v(t) (t) v(t) t (t) Fgur 3 Fgur 3b Fgur 3c relzoe lere, che bse ll (3), esprme l rpporto tr fsor ed : Z Y (6) vee dett equzoe d Ohm smbolc Metodo smbolco per l soluzoe d crcut correte ltert Quto detto for permette d ffermre che, dto u qulss crcuto lere regme susodle, esso può essere coveetemete rsolto medte l trsformt d Stemetz, medte lo schem mostrto fg 4 t t egme susodle -3

4 Equzo d Krchhoff egg osttutve (dfferezl) trsformzoe Equzo d Krchhoff egg osttutve (lgebrche complesse) soluzoe drett (o ust) soluzoe smbolc Determzoe delle grdezze susodl cogte ttrsformzoe Determzoe de fsor cogt Fgur 4 - Schem d rsoluzoe d crcut c U volt scrtte le equzo d Krchhoff vlor stte, l metodo prevede tre pss: ) rsformzoe delle equzo d Krchhoff dfferezl equzo d Krchhoff smbolche (lgebrche) ) soluzoe delle equzo smbolche e determzoe de fsor rppresettv delle vre cogte (corret e teso d rmo, teso d odo) 3) Determzoe delle corret e delle teso sttee prtre dlle grdezze smbolche che le rppreseto Quest ultm fse è del tutto mmedt, tto che vee ormlmete sotttes operzoe d trsformzoe cosete d otteere u formulzoe smbolc delle equzo topologche e delle legg costtutve formlmete detc quell vlor stte sull cu bse è stt svluppt, e cptol precedet, l teor rgurdte l soluzoe d crcut sez memor, coteet ucmete geertor d tesoe e d correte e resstor log formle per le equzo topologche () è evdete, ed ltrettto può drs per quto rgurd le legg costtutve per geertor dpedet d tesoe e d correte (d, e) e legg costtutve per compoet pssv vegoo trsformte relzo del tpo (6), formlmete loghe ll legge costtutv vlor stte del resstore Quest costtzoe permette d ffermre che l tecc rsolutv de crcut regme susodle rest l stess vst per crcut sez memor, slvo l mpego d fsor lgoo, oltre, tutt teorem sulle ret cotu (eorem d heve, d Norto, etc) Quto detto mostr che come o s ecessro, og volt che s rsolve u crcuto, procedere ll trsformzoe d Stemetz delle equzo dfferezl smbolche, potedos scrvere drettmete queste ultme trmte le () e le () operzoe d trsformzoe è d regol esegut medte l trsformzoe del crcuto el domo del tempo crcuto smbolco le operzoe, esemplfct fg 5, vee effettut sosttuedo d og compoete pssvo l reltv mpedez e d og geertore l fsore ssocto ll grdezz mpress Ache l operzoe d ttrsformzoe s può d solto sotttedere essedo del tutto ovvo l pssggo d umer compless lle grdezze susodl che ess rppreseto le pssggo ftt mplc semplcemete che s predo modulo e rgometo del umero complesso e s detfcho co l vlore effcce e l fse dell grdezz susodle egme susodle -4

5 j ω e(t) E cos( ω t +α ) jα E Ee jω jω g (t) cos( ω t + β ) g e Fgur 5 rsformzoe d u crcuto el domo del tempo crcuto smbolco jβ Sere e prllelo d mpedeze soz ed Atrsoz Quto detto for utorzz d estedere le cosderzo eret resstor sere ed prllelo d mpedeze sere ed prllelo prtcolre, dte mpedeze sere, esse soo equvlet d u'uc mpedez Z eq pr ll somm delle mpedeze che costtuscoo l sere: Z, Z,, Z sere Z eq Z ; dte mpedeze prllelo, esse soo equvlet d u'uc mpedez Z eq pr ll verso dell somm degl vers delle mpedeze che costtuscoo l prllelo: Z, Z,, Z prllelo (8) Z eq, Z (t) v(t) B A Fgur 6 Bpolo pssvo geerle, l mpedez complessv Z d u bpolo formto d u certo umero d compoet pssv, soggetto d u tesoe morsett e che ssorbe u correte, è u umero complesso l cu prte rele ed mmgr X vegoo dette rspettvmete resstez e rettz: Z +jx (0) l modulo dell mpedez Z, che bse ll (4) rsult essere ugule l rpporto tr vlor effcc dell tesoe e dell correte, vle: () Z Z + X rgometo d Z, che per l (4) determ lo sfsmeto ϕ tr l fsore dell tesoe ed l fsore dell correte, è ugule : X rg [ Z ] rct α α ϕ () S cosder or u geerco rmo d crcuto, costtuto d u resstez, u duttz e u cpctà dsposte sere l rmo è lmetto d u tesoe v(t) susodle (ved fgur 7): B A Z (7) egme susodle -5

6 A B Fgur 7 e mpedeze de tre compoet che costtuscoo l sere soo: j Z, Z jω, Z ω mpedez Z complessv del rmo AB, pr ll somm delle mpedeze Z, Z e Z ssume questo cso l espressoe: Z + j ω (3) ω rettz del rmo AB vle: X ω, ω (4) e dpede dll cpctà e dll duttz del rmo, e dll pulszoe ω d lmetzoe rettz vee dstt rettz duttv X e cpctv X secodo l seguete schem: X ω X ω X X + X Dll () s rcv che è u umero complesso d modulo: (5) + X + ω ω Dll () derv oltre che lo sfsmeto ϕ tr fsor dell tesoe e dell correte, pr ll rgometo d Z vle: ω (6) X ϕ rct rct ω S rcoosce che, per,, e fsste, esste u pulszoe ω 0 per cu l rettz s ull: ω 0 (7) pulszoe ω 0 è dett pulszoe d rsoz Ad ess corrspode l correte mssm modulo e co sfsmeto ullo codzo d rsoz l comportmeto del crcuto è resstvo, poché le cdute rettve s compeso vced (ved dgrmm vettorle fg ) egme susodle -6

7 ω 0 < ω ϕ ω 0 -π/ π/ ω X ω 0 X X X Fgur 8 Fgur 9 Fgur 0 fgur 8 è rppresetto l dmeto del modulo dell correte fuzoe dell pulszoe per due dvers vlor dell resstez Nell potetco cso cu l resstez del rmo fosse ull, l modulo dell correte vrebbe u stoto per ω ω 0 Per ω 0, l rettz cpctv X : l correte cotu è blocct dl codestore Per ω, l rettz duttv X : gl effett duttv tedoo bloccre l correte d lte frequeze Nelle fgure 9 e 0 soo rppresett rspettvmete lo sfsmeto e l rettz fuzoe dell pulszoe Per ω <ω 0, l rettz cpctv prevle su quell duttv, e lo sfsmeto ϕ<0; vcevers, per ω >ω 0 l rettz duttv prevle su quell cpctv e ϕ >0 (ved dgrmm vettorl) fgur soo llustrt dgrmm delle teso sul po d Guss Nel cso cosderto, s può scrvere: jx + jx dove soo stte evdezte le teso, e cp dell resstez, dell duttore e del codestore rspettvmete jx jx jx ω jx jx jx Fgur - Per ω <ω 0 l rettz cpctv prevle su quell duttv Fgur b - Per ω ω 0, l rettz cpctv e quell duttv s compeso Fgur c - Per ω >ω 0, l rettz duttv prevle su quell cpctv S cosder or l crcuto mostrto fgur, cu fguro u duttz ed u cpctà prllelo mpedez Z equvlete l prllelo tr le due mpedeze Z e Z vle, bse ll (8): Z Z Z j jx Z + Z ω (8) ω correte che pss ttrverso l resstez è qud pr : + (9) Z metre le corret del rmo duttvo e cpctvo soo pr : egme susodle -7

8 A (t) v(t) B Fgur j ω (0) j ω () Esste u pulszoe ω 0 che rede ft l mpedez equvlete Z e, coseguetemete, ull l correte : ω 0 () Metre l correte d lmetzoe è ull le corret e rsulto dverse d zero: X ω 0 Fgur 3 j fgur 3 è mostrto l dmeto dell rettz equvlete del prllelo duttz - codestore ω Per ω <ω 0 l rettz è postv, ed l crcuto h u comportmeto prevletemete ohmco - duttvo co uo sfsmeto postvo Per bsse frequeze l correte flusce prevletemete el rmo duttvo, che qud crtterzz mggormete l comportmeto del crcuto Al lmte, per ω0, l correte e l rettz duttv X s ullo, metre X v ll fto Per ω >ω 0 l rettz è egtv, ed l crcuto h prevletemete u crtterstc ohmco - cpctv, co sfsmeto egtvo Per lte frequeze l correte flusce mggormete per l rmo cpctvo Qudo ω l correte e l rettz cpctv X s ullo, metre X tede ll fto egme susodle -8

9 S stur coè u regme perodco d scmbo eergetco tr l codestore e l duttz ssez d dsperso e d ressteze, l crcolzoe ell mgl costtut dll duttz e dl codestore cotu deftmete Potez stte POENZE N OENE AENAA S fcc rfermeto ll utlzztore U fgur 4, lmetto trmte l copp d morsett AB d u tesoe susodle: ( t) cos ( ωt) cos( t) v M ω ssoct d u correte d lmetzoe: ( t) cos ( ωt ϕ) ( ωt ϕ) M cos S defsce potez stte l prodotto : ( t) v( t) ( t) A B v(t) (t) Fgur 4 U p (3) correte (t) può che essere espress el modo seguete: ( t) M cos( ωt ϕ) M cos( ωt) cos( ϕ) + M se ( ωt) se ( ϕ) prm compoete dell correte, fse co l tesoe, è dett correte ttv secod compoete dell correte, qudrtur co l tesoe, è dett correte rettv r S può duque scrvere: ( t) cos ( ωt) cosϕ potez stte dvet qud: dove: p M ( t) se( ωt) seϕ r M ( t) ( t) ( t) (4) + ( t) v( t) ( t) + v( t) ( t) p ( t) p ( t) p p r + r (5) ( t) v( t) ( t) cos ( ωt) cosϕ M M M ( t) v( t) ( t) se( ωt) seϕ r r M Gl dmet delle grdezze p e p r, dette rspettvmete potez stte ttv e potez stte rettv, soo mostrt elle fgure 5 e 6 r egme susodle -9

10 , v, p p (t), v, p v(t) P (t) v(t) Fgur 5 - Potez stte ttv t t r (t) p r (t) Fgur 6 - Potez stte rettv Potez ttv S rcoosce che l potez stte ttv o cmb m sego, e rppreset qud u flusso udrezole d eerg l suo tegrle su u perodo è qud, d orm, dverso d zero S defsce potez ttv P l vlore medo u perodo dll potez stte: P p( t) dt 0 (6) E mmedto verfcre che l vlore medo sul perodo dell potez stte cocde col vlore medo dell potez ttv stte: ftt, l potez rettv stte è u grdezz susodle co perodo pr / e, d coseguez, sul perodo, h vlore medo ullo S h qud: P p 0 0 troducedo vlor effcc d correte e tesoe: M M M M ( t) dt cosϕ cos ( ωt) dt cosϕ P cosϕ (7) potez ttv è qud vlutble come l prodotto del vlore effcce dell tesoe, l vlore effcce dell correte e del fttore cosϕ, detto fttore d potez Potez compless potez compless N è deft dll seguete relzoe: dove * è l complesso cougto d S h qud: e, rcorddo l formul d Eulero: N * (8) N e jα jα e e jϕ N cos ϕ + jseϕ (9) sult così provto, rcorddo l (7), che l prte rele dell potez compless rsult essere pr ll potez ttv : ( N ) P cosϕ (30) egme susodle -0

11 prte mmgr dell potez compless vee chmt potez rettv e el cso d u bpolo h l seguete espressoe: ( N ) seϕ Q (3) Dll (3) s può otre che u bpolo ssorbe potez rettv solo qudo l correte è sfst rspetto ll tesoe (ϕ 0), ed è qud presete u compoete rettv dell correte stess (ved eq ) Dll espressoe dell potez rettv sttte (5c), s osserv che l mpezz dell vrzoe susodle d tle potez (prte dpedete dl tempo), è pr seϕ potez rettv è qud u dctore d uo scmbo d eerg d tpo coservtvo, possble presez d compoet grdo d mmgzzre eerg sez dssprl, come duttor e codestor l modulo N dell potez compless è detto potez pprete: N P + Q (3) S cosder or u geerco rmo d crcuto crtterzzto d u mpedez Z eedo coto dell legge d Ohm smbolc (5), l (8) può essere rscrtt come segue: N + ofrotdo l (33) co l (30) e l (3) s ottee: Z * Z jx (33) P (34) Q X (35) bse ll defzoe d correte effcce s rcv subto che l potez ttv è pr ll med su u perodo dell potez dsspt per effetto Joule sull resstez, uco compoete grdo d ssorbre eerg sez restturl potez rettv dpede vece esclusvmete dll rettz, coè d compoet grdo d mmgzzre eerg coservtv (elettrosttc e codestor, mgetc elle duttze) e d restturl S ot che, metre l potez ttv ssorbt dll mpedez Z è sempre postv, l sego dell potez rettv dpede dll rettz prevlete el rmo Q è qud postv per rettze prevletemete duttve (Q ω per u rettz purmete duttv), e egtv per rettze prevletemete cpctve (Q /ω per u rettz purmete cpctv) Addtvtà delle poteze l eorem d ellege, vsto precedetemete (03 crcut-def, pg 5), fferm che, per u qulss crcuto, vedo ssegto vers postv per tesoe e correte secodo l covezoe dell utlzztore, preso u qulss vettore d teso d rmo v, che soddsf le K, ed u vettore d corret d rmo, che soddsf le K, vle l seguete relzoe: v 0 (36) S or dto u geerco crcuto regme susodle, e su cscu rmo d tle crcuto so ssegt vers postv per tesoe e correte soddsfcedo l covezoe dell utlzztore vrtù dell (), l vettore, costtuto d fsor ssoct lle teso d rmo, soddsf l legge d Krchhoff per le teso Per l (c), se l vettore soddsf l K, llor che l vettore *, costtuto d compless cougt de fsor ssoct lle corret d rmo, soddsf l K Applcdo l (36) s h qud: ( ) 0 o, ltr form: r r 0 N, 0 (37) egme susodle -

12 Per l (37), l somm estes tutt gl r rm costtuet l crcuto dto delle poteze complesse ssorbte è ugule zero euto coto che l potez erogt d u compoete è pr ll potez ssorbt cmbt d sego ( N e, N, ), suppoedo che el crcuto cosderto so preset r e rm che erogo potez ed r che l ssorboo, l (37) può essere rscrtt come: re r N e, N, (38) Qud, l somm delle poteze complesse erogte el crcuto è ugule ll somm delle poteze complesse ssorbte Esplctdo prte rele ed mmgr: re r P e P, re r Q e, Q,, ; (39) (39b) bse lle (39), l somm delle poteze ttve erogte el crcuto è ugule ll somm delle poteze ttve ssorbte, e l somm delle poteze rettve erogte el crcuto è ugule ll somm delle poteze rettve ssorbte Potez per compoet d -morsett S cosder or u geerco compoete U d terml schemtzzto fgur 7 l compoete U, lmetto d u sstem d teso morsett susodl ed sofrequezl v (t), v (t), v 3 (t),, v (t), ssorbe le corret (t), (t), 3 (t),, (t), susodl ed sofrequezl co le teso de morsett eso e corret morsett possoo qud essere rppresette d fsor,, 3,, e,, 3,, 3 3 U A AB B 3 U Fgur 7 Fgur 8 potez stte ssorbt dl compoete vle (ved crcut-def Pg 6): ( t) v ( t) ( t) v ( t) ( t) p k k k k (40) k ee deft potez ttv P ssorbt d U l med sul perodo dell potez ttv stte: P S defsce potez compless ssorbt dl compoete l quttà N : 0 p ( ) k τ dτ (4) egme susodle -

13 N k k k (4) potez compless ssorbt N è dpedete dl prtcolre rfermeto utlzzto per defre le teso de morsett ftt, so,, 3,, e,, 3,, le teso de terml del compoete U vedo preso come rfermeto rspettvmete geerc odo A ed B osderto l geerco morsetto k, pplcdo l legge d Krchhoff delle le teso ll sequez chus d od A-B-k-A (fg 8)s ottee: + AB Utlzzdo l odo B come rfermeto per le teso d odo, l potez compless N ssorbt dl compoete U può essere espress come: N k '' k k k ' + AB ' '' (43) k k euto coto che, per l legge d Krchhoff delle corret (c), l somm de fsor k ssoct lle corret etrt el compoete U è ull, e che qud rsult ull che l somm de compless cougt k : re r e 0 0, l (46) dvet: N '' '' ' N k ' (44) (44) dmostr come l defzoe d potez compless ssorbt fort dll (4) s dpedete dl rfermeto per le teso de morsett Utlzzdo come rfermeto l morsetto -esmo, l (4) dvet: N k k (45) k l terme che compre ell sommtor secodo membro dell (45) può essere k k terprett come l potez compless N k fort l compoete U ttrverso l copp d morsett k- (ved fg 9) prte rele del umero complesso N k rppreset qud l potez ttv fort l compoete U ttrverso l copp d morsett k-, ed è pr l vlor medo dell potez stte p k (t) v (t) (t): [ k k ] [ N k ] P v ( τ ) ( τ ) l prte rele dell potez compless N ssorbt d U espress ell form vst ll (45), è pr : [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) N k k k k vk τ k τ dτ vk τ k τ dτ ; k k k 0 0 k teedo fe coto dell defzoe dell potez stte (40), rsult: k [ N ] p ( ) dτ P 0 0 k k dτ τ (46) prte rele dell potez compless ssorbt dl compoete U è qud pr ll potez ttv ssorbt prte mmgr dell potez compless N s defsce potez rettv ssorbt Q dl compoete U egme susodle -3

14 Q [ ] (47) N 3 3 U Fgur 9 S cosder or l crcuto costruto chudedo le coppe d morsett k- co ltrettt geertor d tesoe (ved fg9); l geertore che coette l k-esmo morsetto l morsetto d rfermeto -esmo erog u tesoe k S potzz oltre che l tero del compoete U s costtuto d u rete d r bpol, de qul r ssorboo ed r erogo potez So N Ue,j l potez compless erogt dl j-esmo rmo, ed N U,j l potez compless ssorbt dll -esmo Applcdo l (38), e teuto coto che, co vers scelt per tesoe e correte per gl geertor k, prodott rppreseto le poteze erogte d tl geertor, s rcv: k k re r k k + Ue j N, k j N U, (48) S rcoosce mmedtmete che l prm sommtor, bse ll (45), rppreset l potez compless ssorbt dl compoete U ttrverso morsett secod sommtor è estes gl r rm che erogo potez, e rppreset l potez compless totle che vee erogt d compoet ll tero d U sommtor secodo membro è estes gl r rm che ssorboo potez, e rppreset l potez compless totle che vee ssorbt d compoet ll tero d U (48) può essere terprett come segue: l potez compless ssorbt d morsett sommt lle poteze complesse che vegoo erogte ll tero del compoete U è pr ll potez compless totle ssorbt termete d U Esplctdo l equzoe compless (48) elle sue compoet rele ed mmgr s h: P Q + + re r PUe, j PU, j (49) re r QUe, j QU, j (49b) Per l (49), l potez ttv ssorbt d morsett sommt lle poteze ttve che vegoo erogte ll tero del compoete U è pr ll somm delle poteze ttve ssorbte termete d U Per l (49b), l potez rettv ssorbt d morsett sommt lle poteze rettve che vegoo erogte ll tero del compoete U è pr ll somm delle poteze rettve ssorbte termete d U egme susodle -4

15 fsmeto Nell fgur 0 è rppreseto schemtcmete u geertore d tesoe c G che lmet, trmte u le d lughezz, u utlzztore U lughezz dell le è tle che è possble schemtzzrl medte u mpedez d le Z (Z + j X ) egme susodle -5 A' G ' Fgur 0 oseguetemete l tesoe d gresso dell utlzztore U è pr : ' Z A cus dell cdut d tesoe Z l tesoe o è ugule ', e soprttutto vr secod dell utlzztore All resstez d le è oltre ssoct u potez dsspt per effetto Joule: Pd l effett possoo essere lmtt rducedo l correte d le qudo questo è possble Esstoo degl utlzztor che, essedo crtterzzt d u fttore d potez (cosϕ) bsso ecessto d elevt vlor d correte per ssorbre l potez omle per cu soo stt progettt ftt, dll (7) s h: P cosϕ to pù bsso è l fttore d potez, tto mggore è, prtà d tesoe e potez ttv A ssorbt, l correte d lmetzoe U rmedo tle stuzoe s può otteere rfsdo l utlzztore, coè dspoedo prllelo d esso u opportu rettz l tpo d rettz dpede dllo U sfsmeto dell utlzztore: occorre u codestore se ϕ>0, u duttore se ϕ<0 S fcc rfermeto l cso pù frequete cu ϕ>0 (ved fgur ) l dgrmm delle corret s rcv fclmete teedo coto che: + e che è qudrtur tcpo rspetto D tle dgrmm (ved fgur ) s vede come s possble rdurre mer cosderevole l correte d le presez del codestore prllelo d U rede teor possble ullre lo sfsmeto ϕ' del blocco codestore - utlzztore (rfsmeto completo) reltà l rfsmeto completo è rrmete ecessro, è suffcete che l golo ϕ' ssum u vlore prefssto coveetemete pccolo B' c Z B Fgur ϕ ϕ Fgur Dll (30) e dll (3) s ottee: Q P tϕ (50) Q + Q P tϕ' (5) dove P, Q, Q c soo rspettvmete l potez ttv ssorbt dl utlzztore, l potez rettv ssorbt dll utlzztore e l potez rettv ssorbt dll cpctà (5) è stt otteut c A B U

16 teedo coto che l potez ttv ssorbt dl codestore è ull Sottredo membro membro l (5) dll (50) s ottee: Q P( tϕ' tϕ ) (5) eedo coto che: Q X ( ω ) ω ω ω dll (5) s rcv: P ( tϕ tϕ' ) ω (53) che cosete d clcolre l cpctà del codestore fssto l golo ϕ' fuzoe del codestore d rfsmeto può essere spegt tutvmete: esso rppreset u compoete grdo d scmbre ltertvmete eerg co l utlzztore presez del codestore, dmuedo l potez rettv vst dl geertore, rduce qud lo scmbo lterto d eerg lugo l le ò s rflette u rduzoe dell correte d le (ved fg ), co u coseguete dmuzoe delle perdte sull le stess egme susodle -6