2.1 Nozioni topologiche del grafo associato ad una rete elettrica
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- Michela Cattaneo
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1 ltma modfca 03/0/0. Nozo topologche del grafo assocato ad ua rete elettrca crcuto elettrco è u seme d elemet elettrc tercoess u certo modo. S defsce grafo assocato ad u crcuto (o ad ua rete elettrca) u grafco che dca co: de put gl elemet elettrc e co u segmeto che usce due put, l essteza del collegameto fsco tra due elemet elettrc del crcuto. Attraverso l grafo s ha ua vsualzzazoe mmedata de collegamet fsc esstet tra dvers elemet d u crcuto, ossa è rappresetata la topologa del crcuto. Le ozo topologche fodametal del grafo assocato ad u crcuto (o ad ua rete elettrca) soo: Nodo: puto d u grafo a cu fao capo tre o pù ram. amo: dat due od, se tra quest due od della rete esste ua coessoe o collegameto, questo costtusce u ramo. Magla: seme d ram collegat fra loro modo da formare u percorso chuso. Taglo: seme de ram del grafo toccat da ua superfce chusa che racchude uo o pù od. La superfce chusa de tagl o deve taglare e Apput d Elettrotecca del prof. Maragela sa del corso d ELETTOTECNCA per meccac, chmc Facoltà d gegera dell verstà degl Stud d Caglar 45
2 morsett degl -pol geerc e le superfc lmte de compoet. S defsce albero d ua rete u seme coesso d ram della rete, che comprede tutt od del grafo seza formare percors chus ( magle). Esstoo per uo stesso crcuto umeros alber. Assocata alla ozoe d albero è quella d coalbero. l coalbero è l seme de ram del grafo o apparteete all albero. Se ua rete ha l ram e od è possble costrure u albero co - ram e u coalbero co l-(-) ram, essedo (-)(l-(-))l l umero totale de lat. Le magle che s formao aggugedo all albero u ramo d coalbero alla volta, soo le magle fodametal assocate all albero. Per esse l applcazoe del secodo prcpo d Krchhoff forsce equazo learmete dpedet. a magla fodametale cotee uo e u solo ramo d coalbero. Apput d Elettrotecca del prof. Maragela sa del corso d ELETTOTECNCA per meccac, chmc Facoltà d gegera dell verstà degl Stud d Caglar 46
3 Og ramo d coalbero compare ua e ua sola magla fodametale. Apput d Elettrotecca del prof. Maragela sa del corso d ELETTOTECNCA per meccac, chmc Facoltà d gegera dell verstà degl Stud d Caglar 47
4 tagl costtut da og ramo d albero pù u certo umero d ram apparteet al coalbero soo tagl fodametal. Per ess l applcazoe della prma legge d Krchhoff forsce delle equazo learmete dpedet. taglo fodametale cotee uo e u solo ramo dell albero. Og ramo dell albero compare uo e u solo taglo fodametale. S coclude che per ua rete s hao: - tagl fodametal (quat soo ram dell albero) l-(-) magle fodametal (quat soo ram del coalbero). Le teso de ram dell albero costtuscoo u seme d teso dpedet:(-). Le corret de ram d coalbero costtuscoo u seme d gradezze fra loro dpedet: l-(-). Apput d Elettrotecca del prof. Maragela sa del corso d ELETTOTECNCA per meccac, chmc Facoltà d gegera dell verstà degl Stud d Caglar 48
5 . Prcp d Krchhoff Per coduttor spazalmete estes la correte uscete da ua qualuque superfce chusa è uguale a zero. base alla teora de camp d correte, l vettore destà d correte J è soleodale e la dvergeza è ulla: dv J J 0 fatt per l teorema della dvergeza: l flusso d u vettore uscete da ua superfce chusa qualuque è uguale all tegrale della dvergeza del vettore, esteso al volume racchuso dalla superfce stessa, s ha: J d A J dv 0 A Questa relazoe rappreseta l prcpo d Krchhoff per coduttor spazalmete estes. Questo prcpo esprme sostaza l fatto che: ua qualuque regoe del coduttore o possoo accumulars carche elettrche (regme permaete) e emmeo se e possoo creare e dstruggere (prcpo della coservazoe della carca elettrca). V Apput d Elettrotecca del prof. Maragela sa del corso d ELETTOTECNCA per meccac, chmc Facoltà d gegera dell verstà degl Stud d Caglar 49
6 Nel caso delle ret elettrche crcut flform e regme stazoaro l prcpo d Krchhoff s esprme dcedo che la somma algebrca delle corret uscet ed etrat u odo e uguale a zero. Assumedo per covezoe che le corret etrat sao postve: Apput d Elettrotecca del prof. Maragela sa del corso d ELETTOTECNCA per meccac, chmc Facoltà d gegera dell verstà degl Stud d Caglar 50
7 oltre dallo studo de camp d correte l campo elettrco è E rrotazoale, ossa : rot E E 0 per l teorema d Stokes l flusso del rotore d rot E attraverso ua superfce A chusa qualuque è uguale alla crcutazoe del vettore E lugo la lea l che delmta l cotoro d quella superfce: ( E ) da E dl A Ne crcut elettrc regme stazoaro l prcpo d Krchhoff s esprme dcedo che la somma delle teso lugo ua magla (percorso chuso) del crcuto deve essere uguale a zero: 0 Ossa la somma delle f.e.m. lugo ua magla è uguale alla somma delle cadute d tesoe: l E Per quato rguarda seg de rspettv added, del prmo e del secodo membro, s assumoo come postve le f.e.m. e le corret, l cu seso è cocordate co l seso d percorreza della correte assuto postvo. Apput d Elettrotecca del prof. Maragela sa del corso d ELETTOTECNCA per meccac, chmc Facoltà d gegera dell verstà degl Stud d Caglar 5
8 Apput d Elettrotecca del prof. Maragela sa del corso d ELETTOTECNCA per meccac, chmc Facoltà d gegera dell verstà degl Stud d Caglar 5
9 .3 Prcpo d sovrapposzoe degl effett Se ua rete è costtuta da elemet d ressteza costate, l applcazoe de prcp d Krchhoff coduce ad u sstema d equazo a coeffcet costat, per la leartà della legge d Ohm, le cu soluzo soo combazo lear de term ot. a rete che preseta questa propretà s dce leare. tal caso la correte u geerco ramo della rete è uguale alla somma delle corret che v sarebbero prodotte da sgol geerator preset ella rete cosderat separatamete: cò esprme, per le ret lear, l prcpo d sovrapposzoe degl effett. Tale prcpo faclta spesso l calcolo delle corret d ua rete assegata prodotta da dverse f.e.m. oltre esso cosete d determare la varazoe delle corret e dvers ram della rete quado questa é modfcata, ad esempo per l mmssoe d ua ressteza u ramo geerco. Apput d Elettrotecca del prof. Maragela sa del corso d ELETTOTECNCA per meccac, chmc Facoltà d gegera dell verstà degl Stud d Caglar 53
10 .4 Bpol equvalet Due bpol s dcoo equvalet se presetao a loro morsett la stessa ressteza equvalete, ossa l rapporto fra la tesoe e la correte é lo stesso. Se Apput d Elettrotecca del prof. Maragela sa del corso d ELETTOTECNCA per meccac, chmc Facoltà d gegera dell verstà degl Stud d Caglar 54
11 .5 essteze sere e parallelo correte cotua valgoo le relazo ottebl dalla realzzazoe del parttore d tesoe o d correte co resstor. Sere: Le ressteze collegate sere soo attraversate dalla stessa correte. La tesoe a cap del bpolo equvalete sarà: eq 3 eq eq Apput d Elettrotecca del prof. Maragela sa del corso d ELETTOTECNCA per meccac, chmc Facoltà d gegera dell verstà degl Stud d Caglar 55
12 Parallelo: Le ressteze collegate parallelo presetao a loro morsett la stessa tesoe. La correte assorbta dal bpolo equvalete sarà: 3 eq 3... eq 3... ossa: eq 3... eq Apput d Elettrotecca del prof. Maragela sa del corso d ELETTOTECNCA per meccac, chmc Facoltà d gegera dell verstà degl Stud d Caglar 56
13 Apput d Elettrotecca del prof. Maragela sa del corso d ELETTOTECNCA per meccac, chmc Facoltà d gegera dell verstà degl Stud d Caglar 57 Nel caso partcolare d due sole mpedeze parallelo avremo: La ressteza equvalete è: * p
14 .6 Parttore d tesoe eq... eq eq eq eq Apput d Elettrotecca del prof. Maragela sa del corso d ELETTOTECNCA per meccac, chmc Facoltà d gegera dell verstà degl Stud d Caglar 58
15 .6 Parttore d correte / / P / P / p p ; / / p Apput d Elettrotecca del prof. Maragela sa del corso d ELETTOTECNCA per meccac, chmc Facoltà d gegera dell verstà degl Stud d Caglar 59
16 .7 essteze collegate a stella e a tragolo Se cosderamo 3 bpol: l collegameto a stella s ottee collegado seme P, P, P3: F PPP3 3 F3 F Apput d Elettrotecca del prof. Maragela sa del corso d ELETTOTECNCA per meccac, chmc Facoltà d gegera dell verstà degl Stud d Caglar 60
17 l collegameto a tragolo s realzza collegado og morsetto F co P: F3P 3 FP3 F FP P F P F3 P3 Apput d Elettrotecca del prof. Maragela sa del corso d ELETTOTECNCA per meccac, chmc Facoltà d gegera dell verstà degl Stud d Caglar 6
18 carch possoo essere sempre trasformat carch equvalet a stella o a tragolo Y Y Apput d Elettrotecca del prof. Maragela sa del corso d ELETTOTECNCA per meccac, chmc Facoltà d gegera dell verstà degl Stud d Caglar 6
19 Apput d Elettrotecca del prof. Maragela sa del corso d ELETTOTECNCA per meccac, chmc Facoltà d gegera dell verstà degl Stud d Caglar 63 3 e 3 e se / / / o 3 3 o 3 3 o Y Y Y o o o.9 Teorema d Theve S cosder u bpolo attvo accessble a morsett A e B. Esso equvale ad ua scatola chusa coteete geeralmete geerator d correte, d tesoe e resstor
20 varamete collegat fra loro. Secodo l teorema del geeratore d tesoe equvalete o teorema d Theve u bpolo attvo leare (rete comuque complessa attva accessble da morsett A e B) equvale ad u bpolo semplce costtuto da: u geeratore d tesoe AB0 ua ressteza sere ad esso, dove ABeq equvale alla tesoe a vuoto fra morsett A e B, AB0 equvale alla ressteza equvalete vsta da ABeq morsett A e B quado l bpolo vee passvato (s cortocrcutao geerator d tesoe (affché g0) e s aproo ram dove soo preset geerator d correte (affché g0). Per dmostrare l teorema s serscoo due geerator d tesoe ugual e cotrappost, come rportato fgura. La loro preseza o altera l fuzoameto della rete, fatt la tesoe a loro cap è: E -E 0 essedo per potes E E E co costate. Apput d Elettrotecca del prof. Maragela sa del corso d ELETTOTECNCA per meccac, chmc Facoltà d gegera dell verstà degl Stud d Caglar 64
21 Applchamo l prcpo d sovrapposzoe degl effett e rsolvamo le due ret. La prma co tutt geerator del bpolo attvo sert e l geeratore, scegledo l valore d E tale da aullare la correte questa codzoe d fuzoameto solvedo la magla s ha: 0 -E da cu ottego E ' 0 ma poché 0 ab 0 e qud corrspode alla tesoe a vuoto. Apput d Elettrotecca del prof. Maragela sa del corso d ELETTOTECNCA per meccac, chmc Facoltà d gegera dell verstà degl Stud d Caglar 65
22 La secoda co l bpolo attvo reso passvo e l geeratore d tesoe agguto l bpolo reso passvo sarà equvalete ad ua ressteza elettrca vsta da morsett A e B dcata co eq. solvedo la magla s ha: E ( eq ) da cu otteamo: ' ' E eq Applcado l prcpo d sovrapposzoe degl effett: E E ' ' ' 0 eq eq coclusoe; a cap d tutto avvee come se s applcasse u bpolo attvo semplce, costtuto da u Apput d Elettrotecca del prof. Maragela sa del corso d ELETTOTECNCA per meccac, chmc Facoltà d gegera dell verstà degl Stud d Caglar 66
23 geeratore d tesoe E 0, co sere ua eq par alla ressteza del bpolo reso passvo. L potes d leartà deve essere soddsfatta dal bpolo attvo, coè dalla rete a mote d A e B, ma o ecessaramete dal bpolo da collegare ad esso..0 Teorema d Norto Vee ache deomato l teorema del geeratore equvalete d correte: esso è l duale del teorema d Theve. bpolo attvo o ua rete leare comuque complessa accessble da due morsett A e B equvale ad u geeratore d correte cc co parallelo ua coduttaza eq eq dove: Apput d Elettrotecca del prof. Maragela sa del corso d ELETTOTECNCA per meccac, chmc Facoltà d gegera dell verstà degl Stud d Caglar 67
24 cc è uguale alla correte d corto crcuto fra morsett A e B eq è la coduttaza vsta da morsett A e B quado eq s rede passvo l bpolo: E possble trasformare u geeratore equvalete d tesoe (o d correte) u geeratore d correte (o d tesoe) applcado teorem d Theve e Norto. Apput d Elettrotecca del prof. Maragela sa del corso d ELETTOTECNCA per meccac, chmc Facoltà d gegera dell verstà degl Stud d Caglar 68
25 Avremo le seguet relazo: cc 0 eqcc [Volt] co eq 0 cc [Ampere] co eq eq [Ω] eq eq [Semes] eq Apput d Elettrotecca del prof. Maragela sa del corso d ELETTOTECNCA per meccac, chmc Facoltà d gegera dell verstà degl Stud d Caglar 69
26 . Dualta delle ret lear La legge d Ohm può essere scrtta due mod: oppure l prmo prcpo d Krchhoff avrà queste forme: 0 oppure J per od l secodo prcpo d Krchhoff avrà queste forme: E oppure 0 per le magle Per la dualtà delle ret lear, tutte le relazo fra le gradezze che teressao le ret possoo qud mutars altre formalmete detche, cu s sosttuscoo: alle teso le corret e vceversa a od le magle e vceversa alle sorget d forza elettromotrce E serte a lat le sorget d correte J applcate a od e vceversa alle ressteze le coduttaze e vceversa Apput d Elettrotecca del prof. Maragela sa del corso d ELETTOTECNCA per meccac, chmc Facoltà d gegera dell verstà degl Stud d Caglar 70
27 . Teorema d Mllma S suppoga d avere dvers geerator d tesoe (o dvers geerator d correte equvalet) parallelo. Essedo J E co : e applcado l prmo prcpo d Krchhoff al odo A, s ha: J J E eq Apput d Elettrotecca del prof. Maragela sa del corso d ELETTOTECNCA per meccac, chmc Facoltà d gegera dell verstà degl Stud d Caglar 7
28 Allo stesso modo s può passare alla rappresetazoe duale, come evdezato ella fgura che segue operado le seguet sosttuzo: E J E ed eq eq Apput d Elettrotecca del prof. Maragela sa del corso d ELETTOTECNCA per meccac, chmc Facoltà d gegera dell verstà degl Stud d Caglar 7
29 Se l geeratore é collegato ad u bpolo d coduttaza rsulta: E E AB co Apput d Elettrotecca del prof. Maragela sa del corso d ELETTOTECNCA per meccac, chmc Facoltà d gegera dell verstà degl Stud d Caglar 73
30 Apput d Elettrotecca del prof. Maragela sa del corso d ELETTOTECNCA per meccac, chmc Facoltà d gegera dell verstà degl Stud d Caglar 74
31 . Metod delle corret d magla e de potezal a od l stess prcp d Krchhoff possoo essere utlzzat sotto altre forme elle qual, medate ua opportua scelta delle cogte, s rduce l umero delle equazo, semplfcado l sstema da rsolvere. Questo seme d corret s presta per essere scelto drettamete come l seme delle cogte, quado ella rete sao preset resstor e geerator dpedet d tesoe. l sstema rsolvete può essere scrtto rcorredo alla ozoe d correte d magla. S suppoe che og magla fodametale crcol ua correte d magla fttza e che le corret e ram sao determate dalla combazoe d tutte le corret d magla delle magle a cu appartegoo. Cò costtusce l aals del crcuto su base magle e tale procedmeto è chamato: METODO DELLE COENT D MALA. Apput d Elettrotecca del prof. Maragela sa del corso d ELETTOTECNCA per meccac, chmc Facoltà d gegera dell verstà degl Stud d Caglar 75
32 Metodo delle corret d magla: procedmeto. S scelga u albero sul grafo oretato. S assumao come varabl auslare le corret d magla che corrspodoo alle corret e ram d coalbero, co le rspettve oretazo [ l ( ) ] 3. S scrva l sstema rsolvete, determado la matrce de coeffcet e l vettore de term ot el modo seguete: ressteza propra ( ressteza della magla ) ressteza mutua, par alla ressteza j j de ram resstv comu alle magle e j. S avrao seguet cas:. j > 0 se e j percorroo l ramo j co verso cocorde;. j < 0 se e j percorroo l ramo j co verso dscorde;. j 0 se le magle e j o hao ram comue. E E somma algebrca delle m ( ) mv teso mpresse da geerator d tesoe e d correte preset ella magla. 4. solvedo l sstema s determao le corret d magla cogte; 5. S determao, fe, le corret e le teso og ramo del crcuto. Apput d Elettrotecca del prof. Maragela sa del corso d ELETTOTECNCA per meccac, chmc Facoltà d gegera dell verstà degl Stud d Caglar 76
33 6. l sstema d equazo rsolutve forma matrcale é: m m m 3 m 4 E E E E m m m3 m4 E E E E mv mv mv3 mv4 E m soo le teso mpresse da geerator d correte collegat fra gl estrem della magla cosderata, E mv soo le teso mpresse da geerator d tesoe collegat fra gl estrem della magla cosderata, La tesoe mpressa da geerator d correte sarà cogta; ad og modo l sstema sarà ugualmete rsolvble perché el complesso l umero delle cogte o aumeterà, fatt geerator d correte mporrao la loro correte erogata el ramo cu soo sert. Le equazo, geerale, sarao l-(-) ossa quat soo ram del coalbero. Apput d Elettrotecca del prof. Maragela sa del corso d ELETTOTECNCA per meccac, chmc Facoltà d gegera dell verstà degl Stud d Caglar 77
34 Metodo potezal d odo: procedmeto Questa aals può essere dervata da quella su base magle utlzzado l cocetto d dualtà, ossa sosttuedo le ressteze co le coduttaze, le f.e.m. mpresse co le corret mpresse e le varabl auslare corret d magla co le teso a od valutate rspetto ad u odo d rfermeto. fatt, per u geerco ramo, applcado la legge d Ohm geeralzzata otteamo: V da cu: V J E J J J J E J J V J V J Apput d Elettrotecca del prof. Maragela sa del corso d ELETTOTECNCA per meccac, chmc Facoltà d gegera dell verstà degl Stud d Caglar 78
35 . S scelga u albero sul grafo oretato. S assumao come varabl auslare potezal de od dell albero meo uo, quel odo che vee assuto come rfermeto; avremo [( ) ] od 3. S scrva l sstema rsolvete, costtuto dalle equazo delle corret per tagl fodametal assocat all albero stesso, determado la matrce de coeffcet e l vettore de term ot el modo seguete: coduttaza propra, par alla somma delle coduttaze de ram e j che fao capo al odo j coduttaza equvalete del ramo j che è coesso al odo, presa sempre co l sego egatvo j 0 se l odo j o è drettamete coesso al odo. v somma algebrca delle corret mpresse da geerator d tesoe e d correte che fao capo al odo co questa covezoe: postve se etrat el odo, egatve se uscet dal odo. 4. solvedo l sstema s determao le teso de od rspetto al odo assuto come rfermeto 5. S determao, fe, le corret e le teso og ramo del crcuto. Apput d Elettrotecca del prof. Maragela sa del corso d ELETTOTECNCA per meccac, chmc Facoltà d gegera dell verstà degl Stud d Caglar 79
36 forma matrcale avremo ua stuazoe d questo tpo: v v v3 v4 soo le corret mpresse da geerator d correte collegat fra od cosderat. v soo le corret mpresse da geerator d tesoe collegat fra od cosderat. La correte mpressa da geerator d tesoe sarà cogta; ad og modo l sstema sarà ugualmete rsolvble perché el complesso l umero delle cogte o aumeterà, fatt geerator d tesoe mporrao la tesoe a morsett de od cu soo sert. Le equazo, geerale, sarao (-) avedo dcato co l umero d ram dell albero. Apput d Elettrotecca del prof. Maragela sa del corso d ELETTOTECNCA per meccac, chmc Facoltà d gegera dell verstà degl Stud d Caglar 80
37 Precsazoe l metodo delle corret d magla è applcable sstematcamete quado soo preset ella rete solo geerator d tesoe, metre l metodo de potezal d odo è applcable sstematcamete solo quado soo preset geerator d correte. Quado s verfcao queste stuazo s ottegoo sstem d equazo rsolvet be strutturat. metod soo comuque applcabl quado el prmo caso soo preset ache geerator d correte e, el secodo caso, quado soo preset geerator d tesoe. Se soo preset geerator deal d correte per l prmo caso e geerator deal d tesoe per l secodo, per prm è determata la tesoe x e per secod è determata la correte x. Per tale motvo s troducoo el sstema rspettvamete le cogte x o x. Per mateere lo stesso umero d cogte complessve: el prmo caso s deve far modo che la correte mpressa dal geeratore d correte cocda co ua correte d magla, metre Apput d Elettrotecca del prof. Maragela sa del corso d ELETTOTECNCA per meccac, chmc Facoltà d gegera dell verstà degl Stud d Caglar 8
38 el secodo caso s deve far cocdere la tesoe mpressa dal geeratore d tesoe co uo de potezal a od. Alteratvamete s dovrà aggugere ua uova equazoe aumetado, però la complesstà del sstema. Apput d Elettrotecca del prof. Maragela sa del corso d ELETTOTECNCA per meccac, chmc Facoltà d gegera dell verstà degl Stud d Caglar 8
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