Esercitazioni di Impianti Elettrici 1 N 2: Calcolo dello stato di regime negli impianti elettrici

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1 Ig. G. as Eserctazo d Impat Elettrc N : C.d.. egl mpat elettrc - /0/98 pag. Eserctazo d Impat Elettrc N : Calcolo dello stato d regme egl mpat elettrc. - cham d teora ed esemp.. - assooma de od e caratterstche de carch I u sstema elettrco od possoo essere classfcat base alle loro codzo d geerazoe e d carco: - Le sbarre d poteza fta ( realtà la poteza che ess possoo erogare o è fta, ma solo molto grade hao u valore d tesoe mposta, che o camba al varare delle codzo d carco; soo grado d forre (o assorbre qualuque quattà d poteza attva e reattva che la rete rcheda (o che la rete ceda per esubero; per questo u odo d questo tpo vee chamato odo d saldo (o, dall'glese, "odo slac" perché è grado d chudere l blaco delle poteze attve e reattve rete: poteze assorbte dal carco perdte poteze erogate da geerator poteza erogata dal odo d poteza fta. Soltamete la tesoe d quest od vee presa come rfermeto per l'agolo d fase d tutte le gradezze fasoral. er tale ragoe vegoo ache deft od "θ,v " perché per ess agolo d fase e modulo della tesoe soo le gradezze prefssate, metre le gradezze, erogate soo lbere, e dpederao da quato rchede l resto della rete. - Le sbarre cu soo preset geerator soo soltamete esercte a tesoe mposta. Il regolatore d tesoe del geeratore o de geerator esse preset è predsposto modo da adeguare automatcamete la correte d ecctazoe al varare del carco modo che la tesoe a morsett rmaga costate, ad u valore prefssato da ch esercsce l sstema. Ioltre, l regolatore d veloctà (o d poteza è predsposto modo da fare erogare a morsett u valore d poteza attva costate (a meo che la frequeza rete o s allota dal valore omale, ma d questo s dscuterà altra sede. er tale ragoe vegoo ache deft od " V, " perché per ess le gradezze prefssate soo modulo della tesoe e poteza attva erogata, metre le gradezze θ, soo lbere, e dpederao dall'terazoe d questo odo co l resto della rete. - Le sbarre cu soo preset solo carch soo soltamete chamate od ", ", perché queste (poteza attva e reattva assorbte soo le gradezze prefssate, metre la tesoe modulo e fase è lbera, e θ,v assumerao valor opportu affché da var ram afferet al odo covergao verso l odo medesmo poteze attve e reattve valore complessvo par a quato l carco rchede. Ache od d puro trasto e d croco tra pù ram possoo essere, per estesoe, rteut od d tpo ", ", dove però poteza attva e reattva assorbte o cedute all'estero soo par a 0. I alcu cas ache od d geerazoe possoo essere rteut d tpo ", ": quado l regolatore d tesoe fuzoa modo da forre ua poteza reattva costate, azché ua tesoe prefssata (pertato, tal codzo, la tesoe è lbera; oppure quado la poteza reattva che la rete rchede al geeratore supera lmt d capablty della maccha scroa, e qud l regolatore d tesoe o è grado d coservare la tesoe prefssata: la poteza reattva forta è par al lmte che s è tetato d superare, la tesoe è lbera.

2 Ig. G. as Eserctazo d Impat Elettrc N : C.d.. egl mpat elettrc - /0/98 pag. breve commeto rguarda l fatto che carch vegao cosderat co valor d poteza attva e reattva o solo prefssat, ma costat, ache al varare della tesoe. uesto modello è ua approssmazoe della realtà. Nella realtà carch passv (ressteze o comuque mpedeze soo soltamete bpol lear, e pertato poteza attva e reattva assorbte seguoo ua legge quadratca al varare della tesoe. uttava, per u mpato dustrale o per ua porzoe d terrtoro cvle tal carch soo solo ua parte, spesso pccola, del carco complessvo; la parte rmaete è costtuta da carch attv (motor oppure da dspostv elettroc d poteza (la cu dffusoe è molto crescuta egl ultm a, e tede a crescere ulterormete, che seguoo legg dverse da quelle lear. Ache per carch lear è comuque potzzable, almeo term statstc, ua autoregolazoe, sa essa artfcale oppure gestta dall'uomo: se per esempo la faltà d ua stufetta elettrca è quella d scaldare u ambete, qualora la tesoe applcata dovesse aumetare, aumeterà ache l calore prodotto, e qud la temperatura; l'utete terverrà per rdurre la poteza erogata, agedo sulla maopola d regolazoe co la cosegueza d rdurre la correte assorbta (vegoo mess fuor servzo uo o pù degl elemet resstv parallelo e qud d rportare l'assorbmeto d poteza al valore orgale. L'esempo è baale e forse troppo semplcstco, ma auta a compredere come term statstc, su u grade umero d utet, quello che tede a rmaere costate è la poteza complessva rchesta. Ioltre, quas tutt trasformator usat ella dstrbuzoe dell'eerga elettrca soo d tpo LC (o-load ap Chager, vale a dre co varator d prese sotto carco, grado coè d adeguare l rapporto d trasformazoe modo da forre al carco ua tesoe d almetazoe l pù possble costate (ovvamete, le prese permettoo ua regolazoe a scalo e o cotua, ma tra scalo e scalo la dstaza è pccola. er carch attv (motor ascro la poteza attva è pressoché costate al varare della tesoe quato la caratterstca elettromeccaca ("curva d coppa" segue ua legge quadratca al varare della tesoe, per cu al varare d quest'ultma l puto d lavoro s sposta, ma coppa e veloctà meccaca, e qud poteza meccaca, cambao d pochssmo; cambao u poco le perdte attve, ma queste soo comuque gà ua percetuale pccola rspetto alla poteza meccaca ( 6%; cambado d pochssmo la poteza meccaca e d poco le perdte, la poteza elettrca, par alla somma d tal due gradezze, subsce solo lev varazo al varare della tesoe. ù sesble la varazoe della poteza reattva, che segue legg o lear e eppure quadratche. uttava ache per quest carch soo spesso preset trasformator tpo LC che rducoo molto l'ettà delle varazo d tesoe lato carco e qud della poteza reattva assorbta. Il modello ", " costate è qud ua buoa approssmazoe per carch se quest soo vst da od A e M (coè co trasformator LC gà clus el carco medesmo e qud "trasparet". Altr modell prevedoo carch co legg del tpo: α β 0 V 0 V dove α e β soo espoet geeral dvers da. I queste eserctazo quest modell pù sofstcat o verrao per ora cosderat. I ua rete d N od s avrao N V od d tpo "V", N od d tpo "" e u odo d saldo, co: N N N ( V

3 Ig. G. as Eserctazo d Impat Elettrc N : C.d.. egl mpat elettrc - /0/98 pag... - Iezo odal e matrce delle ammetteze odal er og odo d u sstema elettrco s cosdero: a le corret che da tale odo, attraverso ram della rete ad esso afferet, vao verso od adacet (ammetteze logtudal de ct equvalet a Π de ram oppure verso terra (ammetteze dervate de ct equvalet a Π de ram e ammetteze de ram shut odal; b le corret che dall'estero sao ettate el odo: geerator (corret ettate postve e carch (corret ettate egatve. I base al prcpo d rchhoff a od, la somma (fasorale delle corret d cu al puto "a" è par alla somma (fasorale delle corret d cu al puto "b". Se s cosdera la matrce delle ammetteze odal, vale che: [ I ] [ Y ] [ ] dove, ovvamete: [] I [ ] [ Y ] è l vettore coloa delle corret ettate dall'estero el odo (verso covezoale postvo se etrat, pu; er cu: I è l vettore coloa delle teso odal, pu; è la matrce delle ammetteze odal, pu. N Y ( (. dove N è l umero de od. Normalmete la matrce delle ammetteze è fortemete sparsa, vale a dre che per cascua rga/coloa l umero d elemet dvers da 0 è solo ua pccola percetuale del umero totale d elemet. Ifatt soo dvers da zero solo gl elemet dagoal e gl elemet fuor dagoale corrspodet a sol od collegat al odo ; ua ormale rete d trasmssoe o d dstrbuzoe cascu odo è collegato, meda, solo ad altr o od, metre N può essere ache molto grade (dece o cetaa d od. La sommatora (. qud s rcoduce alla somma d solo poch elemet per cascu odo -esmo: I Y C Y ( (. dove C ( è l'seme de od collegat al odo (medate lee, trasformator, etc.; altro modo d studare l problema è l seguete: I y sh, y sh, ( y ( y C ( 0 L dove: è ua evetuale ammetteza shut el odo (s poe 0 se o è presete; (4. y è l'ammetteza dervata ell'estremo del cto equv. a Π tra l odo e l odo ; 0 y è l'ammetteza logtudale del cto equv. a Π tra l odo e l odo ; L

4 Ig. G. as Eserctazo d Impat Elettrc N : C.d.. egl mpat elettrc - /0/98 pag. 4 le ammetteze soo state scrtte lettere muscole per o cofoderle co gl elemet della matrce delle ammetteze odal, che soo mauscolo. La (4. può essere rscrtta come: I y sh, C ( ( y y 0 L C ( ( y L (4. ed è evdete come questa formulazoe sa del tutto equvalete alla formulazoe (.. Ifatt per defzoe: Y y ( y y Y y sh, y L C ( 0 L e qud la (4. equvale a: I Y C Y ( che altr o è se o la (., equvalete alla (.. Graze a queste espressoe è possble rcavare la formula che esprme l valore della poteza attva e reattva ettata el odo dall'estero (geerator, carch, etc.: A Y C I ( Y sao allora, per geerc od e l : e θ ; Y l G l l la (5. può qud essere rscrtta come: A Y Y C ( ( θ θ ( G e ( G C ( ( G ( se θ ( G C ( ( G ( G se θ ( G se θ dove θ θ θ ; vale a dre: G C C ( C ( ( ( G se θ ( G se θ (5. (5. (5. S ot come le espresso della poteza sao o-lear, e come la poteza attva o reattva ettata u odo dpeda: da parametr passv della rete, che possoo essere cosderat costat, e dalla tesoe modulo e fase del odo teressato e de od ad esso collegat. S può ache scrvere, forma geerale e smbolca:

5 Ig. G. as Eserctazo d Impat Elettrc N : C.d.. egl mpat elettrc - /0/98 pag. 5 f, f, ([][ θ, ], {[ Y ]} ([][ θ, ], {[ Y ]} dove f, e f, soo le fuzo o lear (5. che esprmoo la poteza attva e reattva el odo -esmo; egl argomet d tal fuzo s evdezao le varabl dpedet (tesoe modulo [ ] e fase θ, che possoo varare co le codzo d fuzoameto o le mposzo del gestore della rete, e parametr ( [ Y ] che soo post, per dstzoe, tra paretes graffe, e che soo vece varat (f quado la rete o vee modfcata; s trascurao le dpedeze de parametr passv da valor delle teso e delle corret... - Le ret radal caso partcolare, ma molto comue, d ret elettrche è quello delle ret radal. A partre da u odo che può essere assmlato ad u odo d poteza fta s dpartoo delle sere d ram cofgurazoe radale, coè seza ulteror coesso tra ua sere d ram e u'altra; queste sere d ram soo composte da lee ed, evetualmete, da trasformator, post tutt sere l'uo all'altro; e var od d coguzoe tra u ramo e l successvo possoo essere post de carch. Il ramo o la sere d ram tra carco e carco prede spesso l ome d tratta. Cascua sere d ram, dal puto d parteza fo al odo pù lotao, prede l ome d dorsale; perché l sstema possa acora essere chamato radale soo ammesse evetual bforcazo della dorsale, purché le vare sottodorsal così otteute o abbao successv put d rcoguzoe. Il stes, l sstema può essere defto radale se o esstoo esso magle o aell chus. La dorsale può essere costtuta per l'tera sua lughezza del medesmo tpo d cavo o d lea aerea, oppure d cav o lee co caratterstche dfferet (tpcamete, co sezoe e qud portata maggore le prme tratte, po a decrescere elle successve. uado sao ot: a l valore della tesoe del odo zale (odo d almetazoe della dorsale, b parametr elettrc (, X delle vare tratte della dorsale, c valor de carch C C e od della dorsale, modellzzat come carch "", allora soo dspobl var metod per calcolare la tesoe tutt od, e d cosegueza le corret tutte le tratte. Esstoo metod drett, che calcolao la caduta d tesoe su ua tratta, ma co ua certa approssmazoe; esstoo metod teratv, che procedoo per approssmazo successve, ma che garatscoo ua soluzoe esatta fo al lvello d precsoe desderato (compatblmete co la potezaltà degl strumet d calcolo. Verrà per prmo cosderato l metodo approssmato per l calcolo della c.d.t. ua tratta. Sao ot: - la tesoe del odo d parteza ; per comodtà s cosdererà par a 0 la fase d tale tesoe; - la poteza attva e reattva trasto sulla tratta dall'estremo all'estremo, msurata al odo d parteza, che verrà dcata come ; (6

6 Ig. G. as Eserctazo d Impat Elettrc N : C.d.. egl mpat elettrc - /0/98 pag. 6 - parametr elettrc ( X, della tratta I realtà è molto pù frequete cooscere la poteza assorbta al odo d arrvo: l caso tpco è fatt quello d u odo d carco, co valore del carco oto, almetato da ua lea che lo coguge ad u odo pù a mote, d cu è vece ota la tesoe. I tal caso s può approssmare la poteza parteza da tale odo par alla poteza d arrvo, coè quella assorbta dal carco, trascurado le perdte; tale scelta comporta l'troduzoe d ua approssmazoe che s aggugerà a quella sta el metodo. Co valor ot s avrà ua correte fluete da a : I dove s è cosdera par a 0 la fase della tesoe per cu la tesoe all'estremo vale: X X X I X Se la rete è ormal codzo d fuzoameto, la caduta d tesoe o è eccessva; qud term: X e X soo almeo u orde d gradezza feror rspetto al terme. ud l rapporto fra la parte quadratura e quella fase (parte reale e parte mmagara è abbastaza pccolo (dell'orde d 0. o ferore; s defsce: X X ε per cu: ε X e passado al modulo: ε X ma se ε<<, allora vale: ε ε qud: ε X Se ε è pccolo, a maggor ragoe è molto pù pccolo ε, qud:

7 Ig. G. as Eserctazo d Impat Elettrc N : C.d.. egl mpat elettrc - /0/98 pag. 7 ε per cu modulo: X X S ot che la formula s applca solo a modul delle teso, e o forsce vece alcua formazoe sulle fas. ale formula qud: - cotee ua approssmazoe perché la c.d.t. è calcolata trascurado l terme quadratura; - se le poteze utlzzate soo quelle del secodo estremo, cotee u ulterore approssmazoe perché soo state trascurate le perdte sulla tratta. uttava è u metodo dretto, o teratvo, d semplce applcazoe, e forsce valor co precsoe accettable per tratte o eccessvamete lughe e o eccessvamete carche. La formula (7 può ache essere vsta valor assolut: I dove le poteze soo espresse MW, Mvar, le teso V, le corret A, le mpedeze Ω. ( X I X X X X V X X V (7' V V Nel caso d ua dorsale: a S asseg a od ua umerazoe progressva: sa "0" l odo d parteza della dorsale, "" l successvo, e così va. S asseg ua umerazoe progressva a cascua tratta, assegado l medesmo umero del suo estremo a valle: per esempo la tratta tra l odo "0" e l odo "" sarà la tratta "", tra od "" e "" sarà la tratta "", etc. b S calcol l trasto d poteza attva e reattva cascua tratta. uesto valore, che el seguto verrà dcato come: è par alla somma d tutt carch che stao a valle della tratta medesma: (7 N C C dove N complessvo d od della dorsale. Sao oltre: (8

8 Ig. G. as Eserctazo d Impat Elettrc N : C.d.. egl mpat elettrc - /0/98 pag. 8 X le mpedeze d cascua tratta -esma. La formula approssmata (7 può essere applcata cascata: a partre dal odo "0" s calcola la tesoe del odo ""; co questa, quella del odo "", etc. Volta per volta s camba rfermeto d fase, cosderado par a 0 l'agolo della fase della tesoe el odo cosderato. Ovvamete gl error dovut alle approssmazo trodotte hao u effetto composto, per cu el caso d tratte umerose e/o lughe e/o molto carche l valore calcolato della tesoe de od pù lota può essere affetto da errore rlevate. Vee ora cosderato u metodo esatto per calcolo della teso ua dorsale. uesto metodo parte dal fodo della dorsale. a S potzz per l'ultmo odo della dorsale u valore d tetatvo della tesoe modulo; tale valore d tetatvo potrà essere scelto par al valore della tesoe al odo d parteza della dorsale (odo d poteza fta oppure, per ua mglore zalzzazoe, può essere usato l metodo della formula approssmata per la c.d.t., come sopra descrtto. Il valore d tetatvo sarà dcato come: ( 0 N dove l pedce N dca che s tratta dell'ultmo odo della dorsale, e l'apce ( 0 che s tratta del tetatvo zale. b I geerale s dch co la tratta correte. S poe qud ora N. I geerale s dch co ( l'terazoe correte. Al prmo tetatvo è qud 0. La poteza attva e reattva che flusce sulla tratta e arrva al odo -esmo, e che verrà dcata par a: ( (,, (9. è par alla poteza attva e reattva assorbta dal carco tale odo pù la poteza trastate verso le tratte successve, par a sua volta alla somma delle poteze d tutt carch successv pù le perdte elle tratte successve. Così al odo N -esmo tale poteza è par alla poteza del solo carco v posto:, N, N C, N C, N el odo precedete, N -esmo: ( ( ( (, N C, N, N C, N C, N ( ( loss, N C, N loss, N loss, N, N loss, N, N C, N C, N ma pù geerale sarà: N N ( ( ( ( ( C C (,,,, loss, loss, (9. dove: C, C, poteza assorbta dal carco el odo -esmo

9 Ig. G. as Eserctazo d Impat Elettrc N : C.d.. egl mpat elettrc - /0/98 pag. 9 ( ( poteza dsspata sulla tratta -esma (dal odo " " al odo " " loss, loss, e qud: ( ( ( ( ( ( (9.',, C, C, loss, loss,,, tale formula è forse la pù comoda, perché evta d rfare da capo le sommatore per og tratta, ma semplcemete agguge due valor compless al rsultato della tratta mmedatamete a valle. Le poteze dsspate, e d cosegueza le poteze fluet sulle tratte, soo dcate co l'dce del umero d terazoe perché ad og tetatvo l valore calcolato sarà dverso, avvcados volta per volta al valore esatto. c I fuzoe d tale valore d tesoe, essedo ota la poteza assorbta dal carco el odo, s calcola la correte ella tratta: ( ( ( I,,, ( dove s è posta par a 0 la fase della tesoe al odo -esmo. d Co tale valore d correte s possoo calcolare la perdte sulla tratta: ( ( ( I ( X loss, loss,,,, (9. (9.4 e qud el odo mmedatamete pù a mote s avrà: ( ( ( ( ( ( ( (, ( ( ( ( ( I ( X,,,, C,, C, C,, C,, loss,, e La tesoe al odo mmedatamete a mote vale: ( ( (, ( X, ( (, X (,, I ( (,, X, ( X,, ( ( (,,, loss, ( (, ( d tale tesoe può essere faclmete calcolato l modulo: ( (, (9.5 (9.6 (9.6' f se " " o è acora l odo zale della dorsale (odo "0", allora s poe e s tora al puto "c": la tesoe d tale odo è ota dalle (9.6 e (9.6'; la poteza attva e reattva sulla tratta è ota dalla (9.5. Se vece s è arrvat al odo d parteza ( 0, s sarà otteuto u valore d tesoe 0. uesto valore va cofrotato co l valore oto 0. Sa: α 0 Allora: 0

10 Ig. G. as Eserctazo d Impat Elettrc N : C.d.. egl mpat elettrc - /0/98 pag. 0 - se α, o se α ε dove ε è ua tolleraza prefssata (deve essere pccola, 4 6 dell'orde d 0 0, allora l metodo è arrvato a soluzoe, co la precsoe dcata dalla tolleraza; - se vece α è maggore o more d ua msura superore alla tolleraza, occorre formulare ua uova tesoe d tetatvo per l odo fale e rpartre da capo, torado al puto "b". I quest'ultmo caso l crtero per l uovo valore d tetatvo è l seguete: ( N α N vale a dre: se co l tetatvo correte s è otteuto all'zo della dorsale u valore superore d quello prevsto, el tetatvo successvo s partrà co ua tesoe ferore, rspetto al tetatvo correte, ella medesma msura; e vceversa. Il medesmo procedmeto, co formule aaloghe, può essere utlzzato per l calcolo valor assolut azché pu; basta utlzzare le teso d fase e rcordare l fattore oppure le teso cocateate e l fattore. Il metodo o forsce valor delle fas delle teso; tuttava, ua volta ragguta la soluzoe ed essedo qud ote le corret e le poteze fluet tutte le tratte, s può partre dal odo zale e rdscedere a successv, calcolado le c.d.t. forma fasorale. Il metodo è d facle applcazoe, calcol che rchede possoo essere affrotat co l'auslo d ua pccola calcolatrce palmare. Esso però è applcable alle sole ret radal, e rchede comuque qualche terazoe per arrvare a soluzoe. er affrotare lo studo del regme o solo d ret radal, ma d ret qualuque (ad aello, maglate e otteere rsultat pù precs e complet soo ogg dspobl altr algortm pù sofstcat, sempre d tpo teratvo, ot come metod d calcolo d Load-Flow Il problema del Load-Flow oché u sstema elettrco soo ot: - per l odo d saldo, la tesoe modulo e fase; - per od "V", la tesoe modulo e la poteza attva ettata dall'estero; - per od "", la poteza attva e reattva assorbta dall'estero; rmagoo per ora got la fase della tesoe per od "V" e la tesoe modulo e fase per od "". S hao qud: - N N fas d teso cogte V - N modul d teso cogt per u totale d NV N cogte. a volta che sao trovat valor d queste cogte, è baale calcolare: - fluss d correte e qud d poteza attva e reattva tutt ram (da cu l ome "load-flow"; - valor delle poteze reattve erogate o assorbte da geerator e od "V"; - valor della poteza attva e reattva erogat o assorbt dal odo d saldo; - valor delle perdte attve e reattve og ramo e complessve tutta la rete;

11 Ig. G. as Eserctazo d Impat Elettrc N : C.d.. egl mpat elettrc - /0/98 pag. - le evetual volazo d tesoe e od, d correte elle lee e e trasformator; - etc. La soluzoe d questo problema è qud molto utle: a per verfcare l fuzoameto della rete per ua data codzoe d carco e d geerazoe; b per poter meglo pafcare codzo future d geerazoe e d carco; c per poter meglo progettare ua rete futura, verfcado che l fuzoameto rspoderà alle specfche prevste seza dover attedere le verfche spermetal possbl solo a rete ultmata, e qud co la possbltà d correggere l progetto dove ecessaro, o d ottmzzarlo. er cascuo de od "V" è possble scrvere ua equazoe d attvo come da (6, coè da (5.. er cascuo de od "" è vece possble scrvere ua equazoe d attvo e ua d reattvo, sempre come da (6, coè da (5.. S hao così NV N equazo d attvo e N equazo d reattvo per u totale d NV N equazo. S ota allora che l umero delle cogte è par al umero delle equazo, pertato è possble trovare la soluzoe del problema, se questa esste e se s resce a trovare u modo per rsolvere l sstema. uesto o è semplce per due motv: a l sstema o è leare b l sstema ha dmesoe compresa tra l umero d od della rete e l doppo d tale umero -, qud gà per ret medo-grad è u sstema d otevol dmeso er aaloga co al formulazoe (6 l sstema potrebbe essere scrtto come: [ F ([] θ V [ ] {[ Y ][] θ slac [,,,,, ] V, slac} ] [ F ([] θ,[ ],{[ Y ][], θ,[ ] }] dove: V, [ ] [ ( ] F ( slac V, slac [ ] [ ] V, (. F, soo le equazo della poteza attva e reattva e var od, come da (6 e (5. [ ] V,[ ], soo le poteze attve e reattve ote (attve e od "V" e "", reattve e od "" [ ], [] θ V, [ ] V, slac,[] θ slac soo le teso modulo e fase cogte (modulo e od "", fase e od "V" e "" soo le teso ote (modulo e od "V" e el odo d saldo, fase el odo d saldo, che ora soo poste etro le paretes graffe per dcare che soo parametr (come gl elemet della matrce delle ammetteze odal e o cogte. ud, seza esplctare parametr varat e le tesoe ote, ma evdezado solo le cogte, l sstema può essere rscrtto pù stetcamete: [ F ([] θ V [,, ] ] [ F ([] θ,[ ] ] V, [ ] [ ] V, (.

12 Ig. G. as Eserctazo d Impat Elettrc N : C.d.. egl mpat elettrc - /0/98 pag. Come s rsolve u sstema o leare? I metod rsolutv soo tutt d tpo umerco, basat su approssmazo successve della soluzoe; soo qud metod teratv, cu le terazo soo rpetute fo a quado valor trovat delle cogte soo tal da soddsfare l sstema o leare co ua suffcete precsoe (covergeza. Il metodo pù usato è u metodo tpo Newto, che verrà dapprma esemplfcato per ua equazoe o-leare d tpo scalare. Sa: f x (.0 f ua equazoe o leare scalare ua sola cogta. L'algortmo è l seguete: ( 0 a s poga l'cogta x par ad u valore zale d tetatvo: x x ; geerale, elle ( terazo successve, sarà x x ; b s calcola qud f x e s verfca se l valore d parteza; sarà: f ( ( x ε f ( x x porta a soddsfare l'equazoe (. ( dove ε è l'errore otteuto questa terazoe -esma. Se tale errore ( valore assoluto è ferore ad ua sogla prefssata, chamata tolleraza, allora l processo d rcerca della soluzoe è termato co esto favorevole. Se vece s è acora lota dalla soluzoe, l'equazoe può essere scrtta come: f ( x f x d f ( d f ( x ( x f (. d x d x dove le dervate soo calcolate corrspodeza d prmo terme: f d f ( ( x x d x f ( x x ; trocado lo svluppo al (. c qud: x ( ( ( x f f d f d x (.4 e graze a questo s ottee l uovo valore d tetatvo: x ( ( ( x x co l quale s rtora al puto "b" dell'algortmo. ( ( Il valore ε f f x prede l ome d resduo all'terazoe -esma. (.5 Se l problema è be codzoato e la soluzoe d tetatvo o è mal potzzata, l processo d rcerca della soluzoe è covergete (l resduo decresce ad og terazoe, tededo a zero. I caso cotraro l processo può dvergere (resduo crescete oppure oscllare (l resduo assume valor ora crescet ora decrescet rspetto all'terazoe precedete, seza però ma avvars verso la covergeza o verso ua chara dvergeza. Occorre allora accompagare l'algortmo co de cotroll del tpo: - se l processo dverge per u certo umero d terazo cosecutve (soltamete, s dchara che l'algortmo ha fallto e se e terrompe la prosecuzoe;

13 Ig. G. as Eserctazo d Impat Elettrc N : C.d.. egl mpat elettrc - /0/98 pag. - se dopo u certo umero d terazo (soltamete 0 0 la covergeza o vee ragguta, s dchara che l'algortmo ha fallto e se e terrompe la prosecuzoe. A volte la covergeza o vee ragguta perché la tolleraza posta è troppo pccola, e gl strumet d calcolo o soo grado, per problem ot d approssmazoe e trocameto, d portare ulteror mgloramet; ma ua soluzoe meo precsa può essere vece trovata. I caso d u sstema d equazo, l problema è: [ F( [ x] ] [ F ] dove x e [ F ] soo vettor coloa d cogte e term ot. ( 0 La soluzoe zale d tetatvo [ ] [ x ] ( x, come pure le successve[ x ] x, sarao qud ach'esse vettor coloa, come sarao vettor coloa quell de resdu: ( ε F F x (.6 [ ] [ ] [ ([ ]] metre la dervata della fuzoe scalare dveta qu ua matrce acobaa: ac F J è tale che: J F x [ ] (.7 dove F è la -esma fuzoe del sstema o leare e x è la -esma cogta; le ( dervate soo calcolate corrspodeza d [ x ] [ x ], qud potrebbe essere pù ( ( opportuo scrvere J x o semplcemete J. S avrà qud: ( [ F( [ x ]] J e qud: [ ([ ]] ( [ ] [ x ] [ F ] ( ( [ J ] x ( [ ] [ ε ] [ ] (.8 (.9 S tratta acora d u sstema d equazo, ma stavolta è u sstema leare, perché la matrce acobaa, a cascua terazoe, è composta d term costat perché fuzo de valor d tetatvo, a tale terazoe, delle cogte. uesta formulazoe del metodo rsolutvo del problema del load-flow è detta metodo d Newto-aphso (N-. Il crtero d covergeza dovrà verfcare che tutt resdu ( valore assoluto s trovo al d sotto della tolleraza prefssata. er quato rguarda valor zal delle cogte, s segue questo prcpo: - tutte le fas cogte delle teso soo zalzzate al valore 0 (per od d saldo le fas o soo cogte, e coservao per tutto l processo valor per ess prefssat; - tutt modul cogt delle teso soo zalzzat al valore (per od V e d saldo modul o soo cogt, e coservao per tutto l processo valor per ess prefssat. mae l problema della soluzoe del sstema leare. er dmeso superor a 4 5 equazo la soluzoe "a mao", ache co l'auslo d ua pccola calcolatrce palmare, o è pù pratcable. Ioltre, ache l calcolo de resdu e delle dervate è alquato pesate. Soo qud ecessar mezz d calcolo pù evolut. Ogg su u ormale persoal computer è possble rsolvere questo problema per ret elettrche d dmeso molto

14 Ig. G. as Eserctazo d Impat Elettrc N : C.d.. egl mpat elettrc - /0/98 pag. 4 grad, ache d alcue mglaa d od. Graze alla sparstà della matrce delle ammetteze odal, che s estede alla matrce acobaa, gl elemet da memorzzare e su qual operare e calcol soo molto meo d N S, dove co N S s tede la dmesoe del sstema. er rsolvere l sstema o s rcorre all'versoe della matrce, operazoe oerosssma (le operazo da esegure sarebbero umero proporzoale a N S, ache perché per la maggor parte s farebbero operazo su elemet ull; s seguoo vece altre strade, delle qual la prcpale è quella della fattorzzazoe della matrce e della soluzoe per sosttuzoe progressva. er quado rguarda le espresso delle dervate, queste s ottegoo dalle espresso (5. della poteza attva e reattva. er og tpo d poteza s hao 4 dvers tp d dervata: - dervata della poteza del odo rspetto alla fase della tesoe el odo medesmo - dervata della poteza del odo rspetto alla fase della tesoe d altro odo - dervata della poteza del odo rspetto al modulo della tesoe el odo medesmo - dervata della poteza del odo rspetto al modulo della tesoe d altro odo La matrce acobaa potrà oltre essere suddvsa 4 sottomatrc prcpal: [ ] θ θ J (.0 per cu l sstema ad og terazoe potrà essere scrtto come: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] θ θ θ (. S ota che le dervate delle poteze rspetto alle fas sarao sempre fuzo quadratche de modul delle tesoe, metre le dervate delle poteze rspetto a modul rsulterao fuzo lear rspetto a tal modul. er redere pù omogeea sa la matrce acobaa che term ot, s opta per ua formulazoe modfcata medate ormalzzazoe, del tpo: [ ] [ ] [ ] [ ] θ θ θ (. dove: - l'elemeto -esmo della sottomatrce vale (aalogam. per l reattvo - l'elemeto -esmo della sottomatrce vale

15 Ig. G. as Eserctazo d Impat Elettrc N : C.d.. egl mpat elettrc - /0/98 pag. 5 I tal modo l sstema (. è del tutto equvalete al sstema (., perché o s è fatto altro che moltplcare alcu coeffcet del sstema per e dvdere le cogte per l medesmo valore. prededo le (5.: G C ( C ( ( G se θ ( G se θ le espresso delle dervate all'terazoe -esma soo: θ θ C ( ( ( ( ( ( ( ( G se θ ( G se θ ( ( ( ( G θ θ C ( ( ( ( ( ( G se θ C ( ( ( ( ( ( ( ( G ( G se θ ( ( ( ( ( ( ( G se θ G ( G se θ ( ( ( ( ( ( ( ( ( G se θ C ( ( G se θ ( ( ( ( ( ( ( θ (4. (4. (4. (4.4 S può otare che l calcolo de valor d poteza attva e reattva co valor delle varabl d stato all'terazoe correte (falzzato al calcolo de resdu s compoe d added che servoo ache el calcolo delle dervate. I tal modo è possble ottmzzare l procedmeto d calcolo, rducedo l umero complessvo d operazo computazoal da svolgere. Soltamete l terme: θ θ θ è alquato pccolo, perché gl agol d fase tra due estrem d u compoete o soo ma molto dstat fra loro, a meo che o s tratt d ua lea partcolarmete luga (o d u trasformatore co mpedeza molto elevata e co u otevole trasto d poteza attva. Ifatt per u compoete sere vale: I Z L L X L (5. rascurado l terme resstvo, che per le lee A e per trasformator è molto pù pccolo del terme reattvo:

16 Ig. G. as Eserctazo d Impat Elettrc N : C.d.. egl mpat elettrc - /0/98 pag. 6 I X L e la poteza trasferta vale: A I X X ( se θ L L qud: se θ X L cos θ X ud: se θ X L L X L se θ X L ( X L X L e θ X L (5. (6. (6. (7. I ormal codzo d eserczo, la reattaza pu è versamete proporzoale alla poteza omale del compoete; l prodotto tra le due gradezze raramete supera valor dell'orde d 0.. Le tesoe modulo soo dell'orde d pu; soltamete qud: se θ 0. θ se θ θ 0. e come cosegueza: se θ (7. per cu, teedo coto che modul delle teso soo prossm ad pu: se θ X X L L ( ( L se θ X X L X L ueste espresso semplfcate soo molto mportat dal puto d vsta cocettuale pù che da quello computazoale. Esse fatt esprmoo u duplce cocetto fodametale ello studo degl mpat elettrc: a trast d poteza attva dpedoo prevaletemete dalle fas delle teso agl estrem de ram covolt, e solo msura ferore da modul d tal teso; b trast d poteza reattva dpedoo prevaletemete da modul delle teso agl estrem de ram covolt, e solo msura trascurable dalle fas d tal teso. ueste affermazo soo scuramete valde el caso d rete elettrca d ram co modest valor de rapport X per le mpedeze logtudal, qud co preseza d modest valor d ressteza; soo vece affermazo meo fort, ma coservao acora ua certa valdtà, el caso d ret co elevat valor del rapporto X. (8

17 Ig. G. as Eserctazo d Impat Elettrc N : C.d.. egl mpat elettrc - /0/98 pag. 7 A queste medesme cocluso s può pervere ache dell'aals delle dervate per la matrce acobaa. S ot per esempo come term: ( G cos θ se θ ( ( ( ( oppure term: θ ( ( ( ( ( G se θ sao decsamete feror per esempo rspetto a term: θ ( cos θ G se θ ( ( ( ( oppure a term: ( ( ( ( ( G se θ θ Ifatt, e prm, gl added G soo pccol per l rdotto valore della coduttaza, e ( gl added se θ soo pccol per l rdotto valore della fuzoe seo. ( Ne secod term, vece, gl added G se θ soo sì trascurabl, essedo pccol sa ( la coduttaza che la fuzoe seo, ma gl added hao valore rlevate perché la suscettaza è soltamete grade e la fuzoe coseo è prossma a. Acora ua volta scopramo che se l rapporto Xè elevato, le coduttaze o soo molto pù pccole rspetto alle suscettaze, per cu quado affermato ha u valore meo strgete. Se vece l suddetto rapporto è modesto, allora s ota che le sottomatrc: e θ del sstema (.: θ θ ( [ θ ] ( ( [ ] [ ] [ ] presetao elemet d valore modesto. oché l metodo d rsoluzoe del problema del load-flow è comuque u metodo umerco, che procede maera teratva per approssmazo successve, può essere ammssble utlzzare ua matrce acobaa approssmata. No soo vece ammssbl semplfcazo al processo d calcolo delle poteze odal ad og terazoe e qud d calcolo de resdu, perché lo scopo del procedmeto d calcolo del load-flow è quello d trovare la soluzoe che rspoda co la maggor precsoe possble a valor mpost d poteza ettata e od. a approssmazoe coveete della matrce acobaa è quella d elmare le suddette sottomatrc co elemet d modesto valore, approssmado coè a 0 tal elemet:

18 Ig. G. as Eserctazo d Impat Elettrc N : C.d.. egl mpat elettrc - /0/98 pag. 8 θ [] 0 ( [ θ ] [] 0 ( ( [ ] [ ] ( [ ] [ ] (. uesto sstema preseta l grade vataggo d poter essere vsto come due sstem dsaccoppat: θ ( ( [ θ ] [ ] ( [ ] ( [ ] (.4 rededo molto meo oeroso l processo d soluzoe del sstema. L'troduzoe d ua qualche approssmazoe è accettable, quato la matrce acobaa serve solo a determare l tetatvo successvo del metodo teratvo. a matrce approssmata rederà l tetatvo successvo u po' meo effcace rspetto a quello otteuto co ua matrce esatta, ma se l'approssmazoe o è eccessva tale tetatvo successvo dovrebbe comuque essere pù vco alla soluzoe d quato lo sa l tetatvo correte. L'uco effetto egatvo sarà qud u evetuale ralletameto del processo d covergeza, coè potrebbe essere ecessara qualche terazoe pù; oltre la soluzoe ragguta potrebbe essere u po' meo precsa d quella otteuta co ua matrce acobaa esatta, coè potrebbe essere ecessaro l'utlzzo d tolleraze meo strette. uttava, tal svatagg soo soltamete compesat dalla rduzoe dell'oere computazoale del processo d soluzoe del sstema matrcale coseguete all'troduzoe del dsaccoppameto. Il metodo è qud detto d Newto-aphso (N- dsaccoppato. a ulterore approssmazoe è quella proposta dal metodo d Stott detto ache metodo del Fast Decoupled Load-Flow (FDLF. Nel metodo d N- dsaccoppato le sole dervate utlzzate soo quelle espresse dalle (4. e dalle (4.4: θ θ C ( ( ( ( G se θ ( ( ( ( ( G se θ ( ( ( ( ( ( ( ( ( G se θ C ( ( G se θ ( ( ( ( ( ( ( θ a prma approssmazoe può essere trodotta poedo par a tutt term "coseo" e par 0 tutt term "seo" moltplcat per le coduttaze: G se θ ( ( 0 qud gl elemet fuor dagoale: (9.0

19 Ig. G. as Eserctazo d Impat Elettrc N : C.d.. egl mpat elettrc - /0/98 pag. 9 θ ( G se θ ( ( ( ( ( G se θ ( ( ( ( dvetao: θ ( ( ( ( (9. Ioltre è be oto che tutt term dagoal soo d valore molto elevato: se per esempo u odo covergoo 4 ram co mpedeza logtudale par a: z L allora le relatve ammetteze valgoo: y L qud: b z L 9.90 L e sommado per 4 ram s ottee: ( ud, teedo coto che le teso modulo soo crca par a pu, l terme ( è soltamete d almeo u orde d gradezza pù grade ( valore assoluto ( del terme ; pertato gl elemet dagoal: θ ( ( possoo essere approssmat : θ ( ( e ( ( Il sottosstema relatvo alle poteze attve della (.4 può allora essere scrtto come:, ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (,,,, θ θ θ ( ( ( ( ( (9.

20 Ig. G. as Eserctazo d Impat Elettrc N : C.d.. egl mpat elettrc - /0/98 pag. 0 Dove è l umero totale d equazo d poteza attva. Dvdedo og rga -esma per l modulo della relatva tesoe al prmo e al secodo membro: θ θ θ,,,,, qud, assocado modul delle teso (acora preset tutt gl elemet dello acobao a corrspodet elemet de term cogt θ,l sstema dveta fe: θ θ θ,,,,, (0. S può procedere aalogamete per l sstema d equazo d poteza reattva da cu: m m m m m m m m m m,,,,, (0. Dove m è l umero totale d tal equazo. uello che s ota mmedatamete è che etramb gl acoba (approssmat soo ora matrc costat, o pù dpedet dal valore delle teso ( modulo e fase alle terazo attual. Le matrc possoo qud essere vertte o fattorzzate ua volta per tutte all'zo del processo teratvo, otteedo ua drastca rduzoe del umero complessvo d operazo computazoal, tale da gustfcare l'evetuale maggor umero d terazo ecessare a raggugere la covergeza. I due sottosstem possoo essere scrtt forma stetca come: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] θ " ' (0. dove le sottomatrc ' e " soo otteute dalla matrce delle suscettaze odal (parte mmagara della matrce delle ammetteze odal semplcemete elmado: - per lo acobao delle equazo d poteza attva, le rghe e le coloe relatve a od cu o soo preset tal tp d equazo, vale a dre od d saldo; - per lo acobao delle equazo d poteza reattva, le rghe e le coloe relatve a od cu o soo preset tal tp d equazo, vale a dre od d saldo e od "V".

21 Ig. G. as Eserctazo d Impat Elettrc N : C.d.. egl mpat elettrc - /0/98 pag. Nel calcolare queste sottomatrc, s parta sempre dalla matrce delle ammetteze; o s commetta l'errore d costrurle drettamete per spezoe sulle sottoret otteute teedo cosderazoe solo od co equazo d poteza attva e solo od d poteza reattva rspettvamete.. - Esercz.. - Soluzoe d ua rete radale Sa data la seguete rete elettrca radale, come fgura: us 0 us us us m 5 m 4 m V5.6 V 6 MW MW MW Mvar Mvar Mvar La tesoe omale de od è 5 V. La lea dorsale preseta seguet parametr: r Ω m x Ω m Calcolare la tesoe tutt od. soluzoe S utlzzerà dapprma la formula approssmata della c.d.t. per trovare ua soluzoe d tetatvo da usare come puto d parteza del metodo teratvo esatto. Le ressteze elle vare tratte soo date dal prodotto de parametr lometrc per la lughezza m: 0.00 Ω Ω Ω X X X 0.70 Ω Ω 0.60 Ω Le poteze trasto su og tratta valgoo: MW 5 MW MW 6 Mvar Mvar Mvar quest valor soo state trascurate le perdte. S utlzzerà la formula (7' valor assolut:

22 Ig. G. as Eserctazo d Impat Elettrc N : C.d.. egl mpat elettrc - /0/98 pag. X V V V V esoe sul odo. er questo odo vale X ( V0 0.5 V V V0 V V esoe sul odo. er questo odo vale X ( 0 ( 0 V 0.5 V V V V 5. 0 V 5.85 esoe sul odo. er questo odo vale X V.90 ( 0 ( V V V V V 5.0 S procede po co l Metodo teratvo per trovare ua soluzoe esatta. Come tesoe d parteza al odo fale s utlzza quella trovata co la formula approssmata: ( 0 V V oteza fluete ella tratta, msurata al odo a valle: Correte ella tratta (dal odo "" al odo "": I A 0 ( 0 V ( 0 ( 0 ( 0 I I A esoe al odo : ( 0 ( 0 ( 0 ( X I ( ( V ( ( 0 ( V 5.04 V erdte ella tratta (tratta dal odo "" al odo "": ( 0 ( 0 ( I ( loss, loss, oteza fluete ella tratta (dal odo "" al odo "", msurata al odo a valle: ( 0 ( 0 ( 0 ( C C loss, loss,.0

23 Ig. G. as Eserctazo d Impat Elettrc N : C.d.. egl mpat elettrc - /0/98 pag. Correte ella tratta (dal odo "" al odo "": I ( 0 ( 0 ( 0 ( 0 ( 0 ( A ( 0 V 5.04 ( 0 ( 0 I I A esoe al odo : ( 0 ( 0 ( 0 ( X I ( ( V ( 0 ( 0 ( V 5.9V erdte ella tratta (tratta dal odo "" al odo "": ( 0 ( 0 ( I ( loss, loss, oteza fluete ella tratta (dal odo "0" al odo "", msurata al odo a valle: ( 0 ( 0 ( 0 ( 0 ( 0 ( 0 C loss, loss, C Correte ella tratta (dal odo "0" al odo "": ( 0 ( 0 ( 0 ( 0 ( 0 ( I A ( 0 V 5.9 ( 0 ( 0 I I A esoe al odo 0: ( 0 ( 0 ( 0 ( X I ( ( V ( V ( 0 ( V S è qud trovata ua tesoe al odo d parteza della dorsale par 5.67 V azché V effettv. La tesoe d tetatvo del odo fale era qud superore a quella corretta: era fatt stata calcolata co l metodo della formula approssmata; s ota però che l'errore è pccolo: 0.07 V su V, par qud allo 0.08%. er molte applcazo questo errore è pù che accettable, ache perché soltamete soo be maggor le certezza e dat dspobl: parametr delle lee, valor de carch, valore dalla tesoe al odo d parteza. A sol f ddattc può però essere teressate reterare per trovare ua soluzoe acora pù precsa. ale calcolo vee solo mpostato, lascado al lettore l'oere d termarlo. eterazoe del metodo er prma cosa occorre determare la uova tesoe d tetatvo del odo fale:

24 Ig. G. as Eserctazo d Impat Elettrc N : C.d.. egl mpat elettrc - /0/98 pag. 4 V ( ( 0 V V V V 0 ud s rparte: oteza fluete ella tratta, msurata al odo a valle: Correte ella tratta : I ( A ( V ( ( ( I I A etc. Esercz propost S rpeta l'eserczo precedete ma potzzado: a che carch abbao valore doppo rspetto a quell dcat b (co carch orgal che le lughezze delle tratte sao doppe rspetto a quelle dcate Come verfca che procedmeto e calcol soo stat esegut correttamete, s rporta la soluzoe deftva sa dell'eserczo precedete che quell propost "a" e "b". La soluzoe è stata trovata per va dversa da quelle dcate, vale a dre co u calcolo d load-flow, e co tolleraze molto strette (error e resdu feror a W, var. I valor d tesoe soo espress V. odo eserczo prec. "a" "b" "0" "" "" "" S può otare come cas "a" e "b" dao rsultat quas detc. erché? I etramb cas "a" e "b" l odo fale della dorsale preseta ua tesoe oltre (al d sotto de l -5% rspetto alla tesoe omale; ua smle tesoe o, aalogamete, ua oltre (al d sopra de l 5%, vee rteuta o accettable per u buo fuzoameto degl mpat. Al d là del fatto che quest lmt sao ±5% azché u altro valore, perché oltre ua certa sogla s rtee che le teso o sao pù accettabl? ual cotromsure s potrebbero predere per evtare queste volazo? er tetare ua rsposta, pors ella metaltà del progettsta d mpat, e qud potzzare d avere ua certa lbertà d azoe o, quatomeo, d proposta.