Unità Didattica N 38. Calcolo approssimato delle radici dell equazione f(x) = 0. 01) La risoluzione approssimata delle equazioni f(x) = 0
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- Brigida Marchese
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1 Uità Didttic N 8 Clcl pprssimt delle rdici dell'equzie ( Uità Didttic N 8 Clcl pprssimt delle rdici dell equzie ( L risluzie pprssimt delle equzii ( Metd gric per l seprzie delle rdici reli dell equzie ( Terem di esistez dell rdici dell equzie ( 4 Metd delle tgeti di Newt-Furier 5 Metd delle crde delle secti delle prti prprzili 6 Metd di isezie metd dictmic
2 Uità Didttic N 8 Clcl pprssimt delle rdici dell'equzie ( L risluzie pprssimt delle equzii ( I quest uità didttic lizzerem i pricipli metdi per l risluzie pprssimt delle equzii lgeriche trscedeti ( c ( trscedete, dell vriile rele. L risluzie pprssimt dell equzie ( uzie rele, lgeric pss ttrvers le segueti si : Limitzie delle rdici : ccrre determire u itervll di umeri reli [, L ] cteete tutte le rdici reli dell equzie prpst Eumerzie delle rdici : isg stilire qute s le rdici reli dell equzie ( pprteeti ll itervll [, L ] Seprzie delle rdici : ccrre determire degli itervlli [, ] gu dei quli ctiee u sl rdice dell equzie prpst 4 Apprssimzie delle rdici : pprssimre u rdice rele dell equzie ( sigiic trvre u umer, c u predetermit umer di cire decimli, che pprssim l rdice c l precisie richiest. Metd gric per l seprzie delle rdici reli dell equzie ( 4 - L risluzie pprssimt delle equzii ( Pgi
3 Uità Didttic N 8 Clcl pprssimt delle rdici dell'equzie ( U prim metd gric csiste el trccire l curv di equzie ( ed tre gli itervlli che cteg u sl itersezie dell curv c l sse delle scisse. C quest prcedimet tteim l limitzie delle rdici reli e l seprzie delle rdici reli. 4 ( , ( 464 (, ( 4( 5 4 Aim csì limitt e seprt le rdici reli dell equzie ( U secd metd gric è quell di scrivere l uzie ( cme dierez di due uzii g ( ed h ( sicché l equzie prpst ssume l rm g ( h ( e quidi ( h (. Pi si cstruisc le curve σ e γ veti rispettivmete equzii g( g ( h. ( ( g h scisse dei puti cmui lle curve σ e γ. σ ( γ Le sluzii dell equzie ( e cicid c le Dlle itersezii delle due curve deducim che l equzie prpst mmette 4 rdici cmprese tr i umeri e + ( tr i umeri e + se tim che ( ( < Nel cs dell str equzie é preeriile utilizzre il secd metd gric, i qut cl prim sim i grd di trvre i puti stziri dell uzie. L risluzie pprssimt delle equzii ( Pgi
4 Uità Didttic N 8 Clcl pprssimt delle rdici dell'equzie ( Terem di esistez dell rdici dell equzie ( Se ( è ctiu ell itervll limitt e chius [, ] e se gli estremi di tle ( ( < itervll ssume vlri di seg ppst ( ( ( < (, llr l equzie mmette lme u rdice iter ll itervll [, ]. ( ( Quest terem ci ssicur l esistez di lme u rdice i u dt itervll, m e grtisce l uicità. Se pi l uzie ( è strettmete mt i [, ] llr l equzie ( mmette u sl rdice iter ll itervll [, ]. Rest csì giustiict il seguete : Prim terem dell uicità dell sluzie dell equzie ( Se ( è u uzie ctiu ell itervll limitt e chius [, ] e derivile ei sui puti iteri, se risult ( ( < e se ( ell itervll pert ], [, llr l equzie ( mmette u sl sluzie iter d [, ]. ( ( < ( > ], [ ( > ], [ ( ( Secd terem dell uicità dell sluzie dell equzie ( Se ( è u uzie ctiu ell itervll limitt e chius [, ] e derivile due vlte ei puti iteri di tle itervll, se risult ( ( < e se ( è sempre psitiv sempre egtiv ell itervll ], [, llr l equzie ( mmette u sl sluzie iter d [, ]. Strettmete crescete strettmete decrescete Terem di esistez delle rdici dell'equzie ( Pgi 4
5 Uità Didttic N 8 Clcl pprssimt delle rdici dell'equzie ( Metd delle tgeti di Newt-Furier Suppim di vere seprt ell itervll [, ] l rdice rele semplice α dell equzie ( e suppim che ess si uic. Quest sigiic che le uzii ( ed ( h, ell itervll [, ], seg cstte, ciè l uzie ( è strettmete mt e priv di puti di less. Si pss presetre i segueti quttr csi : A ( ( > + + put di Furier ( ( > - - put di Furier B α α B A ( ( > - - A put di Furier put di Furier ( ( > + + B α α c A d Csiderti i puti A [, ( ], B [, ( ] direm estrem di Furier quell dei due estremi dell itervll [, ] el qule ( ed ( h l stess seg, ciè : ( ( > è estrem di Furier ( ( > è estrem di Furier Suppim, per issre le idee, che si l estrem di Furier. Scrivim l equzie dell rett tgete l gric dell uzie ( el put A [, ( ] ( ( ( Tle tgete ictr l sse el put di sciss ( ( ( ( Metd delle tgeti di Newt-Furier Pgi 5
6 Uità Didttic N 8 Clcl pprssimt delle rdici dell'equzie ( Risult < < < α c ( ( > ciè c estrem di Furier reltiv ll itervll [, ]. Applicd l stess prcedimet ll itervll [, ] tteim : ( ( c < < < α < Applicd l stess prcedimet ll itervll [, ] tteim : ( ( c < < < < α < Applicd l stess prcedimet ll itervll [, ] tteim : ( ( Iterd il prcedimet vlte tteim : 4 c < < < < < < 4 α ( ( c,,, ed ppure : ( + ( c,,,, ed Il metd delle tgeti el cs i cui è l estrem di Furier risce dei vlri di pprssimti per diett dell rdice α. Se l estrem di Furier è [ ( ( > ] perveim ll rmul : ( ( c,,, ed Metd delle tgeti di Newt-Furier Pgi 6
7 Uità Didttic N 8 Clcl pprssimt delle rdici dell'equzie (, ll su equivlete, ( + ( ( ( ( (, ( ( c,,,,, ed ( (, ed i vlri s vlri pprssimti per eccess dell rdice α. 4 ( ( L cdizie di rrest può essere dt stt l rm m < ε. Riepilg delle rmule trvte : estrem di Furier ( (,,, estrem di Furier ( (,,, ( ( > ( ( > ( ( ( 464 ( 4( 5 ( ( ( ( ( ( 5 ( ( α ],;[, 9944, > ( (, 99789, , 5 Quest sigiic che le prime 7 cire decimli s sicurmete estte. Metd delle tgeti di Newt-Furier Pgi 7
8 Uità Didttic N 8 Clcl pprssimt delle rdici dell'equzie ( Metd delle crde delle secti delle prti prprzili Suppim di vere seprt ell itervll [, ] l rdice rele semplice α dell equzie ( e suppim che ess si uic. Quest sigiic che : ( ( < le uzii ( ed ( h, ell itervll [, ], seg cstte, ciè l uzie ( è strettmete mt e priv di puti di less. Stt queste cdizii, per il gric γ dell uzie ( reltivmete ll itervll [, ], può presetrsi sltt u dei quttr csi idicti elle segueti igure. ( ( > ( ( < B B A ( ( > ( ( < α α A B B ( ( > ( ( < B A ( ( > ( ( < A α α A d c Cl metd delle crde sstituim il gric dell uzie ( c l rett psste per i puti A [, ( ], B [, ( ]. Il gric di ( ictr l sse delle scisse el put α che è l uic rdice dell equzie ( iter ll itervll [, ]. L rett AB ictr l sse el put ], [ che rppreset u vlre pprssimt di α. L rett AB h equzie Metd delle crde delle secti Pgi 8
9 Uità Didttic N 8 Clcl pprssimt delle rdici dell'equzie ( ( [] ( ( ( ppure : ( ( ppure ( ( ( ( ( ( [] ( ( Utilizzerem l rmul [] ei csi idicti elle igure c e d, utilizzerem l rmul [] ei csi idicti elle igure e. Applicd vlte il metd delle crde delle secti tteim il seguete schem itertiv : ( ( > pprssimzie per diett ( ( α ( ( ( ( ( α ( ( ( α ( (,,, [] ( ( ( ( ( > pprssimzie per eccess ( ( α ( ( ( ( ( α ( ( ( α ( (,,, [] ( ( ( Per eccess per diett Metd delle crde delle secti Pgi 9
10 Uità Didttic N 8 Clcl pprssimt delle rdici dell'equzie ( Idividut l rmul d pplicre ccrre prre termie lle iterzii issd l precisie ε c l qule si vule pprssimre l rdice α. Le iterzii h termie qud risult < ε ved scelt cme vlre pprssimt ( per eccess per diett dell rdice α. L errre che si cmmette è mire di ε. Se risult ε llr le prime cire decimli di s estte. mmette u sl rdice α ] ; [. Clclre u L equzie ( vlre pprssimt di α c l precisie estte utilizzd il metd delle crde. ε ( ciè c due cire decimli ( + + 5, ( +, ( 6, ( > ( < ] ; [ ] ; [ ( 9, (, ( ( < ( ( ( ( >, ( ( ( ( < Per clclre u vlre pprssimt di α utilizzerem l rmul []. + ( ( ( ( ( (, ( (,, 69, +,69 + 9,9 9,69 (,,69,,69, 54 ( (,54,,54>, ( (,54,,54+,+ 9 (,54,,54,, 477 ( (,477,54,6>, ( (,477, 45,477+,45+ 9 (,477,45,477,449, 59 4 ( ( 4,477,44,4<, α,5 è u vlre pprssimt dell rdice α c due cire decimli estte. α, è u vlre pprssimt di α c 9 cire decimli estte. Metd delle crde delle secti Pgi
11 Uità Didttic N 8 Clcl pprssimt delle rdici dell'equzie ( Suppim che l equzie ( Metd di isezie metd dictmic mmett l sluzie α ], [ e che ess si uic. Quest sigiic che risult ( ( < e l uzie ( h seg cstte i ], [. Per geerlizzre il prcess di iterzie pim :, e clclim + + Clclim ( (, (, ( ( Se risult ( dell equzie ( è ll itervll, [ ll itervll ], [. ] l sluzie + + α, i cs ctrri ess pprtiee ( ( <, [ α ( ( ] α ], [ < Se, d esempi, risult ( ( < llr pim, e ci clclim + e si ctiu l iterzie sceglied dei due sttitervlli, [, [ quell ei cui estremi l ] ] uzie ssume vlri di seg ppst. Si prcede c l iterzie si d tteere l pprssimzie desidert. Otteim u successie di sttitervlli gu cteut el precedete e di mpiezz ugule ll metà.,, 4 4,..., L ultim sttitervll determit h mpiezz : Se sceglim + α cme vlre pprssimt dell rdice dell equzie cmmettim u errre E dt dll seguete relzie : E Il prcedimet di iterzie può essere relizzt ttrvers il seguete schem : Metd di isezie metd dictmic Pgi
12 Uità Didttic N 8 Clcl pprssimt delle rdici dell'equzie ( iterzii + ( + ( > + ( > + ( > ( ( ( < ( < ( < ( < ( > ( > , ( 5 (, <, ( α, α ] 5,,[ iterzie +,5+, 5, 75, 75, 875, 875, 975 4, 4 975, , , , , , , , 9987, , , , , 9955, 9987, 9955, 9965, 9987, 9965, 9999 ( ( ( ( 5, < ( 75, < ( > ( < ( < ( > ( < ( < ( > ( < ( < ( > ( 5 < ( 5 < ( 5 > ( 6 < ( 6 < ( 6 > ( 7 < ( 7 > ( 7 > ( 8 < ( 8 > ( 8 < ( 9 < ( 9 > ( 9 < ( < ( > ( < ( < ( > ( < E,5,5 48,44,9999 sl le prime tre cire decimli s sicurmete estte Metd di isezie metd dictmic Pgi
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