Vita economica dei sistemi impiantistici.
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1 Facltà di Igegeria Uiversità degli Studi di Blga Dipartimet di Igegeria Idustriale Marc Getilii Vita ecmica dei sistemi impiatistici. Quaderi del Dipartimet
2 MARCO GENTILINI VITA ECONOMICA DEI SISTEMI IMPIANTISTICI. 1 DETERMINAZIONE DEL PERIOCO ECONOMICO DEI SISTEMI. A utili e csti di esercizi e gestie variabili el temp sl per effett delliteresse capitale e dei caratteristici idici di variazie prezzi il valre attuale ett (VAN di u ivestimet impiatistic i fuzie della vita del sistema: VAN = VAN( mstra u adamet mt crescete da u valre egativ pari al cst impiat (I per vita ulla ( vi s acra è utili è eri di esercizi: VAN(0 = I a u valre asittic (psitiv per ivestimeti utili per tedete a ifiit azzeradsi per quel valre crretamete defiit cme temp di ritr attualizzat: = TR a [VAN(TR a = 0] e pertat la vita ecmica di u sistema è la massima tecica teclgica pssibile (. Tuttavia qualra la pteza prduttiva teda a calare per dimiuzie di efficieza del sistema e i csti di esercizi e mautezie teda a crescere c livecchiamet del sistema stess la fuzie VAN( può presetare u massim ltre il quale decresce teded a u uv valre asittic che a secda delletità della dimiuzie di efficieza e dellaumet dei csti di esercizi e mautezie può essere ache egativ c quidi u secd zer della fuzie vver mateersi cstatemete egativa. Se il massim della fuzie risulta alliter dellitervall i cui si ha: VAN( > 0 può ciè esistere u perid di utilizz ecmic che massimizza il VAN dellivestimet vver ua vita ecmica del sistema evetualmete iferire alla vita tecica del sistema stess. Suddivided il CFN i u utile cmplessiv glbale (U e u ere cmplessiv glbale (C e idicad c h u h c gli idici medi glbali di variazie prezzi e csti relativi rispettivamete agli utili e agli eri el lr cmpless si ha: Uj = U(1 h u j ; Cj = C(1 h c j c U C utile e cst di esercizi iiziali glbali a perid rateale del (1 h sistema da cui: VAN = U u j (1 h " j=1 (1 i j C c j " (1 i j I. j=1 Iptizzad ua dimiuzie di efficieza prduttiva e u aumet dei csti di esercizi e mautezie el temp (cmpresi egli eri glbali i quat più prprziali al cst impiat e cresceti
3 sl secd gli idici di aumet prezzi el temp la cseguete dimiuzie degli utili e aumet dei csti di esercizi cmplessivi pss esprimersi c leggi espeziali ella frma: Uj = U(1 b u j (1 h u j ; Cj = C(1 b c j (1 h c j ve i cefficieti b u e b c pss essere calclati imped che al termie del perid di fuziamet dellimpiat gli utili e i csti sia dimiuitiaumetati (i valre attuale rispettivamete dei fattri: f u < 1 e f c > 1: (1 b u = f u ; (1 b c = f c da cui: bu = 1 " fu ; bc = fc " 1. Si ttiee quidi: (1 " b VAN( = U u j (1 h u j (1 b j=1 (1 i j " C c j (1 h c j (1 i j " I = j=1 1 (1 " b = U u (1 h u & - * ( " 1. " (1 i $ (1 i 1 " (1 " b u (1 h u 1 (1 b "C c (1 h c & - * ( " 1. " I. (1 i $ (1 i 1 " (1 b c (1 h c La fuzie VAN = VAN( ctiua evidetemete a crescere c la vita del sistema fichè i successivi ctributi: U[(1 - b u (1 h u ] j C[(1 b c (1 h c ] j l U mateg seg psitiv vver per: j < C l (1 b (i cas c(1 hc (1 " bu(1 hu di uguagliaza il ctribut è ull e il perid è iifluete. La vita ecmica del sistema ( ec risulta quidi il umer di peridi rateali pari al liter per difett del valre. Evidetemete qualra laumet ett degli utili risulti maggire uguale a quell degli eri: (1 h u (1 b u (1 h c (1 b c la vita ecmica tede a ifiit a valri privi di sigificat fisic (egativi. Affichè la cdizie sia di massim utile e di miima perdita deve cmuque risultare: VAN(ec > 0 e pichè si ha: VAN( < 0 per: < TR a la vita ecmica del sistema deve essere maggire del temp di ritr attualizzat ( ec > TR a che tede ad aumetare i preseza di dimiuzie di efficieza e di aumet dei csti di esercizi
4 e mautezie del sistema fi evetualmete a superare la vita tecica teclgica del sistema stess. Il tali cdizii il temp di ritr attualizzat del sistema risultad radice dellequazie: VAN(TR a = 0 si ttiee dalla relazie: U 1 (1 i (1 " b u (1 h u " 1 1 " (1 " b u (1 h u & TR - a * (. " $ (1 i 1 "C 1 " (1 b c (1 h c & TR a * (. " I = 0. (1 i (1 b c (1 h c " 1 $ (1 i I valri limite per gli idici b u e b c affichè pssa tteersi VAN > 0 risulta dalla relazie: lim VAN(TR a = TR a " (1 " = U bu (1 h u (1 i " (1 " b u (1 h u " C (1 bc (1 h c (1 i " (1 b c (1 h c " I = 0 da cui i crrispdeti valri limite per i parametri: f u e f c metre affichè pssa tteersi ua vita realmete ecmica: VAN( ec > 0 deve risultare: ec TR a (b u b c che assume sigificat fisic qualra sia iferire alla vita tecica del sistema. La cdizie di esisteza di ua vita ecmica dei sistemi ptrebbe verificarsi ache i asseza dei termii: b u e b c qualra essed: h u < h c si giuga alla cdizie: U(1 h u C(1 h c < 0 c l U C quidi vita ecmica pari alliter per difett del valre: l 1 h. c 1 hu Qualra laumet degli utili risulti maggire uguale a quell degli eri: (1 h u (1 h c la vita ecmica tede a ifiit a valri privi di sigificat fisic (egativi. I valri limite per i parametri: h u e h c si tteg parimeti dalla cdizie: 1 h lim VAN(TR a = U u 1 h C c I = 0. TR a " i h u i h c Assumed u mdell di ammrtamet ctiu rifered i parametri alluità di temp si ha: -
5 t VAN = U e "b ut e hut e "it t dt " C e b ct e hct e "it dt " I = t = U e ("b u hu "it t dt " C e (b c hc "it dt " I. Pst: VAN(d = 0 si ttiee: dvan(t = Ue ("b u hu "it " C e (b c hc "it = 0 dt da cui il temp ecmic di fuziamet del sistema (t ec : l U C t ec = (h c b c " (h u " b u che cicide c la radice della relazie: U = C vver: U e ("b u h u t = C e (b c h c t. Acra qualra laumet ett degli utili risulti maggire uguale a quell degli eri: h u b u h c b c la vita ecmica tede a ifiit a valri privi di sigificat fisic (egativi. Il temp di ritr attualizzat (TRa cme radice della relazie: VAN(t = 0 si ttiee ped: U VAN(t = 1 " e "(i b u "h u t & i b u " h u $ ( " C " 1 " e "(i"b c "h c t & i " b c " h c $ ( " I = 0 da cui il valre limite per i parametri b u e b c dalla cdizie: U lim VAN(TR a = C I = 0. TR a " i b u h u i b c h c Ache i asseza dei termii: b u e b c i cas sia: h u < h c verificadsi la cdizie: Ue h ut " C e h ct < 0 risulta u temp ecmic di fuziamet del sistema (t ec : t ec = cicide c la radice della relazie: U(t = C(t vver: l U C h c " h u che Ue h ut = C e h ct. I tal cas il temp di ritr risulta la radice della relazie: VAN(TRa = U 1 " e "(i"h ut& i " hu $ ( " C 1 " e "(i"h ct& i " hc $ ( " I = 0
6 da cui i valri limite per i parametri: h u e h c dalla cdizie: U i h u C i h c I = 0. lim VAN(TR a = TR a " Parimeti qualra laumet degli utili risulti maggire uguale a quell degli eri: h u h c la vita ecmica tede a ifiit a valri privi di sigificat fisic (egativi. Dal put di vista fiaziari il mdell ctiu rispett al mdell discret riduce il perid medi di risarcimet debit risultad quidi csevativ da cui ua riduzie del temp di ritr e u aumet della vita ecmica del sistema. Per valri tipici delle gradezze preseti e elle iptesi assute la vita ecmica risulta paragabile se addirittura maggire della vita tecica del sistema. E tuttavia qualra risulti: h u << h c i preseza di sesibili dimiuzii di efficieza (b u crescete e aumet di csti di esercizi e mautezie (b c crescete può verificarsi il cas che risulti ecmicamete cveiete iterrmpere il fuziamet del sistema prima della sua aturale scadeza ( ec < e addirittura che per sufficieti valri della vita del sistema il VAN dellivestimet divega egativ. 2 ESEMPI DI APPLICAZIONE NUMERICA. Si cdideri u prgett di ivestimet previst per ua vita di 20 ai che cmprti u utile glbale (U crescete el temp al tass: h u = 375 e u ere glbale (C crescete el temp al tass: h c = 325 Suppst u tass miale di iteresse: i = 010 ai 1 u rapprt iiziale utilieri pari a: U C = 15 e u temp di ritr: TR = I (U C = 5 ai si ttiee il temp di ritr attualizzat cme radice dellequazie: (1 h VAN( = U u j (1 h " j=1 (1 i j C c j " j=1 (1 i j I = U = 1 & hu. C 1 " 1 i ( " 1 " 1 & hc. $ 1 i. * -. 1 " 1 i ( " 1 " $ 1 i. I = 0 * -. 1 hu 1 hc
7 da cui: TR a = ai. Nel cas di dimiuzie di efficieza prduttiva (b u e aumet dei csti di esercizi e mautezie (b c el temp pst: f u = 08; e f c = 12 i 20 ai si ttiee: b c = 092. b u = 111. Il temp di ritr attualizzat (TR a radice dellequazie: 1 U 1 " (1 " b u (1 h u & TR - a * (. " (1 i (1 " b u (1 h u " 1 $ (1 i 1 "C 1 " (1 b c (1 h c & TR - a * (. " I = 0 (1 i (1 b c (1 h c " 1 $ (1 i aumeta al valre: TRa = ai metre la vita ecmica del sistema ( ec pari alliter per difett del valre: l U C l (1 b c(1 hc (1 " bu(1 hu sistema. risulta: ai vver superire alla vita del Il valre limite per gli idici b u e b c radici dellla relazie: lim VAN(TRa = TRa " (1 " b = U u (1 h u (1 b c (1 h c (1 i " (1 b c (1 h c " I = 0 (1 i " (1 " b u (1 h u " C pss essere determiati se cme valre medi i u uic valre cmue (idice b Risulta: b = 106 cui crrispd idici f u e f c dp 20 ai pari a: f u = ; f c = per cui è sufficiete u decremet di efficieza e u aumet di csti di esercizi di pc superire all1 alla per redere cstatemete egativ il VAN. I asseza dei termii: b u e b c essed: h u > h c il VAN preseta estremati. Utilizzad u mdell di calcl ctiu il temp di ritr attualizzat dalla relazie:
8 VAN(t = U 1 " e "(i b u "hut& i bu " hu $ ( " " C 1 " e "(i"b c "hct& i " bc " hc $ ( " I = 0 risulta pari a: TRa = ai metre la vita ecmica del l U C sistema: t ec = (h c b c " (h u " b u risulta: t ec superire alla vita del sistema. = 265 ai vver I asseza dei termii: b u e b c essed cmuque: h u > h c il VAN preseta estremati. **********
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