4. La forma indeterminata +

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1 . La forma idetermiata + Abbiamo visto che il teorema della somma o è applicabile el caso i cui il risultato di u limite si preseti ella forma di ua differeza di tedeze all ifiito, differeza che siteticamete si scrive. I due comportameti o si elidoo a viceda, come u igeua (ed abusiva) applicazioe delle regole dell algebra elemetare sembrerebbe suggerire, perché la scrittura è u simbolo che esprime soltato grossolaamete il comportameto delle fuzioi i esame, ascodedo il dettaglio della velocità co la quale avviee la crescita della y al crescere della. La scrittura cela dietro sé il reale adameto delle fuzioi, e può dar luogo a comportameti ache molto differeti fra loro. Si cosideri il limite seguete: lim è facile realizzare che il risultato o è zero osservado i grafici delle due curve che stiamo sottraedo, y ed y. Sia la parabola sia la bisettrice crescoo idefiitamete, ma la parabola è molto più veloce della retta. A causa di questo, la differeza di cui stiamo calcolado il limite, illustrata i figura dal segmeto tratteggiato, be lugi dall aullarsi, è destiata a crescere sempre di più a mao a mao che l ascissa viaggia verso ifiito. Per capire meglio le varie possibilità, cosideriamo due fuzioi, f( ) e g( ), per le quali risulti: Primo esempio: prediamo il caso: lim f( ) lim g( ) f( ) g( ) risulta evidetemete: lim f( ) g( ) tuttavia, i questo particolare caso è facile fare la semplificazioe che ricoduce ad u limite fodametale: lim f( ) g( ) lim lim Dovremmo a questo puto cocludere che? La risposta è sez altro egativa, come si evice dal successivo esempio. Secodo esempio: f( ) 5 g( ) ache ora si ha: lim f( ) g( ) ma sostituedo alle fuzioi le loro espressioi 1

2 lim f( ) g( ) lim 5 lim sembrerebbe che ora la coclusioe debba essere. No è evidetemete così, come si vede el seguito. Terzo esempio: f( ) g( ) 5 ache ora si ha: lim f( ) g( ) ma sostituedo alle fuzioi le loro espressioi lim f( ) g( ) lim 5 lim 5 5 la coclusioe che 5 appare acor più paradossale. Dovremmo ormai essere coviti che quado siamo i preseza del caso o è possibile cocludere ulla circa il risultato del limite e pertato si dice che siamo i preseza di ua forma idetermiata. Occorrerà trattare di volta i volta le espressioi tramite artifici algebrici che ricoducao il calcolo ad operazioi co i limiti fodametali. Il caso più semplice che si possa presetare è costituito dai poliomi. Poliomi di grado quado Strategia risolutiva: bisoga raccogliere il termie di grado massimo ed applicare il teorema del prodotto. Esempio 1 lim 6 lim 6 6 e siamo quidi i preseza della forma idetermiata. Raccogliamo il termie i cui la figura al massimo grado, cioè : 6 1 lim 6 lim 1 lim 1 applicado il teorema del prodotto si ha: 1 1 lim lim

3 Esempio 5 lim 5 5 lim ( ) ( ) e siamo quidi i preseza della forma idetermiata. Raccogliamo il termie i cui la figura al 5 massimo grado, cioè : lim lim 1 lim applicado il teorema del prodotto si ha: lim 1 lim lim Caso geerale Gli esempi sopra cosetoo di cocludere che l adameto di u poliomio di grado, quado è goverato dal termie di grado massimo. Calcoliamo ifatti il limite all ifiito di u geerico poliomio: lim a a a... a a qualuque sia la forma, determiata od idetermiata, si può sempre raccogliere il termie di grado massimo a ed applicare il teorema del prodotto: lim a a a... a a lim a a a a a a a a a effettuado le semplificazioi si ha: a a a a lim a lim a a a a lim a 1 lim a E quidi possibile saltare i vari passaggi itermedi, come el caso seguete: 16

4 Esempio lim 5 lim 5 lim ( ) Es poliomi all ifiito: ReF p 0 da 15 a 11, da eseguire co l artificio per impratichirsi 17

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