Strumenti: modelli e caratteristiche dinamiche

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1 Strumeti: mdelli e caratteristiche diamiche Argmeti: mdelli diamici di rdie, e ; esempi della femelgia fisica; caratteristiche diamiche degli strumeti di rdie, e ; cmparazie delle caratteristiche diamiche. Mdelli diamici Nel cas più geerale il legame igress-uscita di u sistema diamic può essere scritt ella frma: m d d d d A q A q + Aq = Bm qi B m qi + Bqi dt dt dt dt L us di tale frmulazie per mdellare u strumet prevede u sl termie i igress, l igress di misura desiderat: x d d d A q A q + Aq = Bx q x i dt dt dt Si defiisce rdie dell strumet la differeza tra l rdie massim e quell miim di derivazie della variabile d uscita, q. I mdelli utilizzati per la descrizie del cmprtamet diamic di u strumet s sempre a cefficieti cstati e di rdie zer, prim secd. Tale descrizie è sl u apprssimazie del reale cmprtamet dell strumet che risulta da u lat rappresetativa ei limiti dettati dalle cdizii di utilizz e dall altr e fissa il camp di impieg.

2 Mdelli diamici Strumet di rdie zer: Strumet del prim rdie: Strumet del secd rdie: Aq =... Aq + Aq =... Aq + Aq =... Aq Aq Aq + + =... E ecessaria ua metdlgia di aalisi che permetta di cmpredere le mdalità di fuziamet del «sistema diamic strumet»; i passi che seguirem s: Scelta di frzati sigificative (gradi, rampa, siuside) per il calcl della rispsta Calcl della rispsta: Itegrale particlare (dipedete dal cas specific) e geerale (dipedete dall equazie mgeea ass.) L imprtaza di quest tip di aalisi è legata alla pssibilità di defiire sistematicamete i parametri che caratterizza ciascu mdell, e capire cme valutarli i relazie all utilizz che e ptremm fare 3 Mdelli diamici Utilizzad l peratre di Laplace cambiam il dmii i cui stiam perad passad da quell del temp a quell delle frequeze (per chiarezza usiam il simbl per idividuare ua fuzie della frequeza). I termii derivativi si trasfrma i pteze di espete pari all rdie di derivazie e l espressie della fuzie di trasferimet si semplifica diveed u rapprt tra igress e uscita: ( As + A s As+ A) q = Bsq i i i A(s)q = B(s)q i q = A(s) B(s)qi La fuzie di trasferimet dell strumet diviee: q H = = A(s) B(s) q i 4

3 Aalisi femelgica e scrittura delle equazii cstitutive Idetificazie delle equazii cstitutive 5 Ordie : il ptezimetr Abbiam già aalizzat il pricipi di fuziamet da u put di vista static. Valutiam la pssibile esisteza di u effett diamic. V L S VO = x= Gx Nella relazie igress-uscita dell strumet cmpare essu termie differeziat rispett al temp, quidi si tratta di u strumet di rdie. Il guadag G è cstate i frequeza: La fuzie di trasferimet ccepita aalizzad esclusivamete il cmprtamet elettric è però utilizzabile sl etr i limiti di validità dell iptesi di disaccppiamet c quell meccaic: si è csiderat che il ptezimetr è i realtà u crp elastic c ifiiti gradi di libertà. Ciè si è assut che la diamica itera dell strumet sia a frequeze abbastaza elevate, rispett a quelle di impieg, da pter essere csiderat rigid el camp di utilizz. O V S V () s = G x () s 6 V O 3

4 Ordie : il termmetr Studiam u altr strumet di larg impieg, il termmetr. Defiiam alcui parametri utili: T a temperatura ambiete T i temperatura itera h cefficiete di scambi termic m massa del materiale del bulb (trascurabile la massa del materiale ella cla) c calre specific del materiale del bulb t temp A superficie di scambi termic L equazie di equilibri dei flussi è: Equazie diamica (prim rdie): τt + T = T ( sτ + ) T = T T i = = Gs () T sτ + a i i a i a q = ha( T T) = mct a i i mc T i + ha Ti = ha Ta mc Cstate di temp => τ = ha Sesibilità statica => G = (guadag a regime) 7 Ordie : accelermetr Csideriam u sesre di accelerazie a massa sismica. Rigidezza della trave Massa sismica Spstamet della base (v) L strumet è rappresetabile da u mdell diamic elemetare a grad di libertà: massa, mlla e smrzatre: l uscita deve essere messa i relazie c l igress di accelerazie applicat all accelermetr. L accelerazie impsta dal mvimet della base, aged sulla massa c ua frza d ierzia pari a f=ma, flette la barretta. Cme idicatre dell effett della frza è ccettualmete utilizzabile la psizie dell estrem (i termii reali è megli u trasduttre facilmete miiaturizzabile). Occrre aalizzare l equazie di equilibri diamic. Ma Ku Spstamet relativ della massa (u) 8 4

5 Ordie : accelermetr Equazie di equilibri diamic el temp: d ( v+ u) du M + C + Ku= dt dt u -Mvimet relativ della massa sismica v -Mvimet della base v u I frequeza l accelerazie della base è a(s)=s v. us () + + = = = as s C Ms K M ( Ms Cs K) u( s) M s v( s) M a( s) () ( + / + / ) Si assume che sl l elemet di reazie elastica sia defrmabile Equazie diamica di secd rdie ad u grad di libertà che mdella u sl aspett della diamica itera: la diamica più leta dell ggett accelermetr, la sla di iteresse metrlgic 9 Ordie : accelermetr, mdell diamic Allra: ( As + As+ A) q = Bsq i A(s)q = Bs qi Uscita : q Igress : a = s qi - Uscita = H(s) Igress c H = A(s) B Ms + Cs + K u = Ma ( ) I parametri caratteristici s: B sesibilità statica (guadag a regime ad s ull): M G = = A K pulsazie prpria: A K ω = = A M A C cefficiete di smrzamet: ζ = = AA KM 5

6 Ordie : accelermetr, mdell diamic Diagrammi tipici di rispsta i frequeza di u accelermetr: Ampiezza.7 Fase Frequeza adimesiale Frequeza adimesiale Ordie : sismgraf Csideriam u sesre di spstamet a massa sismica. Massa sismica Rigidezza cmplessiva Misura dell spstamet relativ della massa (u) Spstamet della base (v) L uscita deve essere messa i relazie c l igress che è l spstamet applicat al cteitre dell accelermetr. Il mvimet, variabile el temp, impe u accelerazie che aged sulla massa stt frma di ua frza d ierzia, defrma il supprt elastic. U trasduttre di psizie rileva l spstamet relativ della massa rispett alla base. 6

7 Ordie : sismgraf Equazie di equilibri diamic: d ( v+ u) du M + C + Ku= dt dt u -Mvimet relativ della massa sismica v -Mvimet della base us () s + + = = vs () ( s + C/ Ms+ K/ M) ( Ms Cs K ) u Ms v L igress del sistema è direttamete il mvimet della base v. Equazie diamica di secd rdie ad u grad di libertà (massa, mlla e smrzatre) che, cme sempre, trascura la diamica a frequeze superiri dell ggett. v 3 u Ordie : sismgraf, mdell diamic L equazie di equilibri diamic è la STESSA dell accelermetr: il sistema è sempre sesibile all accelerazie MA l igress desiderat è l spstamet. Quidi: Uscita : q = u Igress : q = v ( As + As+ A) q = Bsq i A(s)q = Bs qi Uscita = H(s) Igress c H = A(s) B s i u = v Ms Cs K s M ( + + ) I parametri caratteristici s: B M sesibilità statica (guadag a regime ad s elevat): G = = = A M A pulsazie prpria: K ω = = A M A C cefficiete di smrzamet: ζ = = AA KM 4 7

8 Ordie : sismgraf, mdell diamic La fuzie di trasferimet del sismgraf è cmpletamete diversa da quella di u accelermetr a causa della preseza di pli e zeri. Il guadag di regime si ha per frequeze di lavr superiri a quella prpria del sistema. Per frequeze basse la massa sismica si muve cme la base (u=). Per frequeze elevate la massa sismica rimae ferma e il mvimet relativ cicide c quell della base (u=-v). L uscita è i questa situazie i ctr fase rispett all igress (G=-). G cstate per f>f Frequeza rmalizzata 5 Dal Mdell diamic al Mdell metrlgic 6 8

9 Mdell diamic Vs Mdell metrlgic Le equazii che abbiam scritt descriv il cmprtamet diamic del sistema strumet Per tteere il mdell metrlgic, ciè quell che ptrem usare per tteere la misura, è ecessari itrdurre il pricipi di trasduzie Questa perazie ha ses sl dp che ell equazie di equilibri i termii legati alla diamica itera s divetati trascurabili; el cas dell accelermetr: Mu + Cu + Ku = Ma Ku = Ma Il termie Ku frisce le frze elastiche ageti sul piez: Pricipi di trasduzie meccaic/elettric V = C F Piez El FEl = Ku Otteiam ifie la sesibilità di prgett, miale, dell strumet FEl = V = Ma C Piez ( ) V = MC a Piez 8 Mdell diamic Vs Mdell metrlgic Nel cas di u sismgraf: Mu + Cu + Ku = Ms Ku = Ms Utilizzad u LVDT, di sesibilità spstamet avrem: Uscita elettrica S LVDT, per la misura dell V = S u Out LVDT Equazie di trasfrmazie meccaic/elettric Otteiam ifie la sesibilità di prgett, miale, dell strumet: V S Out Ku = K = Ms LVDT M VOut = SLVDT s K 9 9

10 Aalisi della rispsta diamica Strumet di rdie zer Equazie caratteristica: Aq = Bq i Equazie rmalizzata: q = B qi = Gqi A Sesibilità statica (guadag a regime): B G = A Legame igress-uscita: q = Gq i U strumet di rdie rappreseta l strumet ideale dal put di vista della rispsta diamica piché quest ultima è ttalmete assete. Dal mmet che il legame igress uscita è algebric, ha imprtaza la variazie el temp dell igress, l uscita seguirà perfettamete l igress, seza distrsie ritard di fase. L strumet avrà u rapprt fra uscita ed igress sempre pari a quell di regime.

11 Strumet di rdie zer Esempi: ptezimetr e = xi E L b Esempi: estesimetr R ε = k R Attezie: sebbee l estesimetr abbia sempre u mdell di rdie zer ua cella di caric che l utilizza per realizzare u trasduttre di frza esibisce i geere u cmprtamet del rdie. E imprtate i quest cas cfdere il mdell diamic cmplessiv dell strumet cella c quell del su cmpete, estesimetr, che legge la defrmazie. Strumet di rdie zer Esempi: ptezimetr Rispsta alla rampa e = xi E L b Rispsta al gradi Rispsta i frequeza Rispsta ad igress geeric 3

12 Strumet del prim rdie Equazie caratteristica: Equazie rmalizzata: Legame igress-uscita: Sesibilità statica (guadag a regime): Cstate di temp: Fuzie di trasferimet: Aq + Aq = B q i A B q + q = q A i i A τ q + q = Gq i B G = uut ui A A τ = [] t A q = Hs () = q [ / ] τs G + Esempi: termmetr 4 Strumet del prim rdie: rispsta a gradi Cdizii iiziali: ( τ s+ ) q = Gq i _ STEP q = per t = + Sluzie data da due parti: itegrale geerale itegrale particlare q q _ ge = Ce t τ = G q _ par i _ STEP Applicad le cdizii iiziali: q = Kq _ ( e τ ) i STEP t I frma adimesiale: Errre di misura: q Gq e m i_ STEP q = qi G t τ = ( e ) 5

13 Strumet del prim rdie: rispsta a gradi i_ STEP t ( ) q = Gq e τ Mire è la cstate di temp, τ, maggire è la prtezza dell strumet vver l uscita raggiuge il valre asittic i u temp più breve. Cme desumibile dai grafici di destra dve il temp è stat rmalizzat rispett a τ, dp u temp pari a 4 τ la rispsta ha raggiut il 98% della rispsta statica e può essere rmai defiita a regime. 6 Strumet del prim rdie La determiazie sperimetale della cstate di temp può essere fatta a partire dalla rispsta a gradi. Riscrived pprtuamete l equazie abbiam: t q t q τ = ( e τ ) = e Gq i_ STEP Gq istep q Ped: z = e passad ai lgaritmi: l z = t (a=b*t) Gq τ i_ STEP l z τ t Acquisti sperimetalmete i dati di igress e uscita i diversi istati temprali si può quidi prcedere c ua regressie lieare. La pedeza della retta tteuta è l ivers della cstate di temp. Questa prcedura risulta mlt più semplice che adare a stimare la cstate di temp i base alla cvergeza della rispsta e va 8 sempre preferita ad essa. 3

14 Strumet del prim rdie: rispsta i frequeza I frma adimesiale: q Gq ( jω): A= ϕ = ta ( ωτ) i ( ωτ ) A/(GA ) Fase+.4. ϕ ωτ 9 Strumet del prim rdie Esempi: il termmetr T a temperatura ambiete T i temperatura itera h cefficiete di scambi termic m massa del materiale del bulb (trascurabile la massa del materiale ella cla) c calre specific del materiale del bulb t temp A Superficie di scambi termic L equazie di equilibri dei flussi è: mc T + ha T = ha T τt + T = T i i a i i a q = ha( T T) = mct a i i Cstate di temp => Sesibilità statica => (guadag a regime) mc τ = ha G = 3 4

15 Strumet del prim rdie Cme si può perare per avere ua cstate di temp piccla? E vvi che i termii al demiatre dev essere i più gradi pssibile, metre quelli al umeratre dev essere i più piccli. N tutte le variabili i gic s però idipedeti, per es. la superficie del bulb e la massa del fluid di misura. Nelle iptesi adttate, idicad c r il raggi del bulb, assut sferic per semplicità, piché: 4 3 m= ρπr A= 4π r 3 3 mc ρπr c ρrc La cstate di temp diveta: τ = = = ha 3hπ r 3h Quidi u itervet dirett ad aumetare la superficie estera attravers l icremet del raggi, c l scp di dimiuire la cstate di temp, i realtà prta al su icremet, i quat il vlume aumeta più rapidamete della superficie 3 Strumet del secd rdie Per l strumet di secd rdie: d q dt dq dt A + A + A q = B q i ( sa + sa+ A) q( s) = Bqi( s) sm+ sb+ Kx = f ( ) i I parametri caratteristici s tre: B sesibilità statica (guadag a regime, s=): G = A pulsazie prpria aturale: cefficiete di smrzamet: ω = ζ = A A A A A K K M [ m/ N] [ rad / s] 3 B KM 5

16 Strumet del secd rdie Sstitued i parametri caratteristici ell equazie fdametale: s ζ s + + q = Gqi ω ω La fuzie di trasferimet è: q q i () s = G s ζ s + + ω ω 33 Strumet del secd rdie: rispsta al gradi s ζ s + + q Gq = ω ω istep + dq + Cdizii iiziali: q = per t = = per t = dt Itegrale particlare q p = Gq istep Itegrale Geerale assume ua delle tre pssibili frme, i fuzie della tiplgia delle radici dell equazie caratteristica: reali e distite (sistema svrasmrzat) reali ripetute (sistema criticamete smrzat) cmplesse (sistema sttsmrzat) 36 6

17 Strumet del secd rdie: rispsta a gradi Le tre fuzii di trasferimet, per i diversi livelli di smrzamet, diveta: q ζ + ζ ζ ζ ζ > = + + Gq istep q ζ = = ( + ω ) t te ω + Gq istep ( ζ + ζ ) ωt ( ζ ζ ) ωt e e ζ ζ q e ζ < = ζ ω + φ + ζ ζω t si( ) t GqiSTEP φ = si ζ 37 Strumet del secd rdie: rispsta a gradi.6 Rispsta di u sistema a frequeza aturale uitaria Rispsta psizie Svrasmrzat.5 Smrz. critic. Sttsmrzat N peridi 38 7

18 Strumet del secd rdie: rispsta a gradi Sistema svrasmrzat.. Rispsta di u sistema a frequeza aturale uitaria Rispsta rmalizzata Psizie Velcità Accelerazie N peridi Gli effetti diamici pss essere csiderati esauriti dp.5 3. vlte il perid aturale (T aturale =/f aturale =π/ω aturale ). 39 Strumet del secd rdie: rispsta a gradi Sistema sttsmrzat. Rispsta rmalizzata Rispsta di u sistema a frequeza aturale uitaria Psizie Velcità Accelerazie N peridi Gli effetti diamici pss essere csiderati esauriti dp vlte il perid aturale. 4 8

19 Strumet del secd rdie: rispsta a gradi Osservazii: piché dp u cert umer di peridi caratteristici, dipedeti dal valre dell smrzamet, gli effetti diamici s trascurabili, si può dire che trascrs u cert lass di temp, la rispsta può essere csiderata statica vver q = Gq ; p istep ω è u idicazie diretta della velcità di rispsta dell strumet: per u determiat smrzamet, raddppiad ω si dimezza il temp di rispsta, dat che il prdtt ω t raggiuge l stess valre i metà del temp; il ccett di velcità di rispsta el dmii del temp è il duale di quell di bada passate el dmii della frequeza. Più u strumet ha u alta velcità di rispsta, vver di cvergeza ai valri asittici, più sarà i grad di leggere crrettamete segali c velci variazii temprali vver ad alte frequeze. 4 Strumet del secd rdie: settlig time Osservazii (segue): u aumet dell smrzamet riduce le scillazii ma ralleta la rispsta el ses che la prima itersezie al valre a regime viee ritardata. U idicazie umerica della rapidità della rispsta è data dal settlig time vver il temp che il segale d uscita impiega per rietrare i ua bada di ampiezza defiita attr al valre asittic (errr bad), per uscire più. Il valre ttimale dell smrzamet dipede dalla bada di settlig time scelta: sceglied ad esempi il %, l smrzamet che garatisce il più rapid raggiugimet della cdizie a regime, vver il mir settlig time, è pari a.6. Tale cdizie viee raggiuta i circa.4/ ω secdi (vedere diagramma successiv). 4 9

20 Strumet del secd rdie: settlig time Errr bad del %.4 Settlig time al % 43 Strumet del secd rdie: rispsta i frequeza Frma cmplessa: q G ( ) q ω = i ω ζ jω + + ω ω Ampiezza: q G ( ) = q ω i ω ζ ω + 4 ω ω ζ Fase: φ = ta ω ω ω ω 44

21 Strumet del secd rdie: rispsta i frequeza Osservazii: aumetad la frequeza prpria, aumeta l ampiezza dell itervall di frequeze per il quale la rispsta si matiee piatta (bada passate), di csegueza ua frequeza prpria elevata è idispesabile per misurare igressi ad alta frequeza; il valre ttimale di smrzamet è fuzie sia dalla rispsta i ampiezza che da quella i fase: la più estesa za di ampiezza cstate i frequeza si ttiee per valre di smrzamet che varia tra.6 e.7; u agl di fase ull è impssibile da tteere: la csa imprtate è che il segale i uscita riprduca la frma di quell i igress vver itrduca distrsie. Quest risultat, cme già vist, si ttiee c u sfasamet lieare che geera sl u ritard ma ua distrsie. Acra ua vlta u smrzamet cmpres tra.6 e.7 garatisce il più ampi rage di frequeza i cui la fase varia liearmete. 45 Strumet del secd rdie Nell ambit della sperimetazie, c particlare riferimet ai sesri accelermetrici, spess i termii dell equazie caratteristica del sistema del secd rdie veg sstituiti c le gradezze meccaiche crrispdeti: C parametri caratteristici: ( Ms + Cs + K) x Out = Ms x I sesibilità statica (guadag a regime a s=): G = [ m/ N] pulsazie prpria: ω = [ rad / s] cefficiete di smrzamet K K M ζ = C KM 46

22 Cfrt di caratteristiche di strumeti di secd rdie Esempi: accelermetr piezelettric La massa sismica (rigida) è appggiata al piezelettric, la cui rigidezza fuge da mlla elastica Valri tipici: Massa sismica Rigidezza elevata (E piez 8 N/mm ) g Smrzamet % Frequeza di risaza: khz (>) Massa Rigidezza ( EA/t) 47 Cfrt di caratteristiche di strumeti di secd rdie Esempi: accelermetr piezresistiv a lamia La massa sismica (rigida) è mtata sulla barretta elastica (si tratta di u «mdell», ella realtà la gemetria può essere prfdamete diversa) Valri tipici: Massa sismica Rigidezza bassa Smrzamet %,7 Frequeza di risaza: khz ( < ) g Massa K EI/L 3 48

23 Cfrt di caratteristiche di strumeti di secd rdie Rispste tipiche Defiizie caratteristiche utili; Mdul(A/A) Bada passate reale 8 Piezceramic Ampiezza.7 Fase 8 Piezresistiv Frequeza adimesiale Frequeza adimesiale 49 Cfrt di caratteristiche di strumeti di secd rdie Cfrt di due strumeti: # Hz,.7 # Hz,.5 Defiizie caratteristiche utili: Errre(Mdul(A/A )). Bada passate c % di errre sul guadag: 55 e 995 Hz ciè 5.5 e.% della rispettiva frequeza di risaza.5 Bass smrzamet Alt smrzamet Deviazie % Deviazie % 55Hz (5.5%FR) Accelermetr piezceramic.5 +% Accelermetr piezresistiv FR 995Hz (.%FR) FR -%

24 Idetificazie sperimetale della fuzie di trasferimet 5 Fuzie di trasferimet: idetificazie sperimetale Il mdell diamic può essere idetificat sperimetalmete quad sia difficile riuscirci c aalisi più elemetari. Il metd parte dalla defiizie della fuzie di trasferimet di u sistema el dmii della frequeza vver il rapprt della trasfrmata dell uscita e dell igress. Ua prcedura elemetare, prevede: l acquisizie delle strie temprali di igress e uscita; il calcl delle trasfrmate di Furier dei due segali; la determiazie della fuzie di trasferimet cme rapprt tra uscita ed igress calclat ad gi frequeza; la rappresetazie dei diagrammi di ampiezza e fase. La prcedura richiede di essere resa più sfisticata, i md da essere più accurata e rbusta per far frte alle varie casistiche: Ctempraeità delle misure Applicazie di medie per riduzie rumre 53 4

25 Fuzie di trasferimet: idetificazie sperimetale Esempi: cme distiguere u sistema del rdie frtemete smrzat da u del? L aalisi dell ampiezza della fuzie di trasferimet dice mlt: la sla differeza rilevabile è la pedeza ltre il gicchi. Più rappresetativa risulta essere il diagramma della fase: el sistema del rdie, i crrispdeza della risaza, si ha u valre pari a 9 che tede a 8 all aumetare della frequeza. Tale cmprtamet è assai divers el sistema di rdie 54 Fuzie di trasferimet: idetificazie sperimetale % xx uscita campiata % xf igress campiat % Fs frequeza di campiamet tx=fft(xx)/legth(xx)*fs; tf=fft(xf)/legth(xx)*fs; =legth(xf)/; figure ttf=tx(:)./tf(:); % calcl (elemetare) FdT subplt() lglg(ff,sqrt(abs(ttf))) ylabel('ampiezza'),title('fuzie di trasferimet') fase=ata(imag(ttf),real(ttf))/pi*8;, fase()=; subplt(),plt(ff,fase),ylabel('fase') 55 5

26 Validità dei Mdelli diamici Da ricrdare che i mdelli diamici ha u limite di validità: Si assume che tutta la diamica sia descritta dal grad di libertà utilizzat ai fii metrlgici Quest è ver se le frequeze caratteristiche ad ess assciate s be separate da quelle del trasduttre (es la cassa) Per la maggir parte dei trasduttri ciò è u prblema: es. ha ses utilizzare u strumet cme l accelermetr vici ltre la risaza. I altri casi ciò è ver: il trasduttre di spstamet sismic il iee utilizzat al di spra della frequeza di prgett c ua bada mialmete ifiita (G= per f ) I quest cas il limite di impieg sarà dat da altre caratteristiche diamiche, es del cteitre delle mlle di appggi, che pss far deviare il cmprtamet dell strumet dal quell del mdell metrlgic. 56 Csa sappiam e/ sappiam fare Dispiam di u metd per discutere il fuziamet diamic di u strumet a partire dalla fisica che l mdella. Abbiam idividuat alcue tiplgie di strumet basadci sulla struttura delle equazii che e descriv il fuziamet. Abbiam caratterizzat gi tiplgia di strumet c alcui parametri utili per la sitesi delle caratteristiche diamiche dell strumet Abbiam aalizzat i cmprtameti diamici per alcui igressi tipici, la cui rispsta evidezia elemeti utili per la scelta di u strumet. Le caratteristiche diamiche rivest u rul i fase di prgettazie dell esperimet i base ad esigeze di cmpatibilità e di garazia del cmprtamet metrlgicamete crrett. 57 6

27 Dmade? 58 Apprfdimeti: rispste ad igressi stadard 59 7

28 Strumet del prim rdie: rispsta alla rampa Igress a rampa: qi = q = t qi = q i_ SLOPEt t Sstitued: τ q + q = Gq t i_ SLOPE Applicad le cdizii iiziali: q = per t = Itegrale geerale: q _ ge t = Ce τ + Itegrale particlare: q_ par = Gq i_ SLOPE( t τ ) t τ τ q = Ce + Gq i_ SLOPE( t τ ) q = Gq i_ SLOPE( τe + t τ) t 6 Strumet del prim rdie: rispsta alla rampa Pssiam scrivere l errre di misura cme: t q τ e = q = ( q t) q τe + q t q G t τ em = qi_ SLOPE τe + qi_ SLOPE τ m i islope i SLOPE islope islope emt, emss, Errre i trasitri Errre a regime τ G 6 8

29 Strumet del prim rdie: rispsta alla rampa L errre a regime è prprziale alla cstate di temp. 6 Strumet del prim rdie: rispsta all impuls Fuzie impuls di itesità A (p(t)=a/t): Fi al temp T la rispsta è aalga a quella a gradi: A= lim p( t) T GA ( τ s+ ) q = Gq i = T t Fi al temp T ache la cdizie al ctr è GA τ idetica, quidi la sluzie diveta: q = ( e ) T T La sluzie è valida fi al temp T, dve vale: GA τ q t T = ( e ) = T 63 9

30 Strumet del prim rdie: rispsta all impuls Per t>t abbiam: ( τ s+ ) q = Gq = i E quidi: T T τ GA( e ) τ q = Ce C = T τ Te E quidi la rispsta risulta: q _ = Gq _ ( t τ ) par i SLOPE 64 Strumet del prim rdie: rispsta all impuls Adamet p(t) Adamet q per T=T Adamet q per T=T / Adamet q per T=T /k, k 65 3

31 Strumet di secd rdie: rispsta alla rampa s ζ s + + q = Gq islopet ω ω + dq + C cdizii iiziali: q = per t = = per t = dt Le tre fuzii di trasferimet, i fuzie ζ, diveta quidi: q ζ q islope ζ ζ ζ ζ + ζ ζ = q islope t + e + e G ω 4ζ ζ 4ζ ζ q q islope ω ω t q t = ( islope t e + ) G ω ζωt q ζ q islope e = q islope t si( ζ ωt + φ G ω ζ ζ ( ζ + ζ ) ωt ( ζ + ζ ) ωt ζ ζ ta φ = ζ 66 Strumet di secd rdie: rispsta alla rampa Errre a regime: e mss, = ζ qislope ω Ritard a regime: τ, Sia l errre a regime che il ritard pss essere ridtti dimiued l smrzamet, a scapit di scillazii di ampiezza maggire, aumetad la frequeza aturale. mss ζ = ω 67 3

32 Strumet di secd rdie: rispsta all impuls L impuls ad u mdell diamic del secd rdie può essere frit mediate ua frza ma attravers delle pprtue cdizii iiziali: s ζ s + + q = ω ω + dq + C cdizii iiziali: q = per t = = KAω per t = dt Le tre fuzii di trasferimet, i fuzie ζ, diveta: ζ ( ) ( ζ + ζ ) ω t ( ζ ζ ) ω t e e q = GAω q = ωte GAω ω t q = e GAω ζ ζωt si( ζ ωt) 68 Strumet di secd rdie: rispsta all impuls 69 3