Metodo Monte Carlo per l integrazione

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1 Metodo Mote Crlo per l itegrzioe Richimo dei metodi di itegrzioe umeric b F d Appro. rettgolre b Δ b F k 0 k Δ Lezioi: prte quit Modelli umerici i Fisic

2 Lezioi: prte quit Modelli umerici i Fisic Regole del trpezio e di Simpso Regol del trpezio F k i Δ Regol di Simpso [ ] b F Δ K

3 Lezioi: prte quit Modelli umerici i Fisic Clcolo dell errore +K + + i i i i i +K Δ + Δ + Δ d i i i i i errore su ogi step i i Δ Δ errore totle b i Δ Δ F F

4 Admeto dell errore Regol del trpezio Δ Regol di Simpso Δ 4 L regol di Simpso v meglio delle ltre Veriicre i risultti per Simpso Lezioi: prte quit Modelli umerici i Fisic

5 Errore i dimesioe d Se per u itegrle uidimesiole vle Per u itegrle i d dimesioi vle Regol di Simpso: Δ Δ d / d Δ 4 d Δ d 3 Δ 4/ 3 Itegrzioe Mote Crlo Δ per qulsisi d Lezioi: prte quit Modelli umerici i Fisic

6 Clcolo di π M. Lzzrii 90 Buo 800 Numero tettivi: N t Numero successi: N s R Are cerchio Are qudrto N N s t Are cerchio Are qudrto πr π R 4 π 4 N N s t Lezioi: prte quit Modelli umerici i Fisic

7 Clcolo di π Lzzrii: co 3407 lci ? Versioe moder: si us il computer si estrggoo due umeri rdom i modo d vere u puto cso R< <R R< y < R y Co 0 7 tettivi π3.473 Lezioi: prte quit Modelli umerici i Fisic

8 Itegrzioe Mote Crlo hit d miss h A b h Scelt rdom di b + b r i b e 0 y i h i y the hit else miss i i F Itegrre e - r 0 e A S Lezioi: prte quit Modelli umerici i Fisic

9 Itegrzioe Mote Crlo bsto sul metodo di smplig Si sceglie u umero rdom tle che b F b < > b k k Come si stim l errore? F F Usre il progrmm per l itegrzioe M.C. di Fr [0,] il risultto è pi greco 4 Lezioi: prte quit Modelli umerici i Fisic

10 Clcolo dell errore ell itegrzioe M.C. Si può pesre di stimre l errore usdo l vriz σ < < > < > k k > < > k k M l errore stimto risult troppo grde: vedere l esempio precedete corotdo σ co F π Lezioi: prte quit Modelli umerici i Fisic

11 Stim dell errore co ru diversi Si eettuo vri ru idipedeti dell stess lughezz per ogi ru si clcolo le medie e le vrize < > α k medi otteut el ru α k Si clcol: < > m m α < > α < > m m α < > α e quidi: σ m < > < > Lezioi: prte quit Modelli umerici i Fisic

12 Stim dell errore col metodo dei blocchi Si eettu u uico ru di step si divide il ru i b blocchi di m/ b step Vlgoo le ormule di prim m or le somme vo tte sulle medie otteute i ogi blocco < > b b b α < > α L errore risult essere d σ b < > b < > b Δ σ b m Lezioi: prte quit Modelli umerici i Fisic

13 Importce smplig Per migliorre l covergez del metodo M.C. si può cercre di migliorre il cmpiometo sui puti estrtti rdom. Se dobbimo clcolre: Possimo itrodurre u uzioe geeric p che soddisi b F d b p d Trsormimo l itegrle b F p [ p d] Lezioi: prte quit Modelli umerici i Fisic

14 Importce smplig L itegrle può essere clcolto come F b [ ] k p d F p k p k dove or le k soo distribuite secodo l uzioe p che deve essere scelt i modo opportuo. L distribuzioe che bbimo usto ior è di tipo uiorme p b Lezioi: prte quit Modelli umerici i Fisic

15 Distribuzioi o uiormi Abbimo usto ior u distribuzioe uiorme e voglimo pssre d u distribuzioe geeric. Distribuzioe uiorme di umeri r co 0<r< p u r dr dr 0 0 < r < ltrimeti 0 p u r dr Geeric p tle che pd è l probbilità che ci si u eveto ell itervllo -+d, voglimo che p u r dr p d per otteerl deiimo p d W W + Lezioi: prte quit Modelli umerici i Fisic

16 Distribuzioi o uiormi p d W dw d p dw p d pu r dr W r r p d u r 0 p u d r 0 < r < dto che p u d d 0 0 < < ltrimeti Lezioi: prte quit Modelli umerici i Fisic

17 Distribuzioi o uiormi 3 W p d r Si ottiee distribuito secodo p ivertedo quest relzioe e ricvdo dove W r - W è l'ivers diw Lezioi: prte quit Modelli umerici i Fisic

18 Distribuzioi o uiormi rissuto A prtire di umeri rdom r distribuiti i modo uiorme 0<r< si possoo otteere umeri distribuiti secodo u p ivertedo l relzioe W p d r per vere W r quest operzioe o è sempre cile o possibile. Lezioi: prte quit Modelli umerici i Fisic

19 Esempio cile! Voglimo rdom distribuito uiormemete r e b p b d W r b b b quidi + b r Lezioi: prte quit Modelli umerici i Fisic

20 Esempio meo cile Voglimo rdom distribuito i modo espoezile p e λ λ 0 W λ λ e d 0 e λ e λ r quidi posso otteere co λ log r Lezioi: prte quit Modelli umerici i Fisic

21 Scegliere u p per importce smplig L p v scelt i modo d miimizzre l vriz dell itegrdo F k k p k dovrebbe vere u vriz ieriore F b k k Lezioi: prte quit Modelli umerici i Fisic

22 Esempio Provre d itegrrl co p A Nturlmete A deve essere tle d ormlizzre l p Lezioi: prte quit Modelli umerici i Fisic

23 Lezioi: prte quit Modelli umerici i Fisic

24 Prov co ltr uzioe p usre or p Ae si vedrà u otevole migliormeto Lezioi: prte quit Modelli umerici i Fisic

25 Lezioi: prte quit Modelli umerici i Fisic

26 Acor u esempio e clcolre e 0 d π er π Co ormle itegrzioe MC e poi co importce smplig usdo: p Ae Lezioi: prte quit Modelli umerici i Fisic

27 Lezioi: prte quit Modelli umerici i Fisic

28 Itegrzioe Mote Crlo col rejectio method Metodo proposto d Vo Neum. si clcol il mssimo dell p : p0. si estre u umero rdom r 3. si ottiee +r*b- e quidi p 4. si estre u secodo umero rdom r 5. si clcol pp0*r Se p < p si ccett si clcol /p e si tor l ltrimeti si riiut e si tor l Lezioi: prte quit Modelli umerici i Fisic

29 Rejectio method p p 0 Si riesce mppre l uzioe peso co u procedur di hit d miss Lezioi: prte quit Modelli umerici i Fisic

30 Esempio Itegrre l solit uzioe co p Ae m usdo il rejectio method Lezioi: prte quit Modelli umerici i Fisic