Analisi Matematica I - modulo B

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1 Alisi Mtemtic I - modulo B Apputi delle lezioi teute dl Prof. A. Fod Uiversità di Trieste, CdL Mtemtic, /200 Il cmpo dei umeri complessi. Defiizioi e prime proprietà Cosiderimo l isieme R R = {(, b) : R, b R}, che spesso si idic co R 2. Defiimo u operzioe di ddizioe : Si verifico le segueti proprietà: (, b) + (, b ) = ( +, b + b ). ) (ssocitiv) (, b) + ((, b ) + (, b )) = ((, b) + (, b )) + (, b ); b) esiste u elemeto eutro (0, 0): si h (, b) + (0, 0) = (, b); c) ogi elemeto (, b) h u opposto (, b) = (, b): si h (, b) + (, b) = (0, 0) ; d) (commuttiv) (, b) + (, b ) = (, b ) + (, b); Defiimo u operzioe di moltipliczioe : (, b) (, b ) = ( bb, b + b ). Si può verificre che vlgoo le segueti proprietà: ) (ssocitiv) (, b) ((, b ) (, b )) = ((, b) (, b )) (, b ); b) esiste u elemeto eutro (, 0): si h (, b) (, 0) = (, b); c) ogi elemeto (, b) (0, 0) h u reciproco (, b) = ( h ( (, b) 2 + b, 2 ) b = (, 0) ; 2 + b 2 2 +b 2, b 2 +b 2 ): si d) (commuttiv) (, b) (, b ) = (, b ) (, b); e) (distributiv) (, b) ((, b ) + (, b )) = ((, b) (, b )) + ((, b) (, b )).

2 (Nel seguito, ometteremo spesso di scrivere il ). I questo modo, (R 2, +, ) risult essere u cmpo, che verrà idicto co C e si dirà il cmpo complesso. I suoi elemeti si chimero umeri complessi. Si può pesre C come u estesioe di R i questo modo: si idetifico tutti gli elemeti dell form (, 0) co il corrispodete umero rele. Le operzioi di somm e moltipliczioe idotte su R soo effettivmete quelle preesisteti: (, 0) + (b, 0) = ( + b, 0), (, 0) (b, 0) = (b, 0). Notimo che vle l seguete ugugliz: (, b) = (, 0) + (0, )(b, 0). È llor coveiete itrodurre u uovo simbolo per idicre l elemeto (0, ). Scriveremo (0, ) = i. I questo modo, vedo idetificto (, 0) co e (b, 0) co b, possimo scrivere (, b) = + ib. Posto z = + ib, il umero si dice prte rele di z e si scrive = Re(z). Il umero b si dice prte immgiri di z e si scrive b = Im(z). Osservimo or che si h i 2 = (0, )(0, ) = (, 0) =. Usdo quest semplice iformzioe, possimo verificre che vlgoo le usuli proprietà simboliche formli: d esempio, ( + ib) + ( + ib ) = ( + ) + i(b + b ). ( + ib)( + ib ) = ( bb ) + i(b + b )..2 l formul di De Moivre Se z = + ib, si itroduce il modulo di z: z = 2 + b 2, Dti due umeri complessi z e z, si può verificre che zz = z z. I prticolre, se z = z, si h z 2 = z 2. 2

3 Ne segue per iduzioe che, per N, z = z. Ioltre, se z 0, essedo z z =, si h z = z. Dto u umero complesso z = + ib, si itroduce il umero z = ib, detto il complesso coiugto di z. Vlgoo le segueti proprietà: Se z 0, è (z + z 2 ) =z + z 2 ; (z z 2 ) =z z 2 ; z =z ; zz = z 2 ; Re(z) = 2 (z + z ) ; Im(z) = 2i (z z ). z = z z. 2 Ogi umero complesso z 0 si può scrivere come z = z z. Idicheremo z co ρ il modulo di z; Siccome z pprtiee ll circoferez uitri, esiste z z u uico θ [0, 2π[ per cui = (cosθ, si θ). Tle θ si dice rgometo z priciple di z e si idic co Arg(z). Avremo quidi z = ρ(cosθ + i si θ). I reltà ogi θ che verifichi quest relzioe si chim rgometo di z. Due rgometi dello stesso umero complesso differiscoo quidi per u multiplo itero di 2π. Dti due umeri complessi vremo che z = ρ(cos θ + i si θ), z = ρ (cosθ + i si θ ), zz = ρρ [(cosθ cosθ si θ si θ ) + i(si θ cosθ + cos θ si θ )] = ρρ [cos(θ + θ ) + i si(θ + θ )]. Quidi, moltiplicdo due umeri complessi, gli rgometi corrispodeti si sommo. I prticolre, e, per iduzioe, z 2 = ρ 2 [cos(2θ) + i si(2θ)], z = ρ [cos(θ) + i si(θ)]. Come cso prticolre, per ρ =, bbimo l formul di De Moivre: (cosθ + i si θ) = cos(θ) + i si(θ). 3

4 .3 L risoluzioe delle equzioi lgebriche Affrotimo or il problem dell esistez delle rdici -esime di u umero complesso z. Scrivimo z = ρ(cos θ + i si θ) e cosiderimo l equzioe u = z, co. Cerchimo le soluzioi u ell form u = r(cosφ + i si φ). Usdo l formul di De Moivre si vrà: per cui co k Z. Allor srà r (cos(φ) + i si(φ)) = ρ(cosθ + i si θ)), r = ρ, φ = θ + 2πk, r = ρ, φ = θ + 2πk. Si oti però che gli rgometi φ di questo tipo idividuo solmete goli distiti che, l vrire di k i Z, si ripetoo ciclicmete co periodo. I coclusioe, le rdici -esime di z soo i umero di e si possoo scrivere come segue: u = ρ [ ( θ cos + 2πk ) ( θ + i si + 2πk )], k = 0,,...,. Possimo or cosiderre u equzioe del secodo grdo Au 2 + Bu + C = 0, dove A, B, C soo umeri complessi fissti, co A 0. Come fcilmete si vede, l equzioe è equivlete ( u + B ) 2 = B2 4AC. 2A (2A) 2 Poedo v = u + B e z = B2 4AC, ci si ricoduce l problem delle rdici 2A (2A) 2 secode che bbimo già risolto. Per cocludere, cosiderimo l equzioe più geerle A u + A u A u + A 0 = 0, dove A 0, A,..., A soo umeri complessi fissti, co A 0. I ltri termii, voglimo trovre le rdici di u poliomio coefficieti complessi. Il seguete teorem, che eucimo sez dimostrzioe, è oto come teorem fodmetle dell lgebr. Teorem. Ogi poliomio di grdo h, el cmpo complesso, lmeo u rdice. Il problem di trovre u formul geerle che forisc le rdici è però tutt ltro che fcile. Lo bbimo ffrotto el cso = 2 e si può risolvere che se = 3 o 4. Se 5, però, è stto dimostrto che o esiste lcu formul lgebric geerle che forisc u rdice del poliomio. 4

5 2 Serie umeriche 2. Itroduzioe e prime proprietà Dt u successioe ( k ) k di umeri reli o complessi, chimeremo serie umeric (d ess ssocit) l successioe (s ) così defiit: s 0 = 0, s = 0 +, s 2 = ,... s = ,... L termiologi differisce d quell delle successioi, i geerle, essezilmete per motivi di trdizioe. Il umero k si dice termie k esimo, metre s = k si dice somm przile esim dell serie. Nel cso i cui esiste il limite di (s ) ed è u umero S (rele o complesso), si dice che l serie coverge. I tl cso, il umero S si dice somm dell serie e si scrive ( ) S = lim k = k, o tlvolt che S = Se si trtt di u serie termii reli e lim s = +, si dice che l serie diverge +. Alogmete per il cso. Se l successioe (s ) o h limite, si dice che l serie è idetermit. Co u buso di otzioi, si us spesso idicre l serie stess co i simboli k, oppure , rischido di cofodere l serie co l su evetule somm. Seguedo l trdizioe, ci degueremo che oi queste otzioi. Tlvolt, per brevità, scriveremo semplicemete k k. Esempi. ) Per α R, l serie geometric + α + α 2 + α α +... h termie k esimo k = α k. Se α, l somm przile esim vle s = α k = α+ α, 5

6 metre se α =, si h s = +. Quidi l serie coverge se e solo se α <, el qul cso l su somm è α k = α. Se α, l serie diverge +. Se α, l serie è idetermit. 2) L serie di Megoli ( + ) ( + 2) +... h termie k esimo k =. Ess è di tipo telescopico : (k+)(k+2) ( ) ( ) ( ) ( ) Si vede quidi che gli ddedi si elidoo due due, e l somm przile esim è, semplicemete, s = + 2, per cui lim s =. I ltri termii, l serie coverge e h somm : (k + )(k + 2) =. Nturlmete, possimo che scrivere, equivletemete, j= j(j + ) =, k= k(k + ) =, = ( + ) =, o usre diverse ltre vriti, legte ll otzioe di sommtori. 3) L serie rmoic h termie k esimo k =. Ess diverge. Lo si può vedere scrivedol i k+ questo modo: + ( ) ( ) + 8 ( ) +..., 6 6

7 rggruppdo prim due termii, poi quttro, poi otto, poi sedici e così vi, rddoppido di volt i volt. È fcile vedere or che le somme elle pretesi do u risultto che è sempre mggiore di. L successioe delle somme 2 przili (che è strettmete crescete) dovrà quidi tedere +. Tlvolt si scrive k + = +. Teorem. Se u serie k k coverge, llor lim = 0. Dimostrzioe. Si lim s = S u umero rele o complesso. Allor che lim s = S, d cui lim = lim (s s ) = lim s lim s = S S = 0. Eucimo u semplice coseguez dell proprietà ssocitiv e distributiv di ddizioe e moltipliczioe. Teorem. Suppoimo che le due serie k k e k b k covergo e bbio somm A e B, rispettivmete. Allor coverge che l serie k ( k + b k ) e l su somm vle A + B. Ioltre, per ogi umero fissto α, coverge che l serie k (α k) e l su somm vle αa. Scriveremo brevemete ( k + b k ) = k + b k, (α k ) = α k. Dimostrzioe. Sio s = k e s = b k. Allor s + s = ( k + b k ), αs = (α k ), d cui segue l tesi. Rrmete si h l fortu di riuscire clcolre l somm di u serie, se quest esiste. Molto spesso, ci si ccotet di stbilire se l serie coverge o meo. Se l serie coverge, si potrà forse trovre i u secodo tempo u stim umeric dell su somm. Ricordimo che l serie k k coverge se esiste il limite lim s, ed è u umero (rele o complesso). Possimo llor fre l seguete cosiderzioe. Se modifichimo solo u umero fiito di termii di u serie, otteimo u uov serie co l seguete proprietà: ess coverge se e solo se coverge l serie di prtez. 7

8 2.2 Serie termii reli Soo prticolrmete importti le serie termii reli positivi. Se per ogi k si h che k è rele e k 0, l successioe (s ) è crescete e pertto h limite. I questo cso, l serie h due sole ltertive: o coverge, o diverge +. È molto utile il seguete criterio del cofroto. Teorem. Sio k k e k b k due serie termii reli tli che k : k k 0 k b k. Possimo ffermre che: ) se l serie k b k coverge, llor coverge che l serie k k ; b) se l serie k k diverge, llor diverge che l serie k b k. Dimostrzioe. Poimo s = , s = b 0 + b + b b. Dimostrimo ). Se l serie k b k coverge, esiste il limite lim s = S R. Usdo l cosiderzioe ftt i precedez, possimo modificre u umero fiito di termii elle due serie e supporre che si 0 k b k, per ogi k. Allor che s s, per ogi. Ioltre, l successioe (s ) è crescete e pertto h limite. D quto sopr, lim s S, per cui l serie k k coverge. Veimo ll dimostrzioe di b): siccome l successioe (s ) è crescete, ess h limite. Quidi, se l serie k b k o diverge, llor ess coverge. M llor, per ), che k k coverge. Esempio. L serie ( + ) coverge. Lo si vede cofrotdol co l serie ( + ) +..., otteut dll serie di Megoli ggiugedo ll iizio l ddedo. Si verific immeditmete che i termii dell prim soo tutti miori o uguli i termii dell secod. Come primo corollrio, bbimo il criterio del cofroto sitotico. 8

9 Corollrio. Sio k k e k b k due serie termii reli e positivi tli che esist il limite k l = lim. k b k Si possoo verificre tre csi:. l ]0, + [ ; llor le due serie covergoo o divergoo cotemporemete. 2. l = 0; se l serie k b k coverge, llor coverge che l serie k k. 3. l = + ; se l serie k b k diverge, llor diverge che l serie k k. Dimostrzioe.. Se l ]0, + [, esiste u k tle che k k l 2 k b k 3l 2, ossi k k k 3l 2 b k e b k 2 l k. L coclusioe segue llor dl criterio di cofroto. 2. Se l = 0, llor esiste u k tle che, se k k, llor k b k. Si pplic quidi direttmete il criterio di cofroto. 3. È logo l cso 2, co i ruoli di k e b k scmbiti. Il seguete corollrio ci forisce il cosiddetto criterio del rpporto. Corollrio 2. Si k k u serie termii reli e positivi per cui esist il limite L = lim k k+ k. Se L <, llor l serie coverge. Dimostrzioe. Fissimo u α ]L, [. Allor esiste u k tle che Pertto, si h k k k+ k α. k+ α k k+2 α k+ α 2 k k+3 α k+2 α 3 k... k+m α k+m α m k..., ossi, co u cmbio di idici, k k k α k k k = k α k αk. L coclusioe segue per cofroto co l serie geometric di bse α, che coverge, essedo 0 < α <. 9

10 I modo simile si dimostr il cosiddetto criterio dell rdice. Corollrio 3. Si k k u serie termii reli e positivi per cui esist il limite L = lim k k k. Se L <, llor l serie coverge. Dimostrzioe. Fissimo u α ]L, [. Allor esiste u k tle che ossi k k k k α, k k k α k, L coclusioe segue per cofroto co l serie geometric di bse α, che coverge, essedo 0 < α <. Vedimo or il criterio di codeszioe. Si trtt di u procedimeto che già bbimo usto el trttre l serie rmoic. Teorem. Se ( k ) k è u successioe decrescete di umeri positivi, llor le due serie k, 2 k 2 k covergoo o divergoo cotemporemete. Dimostrzioe. Per semplicità, trlscimo il termie 0. Suppoimo che l serie k 2k 2 k coverg. Si h: + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) Per cofroto, si vede che che l serie k k coverge. Suppoimo or che l serie k k coverg. Allor ( + 2 ) ( ( )) ( ( ) + ( ))... Per cofroto, siccome k 2 k coverge, che l serie k 2k 2 k coverge. 0

11 Esempio. Cosiderimo l serie k β. L successioe ( k ) k, co k = /k β, è decrescete se β > 0. L serie codest è 2 k 2 k = 2 k (2 k ) = (2 β ) k. β È u serie geometric di rgioe α = 2 β. Ess coverge se e solo se α <. Quidi coverge β >. k β Esempio 2. Cosiderimo l serie k(l k) β. Fcedo uso del clcolo differezile, si dimostr che l successioe ( k ) k, co k = /k(lk) β, è decrescete se β > 0. L serie codest è 2 k 2 k = 2 k 2 k (l 2 k ) β = (l 2) β k β. D quto visto ell Esempio, si h: k(l k) β coverge β >. Cosiderimo or u serie termii di sego lterto: ( ) +..., dove gli k soo reli e positivi. Abbimo il seguete criterio di Leibiz. Teorem. Se ( k ) k è u successioe decrescete di umeri positivi e llor l serie k ( )k k coverge. Dimostrzioe. Si lim k k = 0, s = ( ),

12 l successioe delle somme przili. Cosiderimo le due sottosuccessioi di (s ) otteute prededo i termii co idice pri o i termii co idice dispri, rispettivmete. Siccome ( k ) k è positiv e decrescete, si h: s s 3 s 5 s 7... s 6 s 4 s 2 s 0. Pertto, l successioe (s 2m+ ) m co gli idici dispri è crescete e limitt superiormete, metre l successioe (s 2m ) m co gli idici dispri è decrescete e limitt iferiormete. Quidi, esse ho etrmbe u limite rele: D ltr prte, lim m s 2m+ = l, lim m s 2m = l 2. l l 2 = lim m (s 2m+ s 2m ) = lim m ( 2m+ ) = 0, per cui l = l 2. Ne segue che che l successioe (s ) h lo stesso limite. 2.3 Serie termii complessi Cosiderimo u successioe (s ) di umeri complessi; scriveremo s = σ + iτ dove σ, τ soo reli (prte rele e prte immgiri di s ). Teorem. L successioe (s ) h limite i C se e solo se le successioi (σ ) e (τ ) ho limite i R. I tl cso, si h: lim s = lim σ + i lim τ. Dimostrzioe. Suppoimo che esist il limite lim s e che si u umero complesso S = S + is 2. Voglio fr vedere che lim σ = S e lim τ = S 2. Fisso ε > 0. Essedo lim s = S, esiste u tle che I ltri termii D questo segue che s S < ε. (σ S ) 2 + (τ S 2 ) 2 < ε. σ S < ε e τ S 2 < ε, per cui lim σ = S e lim τ = S 2. 2

13 Suppoimo or che esisto i limiti lim σ, lim τ e che sio due umeri reli S e S 2, rispettivmete. Fisso ε > 0. Essedo lim σ = S, esiste u tle che σ S < ε. Essedo lim τ = S 2, esiste u 2 tle che 2 τ S 2 < ε. Poedo = mx{, 2 }, d quto sopr segue che s (S +is 2 ) = (σ S ) 2 + (τ S 2 ) 2 < ε 2 + ε 2 = 2ε, e questo è sufficiete per ffermre che lim s = S + is 2. Corollrio. Se k = x k + iy k, co x k e y k reli, l serie k k coverge se e solo se covergoo le serie k x k e k y k. I tl cso, l somm dell serie è dt d k = x k + i y k. Dimostrzioe. Si s = k. Allor s = (x k + iy k ) = x k + i y k. Pertto, si h s = σ + iτ, dove σ = x k è l prte rele di s e τ = y k è l su prte immgiri. Usdo il teorem precedete, si h l tesi. Esempio. Cosiderimo l serie i k k + = + i 2 3 i i 6 7 i i L serie delle prti reli è , metre quell delle prti immgirie è Etrmbe covergoo, per il criterio di Leibiz sulle serie reli segi lterti. Quidi che l serie di prtez coverge. 3

14 2.4 Serie ssolutmete covergeti Iizimo co il dimostrre l completezz di C, ossi di R 2, co l distz euclide. Teorem. C è completo. Dimostrzioe. Si (s ) u successioe di Cuchy i C, co s = σ + iτ : Siccome ε > 0 : > m s s m < ε. s s m = σ σ m 2 + τ τ m 2, si h che σ σ m s s m e τ τ m s s m. Pertto, ε > 0 : > m σ σ m < ε e τ τ m < ε. Pertto (σ ) e (τ ) ) soo etrmbe successioi di Cuchy i R. Essedo R completo, esse ho limite i R. Ne segue che (s ) h limite i C. Vedimo come si dtt lle serie il criterio di Cuchy. Teorem. U serie k k ( termii reli o complessi) coverge se e solo se ε > 0 : > m k < ε. k=m+ Dimostrzioe. Essedo si R che C completi, bbimo che l successioe (s ) h limite fiito se e solo se è di Cuchy, ossi ε > 0 : > m s s m < ε. No essedo restrittivo supporre m <, sostituedo s = k e s m = m k si h l tesi. Corollrio 2. Se l serie k k coverge, llor che k k coverge. I tl cso, si dice che l serie k k coverge ssolutmete. Dimostrzioe. Se k k coverge, per il criterio di Cuchy si h: ε > 0 : > m k=m+ k=m+ k < ε. M, essedo k=m+ k k=m+ k, e segue che ε > 0 : > m k < ε. Quidi, per il criterio di Cuchy, k k coverge. L completezz di R è stt dimostrt dl Prof. Del Sto. 4

15 U esempio di serie covergete m o ssolutmete covergete è il seguete: ( ) k. k k= Dte due serie k e b k, si defiisce l serie prodotto ll Cuchy i questo modo: ( k ) k j b j. j=0 Teorem (di Mertes). Se l serie k coverge e h somm A, l serie b k coverge e h somm B e lmeo u delle due coverge ssolutmete, llor l serie prodotto ll Cuchy coverge e h somm AB. Dimostrzioe. 2 Suppoimo, per fissre le idee, che si l serie k covergere ssolutmete. Idichimo co c k = k j=0 k jb j, il termie k esimo dell serie prodotto. Sio s = k, s = b k e s = c k. Si ioltre r = B s. Allor s = 0b 0 + ( b b ) ( b 0 + b b + 0 b ) = 0 s + s s + s 0 = 0 (B r ) + (B r ) (B r ) + (B r 0) = s B ( 0 r + r r + r 0 ). Siccome lim s B = AB, l tesi srà dimostrt se lim ( 0 r + r r + r 0) = 0. Fissimo ε > 0. Essedo lim r = 0, esiste u tle che r < ε. Poimo ioltre R = mx{ r : N}. Per ipotesi, l serie k coverge: si Ā l su somm. Per il criterio di Cuchy esiste u 2 tle che 2 e Allor, se 2, < ε. 0 r + r r + r 0 0 r r + + r r 0 ε( ) + R( ) εā + Rε = (Ā + R)ε, il che complet l dimostrzioe. 2 Dimostrzioe o svolt lezioe. 5

16 f(x) x x 2 2 x 3 3 x 4 b x Figure : Iterpretzioe geometric dell somm di Riem 3 L teori dell itegrle U P-prtizioe dell itervllo [, b] è u scelt di puti = 0 < <... < m < m = b, isieme d u ulteriore scelt di puti x, x 2,...,x m tli che x [ 0, ], x 2 [, 2 ],..., x m [ m, m ]. Idicheremo co Π u tle P-prtizioe. Cosiderimo or u fuzioe f : [, b] R. Ad ogi P-prtizioe Π dell itervllo [, b] possimo ssocire l somm di Riem S(Π) = m f(x j )( j j ). j= Nel cso di u fuzioe positiv f, quest si può iterpretre come somm di ree di rettgoli (vedi Figur ). Ci chiedimo se, prededo delle P-prtizioi vi vi più fii, le somme di Riem d esse ssocite covergo d u qulche vlore. Nel cso che ciò vveg per u fuzioe positiv f, tle vlore può essere visulizzto come l misur dell re dell regioe del pio crtesio compres tr il grfico di f e l sse delle scisse. Per brevità, chimeremo clibro su [, b] ogi fuzioe δ : [, b] R tle che δ(x) > 0 per ogi x [, b]. U tle fuzioe ci servirà per vere u cotrollo sull mpiezz dei vri sottoitervlli determiti di puti dell P-prtizioe. Dto che si u clibro δ su [, b], diremo che l P-prtizioe Π sopr itrodott è δ fie se, per ogi j =, 2,..., m, x j j δ(x j ) e j x j δ(x j ). 6

17 Mostreremo or che è sempre possibile trovre u P-prtizioe δ fie dell itervllo [, b], quluque si il clibro δ. Nel teorem che segue, dovuto P. Cousi, l compttezz dell itervllo [, b] gioc u ruolo essezile. Teorem. Dto u itervllo comptto [, b], per ogi clibro δ su [, b] esiste u P-prtizioe δ fie di [, b]. Dimostrzioe. Rgioeremo per ssurdo. Suppoimo che esist u clibro δ su [, b] per il qule o si possibile trovre lcu P-prtizioe δ fie di [, b]. Dividimo l itervllo [, b] i due sottoitervlli uguli, veti il puto di mezzo come estremo comue. Allor lmeo uo dei due sottoitervlli o h lcu P-prtizioe δ fie. Sceglimolo, e dividimolo su volt i due sottoitervlli uguli. Cotiudo i questo modo, ci costruimo u successioe (I ) di sottoitervlli imbottigliti l cui lughezz tede zero, oguo dei quli o possiede lcu P-prtizioe δ fie. Per il teorem di Ctor, esiste uo ed u solo puto c [, b] che pprtiee tutti questi itervlli. È ioltre chiro che d u certo i poi, tutti gli I sro coteuti i [c δ(c), c + δ(c)]. Predimo uo di questi: si esso I. Allor l isieme Π = {(c, I )}, il cui uico elemeto è l coppi (c, I ), è u P- prtizioe δ fie di I, i cotrddizioe co quto sopr. Torimo cosiderre u fuzioe f : [, b] R. Simo or i grdo di defiire cos itedimo per covergez delle somme di Riem qulor le P-prtizioi divetio vi vi più fii. L seguete defiizioe è dovut R. Hestock e J. Kurzweil. Defiizioe. U fuzioe f : [, b] R si dice itegrbile se esiste u umero rele A vete l seguete proprietà: comuque scelto ε > 0, si può trovre u clibro δ su [, b] tle che, per ogi P-prtizioe δ fie Π di [, b], si bbi S(Π) A ε. Si può dimostrre che esiste l più u A R che verific le codizioi dell defiizioe. Questo umero rele A si chim l itegrle di f su [, b] e si idic co uo dei segueti simboli: f, f(x) dx. L presez dell letter x ell otzioe qui itrodott o h importz i sè. Ess potrebbe essere rimpizzt d u quluque ltr letter u, α, o d u quluque ltro simbolo, purché o bbi già u ltro sigificto. Si poe ioltre, per motivi che sro chiriti più vti, f = b f e f = 0. 7

18 3. Alcue proprietà dell itegrle I quest sezioe eucimo, sez dimostrrle, lcue importti proprietà dell itegrle. 3 Proposizioe. Se f, g : [, b] R soo itegrbili, llor f + g è itegrbile e si h: (f + g) = f + g. Proposizioe. Se f : [, b] R è itegrbile e α R, llor αf è itegrbile e si h: ( ) (αf) = α f. Proposizioe. Se f, g : [, b] R soo itegrbili e f(x) g(x) per ogi x, llor f g. Proposizioe. Se f : [, b] R è u fuzioe tle che l isieme E = {x [, b] : f(x) 0} si fiito o umerbile, llor f è itegrbile e f = 0. Proposizioe. Sio dti tre puti < c < b e si f : [, b] R u fuzioe. Allor f è itegrbile su [, b] se e solo se lo è si su [, c] che su [c, b]. I tl cso, si h f = c f + Esempio. Cosiderimo l fuzioe f : [0, 2] R defiit d { 2 se x [0, ], f(x) = 3 se x ], 2]. Essedo f costte su [0, ], ess è itegrbile e f = 2. Ioltre, sull itervllo [, 2] l fuzioe f differisce d u costte solmete i u puto: si h 0 che f(x) 3 è ull tre che per x =. Per quto visto i precedez, f 3 è itegrbile su [, 2] co itegrle ullo e pertto, essedo f = (f 3) + 3, che f è itegrbile e 2 f = 3. I coclusioe, 2 0 f(x) dx = 0 f(x) dx + 2 c f. f(x) dx = = 5. 3 Per u trttzioe più pprofodit, si ved il libro A. Fod, Lezioi sll teori dell itegrle, Golirdic Ed., Rom,

19 f(x) c b x È fcile vedere come dl teorem or dimostrto segu che se u fuzioe è itegrbile su u itervllo [, b], lo è che su ogi suo sottoitervllo. Ioltre, si h il seguete Corollrio. Se f : [, b] R è itegrbile, presi comuque tre puti u, v, w i [, b] si h w u f = v u Iftti, il cso u < v < w segue immeditmete dl teorem precedete. Gli ltri csi si ottegoo fcilmete teedo coto delle covezioi dottte per gli itegrli co estremi uguli o scmbiti. 3.2 Il teorem fodmetle Il seguete teorem costituisce u importte legme tr il clcolo differezile e il clcolo itegrle. Esso prede il ome di teorem fodmetle del clcolo differezile e itegrle. Più brevemete, lo chimeremo teorem fodmetle. Teorem. Si F : [, b] R, u fuzioe derivbile, e si f l su derivt: F (x) = f(x) per ogi x [, b]. Allor f è itegrbile su [, b], e si h: f + w v f. f = F(b) F(). Dimostrzioe. Fissimo ε > 0. Sppimo che F (x) = f(x), per ogi x [, b], ossi, per l defiizioe di derivt, F(u) F(x) lim = f(x). u x u x Per l defiizioe di limite, esiste u δ > 0 tle che 0 < u x δ F(u) F(x) f(x) u x ε. 9

20 Notimo che tle δ > 0 dipede dll scelt di x, per cui fremmo meglio idicrlo co δ(x). Abbimo così u clibro δ su [, b]. Equivletemete, possimo scrivere u x δ(x) F(u) F(x) f(x)(u x) ε u x. Cosiderimo or u P-prtizioe δ fie Π di [, b]. Idicheremo come l solito co 0,, 2,..., m e x, x 2,...,x m i suoi puti. Essedo, per ogi j =, 2,..., m, si h j x j δ(x j ), j x j δ(x j ), F( j ) F( j ) f(x j )( j j ) = = F( j ) F(x j ) f(x j )( j x j ) + +[F(x j ) F( j ) + f(x j )( j x j )] F( j ) F(x j ) f(x j )( j x j ) + + F( j ) F(x j ) f(x j )( j x j ) ε b ( j x j + j x j ) = ε b ( j x j + x j j ) = ε b ( j j ). Se e deduce che m F(b) F() f(x j )( j j ) = j= m m = [F( j ) F( j )] f(x j )( j j ) j= j= m = [F( j ) F( j ) f(x j )( j j )] j= m F( j ) F( j ) f(x j )( j j ) j= m j= e il teorem è dimostrto. ε b ( j j ) = ε, 3.3 Fuzioi primitivbili Itroducimo il cocetto di fuzioe primitiv di u dt fuzioe. Idichimo co I u itervllo di R. 20

21 Defiizioe. U fuzioe f : I R si dice primitivbile su I se esiste u fuzioe derivbile F : I R tle che F (x) = f(x) per ogi x I. U tle fuzioe F si chim primitiv di f su I. Il teorem fodmetle stbilisce che tutte le fuzioi primitivbili su u itervllo [, b] soo itegrbili, e che il loro itegrle si può clcolre fcilmete, ot che si u loro primitiv. Esso si può riformulre el modo seguete. Teorem. Si f : [, b] R u fuzioe primitivbile e si F u quluque su primitiv. Allor f è itegrbile e f = F(b) F(). Tlvolt è comodo idicre l differez F(b) F() co i simboli [F] b, [F(x)] x=b x=, o co vriti di questi, come d esempio [F(x)] b, qulor o ci sio mbiguità. Esempio. Cosiderimo l fuzioe f(x) = x. È fcile vedere che F(x) = + x+ e è u primitiv. Il teorem fodmetle ci ssicur quidi che x dx = [ ] b + x+ = + (b+ + ), risultto che vevmo già otteuto per vi dirett el cso 0 < b. Il ftto che l differez F(b) F() o dipede dll primitiv i questioe è spiegto dll seguete proposizioe. Proposizioe. Si f : I R u fuzioe primitivbile, e si F u su primitiv. Allor u fuzioe G : I R è primitiv di f se e solo se F G è u fuzioe costte su I. Dimostrzioe. Se F G è costte, si h G (x) = F (x) + (G F) (x) = F (x) = f(x), per ogi x I, e perciò G è u primitiv di f. Vicevers, se G è u primitiv di f su I, si h (F G) (x) = F (x) G (x) = f(x) f(x) = 0, per ogi x I. Ne segue che F G è costte su I. 2

22 Notimo che se f : I R è u fuzioe primitivbile, ess è primitivbile su ogi sottoitervllo di I. I prticolre, ess è itegrbile su ogi itervllo [, x] I. Fissto che si I, si può pertto defiire l fuzioe x x che chimeremo itegrle idefiito di f, e idicheremo co uo dei simboli segueti: f, f(t) dt (si oti che qui è coveiete usre u letter divers d x per idicre l vribile di f; d esempio, qui bbimo scelto l letter t). Il teorem fodmetle ci ssicur che, se F è u primitiv di f, llor, per ogi x I, x f, f = F(x) F(), il che equivle dire, teedo coto dell proposizioe sopr dimostrt, che l fuzioe f è ch ess u primitiv di f. Si h quidi il seguete Corollrio. Si f : I R u fuzioe primitivbile. Allor, fissto I, l itegrle idefiito f e è u primitiv: è u fuzioe defiit su I, ivi derivbile e, per ogi x I, si h ( f) (x) = f(x). Le covezioi ftte sull itegrle co estremi scmbiti ci ssicuro che il corollrio sopr eucito cotiu vlere. Iftti, se F è u primitiv di f, che se x < si h x f = x f = (F() F(x)) = F(x) F(), e e segue che f è u primitiv di f. Idicheremo l isieme di tutte le primitive di f co uo dei segueti simboli: f, f(x) dx. Per quto rigurd l uso dell x, vle u osservzioe log quell ftt per l itegrle: ess può essere rimpizzt d u quluque ltr letter o simbolo, co le dovute precuzioi. Nell prtic, però, se F è u primitiv di f, ivece dell scrittur corrett f = {F + c : c R}, 22

23 si us spesso scrivere improprimete espressioi del tipo f(x) dx = F(x) + c, dove c R idic u costte rbitrri; ci degueremo che oi quest prssi. Elechimo d esempio le primitive di lcue fuzioi elemetri: 23

24 e x dx =e x + c si xdx = cos x + c cosxdx =si x + c x α dx = xα+ + c (α ) α + dx =l x + c x dx =rct x + c + x2 dx =rcsi x + c x 2 Le formule scritte sopr vo cosiderte sugli opportui itervlli di defiizioe. Esempio. Usdo il teorem fodmetle, trovimo: π 0 si xdx = [ cos x] π 0 = cos π + cos 0 = 2. Notimo che l presez dell costte rbitrri c può tlvolt portre risultti i pprez diversi. Ad esempio, si verific fcilmete che si h che dx = rccos x + c. x 2 Ciò si spieg co il ftto che rcsi x = π rccos x per ogi x [, ], e 2 o bisog pesre che qui c idichi l stess costte che ppre ell ultim formul dell eleco scritto sopr. L otzioe itrodott per le primitive ssomigli quell dell itegrle, che se i due cocetti soo completmete diversi. Essi soo però legti tr loro dl teorem fodmetle: si h f f, co ω I qulsisi, e ω [ f = Si potrebbe essere tetti di scrivere [ f = ω ] b f. ] b f(x) dx i reltà il termie di siistr è u umero rele, metre quello di destr è qulcos di o be defiito (potrebbe essere u isieme il cui uico elemeto è f). Nell prtic si bus però spesso di queste otzioi. 24 ;

25 Dlle ote proprietà delle derivte si può fcilmete dimostrre l seguete proposizioe. Proposizioe. Sio f e g due fuzioi primitivbili e sio F e G primitive di f e g, rispettivmete. Allor f + g è primitivbile e F + G e è u primitiv; scriveremo brevemete: (f + g) = f + g ; Proposizioe. Si f u fuzioe primitivbile e si F u su primitiv. Si α R rbitrrio. Allor αf è primitivbile e αf e è u primitiv; scriveremo brevemete: (αf) = α f. Per cocludere, eucimo sez dimostrrlo il seguete importte Teorem. Ogi fuzioe cotiu è primitivbile. 3.4 Primitivzioe per prti e per sostituzioe Itroducimo due metodi spesso usti per determire le primitive di lcue fuzioi. Il primo è oto come metodo di primitivzioe per prti. Proposizioe. Sio F, G : I R due fuzioi derivbili, e sio f, g le rispettive derivte. Si h che fg è primitivbile su I se e solo se Fg lo è, el qul cso u primitiv di f G è otteut sottredo d F G u primitiv di F g; scriveremo brevemete: fg = FG Fg. Dimostrzioe. Essedo F e G derivbili, che FG lo è, e si h (FG) = fg + Fg. Essedo (FG) primitivbile su I co primitiv FG, l tesi segue dll proposizioe precedete. Esempio. Si vogli trovre u primitiv dell fuzioe h(x) = xe x. Defiimo le segueti fuzioi: f(x) = e x, G(x) = x, e coseguetemete F(x) = e x, g(x) =. Applicdo l formul dell proposizioe, si h: e x xdx = e x x e x dx = xe x e x + c, dove c idic, come sempre, u costte rbitrri. 25

26 Come immedit coseguez dell proposizioe precedete, bbimo l regol di itegrzioe per prti: fg = F(b)G(b) F()G() Esempi. Applicdo l formul direttmete ll fuzioe h(x) = xe x dell esempio precedete, otteimo 0 e x xdx = e e Fg. e x dx = e [e x ] 0 = e (e e 0 ) =. Notimo che si può giugere llo stesso risultto usdo il teorem fodmetle, vedo già trovto che u primitiv di h è dt d H(x) = xe x e x : 0 e x xdx = H() H(0) = (e e) (0 ) =. Vedimo cor u pio di esempi. Si h(x) = si 2 x. Co l ovvi scelt delle fuzioi f e G, trovimo si 2 xdx = cos x si x + cos 2 xdx = cos x si x + ( si 2 x) dx =x cosxsi x si 2 xdx, d cui si ricv si 2 xdx = (x cosxsi x) + c. 2 Cosiderimo or il cso dell fuzioe h(x) = l x, co x > 0. Per pplicre l formul di primitivzioe per prti, sceglimo le fuzioi f(x) =, G(x) = l x. I questo modo, si trov lxdx = x l x x x dx = x l x dx = x l x x + c. Il secodo metodo che voglimo studire è oto come metodo di primitivzioe per sostituzioe. Proposizioe. Si ϕ : I R u fuzioe derivbile e f : ϕ(i) R u fuzioe primitivbile sull itervllo ϕ(i), co primitiv F. Allor l fuzioe (f ϕ)ϕ è primitivbile su I, e u su primitiv è dt d F ϕ. Scriveremo brevemete: ( ) (f ϕ)ϕ = f ϕ. 26

27 Dimostrzioe. Il teorem di derivzioe delle fuzioi composte ssicur che l fuzioe F ϕ è derivbile su I e (F ϕ) = (F ϕ)ϕ = (f ϕ)ϕ. Ne segue che (f ϕ)ϕ è primitivbile co primitiv F ϕ. Ad esempio, cerchimo u primitiv dell fuzioe h(x) = xe x2. Defiedo ϕ(x) = x 2, f(t) = 2 et (è cosiglibile usre lettere diverse per idicre le vribili di ϕ e di f), si h che h = (f ϕ)ϕ. Essedo u primitiv di f dt d F(t) = 2 et, si h che u primitiv di h è F ϕ, ossi xe x2 dx = F(ϕ(x)) + c = 2 ex2 + c. so Come coseguez, bbimo l regol di itegrzioe per sostituzioe: f(ϕ(x))ϕ (x) dx = ϕ(b) ϕ() f(t) dt. Iftti, se F è u primitiv di f su ϕ(i), per il teorem fodmetle, si h (f ϕ)ϕ = (F ϕ)(b) (F ϕ)() = F(ϕ(b)) F(ϕ()) = Esempio. Prededo l fuzioe h(x) = xe x2 defiit sopr, si h 2 0 xe x2 dx = et dt = 2 [et ] 4 0 = e4. 2 ϕ(b) Chirmete, lo stesso risultto si ottiee co il teorem fodmetle, u volt oto che u primitiv di h è dt d H(x) = 2 ex2. Iftti, si h ϕ() f. 2 0 xe x2 dx = H(2) H(0) = 2 e4 2 e0 = e4 2. Not. L formul di primitivzioe per sostituzioe si trov spesso scritt ell form f(ϕ(x))ϕ (x) dx = f(t) dt, t=ϕ(x) dove, se F è u primitiv di f, il termie di destr si legge f(t) dt = F(ϕ(x)) + c, t=ϕ(x) co c R rbitrri. Formlmete, si oper il cmbimeto di vribile t = ϕ(x), e il simbolo dt viee rimpizzre ϕ (x) dx (l otzioe di Leibiz dt dx = ϕ (x) può essere ust come regol memoic). 27

28 Esempio. Per trovre u primitiv dell fuzioe h(x) = lx, possimo x scegliere ϕ(x) = lx, pplicre l formul l x x dx = t dt, t=l x e trovre così 2 (lx)2 +c (i questo cso, scrivedo t = l x, si h che il simbolo dt rimpizz x dx). Nel cso i cui l fuzioe ϕ : I ϕ(i) si ivertibile, si può che scrivere f(t) dt = f(ϕ(x))ϕ (x) dx, co l corrispodete formul per l itegrle: β α f(t) dt = ϕ (β) ϕ (α) x=ϕ (t) (f(ϕ(x))ϕ (x) dx. Esempio. Voledo trovre u primitiv dell fuzioe cotiu f(t) = t 2, co t ], [, si può cosiderre l fuzioe ϕ(x) = cosx, e si h: t2 dt= cos2 x ( si x) dx = si 2 xdx x=rccos t x=rccos t = 2 (x si x cosx) x=rccos t + c = 2 (rccost t t 2 ) + c (poedo t = cosx, il simbolo dt è rimpizzto d si xdx). 4 L fuzioe espoezile compless Not. Questo rgometo viee svolto ll fie del corso, vedo il Prof. Del Sto dimostrto lo sviluppo i serie di Tylor dell fuzioe espoezile e delle fuzioi coseo e seo. Per z C, cosiderimo l serie z k k!. Si trtt di u serie di poteze. Vedimo che coverge ssolutmete: si h che z k k! = z k = e z. k! 28

29 È pertto possibile defiire u fuzioe f : C C i questo modo: f(z) = z k k!. Teorem. Per ogi z, z 2 si h f(z + z 2 ) = f(z )f(z 2 ). Dimostrzioe. Le serie z k k! e z2 k k! covergoo ssolutmete e ho per somm f(z ) e f(z 2 ), rispettivmete. Per il teorem di Mertes, l serie prodotto ll Cuchy coverge e h per somm f(z )f(z 2 ). M il prodotto ll Cuchy è l serie ( k j=0 z k j (k j)! z j 2 j! ) = k! ( k j=0 che h per somm f(z + z 2 ). D qui l tesi. ( ) ) k z k j z j 2 = j (z + z 2 ) k, k! Quest proprietà ci port chimre l fuzioe f espoezile compless : ivece di f(z) scriveremo exp(z) o che e z : e z = z k k!. L proprietà dimostrt sopr si può llor scrivere i questo modo: se z e z 2 soo due umeri complessi, e z +z 2 = e z e z 2. Si or z = + ib. Allor vedimo quest ultimo: e +ib = e e ib ; e ib = + ib + (ib)2 2! + (ib)3 3! + (ib)4 4! + (ib)5 5! + (ib)6 6! + (ib)7 7! +... = + ib b2 2! ib3 3! + b4 4! + ib5 5! b6 6! ib7 7! +... ) ) = ( b2 2! + b4 4! b6 6! i (b b3 3! + b5 5! b7 7! +... = cosb + i si b. Abbimo così l formul di Eulero e +ib = e (cosb + i si b). 29

30 Si possoo llor verificre le segueti uguglize: per ogi t R, cost = eit + e it 2, si t = eit e it. 2i Queste formule possoo essere utilizzte, d esempio, per estedere che le fuzioi trigoometriche l cmpo complesso. Ache le fuzioi iperboliche, defiite d cosh(x) = ex + e x, sih(x) = ex e x, 2 2 si possoo estedere co le stesse formule l cmpo complesso. Si oti che cost = cosh(it), si t = i sih(it). A questo puto risultero filmete spiegte le similitudii icotrte tr le fuzioi trigoometriche e quelle iperboliche. Il ftto che, per ogi z C, e z+2πi = e z e 2πi = e z, si può iterpretre dicedo che l fuzioe espoezile compless è periodic di periodo 2πi. Questo ftto compromette l possibile defiizioe di u fuzioe logritmo el cmpo complesso: dto z C, co z 0, l equzioe e u = z, vist l periodicità dell fuzioe espoezile, preset molteplici soluzioi. Precismete, se scrivimo z = ρ(cos θ+i si θ), il umero complesso u = x+iy e è soluzioe se e solo se e x (cos y + i si y) = ρ(cos θ + i si θ), ossi co k Z. Pertto, x = lρ, y = θ + 2πk, e u = z u {l z + i(arg(z) + 2πk) : k Z}. Tlvolt si iterpret il logritmo complesso come u fuzioe multivoc che ssume i questo cso ifiiti vlori, riservdo il ome di logritmo priciple l prticolre vlore otteuto scegliedo k = 0. Ad esempio, il logritmo complesso del umero i ssume tutti i vlori dell isieme { ( π ) } i 2 + 2πk : k Z. Il logritmo priciple di i vle pertto π 2 i. 30