6 Criterio del luogo delle radici

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1 6 Crtero del luogo delle rdc (er verfc dell tbltà 6. Itroduzoe ed ee relr E u crtero geerl ez ote u ol e zer oe loo, ote rduttve o rchete coe ccde co Nyqut. I ù oltre l uero d ol cloed loo ul eo otvo e force l vlore ee quell ul eo egtvo. Force tutt ol cloed loo e queto l vrre d u retro K, fttore d gudgo dell fuzoe d trfereto d ello erto roorzole l gudgo d Bode. Tutte quete forzo ho e grfc oo trcct co uffcete recoe. Però o è oble ere frlo co crt e e. C uò ccotetre d forzo qulttve e uò vere ggore recoe co Bode. Deterzoe delle codzo er l luogo delle rdc Codero: φcl ( + R( G( H φol ( Suoo (o rlereo l ote che o v o ol oe loo cocdet co ol cloed loo, co che ccde e o v oo ccellzo tr R e G. Allor l clcolo de ol cloed loo equvle rolvere l equzoe crttertc: +R(G(H che oo rcrvere: R(G(H - Ero RGH for fttorzzt: R( G( H K ' ( z ( K è fttore d gudgo, drett relzoe co l gudgo d Bode: co (ftt olo u ol o ull. K K ' ( z (

2 K e K - ho lo teo ego e l fuzoe d trfereto d ello reet u uero r, tr zero e ol, ull e rele otvo - ho ego dcorde e l fuzoe d trfereto d ello reete u uero dr, tr zer e ol, ull e rele otvo Allor ottuedo: rovecdo: ( z ( ( ( z K ' K Le rdc cloed loo oo gl che oddfo quet. Il luogo delle rdc coete d grfcre, l vrre d K, l deto delle rdc d Φ cl ( e qud l vrre d K. Vedo or qul codzo debb oddfre : bbo due codzo: codzoe d odulo codzoe d fe K z ' ' ( k + 8 K ' > ( ( z k 8 ' < K co k,,...,(-- Per l trcceto del luogo delle rdc rà uffcete ure olo l codzoe d fe. L codzoe d odulo erve er l trtur de ercor. Allor ul o coleo oo fre u eeo co fuzoe d trfereto oe loo tre ol:

3 L trtur frà co l codzoe d odulo: ottego l K cercto: K Eeo RGH ( K ' ( Voglo cre coe uovoo ol cloed loo; codero l fe: Allor + ( ( k + 8 K' >, k, k8 K ' < K > K < 3

4 K > devo vere fe 8 oure 3 8. Poo trovre l ercoro: K - co reo ul ercoro. K< devo vere oure 36. Il eo delle frecce dc l drezoe crecete del odulo. Coetolo: er r co vedo che rtre d ol oe loo fcedo uetre K d + vvco fo ovror e o eguoo l ro co rte rele ugule e rte gr ere crecete. Se K tede + ottego che che l rte gr tede +. Per K > ottego tbltà cloed loo. Cooco che l vlore de ol. Per K < ol lloto ull e rele: uo tr Re< e l ltro re Re> qud er og K < l te è tble er col d u olo Re>. A quete cocluo re rrvto co Nyqut o co l crtero del rge d fe: Bode rà E l dgr olre:

5 Or e K> ottego tbltà (qu ho che g(kg(k. Se K< llor + e qud tbltà. Ache co Bode vre vto che er K> oo ure l rge d fe e vedere che γ> ere. No oo ure l rge d fe er K<. Ivrz del luogo delle rdc retto ll ozoe dell e gro U ltr oervzoe d vldtà geer le: l for del luogo delle rdc è vrte retto ll ozoe dell e gro. Allor e ve vuto RGH ( K ' ( σ [ ( + σ ] Coè è coe hftre ol oe loo coè otre l e gro: Allor ottego lo teo dego e l te retrzzzoe. Qud l olo fe del trcceto ceglerò l tuzoe ù coveete dell e gro vto che l for o cb ; erò ovvete l vrre dell rte gr cb l terretzoe: qu er K > che er K < ho tbltà ( cu d uo o due ol Re>. Quet vrz dell tolog o è teuto d dgr d Nyqut e d Bode. Per eeo co e trtteggto: 5

6 E l dgr olre: (o è rete Clcolo d K u dgr d Nyqut e d Bode Poo cheder qule vlore d K < erve er vere oltre queto u olo Re>? Bt ure l luogo delle rdc e trccte bee; e foe tto qulttvo oo fre gl te cot u Nyqut, ddo redere l -/K dove ho u olo cloed loo ell orge. Queto teo coto lo oo fre u dgr d Bode: K < I corrodez del qule ho ttrverto l e gro: ( z oure k' ( ( + τ ( + τ or K< e qud /K> llor l rte tr deve vere fe ultl d 36 : vdo u Bode e tro u le / K e l oto fché l fe è ultl d 36. Eeo K ' RGH ( rele < ( Che corrode d vere ol cocdet, or 3 er elctà K Allor dll codzoe d fe: 6

7 llor or er 3 llor ( ( ( (k + 8 k 8 8 (k + 8 k K ' > K ' < K ' > K ' < (k + 6 (6,8,3 k 6 (,, K ' > K ' < K >: ho tbltà er < K ' < K ' K <: ho tbltà er K ˆ ' < K ' < Poché ol e zer ul e o otvo oo zero llor K vrà teo ego d K e qud Stbltà < K ' < K ' K co d K ' Stbltà K ˆ ' < K' < Kˆ co d ˆK ' Vedo or d clcolre vlor d K o K oltre qul erdo l tbltà. Sul luogo delle rdc è elce queto co. Se o ve u trcceto erfetto oo ure l dgr d Bode: 7

8 vedo d cre quto vle K : K > erché c è cocordz d ego; u Bode redo l rett /K, fché o ho terezoe co fe 8 erché K ' oo ull e gro RGH ( jω erché K > K ret otre coderre che Kˆ er cu erdo tbltà. Co K< ho ttrvereto e gro e ho Kˆ. I quet RGH ( jω > K ˆ < Kˆ E qud terezo co fe ultl d 36 : tereco co fe olo e K ˆ Kˆ. Qud ho uto cor Bode. 8

9 6. Proretà del luogo delle rdc Ste trettete ror <: Proretà : l luogo delle rdc è cottuto d r: er K > ed er K <. Per l drett coeguez che ho ol cloed loo; Proretà : l luogo delle rdc è etrco retto ll e rele (ho ol cole cougt; Proretà 3: l luogo delle rdc z (K d ol cclo erto del te. D: ( K ( z ', e K > ol oe loo Proretà : degl r che coogoo l luogo delle rdc er K > e K < covergoo gl zer dell fuzoe d trfereto d ello er K. D: ( K '. Se K ' llor z, coè covergo gl zer. ( z Proretà 5: rett (- r covergoo ll fto ( K > che K < ecodo drezo totche l cu goltur è dt d: ϕ ( k + 8 k8 K' > K ' < Ioltre quete drezo totche ho tutte u uto coue ull e rele detto brcetro degl tot che è dto d σ I tl odo le drezo totche foro u tell etrc cetrt ull e rele co rgg golt d 8 /(-. z 9

10 Ee o RGH K ' (, < ( 3 σ 3 3 σ 8 (k + (k (k 6 K' > K' < Allor vrò Trcco l ro, gl ltr oo og 8 /(- e ltero + e - Ccu toto è dvero d 6 e oo ltert tr otv e egtv. I queto luogo core tot. D: ( K er ( z ' K ' e er r o coverget gl zer llor er dre ll fto deve eere. Per trovre le drezo codero l codzoe d fe: ( k + 8 K ' > ( ( z k 8 ' < llor e z o coto: llor K ( k + 8 ( k 8 K' > K' <

11 8 ( k + K' > 8 K' < k Per l brcetro o do dotrzoe olo coderzoe tutv: Se cofroto quet due c or er olto lot d ol: vto dll etero due luogh ho lo teo coorteto. Proretà 6: trtt del luogo delle rdc ull e rele Artegoo l luogo delle rdc er k > trtt dell e rele che lco ll loro detr u uero dr d zer e ol ull e rele. Artegoo l luogo delle rdc er k < trtt dell e rele che lco ll loro detr u uero r d zer e ol ull e rele. Per dotrrl egue dll codzoe d fe lct ll e rele. Tutto l e rtee ere l luogo. Put d drzoe ull e rele Noto che e trtt olo/olo le drezo oo cotrote ed d u certo uto trtt cotro e queto co cotudo r roeguoo vero l etero: llor tr due ol ull e rele v è ere u uto d drzoe. I ut d drzoe ull e rele ooo etere er trtt zero/zero:

12 Proretà 7: ut d drzoe. S dcoo ut d drzoe que ut del luogo delle rdc corrodez de qul due o ù r covergoo e o fuorecoo co drezo coleetr. I r foro coì u tell etrc. Poo verl che l d fuor dell e rele. Se ut d drzoe etoo l detero coì: k σ σ z Dove σ è cogt. L equzoe. Vle e ol e gl zer e z oo dver l uo dll ltro. I co cotrro l equzoe dvet: k σ k uero d ol dtt oe loo h uero d zer dtt oe loo h σ z oltelctà d oltelctà d z. Fcedo o coue ultlo e ulldo l deotore ho equzoe d orde +- Che o rolvere o olo e Le oluzo dell equzoe oo, e rel, effettvete ut d drzoe ull e rele; le oluzo colee oo ut d drzoe olo e oddfo codzo d fe. (ull e rele oddfo ere codzo d fe. A vlle d cò:. Ne trtt dell e rele tr due ol o due zer v è ere leo u uto d drzoe. Pù geerle e quet trtt ut d drzoe oo ù d uo e oo ere uero dr.

13 5. Ne trtt u e rele core tr olo e zero ooo etere ut d drzoe qul oo ere uero r. 3

14 6.3 Trcceto del luogo delle rdc Lee gud relr er l trcceto del luogo delle rdc: S ozoo ol e zer oe loo ul o coleo S dvduo l uero degl tot, le loro drezo e l loro cetro 3 S dvduo ull e rele trtt er K > e K < Nell dvdure trtt ull e rele dvduo le zoe dell e rele dove certete ete leo u uto d drzoe: trtt olo/olo, zero/zero oché zero/toto orzzotle 5 S rolve e oble l equzoe de ut d drzoe dvdudoe l ozoe. Qulor o rolvble o c ccoteto d dczo qulttve 6 S rccord l tutto. E l o ù dffcle e o etoo regole rece e dede dl co quetoe. Eeo : due ol rel Due ol: tot Le drzo totche: φ k + 8 (k + 9 k 8 (k 9 K ' > (9, 9 K ' < (,8

15 σ z Or trtt ull e rele: due trtt totc ù l rte core. Po ego le drezo d rtez d ol. I queto co oo clcolre l uto d drzoe: c è l trtto olo/olo e qud uto d drzoe, l equzoe è d ro grdo, l rolve e trovo che queto uto l luogo delle rdc è fto. Ee o : 3 ol rel ( ( σ σ K' RGH ( < < Or ozoo ol: -3 3 tot ϕ (k + 6 K ' > (6,8,3 k 6 K ' < (,, σ + 3 Steo ut ull e rele. Noto che el trtto olo/olo -zero c rà leo u uto d drzoe, coì che el ecodo trtto. Del reto l equzoe d drzoe è d grdo ed è roluble ro rel. Troverò ut σ. Or devo rccordre l luogo. Al d fuor dell fer olto grde dvet coe tr ol cocdet. 5

16 Eeo 3: due ol e uo zero rel: - toto. ϕ (k + 8 k8 K' > 8 K ' < Il cetro o h eo cercrlo eedo u uto u rett. Nel trtto (zero/olo e quello olo/olo v deve eere leo u uto d drzoe e uo che el trtto toto/zero. L equzoe è d rode e l rolvo. Però e ho gà egt e llor o c è drzoe el zero/olo. Ho u cercho co cetro ello zero. S dotr che l curv chu è cercho d cetro lo zero e rggo dtz tr zero e uto d drzoe. Per dotrzoe codero l equzoe crttertc del ecod orde: ( z + K' ( ( Clcolo rdc fdo K odo che l dcrte egtvo odo d vere rdc colee cougte e o bt clcolre odulo e verfco l cotte. D fre: dotrzoe + clcolo σ e σ. Eeo : zero rele e ol cole cougt: 6

17 - toto (er og K ϕ (k k 8 Sull e rele ho olo uo zero. C redo coto che el trtto zero/toto detr deve eerc u uto d drzoe d letzoe e coì tr. Del reto l equzoe è d orde e devoo eere rel. Ottego cor u curv chu che è u cercho. Cercho co cetro ello zero e rggo olo-zero. Queto eeo h for detc ll eeo 3. Poo gutfcre queto erché queto è l cotuzoe del luogo recedete qulor ve rretto l recedete er u certo K > e o ve deco d rroegure co K. Rcodero l eeo e redo K uetdolo fo d rrvre rdc colee cougte: llor ottego: llor quet l rcrvo coe: ( K ( z K ( + K ( z ( z K ' oloo crttertco cloed loo co K ' fto 7

18 coè: ( ( z K ' e ottego llor luogo delle rdc dell eeo. Cotuzoe er l trcceto del luogo delle rdc I olt c u geerco luogo delle rdc lo oo ere coe cotuzoe d u luogo gà ftto: e tutt do u cercho ddo forre lo teo luogo: Eeo 5: u olo rele e due ol cole cougt 8

19 3 3 tot ϕ (k + 6 k 6 K ' > K ' < (6,8,3 (,, er clcolre l cetro degl tot etto l e gro u ol cole er elfcre cot. σ Gurddo l e rele o dvduo ecetà d ut d drzoe. Ce e oo? L equzoe de ut d drzoe è rolvble, queto co co e * lot dll e le oluzo oo colee cougte e otrebbero eere ut d drzoe e devo verfcre l codzoe d fe. Se e * oo lot d tot o oo ut d drzoe. Etoo od qulttv er dcrre co curezz e v oo o o v oo ut d drzoe. Qu o ho uto quet crter, l trodurreo e bo u trett log tr ercor de luogh delle rdc e lee d forz lte d c elettrc ttc dove ol oo lt crche otve e zer lt crche egtve. Errt corrge: Put d drzoe ol e zer o dtt: dove k 3 ( ( σ z oltelctà -eo olo oltelctà -eo zero Eeo : l luogo delle rdc rà: è bglto σ Eeo 6: (ut d drzoe ll fto : olo e zero rele Igo d trccre l luogo delle rdc er u te elceete roro: 9

20 No c oo tot. L rtcolrtà del luogo è che ur o vedo tot tutto l e rele f rte del luogo. Or d detr to ul luogo erò o è toto e llor rggugo l fto ez che K. Queto coorteto h og volt che ho ut d drzoe ll fto che ho e l te è elceete roro: uero d ut d drzoe: + egue che ho uto rele che t ul luogo erchè rele: σ z σ + z σ σ z ( σ ( σ z ( σ ( σ z erdo l cogt, llor σ ed è roro queto che ccde. Allor co u te elceete roro bb d leo u grdo l equzoe ho leo u drzoe ll fto. I ut d drzoe ll fto vvegoo ere er K < e K - erché: ( ( z K Poché l luogo h ut ll fto er K fto llor l ( z ( K ' K ' Queto evdez coe te elc eete ror ur teedo cultà o o rtc relzzbl: co K ft ottego cott d teo fte, llor quet elceete ror roo trettete ror d eeo co olo olto loto: '

21 Eeo 7: due ol e due z er rel N o tot M ut d drzoe d cu uo (leo ll fto. L deto vero detr e o d tr dc u drzoe ll fto. Avrò gl ltr due e trtt olo/olo e zero/zero. S dotr che l curv chu è cercho co cetro età. Clcolre ut d drzoe. Eeo 8: due ol e due zer rel Selceete roro: leo uo è ll fto, uo è el trtto olo/olo e l ltro uò eere detr dello zero ù grde o tr dello zero ù ccolo. Coè: Clcoldo vede che vee A. Dovrebbe eere u cercho.

22 S v detr zché tr è dovuto l ftto che lo zero d detr trov ù vco ll co d ol retto ll ltro. S dce che lo zero d detr ttr r del luogo ù d quto f l ltro. Co l tuzoe oot vre vuto: Oure co zer equdtt: S vede d occho che che l ecodo uto t d fto. Lo verfc co l equzoe che or rà d grdo. Alog elettrottc er l luogo delle rdc Il otvo er cu rl d zer che ttro r derv dl ftto che l luogo delle rdc oddf lle tee equzo oddftte d lee d forz lte d c elettrottc cret d crche utfor utre: - crche otve loghe ol - crche egtve loghe zer Quet log elettrottc uò eere ut coe ulo er deterre l for del luogo delle rdc. Queto lo uò dotrre. Ad eeo: - due crche otve:

23 ù ee le curve lte - crc otv e egtv: Le drezo totche (> lugo cu ho - r ( rett vo gl zer, co quet log le terreto coe zer ot ll fto, che eercto l loro zoe ttrttv. D or o uereo che quete loge dctve. Eeo 9: u olo rele, due ol cole cougt e uo zero rele I ol cole oo ù lot d zero retto l olo rele: 3

24 tot ϕ (k + 9 (9, 9 K ' > k 9 (,8 K' < σ lo trovo ettedo l e gro u ol er elfcre: σ z ut d drzoe + 3 o c è bbeto dgrdo erché trettete roro. No o rolvere, uo t u A, le ltre otrebbero eere colee. Però lvoro tutvete: lo zero trov ù vco olo rele. Po le drezo totche oo zer è robble che r ucet d ol cole vdo ll fto e quell ucet dl olo rele vdo ttrtt d zero. Per K < r ucet d ol cole vo vero zero. Se lloto olt ol cole deve retre luogo co olo e zero. Igo or che ol cole o vc llo zero: For è tutto coe r. I ut d drzoe rett oo cole e erò o o e oddfo l fe. Allor ol cole oo vce llo zero e queto ttre r ucet d ol cole. Altro odo: cooco l luogo: oo trccrlo che co olo che o erturb troo. Se vece vvc troo l luogo re e toro l co d r.

25 Trcct qulttvete redo qutttvo l tutto co Bode. Altr ee Codero luogh gà vt: I ol cole oo lot llor r ucet d ol cole vo vero drezo totche oblque. Se oo vc ll e: Eeo : tre ol e due zer rel 5

26 Drzoe: olo/olo, zero/zero, zero/toto e olo/olo. Soo e o le o trovre o ettete. Uo l log elettrottc: l co O X vc coort coe dolo l cu rultte è eutr: llor etto che quet erturb olto oco l co qulor o c foe, coè erturbo oco l luogo ez dolo Allor l cercho rà u o deforto e ho u ccolo cercho ttoro l dolo. S uò fre u luogo co olo e zero vertt e trovo trtt e rele. Eeo : olo e zero cocdet Or l cercho tero h rggo zero: che dfferez ho co l eeo co Se c è ccellzoe lo zero ccellto lo rggugo er K fto L trtur de gudg è dver. L rot l rdoo è quet: ho luogh ugul, erò: 6

27 L trtur dde rotà e fer e o roegue doo. Alog eccc: bocc che e urt u ltr, fer l r e v l ecod. luogh delle rdc llor oo detc. Pol e zer vc tr loro Gru d uer ugul d ol e zer olto vc tr loro, do luogo r del luogo delle rdc d lughezz ccol che tegoo el loro toro. Allor rà ccettble teere cofgurzo d ol e zer vc qulor o u e rele egtvo, l oo vere el regoltore; e foero ull e rele otvo o è ccettble erché er quluque K reto otv. o c è coceo ccellre ol co rte rele otv é ettete (erché erdo cotrollbltà o oervbltà é rotvete (ho rtc cotrollbltà o rtc o oervbltà o etrbe. Ulteror roretà del luogo delle rdc Soo le ulte e rgurdo - gol d rtez d ol - gol d rrvo gl zer e l oo ure coe ulo ulterore er corre l for del luogo e coe etodo er trccre ettete u luogo delle rdc ell u globltà: Agol d rtez de ol Codero u olo d oltelctà h: d queto rtoo h r del luogo delle rdc e tere l golo d rtez: 7

28 8 Attoro q trcco cercho d rggo ε olto ccolo e redo uo degl h r ucet e uto d terezoe co l cercho. I corrodez d l codzoe d fe rà: < > + + q q K k K k z h ' 8 ' 8 ( ( ( ( e ε llor h che ϑ ( q ε ϑ ( q ( ( q ε ( ( q z z ε llor ottego: ( ( < > + + ' 8 ' 8 ( K h k K h k z h q q q θ k,,...,(h- Agolo d rrvo gl zer Il rgoeto è co zero d oltelctà h: otteo l forul: < > + + ' 8 ' 8 ( ( ( K h k K h k z z z h q q ϕ k,,...,(h-

29 Trcceto etto del luogo delle rdc Noto coe quete forule oo eere ute er trccre coletete l luogo delle rdc: er trccre l ro ucete d olo trcco cerch e roo lerete l ro, fruttdo l cotuzoe del luogo: Clcolo degl gol d rtez Qule ro eeo d uo degl gol d rtez d ol ed rrvo gl zer, codero u eeo gà vto: ol cole cou gt vc ll e rele ol cole cougt lot dll e rele. Il clcolo degl gol erette d deterre l tuzoe, coè qule delle due o. 9

30 U tuzoe tered d dffcle decoe è l eguete: ote d eeo ure l trcceto reco er decdere. Eeo : ol co etr N ϕ 5,35, 35, 5,9,8, 9 σ I ut d drzoe oo l o 3: uo è curete ull e rele el trtto olo/olo; gl ltr due o oo rel o e cole devoo oddfre l fe. Eedo etrc, l uto rele rà l cetro. Allor: σ 3

31 Co llor che crvedo l equzoe de ut d drzoe rà d orde 3 co u rdce ull: rccolgo σ e ret u equzoe d ecodo grdo e rett ut d drzoe. Allor devo verfcre e to ull e rele o ltrove. Se f l coto co S trovo ull e vertcle: ut d drzoe oo l d fuor dell e rele. K <: r oo ttrt d drezo totche K >: devo teere etr Se ve vuto ol vertcle ù vc d quell ot ull e rele: l dule del recedete. Se l cofgurzoe o foe tt ettete etrc d coderre coe erturbzoe d ettà o eccev, o rebbe cbto olto: 3

32 Eeo 3: ol (due rel e due cole E olto erturbto retto l recedete: Avrò drzoe olo/olo. Al qulttv. Le drezo totche ttrggoo ol: r ucet d ol cole ro ttrt d drezo totche. Poo ffrlo clcoldo gl gol. Potreo or coderre u ulterore erturbzoe otdo vero l bo ol cole: U drzoe è el trtto olo/olo: gl ltr o to cor olo/olo, oure e fuor devoo oddfre l codzoe d fe. Il co è bguo. Dobbo clcolre gl gol d uct d ol. Clcolo l golo d rtez d : 3

33 8 * θ ( ( ( + 8 α K' > 9 9 α + α 8 K ' < K' > K ' < K > rtedo co -α o uò dre detr e llor rà ttrtto d zero. Noto or che e vvco ere ù ol cole ll e rele, α tede 8, llor θ 8, co edez tt. Qudo ol vo cocdere ull e rele, llor ottee: co tre ol cocdet lcdo l forul coro che ecoo tre r: K >,,- Sebrerebbe eerc cotrddzoe, che o c è erché verfc che e vvco ol: Eeo d oble lczoe 33

34 Studo tbltà: L to è fe, llor er KR> ho tbltà e l rge d fe γ>; er K R < oo ure d eeo Nyqut. Codero l luogo delle rdc: K >: ho tbltà er K ' < K ' corrodez d cu jω K <: ho tbltà. Vedo quto vle K ' : Stbltà: < K ' < K ' Notdo che v è cocordz d ego tr K e K R H llor vrò Stbltà: < K < K R R K R K ' τ τ H S rcv dl lege tr K T e K Allor devo trovre K R : e l luogo delle rdc è reco vdo el uto d terezoe e lco l codzoe d gudgo trovdo K. Poo rore K ddo clcolre l terezoe e totco. I ltertv oo ure dgr d Bode, d ur er ffre clcol. P er ure dgr d Bode er vlutzo qutttve. S tblce l cocordz tr K e K (K gudgo d ello. Or c è cocordz. S dvduo le zoe d K etro le qul c è tbltà cloed loo (or < K ' < K ' 3. S codero dgr d Bode dell fuzoe d trfereto d ello 3

35 RGH ( jω K RG( jω e ot l rett /K, rtre d K, uetdo K fché u Bode o rgguge (l tglo l codzoe ( RG( jω (k + 8 k8 K > K < (or K>. Queto crtero derv dl ftto che er rdc urete gre h RG( jω K Allor vedo co uccede: e tglo er K < K llor ur l tbltà co γ. Eeo co to co u olo otvo Ved o or co uccede co: L to è tble oe loo. Lo voglo tblzzre co regoltore roorzole. Or l luogo delle rdc o cb: 35

36 K < è tble K >: rte d tbltà, c è u zo d tbltà erò teore. Allor: K < K ' < ' rge d tbltà ' K Or devo trovrl: K : è ull e rele e lo o trovre fclete K : u o eo fcle Uo Bode che queto co. Devo egure vr : - o c è cocordz d ego tr K e K : vrò tbltà er K< K <K<K < o odulo: K < K < K Predo Bode: 36

37 Or K <, e teo coto doo, K ; l uto er K è quello che corrode fe zero: o llor co K. Or l roble c rà qudo rtrovo ultlo d 8. Per K K e K K ho le zoe ercoloe, oltre cu ho tbltà. Per urre l dtz d zoe, defco rge d fe d hoc er l te. Poo che ure u rge d gudgo er l te. Noto che odo equvlete otev rocedere rreetre u Bode zché RGH ( j (orlzzt doodché K vrv egtvo, otevo eedo: ω e llor rreetre K RGH ( K RGH ( K > RGH ( jω co K >, llor vre vuto teo odulo, fe bo d 8 Or fcco vrre K otvo: e fcco cedere. Or l equzoe rà: K K RGH ( jω RGH( jω K K > qud le oluzo le vrò er ultl dr d 8. I ter d Nyqut vreo l eguete tuzoe: 37

38 co co Queto evdez l obltà d cbre eg erò e devo teere coto u Bode e Nyqut. Nel ecodo co oo rcodotto co le rge d fe. Eercz root Trovre l rge d K er l tbltà. 38

39 Ulteror coderzo Fcco rfereto ll eerczo rooto o quello r e ooc l roble d deterre I vlor d K er cu ol cloed loo to tr dell rett roo: Re < Per trttre l roble: dl uto d vt luogo o cb ull e clcolo K ttrvero l codzoe d odulo. Se o è trccto bee coverto l roble uo equvlete cu l rett cocde co l e gro d u ltro te. All K RG( oco u fuzoe d trfereto trlt ull e rele: or K RG( K RG( + K RG ˆ ˆ ( R ˆ G ˆ o è orlzzt o l dovrò orlzzre Norlzzo l uov fuzoe d trfereto: or u Eeo: K RGH ( + τ RGH K RG ˆ ˆ ( K RG ˆ ˆ ( R ˆ G ˆ lco l olt rocedur e trovo K. Trovto K oo rcvre K. K ( + + ( + τ K + τ τ + + τ K RG ˆ ˆ ( 39

40 Eerczo rooto Fre lte u coe recedete Coeto fle Rgurd etod er l clcolo de vlor d K corrodez d cu ttrvero l e gro. I etod oo: Idvduzoe drett ul luogo delle rdc (e trccto co ccurtezz Roluzoe ltc dell equzoe crttertc + K' ( jω z ( jω elle cogte K ed ω. H eo rovrc e è d ecodo grdo. Oure: + K RG( jω (e l te è d orde < 3 Iego de dgr d Bode ( quto trccbl co uffcete ccurtezz Iego del etodo d Routh-Hurwtz E etodo geerle che coete d vlutre l ego dell rte rele d u oloo qul l vrre d lcu uo coeffcet. Il etodo è utle e l oloo o è for fttorzzt. L lcherò φcl(: co K retro. ( + K ' ( z φ cl (

41 Metodo d Routh -Hurwtz Dto l te d cotrollo tco bbo che + + ol cl z K RGH ( ( ' ( ( ( φ φ I ol cloed loo detero l tbltà del te e oo deterbl ttrvero l eguete equzoe: + z K ( ' ( Coè otz vreo d rolvere l equzoe crttertc L Il crtero d RH coete, edo coeffcet dell equzoe, d tblre l ego dell rte rele de ol cloed loo. Iotzzo > e o. S uò ubto eucre u codzoe ecer ( o uffcete er l totc tbltà: Codzoe ecer (o uffcete ffché ol cloed loo bbo tutt rte rele egtv è che tutt coeffcet o,,..., bbo ego ugule, queto co otvo. U etodo geerle er deterre l ego delle rte rele de ol cloed loo è l etodo d RH. Per r co cotruce l tbell: L L L L L 5 3 b b Dove: - le re due rghe oo forte d coeffcet del oloo - gl ltr eleet: 5 3 b b

42 Dove og coeffcete è dto dl deterte cbto d ego dell trce x fort dll r colo delle rghe ueror e dll colo uccev ll eleeto che t clcoldo, dvo l ro eleeto dell rg recedete. Le rghe dell tbell oo cotrddtte d uer decrecet,-,..., oo d lughezz v v decrecete e l ult rg, crtterzzt dl uero corede u olo eleeto. Teore: Ad og vrzoe d ego che reeto ter dell r colo dell tbell, codert uccevete, corrode u rdce co rte rele otv, d d og erez corrode u rdce co rte rele egtv. Not: coì coe eoto l crtero d RH o lc l co d rdc urete gre, er coredere queto co è ecer u eteoe. Eeo: Sccoe coeffcet o ho tutt lo teo ego uò ubto cocludere che v ro ol co Re> b b c Abbo vrzo e erez rdc Re> rdce Re< 6 Eeo:

43 B 3 7 b c d ereze rdc Re< vrzo rdc Re> durte l cotruzoe d u tbell d RH ooo reetre eguet c golr: l ro tere d u rg è ullo tutt ter d u rg oo ull Per rocedere ho due etod - Metodo ε : l tbell uò eere colett coderdo, luogo del tere ullo, u tere +ε o -ε, d odulo ccolo cere. L celt del ego o fluez l rultto fle. - Secod rocedur: og rg zte co u certo uero h d zer vee ot co l rg d e otteut oltlcdo er (- e trldo vero tr d h ozo. Eeo: ε + 3ε ε 3ε + 3ε b ε ε vrzoe 3 3 ( ' 3

44 ( 6 b + 8 c Nel co d u rg colet d zer l cotruzoe dell tbell o uò eere cotut. Queto verfc corrodez d u rg cotrddtt d u uero dr: -. Le evetul vrzo d ego verfcte ote d tle rg rgurdo - rdc del oloo. Per dedurre forzo ulle rett rghe rocede coe egue: o b, b, L, b ter dell rg edtete recedete l rg d tutt zer. S cotruce l equzoe ulr : b + b + L + b Le rdc dell equzoe ulr cocdoo co le rdc rett. L equzoe ulr uò eere rolt olo e d grdo ccolo. Nel co d o edt oluzoe, l uò dervre e cotu l tbell d Routh doedo coeffcet del oloo coì otteuto corrodez dell rg d tutt zer. H tte rdc RE> qute Re<. 3 Eeo: ' b + b + c - + (equzoe ulr +

45 5 Rdc Re> + Rdc Re< + Eeo: / ' c c b b b 3 è ull: equzoe ulr d d e d d 5 P V 5 rdc Re< rdce Re> Eeo:

46 " 5' 5 6" 6' d d c c b b b b Reto: ' 3 5" 5' 5 6" 6' 6 7 8

47 + Pr dervzoe: v Secod dervzoe: co ± j (erché l equzoe ulr h tte rdc Re> qute Re< Il crtero d Routh uò eere uto er tblre l ego l vrre d u retro: K K + K 6 + K + K Allor er vere olo ol Re<: c + 6K 6 + K > 8 6K > < K < 8 K > K < 8 DA SAPERE ROUTH-HURWITZ PER L ORALE! Mrro g

48 6. Sul rleto d lcue ote zl Iote zl Codero: for le ote oo: Il eore d ur è u cotte ur H L to P( [ G( G ( ] coletete cotrollble d u. (L G( cotee d tutt ol d G d ( Fuzoe d trfereto del eore Per l r ote: è be vero che tur o etoo ure cott e reltà l dgr d Bode rà: è cotte er u grde rge, er l fe: 8

49 9 I eor l celgo co dche AF che oo olto lote dll dc dell to. L reez d dche rte del e ore trduce coì ul luogo delle rdc: trovo cluter ol/zer reltv ll to: I ol d H( lot erturbo olto oco l luogo delle rdc d RG. Se ol d H( oo lot o erturb olto l luogo. Se el luogo delle rdc rreeto ol del eore (che o ce e rebbe bogo e olto lot, ebbee vr couque l trtur del luogo. Se voglo K er vere ol : e K lo clcolo ez ol del eore, llor: z K ' (ez eore Se vece ggugo ol del eore llor l luogo è ugule erò: c b o z z K ' coè: c b o z K K ' ' fttore d vlore geerle olto grde erché ho eo zer d ol.

50 5 K ' D queto devo teere coto. V otto che ootte l dvertà d ord d grdezz tr ' K e K, quet NON SI VERIFICA PER I GUADAGNI DI BODE. Quet erché: ( ( ( ( ( b c z z K K ' ( ( ( ( ( ' b c c b z z z K 3 tutto otvo Or Vr l cltur d K o quell d K. Allor oo erre ol/zer o coderre: lot coè,,3 decd (://. I ter d Nyqut: Allor K o uò eere grde cere cu del eore: vdo tolre le dche o ode llte del te. Co Bode vre:

51 NON oo dre oltre certe frequeze: llor codero l to fo ll rett. Le dche o odellte ooo etere che er R e G: o l codero o tego frequeze be: Trco dche o odellte Codero to ell zo d frequez gfctv. Iote d cotrollbltà d u Codero colet cotrollbltà d u dell to. Codero T yd Gd NGd DRDG + RGH D D D + N N H Gd Se o ote d colet cotrollbltà d u llor ol d Gd (coè le rdc d D Gd oo coteut elle rdc d D G. Allor D Gd elfc co D G e ret er l tbltà l olto φ cl (. φ ( D D N N H cl R G + R R G G R G Or uogo l te o coletete cotrollble d u: lcue rdc dell D gd o oo rdc d DG. Allor o ho ù l elfczoe d r : llor l tbltà rà tblt d - Rdc d φ cl (D R D G +N R N G H - ol rett D Gd ( cò che ret d D Gd doo tutte le elfczo obl co D G I ol che reto oo ol o cotrollbl d u dell to, che couque R( o otrò odfcre. Se ol o cotrollbl d u foero tbl (Re vre u tuzoe ccettble: quluque R( o l uò otre, coè l te d cotrollo o otrà fuzore. Allor cerco d cotrollre o co u co ltr gre er cu ol o cotrollbl. Se ol o cotrollbl d u oo tbl oo rocedere ll te: D Gd ( o oo ott vo zero e qud o ho roble. Ho vtggo e ol oo let e o l oo veloczzre. 5

52 Ee Codero t Ho u olo tble G d ( che o è vto d u e qud o uò fuzore co Regoltore. Se ve vuto: V bee erché l olo tble è cotrollble c V bee che e tbltà t G( e G d ( c è tbltà: 5

53 Poo ccettre ol o cotrollbl d u ell to olo e ho Re<. 53