Il Metodo degli Elementi Finiti
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- Carlotta Alberti
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1 Il Metoo egl leet Ft
2 leeto po tgole te o leeto po tgole te o I le ttte l oe poo eleet, flete hetl, ee etete l ego e ll teolog tlt pe l otoe. Molto peo, ee, ptolete e opoet e, l ttt è oto teole, he o peet pefeele oe eleet. e ttethe ge e eleet oo flete l oell tttl egl eleet e l, t I et pò ge oe ee l ttt eo fto eleet, ogo e l à tteto eto eo pt ol e l efe le gee ethe e he.
3 leeto po tgole te o I le ttte l oe poo eleet, flete hetl, ee etete l ego e ll teolog tlt pe l otoe. Molto peo, ee, ptolete e opoet e, l ttt è oto teole, he o peet pefeele oe eleet. e ttethe ge e eleet oo flete l oell tttl egl eleet e l, t I et pò ge oe ee l ttt eo fto eleet, ogo e l à tteto eto eo pt ol e l efe le gee ethe e he. leeto po tgole te o I le ttte l oe poo eleet, flete hetl, ee etete l ego e ll teolog tlt pe l otoe. tte le ttà ethe e he ell ttt oo efte ete e pt ol. e ttethe ge e eleet oo flete l oell tttl egl eleet e l, t ttt è hett oe etolo eleet ol l ge pee lle ttethe elthe el tele e ll et e gol eleet.
4 leeto po tgole te o I olt, p eeo l oggetto te olo oto, l hetoe el opoteto tttle pò eee ftt o oello oto, o ffete go ppooe. Moello olo Stto po teoe Stto po efooe H Stto po teoe: <<, H Speoe to o peoe effetto leeto po tgole te o I olt, p eeo l oggetto te olo oto, l hetoe el opoteto tttle pò eee ftt o oello oto, o ffete go ppooe. Moello olo Stto po teoe Stto po efooe Speoe to H Stto po efooe: >>, H
5 leeto po tgole te o S oe olo oogeeo e otopo o eoe tle petto lle lte e, he e otte lo peoe. S f, olte, l pote he h e ol, eo pplt, o tl geee po po potet e he tle po ole llo peoe. I ete ooe è pole ppeete l opoteto tttle el olo o oello po. S l olo ee eleet tgolol, eo fte. S g o ete o tl tgol l oto e te l o opoteto feeolo te oote teo. Pe le pote e le o ftte l eleeto pò olo pot, efoo, l po. Og o pto h e opoet poteto, he heeo oe e. leeto po tgole te o Coeo l eleeto e, otto peoe, el po. eleeto è tgolo et, e leeto efoto leeto efoto f Peo he oeoe ò he e geeo pto teo ell eleeto: Qo l ttt ee pot otto o efo el eleeto eleeto e e e po potet, opletete efto gl potet e te o ete, e e opoet poteto el geeo pto teo ell eleeto eoo eee fo egl potet ol. 5
6 leeto po tgole te o Mte elle fo fo Coeo l eleeto e, otto peoe, el po. eleeto è tgolo et, e leeto efoto f {f} pee l ettoe egl potet ol eleeto {} e tte l te [] he otee le fo poteto: opo efooe Iho o {f} l ettoe egl potet geeo pto teo. e opoet el ettoe {f} oo e : f f e leeto po tgole te o Mte elle fo fo e e Se ho o l eo g letà pto geeo ell ttt e o e l eo o el golo eleeto e l ettoe {f} è ottto te e l ettoe {} e è ottto e te. el o eleeto po te o = e = e = 6 e f f oe le t [], [] e [] oo te eo 6
7 leeto po tgole te o Mte elle fo fo e t [], [] e [] pooo eee te oe I I l pootto foe pe l te ettà: oe l te ettà le: I I e, e oo fo te, ote o l oe fo poteto, le l lego l po egl potet te ll eleeto l ettoe egl potet ol. ee pee, e, l fo el po potet ll teo ell eleeto: ftt oo he ote o l oe fo fo. e fo poteto ppeeto o e pt l el etoo gl eleet ft, pehé fleo foteete l lello ppooe ell oloe. e fo poteto p eeo te, eoo ttt eee elte e l te: eoo eee go ppeete oettete ot g: tl o eoo geee efoo ell eleeto; eoo eee go poe l oo po foe efooe ll teo ell eleeto; le efoo opoe ell epoe t gl eleet eoo eee fte. leeto po tgole te o Mte elle fo fo e fo, e peoo lle oote ol ell eleeto leeto e - o oo oote e oote ol eoo eee ote pe pote lole l ettoe egl potet. 7
8 leeto po tgole te o Mte elle fo fo e pù epl fo poteto he pooo eee pete oo tpo lee: 5 6 eo e ott peet lle oote ol ell eleeto, e ppeeto te, pp pol potet ol pefe ppeet l foe lee e P P, P leeto po tgole te o Mte elle fo fo e pù epl fo poteto he pooo eee pete oo tpo lee: 5 6 eo e ott peet lle oote ol ell eleeto, e ppeeto te, pp pol potet ol l P l P Aotto foe go peoe ee pefe pù ople e l e efoe heeee ggo eo pt ol 8
9 9 leeto po tgole te o e pù epl fo poteto he pooo eee pete oo tpo lee: 6 5 eo e ott peet lle oote ol ell eleeto e ott pooo eee lolte poeo he le fo poteto o e Mte elle fo fo e ott pooo eee lolte poeo he le fo poteto o e o ettete l loe ello poteto ole. e eo e te, te eo ltettte A ogte, he oetoo lole lo. 6 5 leeto po tgole te o e pù epl fo poteto he pooo eee pete oo tpo lee: 6 5 eo e ott peet lle oote ol ell eleeto e ott pooo eee lolte poeo he le fo poteto o e Mte elle fo fo e ott pooo eee lolte poeo he le fo poteto o e o ettete l loe ello poteto ole. e eo e te, te eo ltettte A A ogte, he oetoo lole lo. I oo teto pò ee: 6 A A 6 e le olo ottegoo eteo le t:
10 leeto po tgole te o Mte elle fo fo I lo elle ogte oo lolt oe ege l po e e te h: oe, e oo o ell te e oeffet he ottegoo eleo l p olo: e oe h l gfto: et = e el tgolo Mte e oeffet leeto po tgole te o Mte elle fo fo I lo elle ogte oo lolt oe ege l po e e te h: e oe h l gfto: oe, e oo o ell te e oeffet he ottegoo eleo l p olo: et = e el tgolo Mte e oeffet
11 leeto po tgole te o Mte elle fo fo I lo elle ogte oo lolt oe ege l po e e te h: e oe h l gfto: et = e el tgolo oe, e oo o ell te e oeffet he ottegoo eleo l p olo: Mte e oeffet leeto po tgole te o Mte elle fo fo I lo elle ogte oo lolt oe ege Ao l po e e te lol le eo ogt: oe, e oo o ell te e oeffet he ottegoo eleo l eo olo: e oe h l gfto: et = e el tgolo Mte e oeffet
12 leeto po tgole te o Mte elle fo fo I lo elle ogte oo lolt oe ege Ao l po e e te lol le eo ogt: et e oe h l gfto: = e el tgolo oe, e oo o ell te e oeffet he ottegoo eleo l eo olo: Mte e oeffet leeto po tgole te o Mte elle fo fo I lo elle ogte oo lolt oe ege Ao l po e e te lol le eo ogt: et e oe h l gfto: = e el tgolo oe, e oo o ell te e oeffet he ottegoo eleo l eo olo: Mte e oeffet
13 leeto po tgole te o I lo elle ogte oo lolt oe ege e l te ogt: oe, e oo o ell te e oeffet he ottegoo eleo l te olo: Mte elle fo fo Mte e oeffet et = e el tgolo e oe h l gfto: leeto po tgole te o Gl lt te lo elle ogte ottegoo epleete toeo elle elo peeet le opoet poteto logo Mte elle fo fo 5 6 eo,,,,,,, e gl te lo lolt p foe elle oote ol ell eleeto e pott pe eplogo.
14 leeto po tgole te o A eto pto oo loll le opoet el ettoe {f} poteto e pt te ll eleeto, e, foe elle oote e. Mte elle fo fo f e e elo peeet pooo eee tte fo tle oe ege: e oo pù optto: I I I f f e f leeto po tgole te o A eto pto oo loll le opoet el ettoe {f} poteto e pt te ll eleeto, e, foe elle oote e. Mte elle fo fo e I I I e fo e, e oo e, eto o, le epeo: pe = pe =,, Ahe l ttà, he è l etete ell te e oeffet, pee olo lle oote ol ell eleeto:
15 5 leeto po tgole te o ell pote tto po teoe tele oogeeo e otopo l efooe è eft, el te feeto, tto opoet: opoete ole l po, l, o ote ll eeg elt eeo l = pe pote. o tto efooe è etto lle te opoet, e : Mte efooe γ Pe to lolto peee le opoet poteto e oo te lle elo: e oo he: e ete oo le epeo: leeto po tgole te o ell pote tto po teoe tele oogeeo e otopo l efooe è eft, el te feeto, tto opoet: opoete ole l po, l, o ote ll eeg elt eeo l = pe pote. o tto efooe è etto lle te opoet, e : Mte efooe γ Pe to lolto peee le opoet poteto e oo te lle elo: e oo he: e ete oo le epeo:
16 leeto po tgole te o Mte efooe È pole o epee fo tle l lege t le opoet ell efooe e gl potet ol: γ I fo optt h: e te efooe [] h eo e, el o ee 6, e pò eee te ottot el tpo: e e te [] è opot te he otegoo le ete pl elle fo fo. pò eee et ll te []. pe =,, el o ell eleeto po te o te ell te [] oo elle ott, ftt o otegoo le l o. I eto o e lo tto efooe è otte ttto l eleeto, he lt poo tto ppeete get efooe. leeto po tgole te o Mte efooe efooe ppe lolt, foe egl potet ol è ell totle. Pe lole oettete lo tto teoe, è eeo otte ll efooe totle eetl efoo l, l eepo, le lto tehe: γ α l el o tto po teoe oppe: α l el o tto po efooe 6
17 leeto po tgole te o Mte elttà o tto teoe pto ell eleeto è etto l ettoe { }, h eo opoto te eto o. I oo opoteto elto el tele, tle ettoe pò eee epeo oe : te [] h eo eto o, σ Il ettoe { } è efto lle opoet: σ σ σ σ τ ete l ettoe { } ppeet eetle tto teoe peetete el tele p ell pploe el o oe, eepo, teoe e. Il lege o le efoo po elto è efto ll legge Hooe tt pe lo tto po teoe: γ σ σ τ G σ σ τ leeto po tgole te o Mte elttà te [] ottee lle eo Hooe, o le foe elle : σ σ σ σ - τ γ τ G Stto po teoe el o tto po efooe l te [] ottee teeo oto he = ll legge Hooe h: σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ - - σ σ - - σ σ 7
18 leeto po tgole te o Mte elttà - - σ σ σ - σ - σ - - σ - σ - - σ - Iolo l ottee: σ - A eto pto ottee he l epeoe ell : σ - leeto po tgole te o Mte elttà σ σ fe, epeo l lege t e fo tle, ottee l te [] : Stto po efooe ootte he l opoete ello tto teole e eo, el o efooe p, o ope l loo, eeo ll l e, petto, e o ee pe oeoe: l te [] e. 8
19 leeto po tgole te o Mte ge Iho o l ettoe {F} e le foe etee he goo ll eleeto e he oo pplte ettete o: Iho, olte, o l ettoe {p} h tt pe tà ole, oe le o el: F e p U X X Y pe =,, elo glole ell eleeto hee he le foe etee o ttete elet lle teo { } get l otoo ell eleeto. Pe toe l ooe elo t le foe etee e le eo tee, ote llo tto teole, oe l ppo e lo tl, poeo po potet tl l loo opto lle foe etee ee eggle ello opto lle foe tee e leeto po tgole te o Mte ge Il ettoe e e * o poteto teo tle e l efooe oegete l po potet tl oo te etto: potet tl oo te etto: e Il loo tle opto lle foe etee le: e * e * F f p e * e Il loo tle opto lle teo tee le: σ Ugglo lo ottee: e e * * e F p ppeet l po potet tl. f * * e * * f e * e * σ e * e F p σ 9
20 leeto po tgole te o Mte ge e e * * e F p elo lo poteto tle eleeto ottee: σ Roo le elo: e e F σ p σ σ e σ σ e e F σ p leeto po tgole te o Mte ge e e F σ p Qet eloe è el tpo: I oloe pò ee: e e F e σ Fσ e F p p e e e e e F F F F e σ Mte ge eleeto Foe ol elet ll efooe le ltoe te Foe ol elet ll teoe le teo ee Foe elet h foeete tt peo, foe p
21 leeto po tgole te o Mte ge S poee o l lolo ell te ge el o eleeto po te o o tto po teoe. Coe è to pe l eleeto tgole efooe otte oeffet ell te [] oo elle ott. tegoe è e eple oltploe. e Io o t lo peoe otte ell eleeto pò ee: t t e gee ottote pò eee tt oe ege: t gee ottote : t leeto po tgole te o Mte ge t t
22 Po pootto : leeto po tgole te o Mte ge - Seoo pootto : leeto po tgole te o Mte ge
23 leeto po tgole te o Mte ge gee ottote t t leeto po tgole te o Mte ge te oplet gee ottote e te oplet t
24 leeto po tgole te o Mte ge te oplet e t leeto po tgole te o A eto pto eoo eee ltte he le foe ol elet e F Foe ol elet ll efooe le ltoe te foe ol elet e F σ σ e p p F Foe ol elet ll teoe le teo ee Foe elet h foeete tt peo, foe
25 5 leeto po tgole te o t F e foe ol elet t t α Pe l golo ottoettoe -eo h: t F α t leeto po tgole te o foe ol elet t - α t t α
26 leeto po tgole te o foe ol elet Il ottoettoe -eo h e l epeoe: F αt Il ettoe opleto he ppeet le foe elet ltoe te ell eleeto, ot eeto ell tepet, pò eee tto oe ege: F e α t leeto po tgole te o foe ol elet A eto pto eoo eee ltte he le foe ol elet e F Foe ol elet ll efooe le ltoe te e σ Fσ e F p p Foe ol elet ll teoe le teo ee Foe elet h foeete tt peo, foe 6
27 leeto po tgole te o foe ol elet e foe ol elt h foeete tt ll eleeto pooo eee epee oe ege: F e p p Pe l golo ottoettoe -eo h: I I I p F p I p X Y Il ettoe opleto, oe è ftto e peeet, ottee flete l ottoettoe geeo peto gl. leeto po tto o 7
28 leeto po gole tto o fo fo e fo,, e peoo lle oote ol ell eleeto, leeto e - o oo oote, e oote ol eoo eee ote pe pote lole l ettoe egl potet.,, leeto po gole tto o fo fo e pù epl fo poteto he pooo eee pete oo tpo lee: eo otto ott peet lle oote ol ell eleeto,, e ppeeto tto pol potet ol l P P P, Rpetto ll eleeto tgole te o, et olt l pefe è pù ople, ge ll o poloo oe peoe 8
29 9 leeto po gole tto o fo fo e pù epl fo poteto he pooo eee pete oo tpo lee: eo otto ott peet lle oote ol ell eleeto e ott pooo eee lolte poeo he le fo poteto o e tt t l l ll t t l o ettete l loe ello poteto ole e eo e te, tto eo ltettte A ogte, he oetoo lole lo leeto po gole tto o fo fo e pù epl fo poteto he pooo eee pete oo tpo lee: e ott pooo eee lolte poeo he le fo poteto o e tt t l l ll t t l eo otto ott peet lle oote ol ell eleeto o ettete l loe ello poteto ole. e eo e te, tto eo ltettte ogte, he oetoo lole lo. A I oo teto pò ee: 8 5 A A A 8 5 e le olo ottegoo eteo le t:
30 leeto po gole tto o e ee opeo pe l lolo elle t e oo el ttto loghe elle te pe l eleeto tgole. è eoe 8 eo le efoo teete l pole le tee ell eleeto tgole, Mte efooe llo lt eee eoe 8; l te e. ffee foetle è he eto o, olte he oete, he è foe pto, oè gl eleet otegoo epeo e. lo pgg e ppoeo ot he e foe egl potet ol gl otto oeffet elle fo fo, γ lee lee lee e leeto po gole tto o Coeo ll oge t eleet otg
31 leeto leto tgole te o eleeto leto è efto olo el epo o poto M ppeet oto eo olo, ottele o etoe 6 pefe p leeto leto tgole te o Mte elle fo fo e fo fo oo el ttto loghe elle ell eleeto po 6 5 eo e ott peet lle oote ol ell eleeto A eto pto oo loll le opoet el ettoe {f} poteto e pt te ll eleeto, e, foe elle oote e. e I I I e fo e, e oo e, eto o, le epeo: pe =,, e, e o o, e ep e o Ahe l ttà, he è l etete ell te e oeffet, pee olo lle oote ol ell eleeto:
32 leeto leto tgole te o Mte efooe e opoet efooe teete el pole leto oo : te petto è 6 tle he: γ è 6 tle he: γ Roo l epeoe el po egl potet foe egl potet ol: A C A e e e A te A otee elle ott. te ottee eo l Ф: leeto leto tgole te o Mte efooe eo l p g petto ottee l ettoe: eo l te g petto ottee l ettoe: egeo le ete te e oo ottee: eo l p g pe ottee l ettoe: C A C te C, e he, è foe pto I ptole, l efooe ofeele o è otte ll teo ell eleeto leto, ehe ello tgole
33 leeto leto tgole te o Mte elttà σ σ σ σ σ σ egge Hooe geelt pe tele oogeeo otopo o opoteto lee: σ σ σ èl t l G τ τ γ σ σ σ G τ τ γ σ γ γ γ è l te eeole G G τ τ γ I geele, [] è l e [] è l te eeole leeto leto tgole te o Mte elttà el o geele, [] he [] oo eoe 66 oe G A eepo pe lo tto efooe p h: γ γ O te [] è O
34 leeto leto tgole te o el o leto, l oe elle efoo e elle teo: M te, e oo gl te γ γ Mte elttà γ γ γ γ eplfoe ppote ell te elttà è l egete: te [] è leeto leto tgole te o Mte ge Roo l epeoe geele ell te ge pe eleeto l: ol t l t let el pole, pò effette petegoe eoe ofeele o golo 6 : A S pò oè oee ell tegoe he l oletto eleete o è ppeetto, π Qet olt, ffee ell eleeto tgole po,o effettete eegte elle tego lle epeo polol otete el pootto [] [][] I eltà, e o lolo gl eleet ft et opeoe o eege, e l tegoe ee eegt oo po, he e ppoto, pe e tteo eto oe ello G-egee
35 leeto lee e o leeto t leeto - o go letà pe oo: poteto le Coo l otoo: eleeto pot e Foe poteto efo otto o Selt oo to Foe lee I oeffet e peoo ll geoet ell eleeto e gl potet ol 5
36 6 leeto t leeto - o go letà pe oo: poteto le Foe poteto oee o ee et eloe fo pù tt ll otoe tle leeto t leeto - o go letà pe oo: poteto le Foe poteto
37 leeto t leeto - o go letà pe oo: poteto le Foe poteto efooe leeto t leeto - o go letà pe oo: poteto le Foe poteto eoe σ te teoe eto o e epleete l olo Yog σ C oo o ttt gl eleet pe lole l te ge ell eleeto t: eeo oto he [] he [] oo peet pò lole [] olto epleete: A 7
38 leeto - o go letà pe oo: poteto le A leeto t A Foe poteto te ge A A te ge el te feeto ell eleeto A leeto lee e o Foloe opet 8
39 leeto t Foloe opet Se l oot è lolt petto lle oote tl o foe ello teo go, oeo o lo teo eo pet, ell foe poteto llo l eleeto ee etto opeto. eleeto ee etto ee peto o pe peto e l eo pet feoe o peoe ello ell foe poteto. + eloe t l el te feeto geele e l epe te oote tl ell eleeto: pò eee ottet o fo ethe elle tlte pe ppeete gl potet te ell eleeto foe egl potet ol leeto t Foloe opet + Pe lole e pò poee oe ege: Pe = ee eee = - Pe = ee eee = + ll p eloe h: ll eo: : eloe t l el te feeto geele e l epe te oote tl ell eleeto: pò eee ottet o fo ethe elle tlte pe ppeete gl potet te ell eleeto foe egl potet ol e : 9
40 leeto t Foloe opet + f foe pò eee ottet oe ege: - leeto t Foloe opet + f S pò e he l foe e Pò eee oeete epel he fo po e:
41 f leeto t + pò eee epe tte fo fo Foloe opet è l ettoe elle oote ol el te feeto geele leeto t + Co le tee fo fo ee lolto lo poteto teo ell eleeto eleeto Foloe opet è l ettoe egl potet ol
42 leeto t + efooe ee lolt tte le ete elle fo fo: I eto o lo Joo le: Foloe opet efoe: ee etto Joo e o J J eeo: J leeto t + efooe ee lolt tte le ete elle fo fo: Foloe opet opeoe eoe pò eee ftt oe ege: J te le e:
43 leeto t + te ge ell eleeto opeto pò eee lolt oe oeto: Foloe opet A A J AJ Roo he: e J h: A leeto opeto po tto o
44 leeto po o Foloe opet -,+ +,+ -,- +,- Coote tl leeto po o Foloe opet -,+ +,+ -,- +,- Coote tl
45 5 leeto po o Foloe opet φ φ φ φ J φ,, J J J,, φ, I geele, t foe pò eee efto lo oo φ φ φ φ J φ,, J J J,, J φ φ φ φ,,,, pò eee efto he l opetoe eo leeto po o Foloe opet el o ell eleeto opeto po tto o le fo oee oo : J,,,,, J,,,,, J,,,,, J,,,,, J J,,
46 6 leeto po o Foloe opet el o ell eleeto opeto po tto o le fo oee oo : J,,,,, J,,,,, J,,,,, J,,,,, J J,,,,,,,, leeto po o Foloe opet A eto pto oo ttt gl eleet pe l lolo ell te [] :,, γ,, γ,,,,,,,,
47 7 leeto po o Foloe opet,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, leeto po o Foloe opet te [] : t t = peoe ell eleeto et J t et J J J J J oe
48 Il etoo F po o lee Il etoo F po o lee Ce o letà: tele geoet ottto eloe o lee t efooe e teoe potet ot l o opl o le eo ell ttt foe etee peet gl potet ell ttt 8
49 Il etoo F po o lee o letà ot l tele σ σ Foloe geele F R R F ettoe he ppeet h ol ete σ, Il etoo F po o lee o letà ot l tele σ Metoo ell ge le σ R R R Soloe o poeeto teto R R ltto po elto R R 9
50 Il etoo F po o lee o letà ot l tele σ Metoo ell teoe le R R σ σ Fσ R Soloe o poeeto teto R R σ R R σ R σ R R R Il etoo F po o lee o letà ot l tele σ Metoo ell efooe le R σ F R Soloe o poeeto teto R R R R R R R R 5
51 o letà ot l tele Il etoo F po o lee Metoo ewto Metoo ewto ofto eplfto Metoo ewto-rpho R R R t t t o letà ot l tele Il etoo F po o lee Metoo ewto Metoo ewto ofto eplfto Metoo ewto-rpho t t t Mte tgele ge t Metoo ell ge le 5
52 o letà ot l tele Il etoo F po o lee Metoo ewto-rpho R t t t Mte tgele ge t Metoo ell ge le o letà ot l tele Il etoo F po o lee R f F σ f R F 5
53 o letà ot l tele Il etoo F po o lee R J J R J J o letà ot l tele Il etoo F po o lee R J J R J 5
54 Il etoo F po o lee o letà geoet R è foe σ e le efoo oo pole è o tlle eloe lee t teoe e efooe Il etoo F po o lee o letà geoet 5
55 Il etoo F po o lee o letà geoet t 55
Il Metodo degli Elementi Finiti. Elemento piano triangolare a tre nodi
Il Mtoo gl lnt Fnt lnto pno tngol t no lnto pno tngol t no In ln ttt l on n pozon lnt flnt htzzl n tnt l gno ll tnolog tlzzt p l otzon. Molto po n ptolnt n oponnt n l ttt è n ontno tnonl h non pnt n pfnzl
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