CAPITOLO III METODI NUMERICI: CALCOLO AD ELEMENTI FINITI. Premessa.

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1 CAPITOLO III METODI UMEICI: CALCOLO AD ELEMETI FIITI Peess I questo cptolo vee pesett e lzzt u ptcole ctego eto uec: Meto Eleet Ft (FEM) L Als Eleet Ft (FEA) h stocete tovto teeo fetle cpo gegestco e fsco, co guo, esepo, pole ls stuttule, couzoe el cloe, couzoe elettc, cp getc, fluoc, plstctà sol o le, tutt cp cu l pole foetle è l soluzoe (sste ) equzo ffeezl v tu I le pcpo s ttt pole solvl co Meto lle Dffeeze Fte (FDM) e effett, pe cet spett, FEM e FDM possoo essee coset pet Cos h ecetto uque l successo e FEM, coset che l loo ggo coplctezz spetto FDM? Essezlete l loo elevt ttltà pole ptcolete copless e l cpctà foe sultt otevolete pecs Puto cucle ell soluzoe u pole ffeezle è l oo cu vegoo tttte le cozo l oo e tepol, e l copto vet tto 45

2 pù ffcle quto pù coplesse soo queste cozo Le FD s tto ee pole eltvete seplc e co cozo egol, osto pesto loo lt ll uete ell coplesstà el sste lzzto, e cò teezlete cce quto pù s cec vvce l oellzzzoe ll eltà o è u cso, qu, se uo e p e pù cosstet pegh e FEM fu to eoutco pe l pogettzoe pofl l (Clough pe Boeg, 96) I FEM, coe FDM, s so su eto scetzzzoe, tuttv p ho su seco l ulteoe vtggo pote utlzze pss scetzzzoe vl I questo oo l effcez clcolo uet otevolete, poché è possle ftte l esh solo e put ggo teesse, lsco vece gle pù lghe el esto el oo L tepolzoe t ue o ell esh può olte essee esegut co ve tpologe fuzo, e o esclusvete le, coe el cso elle ffeeze fte Tuttv che FEM ho, coe tutte le ose, le loo spe: l coplesstà el etoo è ecsete elevt e questo s flette copletete ell ffcoltà pogzoe Dl oeto che l pezzo u opzoe è esctto u equzoe ffeezle, l pole ell su vuzoe et peo tto t quell cu FEM possoo e soluzoe I effett l pleetzoe eleet ft u etoo clcolo pe l pezzo u opzoe può see ftc spect, eltà o è così (e couque o lo see pù u etoo ffeeze fte) Le opzo ece, esepo, soo esctte equzo ffeezl co cozo l cotoo lee e le stche ho cozo l cotoo ptcolete coplesse: quest cs FEM soo otevole utltà L loo pplczoe opzo euopee è vece gustfct ll ecesstà teste l vltà el etoo: l cofoto co l soluzoe estt Blc-Scholes cosete u vlutzoe ett e pecs 46

3 Gl Eleet Ft: geeltà L cofguzoe ell esh e FDM l ucleo cetle ell ls è l foulzoe elle evte peset ell equzoe feeto tte espsoe see, ete ttezoe ptcete ull è post sull scetzzzoe el oo el pole: tutto s uce ll scelt egl tevll δ e δ Quest possoo po essee ct fuzoe ell pecsoe che s ese ggugee, o fluezo lcu oo l etoo clcolo Cò o vle pe gl eleet ft, cu l cofguzoe ell eleeto (coè l utà se cu è scoposto l oo) è fse essezle Due soo otv pcpl: l eleeto o h solo o este (coè gl este), pu ò vee te, eteo cosegueteete l tpo fuzoe tepolte utlzzto (lee, qutc, cuc, ); se s tee lzze co ggo ccutezz u eteto puto el oo, è ecesso ftte l esh su cospoez, utlzzo qu eleet pù pccol Ftto ge potz, e che veo egutete tttt el pgfo eltvo ll cofguzoe egl eleet, soo l cozoe copletezz e l cozoe cotutà: qu è ppe l cso coe che guo le fuzo tepolzoe e che soo foetl pe u coett soluzoe el pole () () c Fgu : esepo eleeto co sol o este () e eleeto co o te () 47

4 Le tpologe FEM Il psso successvo ll efzoe ell esh è l scelt ell poceu clcolo Dvesete l cso elle ffeeze fte, o s ope ettete sull fuzoe feeto, su u su foulzoe tegle che può essee otteut tte ue ffeet poceue: esu pest o foulzoe vzole Cò che s ottee, è, et cs, u soluzoe pposst el pole ogle I eto esu pest ptoo ll cosezoe ell (geec) equzoe ogle L ( ϕ ) Q, ove L è u opetoe ffeezle gete su ϕ vle è eft sul oo Ω, e Q è l tee oto; s suppoe po che esst u geec soluzoe pposst ϕ ( ; ), l el pole e l s sosttusce ell equzoe Dl oeto che l soluzoe è solo pposst, sà go sosfe solo pte l elzoe zle e s potà llo scvee: Q ( ; ) L ϕ, ove l tee c l esuo (o eoe) evte ll sosttuzoe o è possle f sì che l tee eoe scop tutt put el oo (ltet ϕ see l soluzoe estt e pole), è possle cheee che l so pest tutt gl eo s ull: ( ; ) ( ; ) W S, () Ω I coeffcet soo ett g letà (DOF) el sste L fo fuzole elle può essee scelt leete, tuttv geelete s pefesce u fo polole, che eglo s pest l tpo clcol pù fequeteete effettut u ls eleet ft: evte e tegl S può cosee ϕ ( ; ) 48

5 ove W ppeset ffeet fuzo-peso L fuzoe () è ll se tutt eto e esu pest, che ffescoo t loo solo pe l tpo fuzoe-peso utlzzt I se l tpo fuzoe-peso s stguoo seguet eto: Colloczoe Pe og peto cogto s scegle u puto (etto colloczoe) el oo, e su cospoez s poe che l esuo s ullo: ( ) ; ( ; ) S guge così u sste equzo cogte cu s cvo pet ϕ pe l soluzoe pposst ( ;) coo l su Dc toott el cptolo peceete, può essee sctto coe: ( ; ) ( ) ( ; ) δ, co,, e L fuzoe-peso è t W ( ) δ 49

6 Sottooo Pe og peto cogto s scegle u tevllo ll teo el oo e s poe che l e el esuo og tevllo s ull: ( ; ) ( ; ) S ottegoo così pet L fuzoe-peso è W ( ) M qut S zz spetto cscu l tegle el quto el esuo: Ω Ω ( ; ) ( ; ), coè Ω Ω ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) L fuzoe-peso è W ( ; ) E l fuzoe go, ltezz e pezz 5

7 4 Gle chee che pe og peto s ull l e e esu, pest tte le fuzo W : Ω Ω ( ) ( ; ) ; L foulzoe vzole ffo le pope c el clcolo elle vzo, svluppto ttoo ll età el 7 Euleo Ess s s sull tsfozoe ell fuzoe ogle u su fo equvlete, oss l cu soluzoe estt coce co quell estt ell foulzoe og L pplczoe questo etoo è foteete ltt ll possltà tove u fo vzole pe olt pole o le, ete è sepe possle effettue u foulzoe esu pest I ggut, l soluzoe u pole vzole è equvlete quell ottele co esu pest co l etoo Gle L foulzoe vzole è l seguete: ( ϕ) δi, ove ( ) ϕ I ϕ L ϕ Qϕ ϕ () Ω Ω L opetoe δ, geo sul fuzole I ( ϕ), è fote pccole vzo ell fuzoe ϕ u too ell soluzoe estt Sosttueo ell () l 5

8 soluzoe pposst ϕ, può essee clcolto l tegle spetto, poché le ho u fo specfc, e I vet u ole fuzoe pet: I ϕ ( ( ; ) I I può essee es stzo pplco l cozoe I, coè I I Poché coeffcet possoo ve peeteete l uo ll lto, te ell soto evoo ulls septete: s cvo così pet Pe l soluzoe el pole pezzggo u opzo e, è stto scelto l etoo Gle Iztutto eto esu pest ho u cootzoe ggoete pplctv (qu offoo ggo effcez fse pleetzoe), ete l etoo vzole s tt ggoete ppofoet teoc ( o s pest ltettto ee u tsposzoe softwe) I secoo luogo, l etoo Gle è l pù effcete t quell esu pest e fosce couque sultt equvlet ll foulzoe vzole Cofguzoe egl eleet clsse C I questo pgfo s ost l coett costuzoe u eleeto (zlete coseoe l cso pù seplce, e po cs pù copless e geel) e l etoo sselggo t v eleet 5

9 S cose l oo Ω e lo s ptzo eleet ell ees lughezz (che, l oeto, o è levte): s otteo o, : eleeto eleeto E ecesso sceglee u ptcole fo pe l geec soluzoe pposste ϕ ( ;) pgfo, l fo ϕ ( ; α ) α α, ell fttspece e pe le go spegte el peceete Dl oeto che quest eve essee l fuzoe tepolte pe l geeco eleeto eltto o e, è ecesso sscue che coeffcet α e α so cospoez e ue este α sego () ϕ ( ;α) ϕ ( ;) α Fgu : Il sego () ost u fo ppopt pe l costuzoe ell geec soluzoe ( fo see poteze), cu coeffcet α e α o soo cospoez egl este ell eleeto tepole Il sego () ost l coett fuzoe tepolte (polole) fet l eeso eleeto sego () 5

10 54 Pe f cò, s olzzo α e α spetto ue coeffcet e, scelt oo che ; ; ϕ ϕ Voleo scvee l ; ϕ fuzoe e uov coeffcet, s solve l sste α α α α, cu sult α α L ; ϕ può llo essee sctt coe ; ϕ, o fo pù geele, opo ve ccolto coeffcet, coe ; ϕ, (4) ove

11 (5) S ot l seguete popetà cu gooo le fuzo ppe costute: ( ) ( ) ( ) ( ) L (4) ppeset l pte soluzoe ffeete l geeco eleeto este e (s ve che l fgu ) ϕ ( ;) Fgu : L soluzoe ( ;) ϕ coe so elle fuzo-se e, peste secoo cospoet coeffcet e L eleeto -tpo so coseto è cttezzto ll pesez ue sol o, poszot suo este: cò peette utlzze solete fuzo tepolzoe le Voleo gloe l ccutezz ell soluzoe, ue soo le ste pecol: ue le eso egl eleet e ceete l ueo oppue uete l go e polo pposst, oo 55

12 otteee cuve pù coplesse L p soluzoe peette teee clcol u lvello ffcoltà ecsete sso, è poco effcete; l seco, l coto, è olto pù effcete e peette otteee l ees ccutezz sultto co u ueo eleet olto feoe, l pezzo u stuttu uec pù copless ell ptc, l soluzoe ottt pù fequeteete pevee u ueto s el ueo egl eleet, s el go el poloo tepolte, oo che gl svtgg e ue eto s lco ecpocete Pe ceete go el poloo, è ecesso uete l ueo e o ell eleeto: uov o vegoo ggut teete gl este e equspzt t loo L costuzoe ell eleeto pocee esttete secoo l ees logc sottostte l cso tepolte lee, pe cu se lecto ttees, coe sultto fle, u geelzzzoe ell (4): ϕ, (6) ( ; ) ove c l ueo o eltv l sgolo eleeto spetto l cso lee co peò le fuzo, che o evoo tee coto e uov o peset Mteeo l stuttu polole pe l ϕ ( ;α), quest vet ϕ ; α α α α α (7) Ache questo cso è ecesso olzze gl α spetto e coveet pet : pe flo s solve spetto gl α l sste 56

13 α α Dopo ve seto ell (7) le elzo ppe tovte pe gl α, s effettuo ccoglet ftto coue spetto gl, otteeo così pop l espessoe estes ell sospett (6) L fuzoe eltv l geeco oo è otteut ete l eeso poceeto el cso ooesole e è così eft: ( ) ( ) (8) Le fuzo soo go : esepo, se l ueo o u eleeto è, esso sà tepolto te fuzo qutche, ogu pest l popo S ot che pe s ce, coe è lecto spetts, el cso tepolzoe lee lzzto ll zo el pgfo 57

14 Fgu 4: Le te fuzo-se pe u fuzoe tepolzoe C -qutc Dll lto veso l sso s cooscoo le fuzo ( )( ) ( )( ), ( )( ) ( )( ), ( )( ) ( )( ) ell ulto sego è ppesett l fuzoe tepolzoe, t ll so pest elle fuzo-se: ϕ ( ; ) ϕ ( ;) Quest soo gl eleet che veo utlzzt pe l soluzoe el oello Blc-Scholes Costuzoe elle tc locl egl eleet e sselggo ell tce glole Costuzoe elle tc locl el pgfo () e stto pesetto l etoo e esu pest Gle pe u geeco pole ffeezle L ( ϕ ) Q : o veà pplcto 58

15 ll equzoe Blc -Scholes tsfot, coset su u oo fto u u, L < < L, > s t u (,) u(, ) l ± L ( ) ( ) ( e e,) L equzoe e esu pe u geeco eleeto este e è t u u,,, (9) ove u (che veà specfct t eve) c u geec soluzoe pposst el pole Dl oeto che ell peceete equzoe cope u tee ffeezle secoo go, ppe oppotuo tevee co u tegzoe pe pt 4 el eeso, tsfoo l (9) u u u () Dvesete cs popost e pgf peceet, cope, el pesete pole, l cogt tepole : l soluzoe pposst è coè el tpo (, ; ) (, ) u I questo oo, tuttv, le soo fuzo ue S ve l pgfo 4 4 u u u 59

16 vl, cu chete o è possle pplce gl eleet ft (ooesol) f qu pesett Pe ovve l pole, s opt pe u sepzoe vl che peette cosee soluzo el tpo (, ; ) ( ) u A seguto quest tsfozoe le soo tote ell fo cosuet, gl soo o fuzo ell vle tepole L soluzoe sà clcolt ue pssgg stt: l po solveà l pole spetto ll vle spzle, ete l secoo spetto quell tepole Le evte pzl u, (), otteeo u j j j e u j j, soo sosttute j j j u j j j j j j j j j j u () Il tee est ell ugule o è stto tsfoto, l oeto che è esttete l espessoe pe le cozo l cotoo eu: se esse fosseo peset, see così possle effettue u sosttuzoe ett el cso coseto, le cozo l cotoo soo foulte secoo Dchlet, pe cu l teo eo est può, ptc, essee go to: veà teuto solo pe coettezz fole L () può essee sctt, oo pù leggle, fo tce: 6

17 6 u u () U logo sste equzo ffeezl è otteuto pe oguo egl eleet cu l oo è stto ptzoto L p tce è ett ss, ete l seco gezz; esseo fete l sgolo eleeto, soo ette locl Il vettoe est ell ugule è etto flusso Scegleo l fuzoe C -qutc u α α α, s ottegoo, co feeto l po eleeto el oo, le te fuzo che lo escvoo 5 : 5 S ve l pgfo

18 6 () D o z s fà feeto e sclusvete eleet C -qutc e pe seplctà espostv l tce ss ell eleeto -eso sà ct coe M, logete l tce gezz coe e l vettoe flusso coe f f f f

19 Asselggo ell tce glole Il psso successvo cosste ell ssele le tc locl u tce glole, che ppeset coè l pole su tutto l oo Itutvete, pe og stte tepole, l soluzoe glole è t ll uoe elle soluzo locl, esseo queste eltve tevll cotgu el oo L tuzoe tuttv o st, e, pechè l eccso gustpposzoe fuzo coettete, è ecesso cheee che, su og eleeto, le fuzo spetto ue cozo foetl: Cozoe copletezz L soluzoe u e tutte le sue evte, fo ll oe (ove è l oe ell equzoe ffeezle el pole ogle), evoo pote ssuee qulss vloe fto ll teo ell eleeto, l teee zeo ell esoe quest ulto el cso cu l soluzo e fo polole go p, cò sgfc cheee l copletezz leo fo l go ( p ) Cozoe cotutà I cospoez e o cottto t gl eleet, le fuzo u evoo essee clsse C L p cozoe esect l pop fluez ell teo el sgolo eleeto e gtsce l covegez ell soluzoe pposst ll soluzoe estt L seco gu o cottto t gl eleet e gtsce che, loo cospoez, o v so scotutà tl toue uov eo ggut quell fsologc scetzzzoe Le fuzo ell fgl (8) spetto ete le cozo ell sselggo elle tc locl, è ecesso poe ttezoe o cottto t gl eleet: el gfco seguete è pott l coett sequez sselggo pe p eleet C -qutc u pole geeco: 6

20 4 5 ( ) 4 5 ( ) X X X X X L sequez X,, c sol o este (fet gl eleet), ete l sequez,, cose tutt o peset Pe o oo vle l elzoe X, ete o cetl goo sccoppt Il eltvo sste sselto fo tcle è ppesetto, pe p ue eleet, 64

21 65 f M f f f f f f 4 (4) o, fo coptt, f M (5) L soluzoe sselt, pe cscu stte tepo, è llo t ulto eleeto eleeto e-eso e e e secoo eleeto po eleeto U 5 4 ;, (6)

22 ove ( e),,,, c l fuzoe, ppesett ell elzoe (), clcolt feeto ll e -eso eleeto Se l pole ogle fosse peete l tepo, l sste (4) see lgeco e o ffeezle: l su soluzoe foee ettete vlo e pet sosttue (6) pe clcole l soluzoe Pe otteee l soluzoe fle el pole è ecesso uque solvee l sste ffeezle spetto l tepo (4): pe flo c s può vvlee uo sche lle ffeeze fte Opto pe uo sche cw el tpo pesetto el pgfo, l (5), fet l geeco stte, vee: ( ( ) ( )) M ( ) f (7) l cu soluzoe è ( ) M ( M( ) f ) (8) Il vettoe ( ) è eputto toue le cozo ell equzoe ffeezle ptez: te el vettoe zle ( ) soo costtut ( ) ( ) ( e e,) ete te este el vettoe ppeseto le cozo l oo (, ) l u ± L : ( ) ( ) L sosttuzoe (6) e vlo peette tove le soluzo cecte 66