Sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali

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Marianna Rubino
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1 Sstea eale Modello sco Modello aaltco Sste d equazo deezal alle devate pazal Lo studo de sste cotu c cosete d scvee alcue equazo che devoo essee soddsatte putualete, ad esepo: Equazoe d cosevazoe eega Equazo d cotutà Equazo d equlbo eccaco delle oze Equazo d equlbo eccaco de oet Cosevazoe della quattà d oto Le equazo pa ctate pogoo elazo ta valo cogt e loo devate (o tegal) Se lo studo è esteso ad u doo (leae, pao, tdesoale) l soddsaceto og puto pesuppoe la ceca d ua uzoe soluzoe deta el doo I geee c soo alcu valo ot su coto de do, se guadao dettaete la uz. cogta soo codzo essezal se vece covolgoo oe deezal della uz. cogta soo atual

2 Quado do soo patcolaete copless (s pes pezzo eccaco) è popo l soddsaceto delle c.c. che ede dcle la soluzoe Ache pe do seplc s è gado d cooscee la soluzoe esatta solo pe pochss e eleeta cas Ulteo coplcazo sogoo se le eq. deezal soo o lea od ache a coecet o costat

3 F F Esepo su poblea elastco pao S possoo scvee equazo d equlbo ( e ) Ua equazoe d cogueza F qu c soo equazo deezal e se cogte Le cogte s possoo due a edate le equazo costtutve G E E Che cosetoo d scvee l equazoe d cogueza elle sole cogte tesoal F F

4 Le equazo d Cauch peettoo d valutae le teso al cotoo Foalete è tutto seplce, a la dcoltà ella ceca della soluzoe dpede popo da coe (e dove) soo dete eq. Cauch Pe descvee alcu de etod d soluzoe c baseeo sull eq. del caloe (Foue) che peseta l vataggo che l cogta è ua uzoe scalae Metodo delle Deeze Fte MDF Il puto d pateza è lo svluppo see d alo!

5 Iatt s suddvde l doo co ua agla egolae (doo -D): + - L eq. d Foue chede le devate secode (ottebl soado I e II) Nell potes che = 5 e che =, 5 =

6 Solo coplcazo oal copota l caso d doo pao ( = ), j+ -, j,j +, j, j, j, j, j, j, j, j- = - ; j = - Itutvaete s copede coe questo etodo cosete (pededo u ueo adeguato d put attoo alla poszoe, j) d scvee tutte le devate ecessae pe l equazoe deezale S può coplcae l poblea cosdeado lo scabo teco: oppue a c z t t = coduttvtà teca c = capactà teca = destà a = dusvtà teca Occoeà espee ache la devata pa el tepo

7 Nell potes che s tatt d uo scabatoe assalsetco (tubo) l poblea è adesoale (ua sola vaable ecessaa) I coodate cldche t a Nell potes che = 5 e che =, 5 = + t Co le codzo zal =, =5,, 5 = R teo esteo v = veccho t (pecedete) t a v Euleo el tepo = 4

8 t a t a v Che appeseta u sstea tdagoale del tpo b A Dal puto d vsta ueco l sstea è covegete solo se t è suceteete pccolo (covegeza codzoata) Il etodo delle deeze te è stato l po ad essee pleetato e copute pe la sua edata tattazoe atcale (a 5-6) Esso tuttava peseta dcoltà pe quato guada la tattazoe d esh o egola o co codzo al cotoo o baal Pe tal otv o è pù equeteete utlzzato el calcolo stuttuale Vee vece acoa utlzzato elle tattazo o Lagagae (Euleae) ove la esh o s deoa co l doo a ae ssa ello spazo (Fludodaca, Acustca, )

9 FORMULAZIONE RESIDUALE I questo etodo s cosdeao esdu del sstea d equazo deezal, coteggat ell teo doo È possble pesae tal esdu deet od, cascuo de qual poduce u etodo dveso L opeazoe d peso s taduce aaltcaete ua tegazoe el doo, questo causa u abbassaeto d gado dell ode delle oe deezal peset Ess potao ad ua soluzoe oa debole (wea o) quato l aullas de esdu è solo edato e o putuale Suppoao d avee u sstea A d eq. d. Dete el doo ed u sstea C d equazo deezal el cotoo - cogta : u Au D C u el D Se s scegle ua uzoe d tetatvo v, questa o soddseà le pecedet, a daà luogo ad u esduo D A v R C v R el D

10 Covee costue la uzoe v edate la cobazoe leae d u see d uzo otogoal, alloa l poblea s solve ella ceca de coecet della cobazoe ( ) Dete delle uzo peso el doo, pe cascua d esse s poe l otogoaltà ta esse ed l esduo. L equazoe del etodo de esdu pesat può essee qud: D W Av dd W C v d D,... D Se l ueo delle uzo peso cospode a quello delle cogte ( ) s ottee u sstea copleto e solvble Nella soluzoe s a uso della tegazoe pe pat odo che le oe deezal s abbassao d ode e copaoo devate delle uzo peso Questo a s che se A e C cotegoo devate d ode, pe l tegazoe s chedeà alle v la cotutà o a - Alle W è vece chesta ua cotutà d ode Ad esepo se u Av D u W u W d D D dd

11 S pede esepo equazoe d Foue (co geeazoe tea d caloe) pe valutae dves etod q S hao le due codzo al cotoo a = pe = e = pe = S cecheà ua soluzoe del tpo 4 Soddsatte dalle due uzo a) Metodo d collocazoe R 6 Il etodo cosste el ssae u ueo d put te al doo pa a quello de coecet e aullae tal put l esduo R R

12 b) Metodo de sottodo Il etodo cosste el suddvdee l doo tat sottodo quat soo paaet ed aullae ess l esduo edo. 6 d 6 d c) Metodo d Gele I questo etodo s chede l aullas della eda pesata, coe al solto, a le uzo peso cocdoo co le uzo appossat v 4 6 d 6 d d 6 d

13 d) Metodo de quadat I questo etodo s cavao coecet odo tale da zzae l eoe quadatco edo degl scat - l o s tova aullado le devate pazal spetto a EQM R d d 6 4 EQM d 44 5 EQM d EQM EQM

14 Data la copletezza delle uzo v cosdeate o deve sopedee che le quatto soluzo oscao valo decsaete dves I tutt quatto cas esaat s ottee lo stesso ueo d equazo () Il etodo d collocazoe è scuaete l pù seplce quato o chede tegazoe Gl alt etod chedoo l tegazoe che, coe s vedà, vee atta pe va ueca e qud appesatsce l calcolo Il etodo d Gale è quello che oalete s utlzza co l etodo degl eleet t, alloché le uzo d pova cocdoo co le uzo d oa Il etodo de quadat s peseta odo pù coplesso quato chede d solvee ache delle devate pazal olte agl tegal Coll Sott Coe s vede, le uzo d pova soddsacevao etabe le codzo al cotoo, a le soluzo o escoo a soddsae la II. I eett s può ossevae che le uzo d pova o soo otogoal el doo I questo caso Gale s avvca pù d tutte alla soluzoe vea Restao da esaae etod vaazoal che vegoo adat pù olte el coso Gal MQ

15 Couque tutt etod ducoo, oe deet, sste d equazo deezal sste d equazo algebc S svluppa acoa u esepo, guadate le vbazo d u asta ettlea, d cu s pota la: a) soluzoe esatta, b) soluzoe alle deeze te, c) soluzoe edate paaet cocetat VIBRAZIONI LONGIUDINALI ASA castata - lbea a) Soluzoe esatta L equlbo daco d u eleeto osce P d A d u t P u u P P u Se la sezoe è costate, s può ache espee coveeteete (Hooe) E ; P A E u Devadola e sosttuedo ell eq. d equlbo ; P u A E u E u t d d

16 u t c u co c E Veloctà ode logtud al La stuttua vba secodo ua cobazoe de pop od pop, pe cu la soluzoe della u (,t) s peseta coe podotto d due vaabl u,t qt q t c qt Sosttuedo questa oa d soluzoe: q t t q c S sa olte che la q(t) è d tpo susodale, se le due equazo (appot) debboo uguaglas sepe, dpedeteete da spazo e tepo, esse saao costat etabe e pa a q t Le due codzo al cotoo (valde t) soo Cseω u L,t ω Ase c t Dcosω A c t ω Bcos c Icasto: Esteo lbeo: cos c L q u co q t q c t,t B L,t t A ; E ; E u

17 La pecedete è la soluzoe baale, dca che l asta o vba, a ce è ache u alta che aulla l po attoe del podotto cos c L L = c L ; ; Assuedo valo 5 A.. E.6 78 g/ N/ Pe l I odo (=) s ha 87 ad sec 85 Hz b) Soluzoe a paaet cocetat I questo caso s coceta tutta la lessbltà u eleeto olla, e tutta la assa u eleeto putuale assa eleeto) EA L.6 AL.78 g 7 N 59 ad sec ERR % = 6. %

18 eleet EA L AL 4..9 g 7 N Ipotzzado X se t ; det 65 ad sec ERR % =. % eleet) EA 6.8 L AL.6 g 7 N

19 Ipotzzado X se t det 686ad sec ERR % = 5. % c) Metodo delle deeze te I questo caso s studa la oa deezale che cosete d studae la oa del odo, pededo la Utlzzado put pe la dscetzzazoe: Questa equvale a devata ulla spostaeto coè = c c c 4

20 put) chaado c a Aullado l deteate: a a sec 78 ad.5 E a c ERR % = 7. % 4 put) a a.8 a a a sec 958 ad ERR % = 8. % = a Maca l appocco agl eleet t, couque tutt gl appocc uec copotao la postazoe d u sstea d equazo lea

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