Il Metodo degli Elementi Finiti. Elemento piano triangolare a tre nodi
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- Renata Cavaliere
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1 Il Mtoo gl lnt Fnt lnto pno tngol t no
2 lnto pno tngol t no In ln ttt l on n pozon lnt flnt htzzl n tnt l gno ll tnolog tlzzt p l otzon. Molto po n ptolnt n oponnt n l ttt è n ontno tnonl h non pnt n pfnzl on n lnt. ttth gzz lnt ono flnt l oll tttl gl lnt l t In t pò gn on l ttt n n no fnto lnt ognno l à ttzzto n to no pnt nol n l fn l gnzz nth nh. lnto pno tngol t no In ln ttt l on n pozon lnt flnt htzzl n tnt l gno ll tnolog tlzzt p l otzon. tt l nttà nth nh ll ttt ono fnt nnt n pnt nol. ttth gzz lnt ono flnt l oll tttl gl lnt l t ttt è htzzt n o n tolo lnt ol l gzz pn ll ttth lth l tl ll nt ngol lnt.
3 lnto pno tngol t no In olt p no l oggtto t n olo ontno l htzzzon l opotnto tttl pò ftt on n ollo ontno D on n ffnt go ppozon. Mollo olo D Stto pno tnon Stto pno fozon H Stto pno tnon: << H Spo nto o po fftto lnto pno tngol t no In olt p no l oggtto t n olo ontno l htzzzon l opotnto tttl pò ftt on n ollo ontno D on n ffnt go ppozon. Mollo olo D Stto pno tnon Stto pno fozon Spo nto H Stto pno fozon: >> H 3
4 lnto pno tngol t no S on n olo oogno otopo on n non tl ptto ll lt h n ott lo po. S f nolt l pot h h nol o pplt no tl gn n po pno potnt h tl pno nol llo po. In t onzon è pol ppnt l opotnto tttl l olo on n ollo pno. S l olo n n lnt tngolol non fnt. S gn o t no tl tngol l ontno t l o opotnto fnolo n t oont tno. P l pot l nzon ftt l lnto pò olo pot fono l pno. Ogn o pnto h n oponnt potnto h nho o. lnto pno tngol t no Cono n l lnto otto po nl pno. lnto è n tngolo t lnto nfoto Dopo fozon f Pno nh n onzon ò h n gno pnto ntno ll lnto: Qno l ttt n pot otto o fo l lnto n po potnt opltnt fnto gl potnt t no t oponnt potnto l gno pnto ntno ll lnto ono n fnzon gl potnt nol.
5 lnto pno tngol t no Mt ll fnzon fo Cono n l lnto otto po nl pno. lnto è n tngolo t lnto nfoto f {f} pn l tto gl potnt nol lnto {} tt l t [] h ontn l fnzon potnto: Dopo fozon Inho on {f} l tto gl potnt n gno pnto ntno. oponnt l tto {f} ono : { f } { f } [ ]{} lnto pno tngol t no Mt ll fnzon fo {} [ ] { f } [ ]{} S nho on l no g ltà n pnto gno ll ttt on n l no no l ngolo lnto l tto {f} è ottto tn l tto {} è ottto n tn. l o lnto pno t no n 3 n 6 { f } [ ] Do l t [] [] [] ono t non {} [ ] 5
6 lnto pno tngol t no Mt ll fnzon fo t [] [] [] poono t o I I I l pootto n fnzon p l t nttà: [ ] [] [] [] Do l t nttà l: [] I ono fnzon t not on l no fnzon potnto l l lgno l po gl potnt ntn ll lnto l tto gl potnt nol. D pn n l fo l po potnt ll ntno ll lnto: nftt ono nh not on l no fnzon fo. fnzon potnto ppntno n no pnt l l too gl lnt fnt phé nflnzno fotnt l lllo ppozon ll olzon. fnzon potnto p no t ono ttt lt n ln t: ono n go ppnt ottnt ot g: n tl non ono gn fozon nll lnto; ono n go po l onzon po nfo fozon ll ntno ll lnto; 3 l fozon n ll pzon t gl lnt ono fnt. lnto pno tngol t no Mt ll fnzon fo fnzon pnono ll oont nol ll lnto lnto - no noo oont oont nol ono not p pot lol l tto gl potnt. 6
7 7 P lnto pno tngol t no Mt ll fnzon fo P P pf ppnt l fnzon ln ppntno t pol potnt nol pù pl fnzon potnto h poono pnt ono tpo ln: no otnt pnnt ll oont nol ll lnto lnto pno tngol t no pù pl fnzon potnto h poono pnt ono tpo ln: no otnt pnnt ll oont nol ll lnto otnt poono lolt ponno h l fnzon potnto no n no ttnt l lo llo potnto nol. no t t zon n ltttnt nognt h onntono lol lo. 6 5 Mt ll fnzon fo
8 lnto pno tngol t no Mt ll fnzon fo pù pl fnzon potnto h poono pnt ono tpo ln: no otnt pnnt ll oont nol ll lnto otnt poono lolt ponno h l fnzon potnto no n n ttnt l lo llo potnto nol no t t zon n ltttnt nognt h onntono lol lo. In oo ntto pò : l olzon {} [ A ]{} {} [ A ] {} ottngono ntno l {} [ A ]{} {} [ A ] {} t: lnto pno tngol t no Mt ll fnzon fo I lo ll nognt ono lolt o g Dl po t h: o h l gnfto: t l tngolo Do ono no ll t offnt h ottngono lno l p olonn: Mt offnt 8
9 lnto pno tngol t no Mt ll fnzon fo I lo ll nognt ono lolt o g Dl po t h: t o h l gnfto: l tngolo Do ono no ll t offnt h ottngono lno l on olonn: Mt offnt lnto pno tngol t no Mt ll fnzon fo I lo ll nognt ono lolt o g Dl po t h: o h l gnfto: t 3 l tngolo Do ono no ll t offnt h ottngono lno l tz olonn: Mt offnt 9
10 lnto pno tngol t no Gl lt t lo ll nognt ottngono plnt ntono nll lzon pnt l oponnt potnto n logo 5 6 no gl t lo lolt p n fnzon ll oont nol ll lnto pott p plogo. Mt ll fnzon fo lnto pno tngol t no A to pnto ono loll l oponnt l tto {f} potnto pnt ntn ll lnto n fnzon ll oont. [ ] [ ] { } [] [] [] [ ] I I I f { } [ ] f lzon pnt poono tt n fo tl o g: n oo pù optto: { } [ ]{} f Mt ll fnzon fo
11 [] [] [] [ ] {} I I I fnzon ono n n to o l pon: lnto pno tngol t no A to pnto ono loll l oponnt l tto {f} potnto pnt ntn ll lnto n fnzon ll oont. k k k k p k Anh l nttà h è l tnnt ll t offnt pn olo ll oont nol ll lnto: [ ] [ ] Mt ll fnzon fo lnto pno tngol t no ll pot tto pno tnon n tl oogno otopo l fozon è fnt nl t fnto tto oponnt: z oponnt nol l pno l z non ont ll ng lt no l σ z p pot. o tto fozon è n tto ll t oponnt : {} γ P nto lolto n pnz l oponnt potnto ono t ll lzon: t ono n l pon: k k k k ono h: Mt fozon
12 lnto pno tngol t no ll pot tto pno tnon n tl oogno otopo l fozon è fnt nl t fnto tto oponnt: z oponnt nol l pno l z non ont ll ng lt no l σ z p pot. o tto fozon è n tto ll t oponnt : {} γ P nto lolto n pnz l oponnt potnto ono t ll lzon: t ono n l pon: k k k k ono h: Mt fozon lnto pno tngol t no È pol o p n fo tl l lg t l oponnt ll fozon gl potnt nol: {} γ {} [ ] k k k k k B p k {} [ ]{} B t fozon [B] h non n nl o n 36 pò n t ottot 3 l tpo: In fo optt h: t [B] è opot tn h ontngono l t pzl ll fnzon fo. pò n t ll t []. l o ll lnto pno t no tn ll t [B] ono ll otnt nftt non ontngono l l o. In to o n lo tto fozon è otnt n ttto l lnto h lt poo tto ppnt gnt fozon. Mt fozon
13 lnto pno tngol t no Mt fozon fozon ppn lolt n fnzon gl potnt nol è ll totl. P lol ottnt lo tto tnon è no ott ll fozon totl ntl fozon nzl l po l ltzon th: { } γ α l nl o tto pno tnon opp: { } α l nl o tto pno fozon lnto pno tngol t no Mt lttà o tto tnon n n pnto ll lnto è tto l tto {σ } nh o opoto tn n to o 3. In onzon opotnto lto l tl tl tto pò po o : t [D] h non n to o 33 {} σ [ D] {} { } { } Il tto {σ } è fnto ll oponnt: {} σ σ σ σ τ nt l tto {σ } ppnt n ntl tto tnon ptnt nl tl p ll pplzon l o o po n tnon. Il lg on l fozon n po lto è fnto ll lgg Hook tt p lo tto pno tnon: γ σ σ τ G σ σ τ 3
14 lnto pno tngol t no Mt lttà γ σ σ τ G σ σ τ t [D] ottn ll zon Hook no l σ n fnzon ll : [ ] D - Stto pno tnon l o tto pno fozon l t [D] ottn tnno onto h z ll lgg Hook h: [ σ σ σ ] z z [ σ σ σ ] [ σ σ σ ] z z σ z σ σ - σ σ σ - σ - - lnto pno tngol t no Mt lttà - σ σ - - σ σ - σ σ σ σ Iolno l σ ottn: σ A to pnto ottn nh l pon ll σ : σ
15 lnto pno tngol t no Mt lttà σ σ nfn pno l lg t σ n fo tl ottn l t [D] : [ D] Stto pno fozon onotnt h l oponnt llo tto tnonl σ z zo nl o fozon pn non op ln loo no nll l z ptnto non n p n onzon: l t [D] n n 33. lnto pno tngol t no Mt gzz Inho on l tto {F} l foz tn h gono ll lnto h ono pplt ttnt no: Inho nolt on l tto {p} h tt p ntà ol o l zon nzl: { F } k { p} U k k X Y p k lo glol ll lnto h h l foz tn no ttnt lnt ll tnon {σ } gnt l ontono ll lnto. P to l onzon lo t l foz tn l zon ntn ot llo tto tnonl o l pnpo lo tl ponno n po potnt tl l loo opto ll foz tn ggl llo opto ll foz ntn 5
16 lnto pno tngol t no Mt gzz Il tto { } * o potnto ntno tl l fozon ongnt l po potnt tl ono t tto: { } [ ]{ } Il loo tl opto ll foz tn l: * { } * { F} { f } { p} ppnt l po potnt tl. { f * * } [ ]{ } * * Il loo tl opto ll tnon ntn l: { } []{} σ Ugglno lo ottn: B * [ ] { } [ ] { } F p * [{ } ] { F} [ ] { p} [{ } ] * [ B] {} σ * [{ }] [ B] {} σ * * { f } { } [ ] [ ] lnto pno tngol t no Mt gzz * [{ } ] { F} [ ] { p} [{ } ] * [ B] {} σ lnno lo potnto tl lnto ottn: { F} [ B] {} σ [ ] { p} Rono l lzon: {} [ B] {} {} σ [ D] {} { } { } σ { } {} [ D] [ B]{} { } σ σ { F} [ ] [ ] [ ] B D B {} [ B] [ D] { } [ B] { σ} [ ] { p} 6
17 lnto pno tngol t no Mt gzz { F} [ ] [ ] [ ] B D B {} [ B] [ D] { } [ B] { σ} [ ] { p} Qt lzon è l tpo: In onlon pò : [ ] [ B] [ D] [ B] { F } [ B] [ D] { } { } [ B] { σ } Fσ { Fp} [ ] { p} { F} [ ] {} { F } { F } { F } σ Mt gzz lnto Foz nol lnt ll fozon nzl ltzon t Foz nol lnt ll tnon nzl tnon Foz lnt h nfont tt pon foz p lnto pno tngol t no Mt gzz S po o l lolo ll t gzz nl o lnto pno t no on tto pno tnon. Co è to p l lnto tngol fozon otnt offnt ll t [B] ono ll otnt. ntgzon è n n pl oltplzon. Inno on t lo po otnt ll lnto pò : [ ] [ B] [ D] [ B] B B t B [ D] [ B B B ] B DB B DB B B DB B DB [ ] B DB B DB B DB t B DB DB gn ottot pò tt o g: [ ] [ B] [ D] [ B] t 7
18 8 gn ottot : [ ] [ ] [ ] [ ] t B D B lnto pno tngol t no Mt gzz [ ] t D [ ] [ ] t D - Po pootto : lnto pno tngol t no Mt gzz
19 9 Sono pootto : lnto pno tngol t no Mt gzz [ ] t [ ] t lnto pno tngol t no Mt gzz gn ottot [ ]
20 [ ] lnto pno tngol t no Mt gzz t oplt [ ] t gn ottot [ ] lnto pno tngol t no Mt gzz t oplt [ ] t
21 lnto pno tngol t no foz nol lnt A to pnto ono ltt nh l foz nol lnt { F } [ B] [ D] { } { } [ B] { σ } Fσ { Fp} [ ] { p} Foz nol lnt ll fozon nzl ltzon t Foz nol lnt ll tnon nzl tnon Foz lnt h nfont tt pon foz lnto pno tngol t no foz nol lnt { } [ B] [ D]{ } t F B D B D t BD P l ngolo ottotto -o h: α t { F } [ B] [ D]{} t [ D] [ D ] α t
22 - lnto pno tngol t no foz nol lnt α t t α t α Il ottotto -o h n l pon: { } F lnto pno tngol t no foz nol lnt { } t F α Il tto oplto h ppnt l foz lnt n ltzon t ll lnto ot n nnto ll tpt pò n tto o g:
23 lnto pno tngol t no foz nol lnt A to pnto ono ltt nh l foz nol lnt { F } [ B] [ D] { } { } [ B] { σ } Fσ { Fp} [ ] { p} Foz nol lnt ll fozon nzl ltzon t Foz nol lnt ll tnon nzl tnon Foz lnt h nfont tt pon foz lnto pno tngol t no foz nol lnt foz nol lnt h nfont tt ll lnto poono p o g: { F } [ ] { p} p I I I { p} P l ngolo ottotto -o h: { F } [] I { p} p X Y Il tto oplto o è ftto n pnt ottn flnt l ottotto gno ptno gl n. 3
24 o n oo.. lnto pno tngol t no po lolo
25 lnto lto tngol t no z lnto lto è fnto olo nl pno on poto z z z po lolo lnto - no noo oont 5
26 lnto t lnto - no n go ltà p noo: potnto l Conzon l ontono: Fnzon potnto Slt n oo to Fnzon ln lnto pot fo otto o I offnt pnono ll got ll lnto gl potnt nol 6
27 7 lnto t lnto - no n go ltà p noo: potnto l Fnzon potnto [ ] {} [ ] [ ] lnto t lnto - no n go ltà p noo: potnto l Fnzon potnto
28 lnto t lnto - no n go ltà p noo: potnto l [ B] {} [ B B ] [ B] B Dfozon B B Fnzon potnto B lnto t lnto - no n go ltà p noo: potnto l Fnzon potnto non {} σ [ D] {} t tnon n to o plnt l olo Yong [ D ] σ C ono o ttt gl lnt p lol l t gzz ll lnto t: [ ] [ B] [ D] [ B] nno onto h [B] h [D] ono npnnt pò lol [] olto plnt: [ ] [ B] [ D] [ B] A 8
29 lnto t lnto - no n go ltà p noo: potnto l [ ] B [ ] A [ B] [ B] [ B] A Fnzon potnto t gzz [ ] [ B] [ D] [ B] A [ ] A [ B] [ B] t gzz nl t fnto ll lnto A lnto t Folzon opt S l oont è lolt ptto ll oont ntl on n fnzon llo to go oo on lo to no pt ll fnzon potnto llo l lnto n tto opto. lnto n tto n pto o p pto n n l no pt nfo o po llo ll fnzon potnto. lzon t l nl t fnto gnl l p n n t oont ntl ll lnto: pò ottnt on fnzon nth ll tlzzt p ppnt gl potnt ntn ll lnto n fnzon gl potnt nol 9
30 lnto t Folzon opt P lol pò po o g: P - P Dll p lzon h: Dll on: : lzon t l nl t fnto gnl l p n n t oont ntl ll lnto: pò ottnt on fnzon nth ll tlzzt p ppnt gl potnt ntn ll lnto n fnzon gl potnt nol n: lnto t Folzon opt fnzon f pò ottnt o g: - 3
31 S pò nh l fnzon n Pò onnnt pl nh n n fo n po : lnto t f Folzon opt lnto t f [ ]{} [ ] pò p tt fnzon fo [ ] Folzon opt {} è l tto ll oont nol nl t fnto gnl 3
32 lnto t [ ]{} Con l t fnzon fo n lolto lo potnto ntno ll lnto Folzon opt [ ]{} [ ] [ ] {} è l tto gl potnt nol lnto t fozon n lolt tt l t ll fnzon fo: [ ]{} [ B ] [ ] In to o lo Jono l: Folzon opt n tto Jono n on J J J 3
33 lnto t fozon n lolt tt l t ll fnzon fo: [ B] [ ] Folzon opt opzon zon pò n ftt o g: J J [ B ] [ ] [ ] [ ] t B l n: [ B] lnto t t gzz ll lnto opto pò lolt o onto: [ ] [ B] [ D] [ B] Folzon opt [ B] [ ] [ B] [ D] [ B] [ ] [ ] [ ] B D B A J [ B] [ B] AJ Rono h: [ B] [ B] J h: [ ] A 33
34 lnto pno no Folzon opt [ ]{} Coont ntl [ ]{} {} { } 3 3 {} { } 3 3 [ ] 3 3 lnto pno no Folzon opt Coont ntl 3 3
35 35 lnto pno no Folzon opt φ φ φ φ φ φ φ φ J φ φ [ ] J J J J J [ ] [ ] Γ J Γ φ φ φ φ φ In gnl t n fnzon pò fnto lo ono pò fnto nh l opto no lnto pno no Folzon opt l o ll lnto opto pno tto no l fnzon on ono : 3 3 J 3 3 J 3 3 J 3 3 J [ ] J 3 3
36 36 lnto pno no Folzon opt A to pnto ono ttt gl lnt p l lolo ll t [B] : γ {} γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ lnto pno no Folzon opt {} [ ]{} B
37 lnto pno no Folzon opt t [] : [ ] [ B] [ D] [ B] [ B] [ D] [ B] t t po ll lnto [ ] [ B] [ D] [ B] t t J o t J J J J J 37
MACCHINE ROTANTI A CORRENTE ALTERNATA:
ACCHIE OTATI A COETE ATEATA: GEEAITA Inouzon l pn polo ngono noo l nozon h onnono l'nl l funzonno ll hn on on ln. T l pozon pol è l l o fol o ol o nno lun n phé onn un on unf l funzonno n g zono no. T
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