Teoria degli errori. Topografia Corso di Laurea in Ingegneria Civile, dell Ambiente e del Territorio Università di Pisa

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1 Teor degl error Se s sur pu volte l stess grdezz s ho rsultt dvers speclete se le sure s o co lt precsoe. Se, per esepo, s sur su u crt l dstz r due put co l doppo decetro le deterzo otteute o l deco d lletro sro sepre l'u dvers dll'ltr. Se però s vuole u'pprosszoe ore (per es. l ) le vre deterzo rsultero cocdet. Nscoo llor quest: ) Qule vlore ssuere per u grdezz dell qule s soo tte sure co rsultt o cocdet? ) Qule sr l grdo d precsoe d ttrure tle vlore? ) II sste d sur sr ccettle? A quest quest le rsposte le d l teor degl error d osservzoe, che trov pplczoe tutte le sceze d osservzoe, qudo s eettuo uerose sure d u grdezz. I rsultt soo tto pu ccettl quto ggore è l uero delle deterzo dell grdezz ese. Gl svlupp d tle teor cosetoo po d rcvre, per vr tp d sur, l precsoe che c s deve ttedere el deterrle e, qud, l tollerz ccettle per cscu tpo d operzo. Slde Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

2 Teor degl error Le sure s clssco DIRETTE e INDIRETTE. S le ue che le ltre possoo essere codzote. Soo DIRETTE d u grdezz quelle che possoo esegurs sovrppoedo I'ut d sur ll grdezz d surre e leggedo drettete l vlore. Per esepo le sure d u lughezz eettut edte l'pego d u etro. Soo sure INDIRETTE d u grdezz quelle che possoo essere otteute ttrverso relzo ltche, che lego tr loro ltre grdezze surte drettete. Per esepo, l dslvello tr due put puo essere rcvto dll relzoe ΔAB D cotgz dove D rppreset l dstz topogrc tr A e B, z I'golo zetle. I questo cso, qud, l sur del dslvello vee rcvt odetlete dll sur drett d u dstz e d u golo. Le sure vegoo po dete codzote, qudo le grdezze che s detero deoo sottostre delle codzo ote. Ad esepo se s suro gl gol ter d u polgoo d vertc, le sure eettute dovro soddsre l codzoe α ( ) π Slde Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

3 Teor degl error S desce errore ssoluto d u quluque delle sure eettute l derez tr l vlore dell grdezz ed l vlore surto; l'errore reltvo è l rpporto tr I'errore ssoluto e l sur dell grdezz. Crc l tur degl error d cu soo ette le sure, dreo che tl error s suddvdoo tre ctegore: grossol, sstetc e ccdetl. Soo error grossol (outler) quell dovut qulche svst ell'esegure le sure coe, d esepo, l cotre u uero d utà d sur dverso d quello rele, se per esepo s esegue u deterzoe drett d Iughezz; el leggere d u grduzoe u vlore errto, se s sur u golo, ecc. Tl error o soo tel qudo s eettuo pu sure d u grdezz perchè llor s ot suto se r le sure cocordt ce 'è qulcu che s dscost otevolete dlle ltre. Vedreo che lo scosteto sso d u sur c verrà orto dll dseguglz d Tcheyche. Slde Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

4 Teor degl error Gl error sstetc (s) soo quell dovut ll'pego d uo strueto o u etodo d sur che cc sglre sepre ello stesso seso. Tl error ho duque sego costte e possoo lure che grveete sulle sure; geere operdo co ccurtezz possoo essere dvdut e vlutt. S possoo qud correggere le sure o s possoo usre gl struet co etod che coseto d elre tl error. Ad esepo, vedreo che ell sur degl gol orzzotl lcu error dovut dett struetl s possoo elre eettudo due letture opportue poszo dello strueto e cedoe l ed (letture cougte). Slde 4 Gl error ccdetl o csul, soo error dovut cuse dverse, dpedet r d loro. Tl error s preseto elle sure volte co u sego, volte col sego opposto, e qus sepre co vlor puttosto pccol. Soo geerlete dovut II'osservtore, gl eett dell'ete, gl struet, II'or d osservzoe, ecc. Gl error ccdetl soo evtl elle sure, tuttv s puo rdurre l loro eetto rpetedo pù volte l sur d u grdezz e cosderdo I'errore ccdetle coe u vrle csule (letor). L "teor degl error" s occup esclusvete degl error ccdetl e orsce crter per elorre rsultt d pù sure dell stess grdezz llo scopo d deterre lt etro qul devoo essere coteut gl error per poter essere cosdert csul e d clcolre I vlore pù prole dell grdezz. Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

5 Teor degl error Osservo che geere o h seso prlre d vlore vero d u grdezz, e s puo pù coveeteete prlre d vlore stteo e deterte codzo, quto le grdezze sche vro el tepo per dverse cuse, r le qul l tepertur, l pressoe e l'udt reltv dell ete. Solo lcu cs s puo dere l vlore vero d u grdezz coe, d esepo, qudo s trtt dell so de tre gol d u trgolo po (che deve essere egule 8 ) o dell so degl gol gro d'orzzote ttoro d u stzoe (che deve essere u golo gro). I cz del vlore vero, e coortt dl tto che, se pure le grdezze sche soo vrl, le loro vrzo soo geerlete olto pccole e spesso eror ll'pprosszoe de ostr ezz d sur, s desce u vlore pù coveete (o pù ttedle o st) dell grdezz, rcvto dl sste d sure eettute, secodo u crtero prestlto e geerlete ccettto. II crtero che s ccett per deterzo oogeee (coè esegute dllo stesso osservtore, co gl stess ezz struetl, ello stesso tepo, elle stesse codzo etl, co l stesse ccurtezz) è quello d predere coe vlore pù coveete dell grdezz l ed rtetc delle deterzo esegute (Postulto dell ed). Slde 5 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

6 Teor degl error So (,,..., ) vlor otteut ell'eetture sure d u stess grdezz. S ssue coe vlore pù coveete dell grdezz, l uero dto dll relzoe:... S cho scrt (o error ppret) v le dereze r rsultt delle deterzo esegute ed l vlore pu coveete: v -, v -,..., v - S cho error ver le loghe dereze el cso cu dell grdezz oggetto d sur s coosc l vlore vero: -, -,..., - Slde 6 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

7 Teor degl error Se s eettuo uerose sure d u grdezz ot (d es. so degl gol ter d u trgolo) e s clcolo, coe or detto, gl error ver, s trov speretlete che tl error soddso le seguet cosderzo: ) gl error postv s preseto co ugule requez d quell egtv; ) gl error pccol soo pù requet d quell grd (gl error s ddeso toro llo zero, coè se s cosdero due tervll d egule pezz uo prosso llo zero e I'ltro pu dscosto, el pro cde u uero ggore d error); ) gl error soo sepre copres etro due detert lt. Se s dstruscoo gl error su u sse delle scsse, s dvde I'tervllo totle cu ess cdoo tt tervll ugul Δ e s clcoll l requez / (uero degl error che cdoo ell'tervllo dvso per l uero totle degl error) dell'errore cscu tervllo s trovero uer decrescet o che c s llot dll'orge. Slde 7 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

8 Teor degl error Rporto su og tervllo Δ u rettgolo co ordt y tle che s: y d / coe tle che l're del rettgolo rsult egule ll requez dell'errore queli'tervllo, u scl presst; s otterrà u dgr del tpo d quello dsegto. L're d tle dgr ugule quto s h: Se s pss l lte per Δ tedete zero, ell potes che le osservzo so tete uerose e s dstrusco co cotutà sull'sse, l dgr dvet u curv (curv d requez teorc d Guss, stess gur), che espre l legge teorc d dstruzoe dell requez degl error per u sste d sure che sodds le codzo sopr eucte. Slde 8 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

9 L dltà delle sure Precch ter vegoo pegt per esprere l dltà delle sure. Tre vocol d uso requete soo precsoe, ccurtezz e certezz. L precsoe espre l grdo d recproc vcz o coortà d sure rpetute dell stess quttà (descrve l cocetrzoe d sure rpetute). Se le sure rpetute soo olto vce r loro, s dce che ho elevt precsoe; se soo dsperse, ho ss precsoe. L lt precsoe geere rlette l elevto lvello d ttezoe e perezoeto ell struetzoe e elle procedure segute per eetture le sure. L precsoe è dct dll dspersoe o dusoe dell dstruzoe delle proltà. Quto pù strett è l dstruzoe, tto pù elevt è l precsoe, e vcevers. U dce coue dell precsoe è l devzoe stdrd. Quto ggore è l precsoe, tto ore è l vlore d, e vcevers. Slde 9 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

10 L dltà delle sure L ccurtezz è l grdo d coortà o vcz d u sur l vlore rele (espre l dstz r le sure ed l vlore vero). L ccurtezz coprede o solo gl eett d error csul, che le devzo dovute d error sstetc o corrett. I ssez d quest ult, l devzoe stdrd può essere ust che coe dctore dell ccurtezz. L certezz è l tervllo ll tero del qule s presue che s copreso l errore d u sur. U dto lvello d proltà è geerlete ssocto d u certezz. Ad esepo, l certezz del 9% rppreset l tervllo d vlor ll tero del qule è prole l 9% (vle dre che l proltà è.9) che rcd l errore dell sur. I geerle, se l certezz d u sur è ot, dovree essere dt see l vlore surto. Slde Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

11 L dltà delle sure U sur ottle deve essere ovvete precs ed ccurt, cpt volte d eetture sure precse o ccurte, oppure ccurte o precse, oppure che, el cso peggore, o ccurte e o precse. E stz clzte u log r le sure e gl spr rpetut d u trtore u ersglo, che potreero essere: vc gl u gl ltr e cocetrt ttoro l cetro del ersglo: sur precs e ccurt (Cso ); dspers ttoro l cetro del ersglo: sur poco precs ccurt (Cso ); vc gl u gl ltr e cocetrt ttoro d u puto loto dl cetro del ersglo, gr per u srettc del ro: sur precs o ccurt (Cso c); dspers ttoro u puto loto dl cetro del ersglo: sur poco precs e poco ccurt (Cso d) Slde Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

12 Prole dell st Og operzoe d sur d u grdezz sc, purchè ett d sol error ccdetl vet edete lo stesso orde d grdezz, equvle ll estrzoe csule d u destà d dstruzoe orle (o guss). STIMA STIMATORE vlore uerco ttruto d e (crtterstc dell dstruzoe guss). relzoe ltc, uzoe d u cpoe ltto d estrzo csul, che desce l st L st de pretr dell dstruzoe orle, uzoe de vlor d u cpoe estrtto cso, vvee ttrverso l pplczoe d prcp ssotc, uo de qul è quello d MASSIMA VEROSIMIGLIANZA Slde Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

13 Prole dell st IN GENERALE Cosdero u dstruzoe teorc () dpedete d r pretr θ, θ,..., θ r. Cosdero u -pl,,..., d dvdu estrtt cso dll dstruzoe teorc. L destà d proltà d quest dstruzoe srà: P(,,..., / θ, θ,..., θ r ) ( ) ( ) ( ) L proltà srà tto pù lt quto ggore srà l verosglz o plusltà delle ste de pretr θ, θ,..., θ r DISTRIBUZIONE GAUSSIANA Applcho l prcpo d ss verosglz ll dstruzoe guss, dove pretr d stre soo ed e vrz. Slde Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

14 Prole dell st L proltà d estrzoe legt l sgolo dvduo dell -pl d vlor estrtt cso,,..., dll dstruzoe teorc è: dp ( ) d L proltà dell usct dell tero cpoe,,..., s ottee dl teore delle proltà coposte: dp ( ) ( ) ( ) d L ( ), dpedete d ed e vrz, per u dstruzoe guss è: ( ) π e ( ) qud l proltà d usct dell tero cpoe è: P(,,..., /, ) e ( π ) ( ) Slde 4 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

15 Prole dell st L proltà è ss qudo è o l espoete d e: ( ) che per costte c orsce l PRINCIPIO DEI MINIMI QUADRATI ( ) Qud, se l () è u dstruzoe guss, l prcpo d ss verosglz coduce l prcpo de qudrt e l drett pplczoe d questo prcpo port ll deterzoe dell st pù plusle del pretro ed. Slde 5 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

16 Propretà degl sttor Geercete l procedeto d st de pretr d u dstruzoe guss srà dcto el seguete odo: h(,,..., ) g(,,..., ) dove h e g rppreseto geerc sttor. Le ste geerte dgl sttor devoo soddsre delle propretà e devoo essere: - CONSISTENTI - NON AFFETTE DA ERRORI SISTEMATICI - EFFICIENTI Slde 6 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

17 Propretà degl sttor CONSISTENTI: U st s dce cosstete se, l tedere ll to del uero d eleet, costtuet l cpoe utlzzto, tede l vlore teorco del pretro stto. Og st è u quttà letor, quto dpede d u cpoe letoro, qud og uzoe degl vlor estrtt desce u popolzoe delle ste d cpo d eleet, ovvero u vrle csule. Per le dstruzo delle ste s potro dere, logete quto vvee per u qulss vrle csule, l ed e l vrz. Slde 7 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

18 Propretà degl sttor NON AFFETTE DA ERRORI SISTEMATICI: U st s dce o ett d errore sstetco se l ed dell popolzoe delle ste cocde co l ed dell popolzoe d cu vegoo estrtt cpo. EFFICIENTE: U st s dce ecete se, rspetto tutte le possl ste del pretro, l popolzoe cu pprtee h l vrz. Slde 8 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

19 Msure drette d ugul precsoe Per trovre uo sttore dell ed pplcho l prcpo d ss verosglz e trovo l vlore per cu è verct l equzoe: ( ) Dervdo rspetto ll cogt ed ugugldo zero l dervt: d d ( ) - d cu l st pù plusle del pretro ed: ( ) Slde 9 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

20 Msure drette d ugul precsoe Bsog vercre se l st dell ed otteut rspett le propretà eucte precedez.... Estrrre dll vrle csule l -pl d vlor,,..., e po re l ed rtetc equvle clcolre u dvduo d u uov vrle csule cht delle ede. Rpetedo te volte quest operzoe geero t vlor e qud costruo l dstruzoe delle ede, che srà orle coe quell d prtez. Slde Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

21 Msure drette d ugul precsoe Per vercre l otà dell st doo clcolre l vlore dell ed teorc dell dstruzoe delle ede. Cscu vlore d quest dstruzoe è stto rcvto coe ed rtetc d u cpoe d dvdu (,,..., ) estrtt dll dstruzoe orgle L relzoe tr e,,..., srà u relzoe r vrl csul dpedet del tpo orle e qud posso clcolre l vlore dell ed teorc dell dstruzoe delle ede che st pro ero. Utlzzdo l opertore M[] co l sgcto d clcolo l vlore dell ed teorc dell dstruzoe : M [ ] M[ ] M[ ]... M[ ] Slde Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

22 Msure drette d ugul precsoe Noto che: M [ ] M[ ] M[ ]... M[ ] - l dstruzoe è costtut d t vlor estrtt per pr dll dstruzoe e vrà qud ed teorc e vrz. - l dstruzoe è costtut d t vlor estrtt per secod dll dstruzoe e vrà qud ed teorc e vrz l dstruzoe è costtut d t vlor estrtt per ult dll dstruzoe e vrà qud ed teorc e vrz. Qud: M [ ]... Coè l ed teorc dell dstruzoe delle ede cocde co l ed teorc dell dstruzoe orgle e qud l st o è ett d errore sstetco. Slde Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

23 Msure drette d ugul precsoe Per quto rgurd l deterzoe dell vrz dell dstruzoe delle ede, pplcdo le regole dell cozoe d vrl csul dpedet d tpo orle, s h: I se lle dezo dte pr, s può dre che l st è ecete. L eetture osservzo d u stess grdezz, ovvero eetture estrzo d u dstruzoe d vrz, e costrure l ed rtetc del cpoe, equvle d esegure u uc osservzoe d u dstruzoe che h l stess ed teorc () ed u vrz volte pù pccol ( / ) Slde Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

24 Slde 4 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps Msure drette d ugul precsoe L st dell vrz dell dstruzoe orgle, se l cpoe estrtto,,...,, è vece ett d errore sstetco. Itt, secodo l dezoe dt, l vrz vle: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s s ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

25 Slde 5 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps Msure drette d ugul precsoe I ter secodo ero soo pr, secodo le dezo dte, rspettvete ll vrz dell dstruzoe orgle ( ) e quell dell dstruzoe dell ed ( ) e qud: L dstruzoe delle vrze s o cocde qud co quell dell dstruzoe orgle e pertto l st è ett d errore sstetco. Per otteere u st uo è sucete oltplcre tutt gl dvdu del cpoe per l tere correttvo / (-). L st dell vrz dell dstruzoe orgle è qud: ( ) ( ) s s ( ) ( )

26 Msure drette d ugul precsoe L st dell vrz dell dstruzoe delle ede, prtre dl cpoe estrtto,,...,, srà qud: ( ) ( ) Msurre drettete u grdezz sgc qud: - esegure osservzo,,..., - clcolre l ed rtetc - clcolre l vrz dell dstruzoe delle ede L sur dell grdezz s esprerà coe: ± Slde 6 Ovvero l ed rtetc ccopgt dllo scrto qudrtco edo dell dstruzoe. Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

27 Slde 7 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps Dsuguglz d Tcheyche L vrz è u dce d dspersoe stz sgctvo. Per u dstruzoe d proltà quluque s può scrvere: Fssto u vlore dello scrto ν copreso tr ν e ν, s pogo ugul zero tutt vlor degl scrt eror o ugul ν, ed ugul ν tutt gl scrt superor; s h che: L so de ter tr pretes desce l requez reltv * degl scrt che ho u vlore ssoluto superore ν ; pochè l so d tutte le requeze reltve è ugule d uo, l requez reltv * degl scrt eror o ugul ν è: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * * * cu d e qud ν ν ν ν ν ν

28 Dsuguglz d Tcheyche Poedo ν λ ( ) S h l dseguglz d Tvheyche, sgctv per λ> * λ Per λ, rsult *.75, ovvero qulss dstruzoe leo l 75% degl dvdu è dstruto ell tervllo [ -, ]. Per λ, rsult *.89, ovvero qulss dstruzoe leo l 89% degl dvdu è dstruto ell tervllo [ -, ]. Nel cso d u dstruzoe d proltà d tpo gusso le percetul ueto. Slde 8 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

29 Dstruzoe d Guss L destà d proltà d u vrle csule orle o guss d ed e vrz è: ( ) () e π Le prcpl crtterstche d quest dstruzoe soo: - è setrc rspetto ll rett ; - h due less corrspodez de put e ; - l crescere d l curv s ppttsce e vcevers, l dure d, dvet pù guzz; - è det d - e qud: Gl dvdu d u quluque vrle csule d tpo orle s dstruscoo ttoro l vlore dell ed secodo le seguet percetul: l 6,% è copreso ell tervllo [, ] l 95,4% è copreso ell tervllo [, ] l 99,7% è copreso ell tervllo [, ] ()d Slde 9 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

30 Msure drette d ugul precsoe Per l dseguglz d Tcheyche s h che per l estrzoe delle ede dervt dlle sure dell grdezz : tr tr tr e e e l prolt à è del 68% l prolt à è del 95% l prolt à è prtce te del % L tervllo ± rppreset qud l ss vrzoe possle de vlor otteut cedo l ed rtetc d sure. L ss vrzoe d u sol sur è vece pr ±. ERRORE GROSSOLANO sur che dersce dll ed per pù d ±. Eseguedo sure e clcoldo l ed rtetc s dusce d volte l tervllo d vrltà delle sure (l ueto d precsoe cresce co l rdce qudrt del uero d sure). Slde Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

31 Msure drette d ugul precsoe!!se s esegue u sol sur d u grdezz o s lcu odo d vercre se tle vlore è etto d errore grossolo!! Coe dell dstruzoe d cu è stt estrtt l sur covee ssuere quello dell precsoe struetle crtterstc dello strueto pegto per l sur. Ache eseguedo sure co struet d ss precsoe covee ssocre l vlore rppresettvo dell sur u pr ll precsoe struetle perchè, prolete, l rpetzoe dell sur dree u vlore ugule quello precedete e sree errto ttrure ll sur uo scrto qudrtco edo ullo. Slde Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

32 Msure drette d ugul precsoe Esepo: U golo zutle è stto surto quttro volte co seguet rsultt: α surto α - ( α - ) α α 54 g,654 -, g,659 -, g,6547, g,6544, -8 Σ 4-8 α 54 4 g,654 ( α ) α ± g ±,4 g,7 L sur dell golo srà duque: α 54 g,654 ± g,7 Slde Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

33 Msure drette d dvers precsoe Se u grdezz (d esepo u golo zutle) vee surt pù volte co struet vet dvers precsoe d sur o codzo opertve deret, o è possle rcvre l st co l seplce ed rtetc delle sure esegute. Le dstruzo vro tutte ed, pochè rppreseto l stess grdezz, vro vrze dverse, pochè d precsoe dvers. D cscu dstruzoe vee estrtto u dvduo O e qud coplessvete vreo dsposzoe u cpoe O, O,..., O. Slde Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

34 Msure drette d dvers precsoe L proltà d estrzoe del sgolo dvduo O dll reltv dstruzoe è: (O ) π (O ) Cscu dvduo O s può pesre coe rsultto dell ed d pù dvdu estrtt d u dstruzoe vete l stess ed teorc delle sgole dstruzo e vrz pr cu s dà l oe d vrz dell utà d peso; ess rppreset l vrz d u dstruzoe cu è stto rtrrete ttruto u peso utro. e Estrrre u dvduo O dll dstruzoe d vrz equvle d estrrre p dvdu dll dstruzoe d vrz e po re l ed. Slde 4 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

35 Msure drette d dvers precsoe Medte pes, tutte le dstruzo vegoo rerte ll dstruzoe d peso utro. Scegledo odo del tutto rtrro, pes delle sgole sure sro: p, p,..., p L proltà d estrzoe del sgolo dvduo O dll dstruzoe d vrz è: (O ) p π e p (O ) L proltà d usct dell tero cpoe O, O,, O è dto, per l teore delle proltà coposte, dl prodotto delle sgole proltà: V(O,O,...,O,, ) ( p p... p ) ( π ) e p (O ) Slde 5 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

36 Msure drette d dvers precsoe Quluque s l vlore d, l sso dell uzoe V s h qudo l espoete d e è o: p (O ) Coe tto precedez, dervo rspetto l sotor e poo ugule zero l dervt: d d p O p (O ) p p - p O p (O ) p p p S ottee così l MEDIA PONDERATA delle O sure d dvers precsoe: p p O p po p O... p p p... p O Slde 6 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

37 Msure drette d dvers precsoe Se pes vegoo oltplct tutt per u stess costte, l vlore dell ed podert o c.!! L scelt d può essere rtrr!! Per vercre che l st dt dll ed podert è u uo st, sog ppurre che s: - cosstete - o ett d error sstetc - ecete Per r questo procedo logete l cso dell ed rtetc ell potes d sure d ugul precsoe, potzzdo d esegure te volte l estrzoe del cpoe O, O,, O. M [ O ] M[ O ]... M[ O ] Slde 7 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

38 Slde 8 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps Msure drette d dvers precsoe Qud, l ed dell dstruzoe delle ede poderte srà: rest così dostrto che l st d è cosstete e o ett d errore sstetco. Per quto rgurd l vrz dell dstruzoe delle ede poderte, pplcdo le regole sull cozoe d vrl csul: Questo sttore, che rsult essere corretto, è utlzzle el cso so ote le vrze delle osservzo, che ho dto l st dell ed podert. [ ] [ ] [ ] [ ] P P p... p p M O p... M O p p M O M p p p p p p p... p p p p

39 Slde 9 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps Msure drette d dvers precsoe Nel cso cu s coosco solo pes s può scrvere, rcorddo che Per poter clcolre questo odo, è ecessro stre l quttà. S può dostrre che l glor st dell quttà è rcvle co l seguete espressoe: p p p p p p ν p

40 Msure drette Cosdero u grdezz ed grdezze,,..., tr le qul esst u lege uzole del tpo: (,,..., ) Le grdezze possoo essere surte drettete e qud essere tr loro stocstcete dpedet; questo cso ogu d loro è rppresett d u st dell ed e dell vrz che h crtterzzto l loro sur. Se vece le grdezze soo surte drettete esse rsulto geerlete stocstcete correlte e qud soo rppresette d vlor stt delle rspettve ede e d u trce d Vrz-covrz dell dstruzoe deso,,...,. U Slde 4 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

41 Msure drette L relzoe (,,..., ) desce l grdezz coe u vrle csule cu pretr dpedoo d pretr delle vrl csul. Msurre drettete l grdezz sgc dere l dstruzoe delle sure possl dell prtre dlle vrl csul dpedet che descoo le sure drette oppure l vrle csule d deso dpedete dlle vrl,,..., che desce glolete le sure drette d queste grdezze. Due cs possl: ) Lege uzole cozoe lere delle soluzoe seplce. ) Lege uzole lege pù coplesso r le sog geerlzzre l procedeto rsolutvo. Slde 4 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

42 Lege uzole Lere I questo cso è esprle coe: Msure drette... Nel cso cu le grdezze so stocstcete dpedet, l st dell ed d s può esprere coe:... e l vrz coe:... Se le vrl soo correlte l ed è l stess, etre l vrz vle: ( -) ( -)... Slde 4 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

43 Msure drette No cedo lcu potes sull or del lege uzole s h: s O, O,..., O u cpoe estrtto d cscu delle dstruzo d sure possl d,,...,. Og vlore O è l rsultto d u estrzoe csule dlle dstruzo d ed teorc. Qud è possle esprere le O el seguete odo: O ν O v... O v Se gl scrt v soo suceteete pccol d poter cosderre trscurl loro qudrt, posso lerzzre l equzoe del lege uzole co uo svluppo sere d Tylor ttoro l puto deto dlle ede teorche. Slde 4 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

44 Msure drette S ottee così: (O,O,...,O ) ( v, v,..., (,,..., ) v... v Rpetedo te volte l estrzoe del cpoe O, O,..., O see co le operzo pr descrtte, costruo le dstruzo pro e secodo ero dell equzoe lerzzt. Applcho qud l opertore M[ ] lle dstruzo così costrute: M (O,O,...,O ) - (,,..., ) M v... M v L ed dell dstruzoe pro ero è ull quto l secodo ero è u cozoe d vrl scrto, che per dezoe soo dstruzo ed teorc ull e qud: [ ] [ ] [ ] M perchè gl t vlor teorc (,,..., ) soo tutt ugul r loro. v ) [ (O,O,...,O )] (,,..., ) Slde 44 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

45 Msure drette Og -pl O, O,..., O estrtt è u st d (O, O,..., O ). Le te -ple geero l dstruzoe dell che vrà ed teorc. (,,..., ) Cocludedo, ell potes che gl scrt v so pccol, l ed dell grdezz può essere stt troducedo ell equzoe precedete le ste delle ede delle dstruzo. (,,..., ) Slde 45 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

46 Slde 46 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps Msure drette Per l st dell vrz dell : LEGGE DI PROPAGAZIONE DELLA VARIANZA Nel cso cu le grdezze soo correlte: Nel cso cu le grdezze soo correlte: j j < j......

47 Vrle sttstc due deso Gl dvdu d u popolzoe so crtterzzt d due ttrut (es. pesoltezz, -y, tepertur-pressoe,...). I vlor (,,..., r ) soo crtterzzt d u dstruzoe rgle d requeze (,,..., r ) e logete, vlor (y, y,..., y s ) d u dstruzoe (,,..., s ). Idcdo co H kj le requeze ssolute è possle costrure l tell dopp etrt, che rppreset l vrle due deso (,y).... r y H H... H r y H H... H r r k H k r k H k y s H s H s... H sr s j H j s j H j s j r H r j r k s H k s Slde 47 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

48 Vrle sttstc due deso Cosderdo le requeze reltve reltve h k H k /N, pretr crtterstc, che rppreseto l vrle csule desole, s possoo scrvere el odo seguete: MEDIE: - Med dell sull dstruzoe rgle r s k h k - Med dell y sull dstruzoe rgle y s r k y k h k Slde 48 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

49 Vrle sttstc due deso VARIANZE: -Vrz dell sull dstruzoe rgle r s k ( -Vrz dell y sull dstruzoe rgle ) h k y s r k ( y k y ) h k COVARIANZA: y y r s k ( )( y k y ) h k Slde 49 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

50 Vrle sttstc due deso È portte ettere evdez che el cso desole le requeze h k soo dverse dlle h dete el cso dell vrle oodesole, quto le h k soo requeze codzote. Itt rppreseto le requeze co le qul s preseto le sure qudo so ssocte, coè codzote, lle y k. S può dostrre che, el cso cu le due vrl ed y so dpedet, l covrz è ull. I oet d secodo grdo d u vrle sttstc due deso possoo essere cosdert qul eleet d u trce qudrt setrc cht trce d vrz covrz. y y y Slde 5 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

51 Vrle sttstc due deso L correlzoe r le due vrl d u dstruzoe due deso è u spece d dpedez, dvers d quell uzole quto d u vlore d u vrle possoo corrspodere pù vlor dell secod vrle. S desce coecete d correlzoe lere l quttà: r y ( )( y ) y j N y j y L correlzoe può essere orte o deole; u correlzoe deole è crtterzzt dl tto che le dstruzo codzote vro poco l vrre dell ltr vrle; u correlzoe orte vlor delle due vrl soo qus legte d u dpedez uzole. Il vlore d r è copreso tr - e ; l vlore dc che tr le due vrl o esste dpedez lere o dce ull su ltre evetul correlzo (prolc, espoezle,...) Slde 5 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

52 Slde 5 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps Dstruzoe orle due deso Cosdero or due vrl csul d tpo orle ( e ) r loro correlte e dstrute co legge orle. L destà d proltà è espress d: Quest destà d dstruzoe è Rppresett d u superce Cp, cetrt e y y. Le dstruzo rgl d requez d e y soo quelle cosuete per le vrl oodesol. ( ) y y y y y y r r y e r r - y) (, π e () π y y y e (y) π

53 Slde 5 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps Dstruzoe orle due deso L tersezoe d u po prllelo l po -y co l superce dell dstruzoe d requez dell vrle desole è u ellsse. L equzoe d quest ellsse s trov poedo (,y) K. S ottee: dove Se s vuole lzzre solo l copoete reltv gl error csul, s può porre ugule zero e y e cetrre qud l dstruzoe d proltà (,). S h qud: equzoe d u gl d ellss d errore cetrt ell orge del sste,y d coordte. ( ) ( ) [ ] ( ) y y y y y y y c r y y r cost r K 4π l c c r y y r

54 Dstruzoe orle due deso Se c s ottee l equzoe dell ELLISSE d ERRORE STANDARD. Quest equzoe è dt el sste,y, può essere rscrtt el sste d ss,y, cocdet co sess prcpl dell ellsse. ' cosϕ y' s ϕ L trce d vrz covrz per l vrle csule (,y) è: etre per l vrle csule (,y ) è: Applcdo l legge geerle per l propgzoe dell vrz s h: ' y' ' cosϕ s ϕ s ϕ cosϕ y y y y y' s ϕ cosϕ y y y cosϕ s ϕ s ϕ cosϕ Slde 54 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

55 Dstruzoe orle due deso Svolgedo l prodotto r trc s h: ' y' e sosttuedo s ottee: ( ) sϕcosϕ ( cos ϕ s ϕ ) y s sϕcosϕ cos ϕ ϕ sϕ y y sϕcosϕ sϕcosϕ e y y y s cos ( cos ϕ s ϕ ) ϕ ϕ cos ϕ t ϕ y y dove l qudrte dell golo v dvduto, coe gà tto el cso del clcolo dell zut prtre dlle coordte ote d due put, lzzdo l sego del uertore e del deotore. Slde 55 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

56 Dstruzoe orle due deso Eldo elle equzo dell slde precedete l tere, s ottegoo le espresso delle vrze e y, che corrspodoo gl ss prcpl dell ellsse stdrd: ' y' ( ) ( ) ( ) ( ) 4 y y Clcolto l golo co l equzoe trovt precedez è qud possle trccre l ellsse stdrd. y y D u puto d vst sttstco l ellsse stdrd rppreset l re ll tero dell qule s h l 9% d proltà d trovre u dvduo estrtto cso dll popolzoe. I u ellsse d deso doppe tle proltà sle crc l 8%, etre u ellsse d deso pr volte l ellsse stdrd l proltà super l 99%. 4 y y Slde 56 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

57 Msure drette d pù grdezze co equzo esuert E questo l cso d gr lug pù utlzzto tutte le pplczo topogrche e otogretrche. Prole: stre l ed e l trce d vrz-covrz d u dstruzoe r-desole uzoe d r grdezze drette,,..., r prtre d u cpoe d sure drette rppresette d dstruzo correlte, d ed e vrz ote L, L,..., L ( > r ). Il rsultto dovrà dpedere d tutto l cpoe dspole e s può dre che esso srà l rutto d u copeszoe delle sure esegute. Le grdezze j soo legte lle grdezze L d leg uzol geerc, dpedet soltete d codzo geoetrche e/o sche. Cosdero u seplce esepo: Slde 57 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

58 Msure drette d pù grdezze co equzo esuert S vuole deterre le coordte pletrche (, ) d u puto P vsle d due put A e B d coordte ote (tersezoe seplce vt); l soluzoe del prole vvee trte l sur degl gol zutl A e B. Qulss errore ell sur degl gol deter questo odo u errore ell deterzoe delle coordte del puto sez possltà d ccorgersee. Se vece s esegue che l sur del lto AP, s h u cotrollo sulle precedet sure. Og sur drett eettut srà crtterzzt d u cert precsoe ed ogu d esse dovrà prtecpre co l propro peso ll soluzoe del prole.!! Le sure esuero rspetto quelle e ecessre ll soluzoe del prole geoetrco o devoo dpedere dlle ltre sure!! Slde 58 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

59 Msure drette d pù grdezze co equzo esuert Izo potzzdo che l lege uzole tr le grdezze drette e quelle drette s u cozoe lere d queste ulte. Cosdero u sste d equzo ler che leg r grdezze cogte,,..., r lle grdezze surl drettete L, L,..., L co >r ell potes che og equzoe coteg coe tere oto u sol grdezz surle drettete u... u... u r r r L L L > r dove,,..., u soo coecet ot. Se dspoesso de vlor teorc d ed L, u qulss sere d r equzo, scelte tr le dspol, sree sucete per dre u soluzoe che sodds che le restt -r equzo. Slde 59 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

60 Msure drette d pù grdezze co equzo esuert I or trcle l sste d equzo ler s scrve: A T A T L L L A Mtrce dsego Vettore cogte L Vettore ter ot No s dspoe de vlor teorc L delle grdezze surte drettete l sso delle loro ste. L L relzoe tr I vlor teorc e quell stt, srà espress d ν rppreset lo scrto tr l sur stt e quell teorc. L L ν dove Il sste delle equzo d osservzoe drà pù correttete rscrtto teedo coto degl scrt. Slde 6 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

61 Slde 6 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps Msure drette d pù grdezze co equzo esuert Le quttà v rppreseto gl scrt teorc e soo ch ess cogt. Il sste scrtto h equzo ed r cogte è deterto (o è possle trovre vlor che soddso coteporeete tutte le equzo. IL PROBLEMA VA AFFRONTATO DA UN PUNTO DI VISTA STATISTICO C propoo d stre le ede delle sure drette prtre dlle ste delle sure drette. r r r v L u v L u... v L u... L V T A v L u v L u... v L u... r r r

62 Slde 6 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps Msure drette d pù grdezze co equzo esuert Per otteere lo sttore delle ede pplcho uovete l prcpo de qudrt: Per vere u otzoe pù scorrevole c lto l cso dell st d due grdezze e legte lerete tre sure drette L, L, L. Scrvedo l sste uzoe degl scrt cogt: V T - A v L v L v L V T A v L v L v L v

63 Slde 6 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps Msure drette d pù grdezze co equzo esuert L sotor del qudrto degl scrt v è: Per trovre l o d quest uzoe sog rsolvere l sste delle dervte przl rspetto e poste ugul zero: L L L L L L L L L v ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L L L v L L L v

64 Slde 64 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps Msure drette d pù grdezze co equzo esuert Il sste scrtto è lere due equzo due cogte e. I otzoe trcle: N T L soluzoe s ottee coe: N - T N Mtrce orle (, setrc, dpede solo d coecet del sste orgro) T Vettore de ter ot orlzzt (dpede solo d coecet del sste orgro e dlle ste ote delle sure drette) N - vers dell trce orle (ch ess setrc) L L L L L L T N

65 Msure drette d pù grdezze co equzo esuert Rcptoldo, utlzzdo drettete l prcpo de qudrt per l st delle grdezze cogte, sog: ) Scrvere l sste delle equzo delle osservzo ) Scrvere l equzoe dell sotor de qudrt degl scrt ) Clcolre le dervte przl d quest equzoe rspetto le cogte 4) Scrvere l trce orle del sste d ulleto delle equzo precedet ed vertrl. 5) Clcolre l soluzoe Cosderdo che le grdezze d stre coteporeete soo soltete uero elevto (>)!! E ESTREMAMENTE COMPLESSO APPLICARE UN TALE METODO!! Slde 65 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

66 Slde 66 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps Msure drette d pù grdezze co equzo esuert Sruttdo delle relzo esstet r le trc A, T, N e T, gugereo scrvere l sste orle odo pù gevole. Itt: N A T A T A T T Vercho le relzo el cso dell esepo seplcto precedete: E qud possle rotre l prole dell st d r sure drette uzoe d sure drette odo copletete utotco u volt scrtt l trce dsego ed l vettore de ter ot. T T T L L L L L L L L L T A N A A

67 Msure drette d pù grdezze co equzo esuert Geerlete le sure drette soo crtterzzte d precso dverse, pertto l loro cotruto ll st delle ede delle sure drette deve essere pesto. S dovrà oltplcre cscu equzoe per l peso dell sur drett corrspodete. I otzoe trcle: P A P T co P trce de pes dgole e d orde : P p... p p Qud: N A T P A T A T P T Slde 67 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

68 Msure drette d pù grdezze co equzo esuert S è gà vsto che, ssee ll st dell ed, è d deterre che l st dell vrz. I questo cso, dove le r sure drette soo le vrl csul d u dstruzoe orle r-desole, sog deterre l trce d vrzcovrz (trce qudrt d orde r, che h sull dgole prcple le vrze e elle ltre poszo le covrze). I uzoe delle ede stte l vrz dell utà d peso è: T V P V r co l vettore degl scrt pr : V A T Slde 68 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

69 Msure drette d pù grdezze co equzo esuert L trce d vrz-covrz s ottee dl prodotto dell vrz dell utà d peso per l trce vers del sste orle: C N... r... r r r r U ltr quttà portte d clcolre è l trce d vrz-covrz degl scrt: C vv - T ( P - A N A ) Slde 69 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

70 Slde 7 Msure drette d pù grdezze co equzo esuert Nel cso cu le relzo che lego le r sure drette lle sure drette o so ler, l operzoe d st dovrà essere preceduto d u lerzzzoe (ttoro l vlore pprossto delle cogte) delle equzo d osservzoe e po s procederà odo tertvo. I questo cso, l sste d equzo è: (,,, r / L ) co I,,, > r Nell potes che, so de vlor suceteete pprosst,,..., r delle grdezze d surre drettete odo tle che qudrt degl scrt e le poteze superor posso essere trscurt, posto:... s vrà: r r r (,,...,,L ) (,,...,,L )... r r r r Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

71 Slde 7 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps Msure drette d pù grdezze co equzo esuert Idcdo per og equzoe: s può scrvere l sste d equzo lerzzte: LE INCOGNITE SONO LE QUANTITA DA SOMMARE AI VALORI PER OTTENERE LE GRANDEZZE INCOGNITE. SISTEMA DI EQUAZIONI ALLE CORREZIONI ( ) r r u L,L,...,, r r r L u... L u... L u......

72 Msure drette d pù grdezze co equzo esuert L trce d vrz-covrz dell dstruzoe delle correzo cocde co l trce d vrz-covrz dell dstruzoe delle ste perchè I vlor pprosst soo delle costt. Il procedeto tertvo cosste el cosderre vlor delle cogte, otteut u soluzoe, coe vlor pprosst per l soluzoe successv. L covergez del procedeto tertvo vee ccertt edte l ls delle correzo pportte d og sgol terzoe ed l procedeto potrà essere rrestto el oeto cu l vlore delle correzo srà d u orde d grdezz erore ll precsoe rggugle co l sur. Slde 7 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

73 Copeszoe d u le d lvellzoe Nel oeto cu s h u rete d lvellzoe, ovvero l pprteez d lcu cposld dvers polgo d lvellzoe, o è possle operre per seplce rprtzoe dell errore d chusur e sog dottre u copeszoe presez d equzo d osservzoe esuert. L copeszoe d u rete d lvellzoe s esegue co le stesse odltà, quluque s l tpo d sur de dslvell dottto (geoetrc, trgooetrc,...) Quello che vr è l ettà dello s.q.. delle sure, che el cso d lvellzoe geoetrc cresce proporzolete ll rdce qudrt dello svluppo lere dell le, etre ell lvellzoe trgooetrc s può ssuere, per dstze eror k, che cresc proporzolete ll dstz stess. U rete d lvellzoe può essere o eo collegt d uo o pù put d quot ot. Se o è vcolt per esegure l copeszoe s dovrà ssegre u vlore rtrro ll quot d u puto. L equzoe d osservzoe, che leg le quote cogte h e h j d due put è: h h Δ j j Slde 7 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

74 Copeszoe d u le d lvellzoe Se le sure soo quelle strettete ecessre, l clcolo delle quote de put dell rete è le, rducedos ll so d dslvell prtre d put d quot ot. I prtc, però, s esegue sepre u uero d sure d dslvello superore quello o ecessro e qud l clcolo dell rete dovrà procedere coe sur drett d grdezze co u uero esuerte d equzo Se dslvell surt ell rete soo, potreo scrvere u sste d equzo ler del tpo: h h Δ j j Il sste o rchederà lcu tpo d lerzzzoe e o srà qud ecessro cooscere vlor pprosst delle quote de put dell rete e l soluzoe s otterrà co u sol terzoe d clcolo. Slde 74 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

75 Esepo d copeszoe rete d lvellzoe (A.C) Slde 75 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

76 Esepo d copeszoe rete d lvellzoe (A.C) Slde 76 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

77 Esepo d copeszoe rete d lvellzoe (A.C) Slde 77 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

78 Esepo d copeszoe rete d lvellzoe (A.C) Slde 78 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

79 Esepo d copeszoe rete d lvellzoe (A.C) Slde 79 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

80 Ret pletrche Per deterre delle coordte pletrche de vertc d u rete d qudreto, le uche grdezze topogrche ecessre soo le drezo zutl e le dstze, opportuete rdotte ll superce d rereto. Pr delle operzo d rlevo e copeszoe, occorre dere l sste d rereto el qule s vuole rcvre l soluzoe, ssdo rtrrete le coordte, d u puto dell rete e u drezoe (d esepo l drezoe dello zero dell grduzoe del cercho zutle del teodolte esso stzoe u vertce dell rete). E po possle rototrslre l rete copest per ttrl u sste d rereto le. Slde 8 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

81 Ret pletrche I presez d sure esuert rspetto quello delle cogte srà ecessro esegure u copeszoe. Bsogerà: ) deterre de vlor pprosst delle coordte cogte ( vertc cogte ), utlzzdo lcue delle sure esegute odo d poter postre u trsporto d coordte crtese. ) scrvere le equzo che lego le quttà cogte (coordte, de vertc) lle sure drette (gol e dstze), ter ot delle equzo. Cosdert due put P e P d coordte, e, s può rcvre: ANGOLO DI DIREZIONE: DISTANZA: ( ) tg PP d ( ) ( ) Slde 8 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

82 Ret pletrche Fcedo stzoe u puto P co u teodolte, l orge del cercho zutle s dspoe secodo u drezoe quluque, che o cocde co l drezoe dell sse del sste d rereto scelto. L golo d drezoe (P P ) o è surle drettete. L (lettur zutle teodolte) (P P ) β (correzoe zutle d stzoe) L correzoe zutle d stzoe, dett che oreteto dell stzoe, è u cogt, è ugule per tutte le drezo zutl surte co l teodolte posto stzoe P (purchè o s odch lo zero struetle durte le sure). Per og drezoe zutle surt s può qud scrvere: tg β -L,, β cogt L oto Slde 8 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

83 Ret pletrche Per og dstz surt posso vece scrvere: ( ) ( ) d, cogt d ot Ioltre, el cso cu vego surt gl gol zutl α r vertc dell rete s geero delle equzo del tpo: tg tg α Il prole del clcolo e dell copeszoe d u rete d vertc cosste qud ell sur drett delle coordte, eettut sull se delle sure drette d gol d drezoe, dstze e gol zutl uero strettete sucete o uero esuerte. Per l deterzoe delle coordte s deve dere e rsolvere u sste d r equzo (co r > ), e s devoo qud esegure r sure drette dpedet. Slde 8 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

84 Slde 84 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps Ret pletrche Pochè le equzo utlzzte o soo ler, è ecessro procedere ll loro lerzzzoe clcoldo ter del pro orde dello svluppo sere d Tylor ell toro de vlor pprosst delle cogte. Cosdero l equzoe dell golo d drezoe: So vlor pprosst delle cogte. Lo svluppo sere d Tylor, erto ter ler, è: dove soo le correzo d pportre vlor pprosst delle cogte. β -L tg ),β,l,,, ( ( ) c β β y y,l,β,,, β,,,,

85 Slde 85 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps Ret pletrche Clcoldo le dervte przl e put pprosst otteo coecet: L equzoe lerzzt srà duque: y c d β c (P P ) β L Qudo uo de due vertc h coordte ote l equzoe s seplc perchè le corrspodet correzo sro ulle. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) β d d d c d d -

86 Slde 86 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps Ret pletrche Operdo odo logo per l equzoe ll dstz: Lo svluppo sere d Tylor, ltto ter ler è: Clcoldo le dervte przl co vlor pprosst: L equzoe lerzzt srà duque: y c d y d d ( ) ( ) ( ) d,,d,, ( ) y y,d,,, ( ) ( ) ( ) d' d c' d ' d ' d -

87 Slde 87 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps Ret pletrche Per l equzoe dell golo zutle s h vece: Svluppdo sere d Tylor: ( ) y y y,α,,,,, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' d ' e' d ' d' d ' c' d ' ' d d ' ' d d ( ) α tg tg α,,,,,,

88 Ret pletrche L equzoe lerzzt srà: y c d y e y α α I questo cso è possle che uo o due vertc dell rete tr cu s è surto l golo zutle α so ss, coè d coordte ote; l equzoe s seplcherà pochè corrspodet ter d correzoe sro ull. Lerzzte tutte le equzo d osservzoe srà possle scrvere l sste d r equzo cogte (correzo d pportre vlor pprosst) co r. Dl sste s potrà po scrvere l trce dsego A ed l vettore de ter ot T. Cosdert e pes d ttrure d og sur esegut: ( ) ( p ) srà possle rsolvere l copeszoe co l etodo de qudrt: p α d α d j A T P A A T P T (A T P A) - (A T P T) N - T Slde 88 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

89 Ret pletrche Il vettore soluzoe coterrà le correzo, y che, sote vlor pprosst delle cogte,, dro l vlore delle cogte,. Pochè tutte le equzo soo stte lerzzte sere d Tylor, ell toro de vlor pprosst delle cogte, lttete sol ter ler, l soluzoe drà rcerct edte u sere d terzo d clcolo. Ad og terzoe, l sste rsolvete verrà rscrtto utlzzdo coe uov vlor pprosst quell clcolt ell terzoe precedete. L sequez tertv vee terrott qudo vlor delle correzo soo d u orde d grdezz eror ll precsoe delle coordte cogte. L decsoe d terropere le terzo può che essere pres el oeto cu l st dell vrz dell utà d peso rgguge l suo vlore o. Slde 89 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

90 Eserczo So ote le coordte pletrche d tre cposld,, e 5. Reredos llo sche d rlevo gur, s detero trte l prcpo qudrt le coordte pletrche de put e 4 co l trce d vrz covrz e le reltve ellss d errore. Le sure relzzte soo: 4 dstze: d -, d 5-4, d -, d -4 9 gol zutl: α --, α --, α --, α --4, α -4-, α 4--, α 4--5, α 5-4-, α -5-4 Msure golr [go] Dstze [] Coordte cpsld [] α d- 45. E α d N α d E.67 α d N 54.8 α Coord. Approsste [] E α E 59 N α N 4 Precso α E 4 56 gol. go α E 4 dstze. Slde 9 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

91 Eserczo Soluzoe eserczo trte oglo d clcolo ECEL Slde 9 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

92 Esepo co equzo o esuert Propoo u esepo uerco rsolto co etod trcl d equzo o esuert. L tpolog delle sure esegute sì che l prole o s rsolvle co seplc clcol su trgol, s de operre co clcol tertv ed equzo lerzzte. Dt: d Az c,44 Z 8 c,7 d d Z d d Az d d (.,.,.) (-.54,.69,-.894) Questo: Deterre l dstz d. Slde 9 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

93 d Clcolo lcue quttà ote: Esepo co equzo o esuert d d o cos cos ( ) ( ) ( Z Z ) ( ) ( ) ( Az) ( Z) d do Le equzo d osservzoe soo: do do d Az Z ) Z d cos ( Z) Z ) d (.54 ) (.69 ) ( Z.894 ) ) d o ( Az) (.54 ) (.69 ) d o d o d o d o cos Slde 9 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

94 Esepo co equzo o esuert I leg uzol r sure ed cogte soo duque: ( Z ).5 - Z [(.54 ) (.69 ) ( Z.894 ) ] (.54 ) (.69 ) ( ) Essedo leg o ler, lerzzo le equzo co lo svluppo d Tylor rrestto ter d pro grdo: (,,Z,l) (,,Z,l) ( ) ( ) ( Z Z ) Z Slde 94 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

95 Clcolo le dervte przl: Esepo co equzo o esuert Z ( Z ) ( Z ) ( Z ) Z Z [( ) ( ) ( ) ] Z.894 (.54 ) [( ) ( ) ( ) ] Z.894 (.69 ) [( ) ( ) ( ) ] Z.894 ( Z.894 ) Slde 95 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

96 Esepo co equzo o esuert Z (.54 ).94.5 ( ) (.69 ).94.5 ( ).5.5 Posto qudrt. eseguo l clcolo tertvo trte l prcpo de Foglo d clcolo ECEL I rsultt soo: Puto (5.55,.68,.955) dstz d 6.95 Slde 96 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps

97 Esepo co equzo o esuert Noto che questo cso l utlzzo de qudrt è superluo, pochè le equzo o soo esuert. Er tt possle rsolvere l sste d tre equzo tre cogte seplceete eseguedo l operzoe: A - T Ioltre, sepre cus dell o esuerz delle equzo, è luete l troduzoe d u trce de pes el processo qudrt. Ie, sog osservre che, essedo l uero delle osservzo ugule quello delle cogte, o è possle orre u orzoe sull errore evetulete coesso elle sure o c è u cotrollo! Ftte queste osservzo, oto che l utzzo del prcpo de qudrt, el cso cu r, pur portdo couque l rsultto corretto, o è orlete cosglle. Slde 97 Topogr Corso d Lure Igeger Cvle, dell Aete e del Terrtoro Uverstà d Ps