Strutture cristalline 1

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1 Chmc fsc de mterl Strutture crstllne Sergo Brutt

2 Impcchettmento comptto n 2D Esstono 2 dfferent mod d rrngre n un pno 2D crconferenze dentche n modo d tssellre n modo comptto lo spzo dmensonle: Impcchettmento qudrto Impcchettmento esgonle Tssellre n modo comptto sgnfc mnmzzre gl nterstz ovvero lo spzo dmensonle non occupto dlle crconferenze. I due mpcchettment dnno luogo un occupzone non dentc dello spzo e qund un tssellmento non equvlente.

3 Impcchettmento comptto n 2D Cerchmo d vlutre l grdo d tssellmento de due mpcchettment. Consdermo un rettngolo 6x (re tot = 6) tssellto con delle crconferenze d rggo untro. (re=p) re cerch re totle Frzone d occupzone dello spzo 6 crconferenze 6p crconferenze 8p.883 6

4 Retcol e celle untre n 2 dmenson L sere d crconferenze mpcchettte comptte n modo esgonle (m nche quelle n modo qudrto) costtuscono un retcolo dmensonle. A ogn cercho posso ssocre un punto che rppresent un pccol porzone dello spzo. L regone dello spzo ssoct cscun punto retcolre è chmt cell untr. Tle porzone dello spzo può essere ssoct d un polgono che unsce punt retcolr n modo d tssellre l % dello spzo

5 Celle, punt e s crstllne Ogn cell untr può contenere o pù punt retcolr. punto retcolre per cell 2 punt retcolre per cell Anlogmente d ogn punto retcolre può essere ssocto pù d un tomo (se crstlln)

6 Costruzone d un struttur crstlln Un retcolo crstllno completo può qund essere costruto prtre d: Retcolo + se crstlln = struttur crstlln M nche replcndo n nd (2D per le strutture dmensonl o 3D per le strutture trdmensonl) l cell elementre e tutto l suo contenuto Punt retcolr nell cell elementre + Bse crstlln + Replc 2D o 3D secondo le operzon d trslzone propr dell cel untr = struttur crstlln

7 Retcol dmensonl Qulunque rrngmento regolre d punt nello spzo è un retcolo? No Un retcolo (lttce) è un sere nfnt d punt nello spzo nel qule l mente crcostnte d ogn punto è dentco. Solo () e (d) sono retcol 2D (rspettvmente defnt olquo e rettngolre). Ess dfferscono dlle operzon d smmetr esstent ne due rrngment spzl 2D

8 Retcol dmensonl I retcol possl n un tssellzone dello spzo dmensonle sono 5. Olquo prmtvo 2. Rettngolre prmtvo 3. Rettngolre fcc centrt. Qudrto prmtvo 5. Esgonle prmtvo Che corrspondono celle untre con le seguent propretà geometrche:. p/2 punto retcolre 2. =p/2 punto retcolre 3. =p/2 2 punt retcolr. = =p/2 punto retcolre 5. = =p/3 punto retcolre

9 Retcol dmensonl - lger L descrzone d un retcolo crstllno vene relzzt d un punto d vst lgerco n uno spzo crtesno n questo cso dmensonle. Dt un copp crtesn Un retcolo qulunque vene defnto mednte un copp d vettor (retcolr o ss crstlln): Il vlore de prmetr d cell srà dto dl loro modulo e l ngolo compreso è fclmente rcvle d consderzon trgonometrche, y x ' ' ' ' j j y j x jy x j j j j rctn rctn ' '

10 Retcol dmensonl - lger mtrcle j ' j' p/2 j' =p/2 j' =p/2 = =p/ = =p/3

11 Atom nello spzo - lger Ovvmente nche l poszone d un tomo nello spzo può essere descrtt d un mtrce-rg nell qule l dmensonltà dello spzo (2D o 3D) determnerà l dmensonltà dell mtrce. r t x y B n n y y n r t x y c z Nel cso d un tomo descrtto ll nterno d un retcolo l su poszone oltre che ndvdut dl vettore crtesno può essere espress n termn de vettor retcolr (dmensonl o trdmensonl) x... B x In cu x, y x n, y n sono coordnte frzonre corrspondent ll poszone dell tomo n- esmo nell cell plnre c

12 Atom nello spzo - lger In uno spzo 2D ovvero dmensonle è utle rppresentre l poszone degl tom n coordnte polr. r t x y crtesne r t r polr E ovvmente possle determnre le equzon che correlno le poszon degl tom nello spzo crtesno o nello spzo polre. r t r 2 r cos 2 rctn r sen Lo stesso tpo d relzon geometrche sono vlde nche per tom l cu poszone è defnt ll nterno d un retcolo d coordnte frzonre (pseudo-crtesne) e coordnte pseudo-polr.

13 Eserczo S Costrure l mtrce de vettor retcolr de seguent retcol dmensonl:. Retcolo qudrto con psso retcolre =3. Retcolo rettngolre con psso =3 e /=.2 Eserczo S2 Dte le seguent mtrc 2x2 dre che tpo d retcolo dmensonle rppresentno 2 2 Eserczo S3 Dte l seguente se crstllne dmensonle e le poszon d 2tom n tle se rcvre le coordnte crtesne degl tom stess. A, 2 2 r r t2 2 t

14 Retcol dmensonl I retcol possl n un tssellzone dello spzo dmensonle sono 5. Olquo prmtvo 2. Rettngolre prmtvo 3. Rettngolre fcc centrt. Qudrto prmtvo 5. Esgonle prmtvo Che corrspondono celle untre con le seguent propretà geometrche:. p/2 punto retcolre 2. =p/2 punto retcolre 3. =p/2 2 punt retcolr. = =p/2 punto retcolre 5. = =p/3 punto retcolre

15 Smmetre n 2D: grupp puntul plnr Anche le s crstllne (motv) ovvero grupp d tom che posso sostture punt retcolr per generre le strutture crstllne possono godere d operzon d smmetr: esse sono defnte grupp puntul Nessun smmetr Un pno d rflessone ortogonle l pno e l doppo legme 2 pn d rflessone che generno un sse d rotzone nro gguntvo

16 Smmetre n 2D: grupp puntul plnr Un sse d rotzone nro (8 ) Un sse d rotzone ternro (2 ) Un sse ternro e un pno d rflessone

17 Smmetre n 2D: grupp puntul plnr Un sse d rotzone quternro (9 ) Un sse quternro e 2 pn d rflessone Un sse d rotzone esro (6 )

18 Smmetre n 2D: grupp puntul plnr Un sse esro e 2 pn d rflessone Quest (, m, 2mm, 2, 3, 3m,, mm, 6, 6mm) sono tutt grupp puntul d smmetr plnr. Un gruppo puntule d smmetr è l nseme delle operzon d smmetr d cu gode un determnto oggetto ssocto d un sngolo punto nello spzo. Ass d rotzon pentr, eptr o pù compless possono essere consdert e generereero ltr grupp puntul d smmetr plnr ncomptl però con un retcolo dmensonle.

19 Smmetre n 2D: lger Ogn operzone d smmetr ovvmente è descrtto d un opertore lgerco che lter le coordnte d un tomo generndo l suo smmetrco. In uno spzo 2D: Elemento Smolo Replche per smmetr (x,y) Crtterstche dell elemento d smmetr Rlfessone m (x,-y) Ortogonle ll sse y e pssnte per l orgne ()@() Asse nro 2 (-x,-y) Ortogonle l pno 2D e pssnte per l orgne []@() Asse ternro 3 []@() Asse quternro []@() Asse esro 6 []@()

20 Eserczo S8 Identfcre le operzon d smmetr present nelle seguent molecole plnr:

21 Retcol dmensonl Ognuno de 5 retcol dmensonl gode delle operzon d smmetr su punt retcolr che dnno rgone delle operzon d replc de punt retcolr. Esstono nche operzon d smmetr che s generno tr punt retcolr.

22 Retcol dmensonl e s Consdermo un retcolo prmtvo olquo Il motvo puntule è un tomo Poszono l orgne dell cell elementre sul motvo puntule L rpetzone dell se crstlln su ogn punto retcolre evdenz l esstenz d operzon d smmetr mplcte nell cell elementre ovvero degl ss nr metà degl spgol e nel centro dell cell.

23 Retcol dmensonl smmetre mplcte Consdermo un retcolo prmtvo olquo Il motvo puntule è un molecol nr - gruppo puntule 2mm sse nro + 2 pn ortogonl d rflessone Poszono l orgne dell cell elementre nel punto medo tr 2 tom d crono Emergono 3 ss nr gguntv! Le operzon d smmetr puntule e retcolre «ntergscono»

24 Retcol dmensonl smmetre mplcte Consdermo un retcolo prmtvo centrto Il motvo puntule è l etene - gruppo puntule 2mm sse nro + 2 pn ortogonl d rflessone Poszono l orgne dell cell elementre nel punto medo tr 2 tom Emergono 3 ss nr e 2 pn d smmetr gguntv lle operzon del gruppo puntule! Gruppo plnre p2mm

25 Retcol dmensonl smmetre mplcte Consdermo un retcolo prmtvo rettngolre Il motvo puntule è l etene - gruppo puntule 2mm sse nro + 2 pn ortogonl d rflessone Poszono l orgne dell cell elementre nel punto medo tr 2 tom d crono Emergono 6 ss nr e 2 pn d smmetr gguntv lle operzon del gruppo puntule! Gruppo plnre c2mm Emergono nche pn d smmetr glde

26 Ass glde n retcol dmensonl L comnzone de 5 retcol plnr con grupp puntul d smmetr d luogo quell che vengono defnt GRUPPI PLANARI. Tuttv quest comnzone d luogo ll nsorgere d nuov element d smmetr defnt ASSI GLIDE. Retcolo rettngolre prmtvo Retcolo rettngolre prmtvo Bse con gruppo puntule m Bse con gruppo puntule Nel retcolo crstllno plnre ( destr) l operzone d smmetr evdente n ( snstr) è conservt ttrverso un trslzone d metà del psso retcolre. L elemento d smmetr gguntvo (sse glde) emerge dll sovrpposzone d smmetr puntule e trslzone retcolre.

27 Grupp plnr d smmetr L comnzone de 5 retcol plnr con grupp puntul (consderndo nche le operzon d smmetr comnte ss glde) generno 7GRUPPI PLANARI. L ttmento del numero d grupp plnr possl (5x+gldes) derv dll comnzone delle operzon d smmetr che gscono come regole d selezone fcendo rdondre molte comnzon tr loro.

28 Grupp plnr d smmetr Al fne d ttrure unvocmente un gruppo d smmetr d un dt cell elementre dmensonle sogn verfcre l rcorrenz d operzon d smmetr multple tr gl element del motvo (se).

29 Costruzone d un struttur crstlln Un retcolo crstllno completo può qund essere costruto prtre d: Retcolo 2D + se crstlln = struttur crstlln O prtre d grupp plnr Gruppo plnre + Bse rrducle = struttur crstlln Nel gruppo plnre nftt sono contenute tutte le operzon d smmetr e trslzone (e quelle comnte) propre d un dt struttur crstlln. L se rrducle non concde necessrmente con l se crstlln

30 Costruzone d un struttur crstlln Esempo

31 Retcol dmensonl - lger Consdermo un retcolo qudrto prmtvo. L copp d vettor retcolr o( ss crstlln) srà: In cu è l psso retcolre lungo e (e n questo cso x e y). Consdermo un se crstlln costtut d 5 tom cos legt: y x y x Il gruppo puntule d quest se è mm

32 Retcol dmensonl - lger Sosttuendo ogn punto retcolre con l se crstlln centrt n A s ottene l seguente struttur dmensonle: 3 2 B B B B A D cu le poszon tomche dell se crstllogrfc sono:

33 Retcol dmensonl - lger In defntv quest struttur crstlln può essere descrtt dlle seguent mtrc B B B B A,,,, (,) 3 2 y x j y j x y x ASSI CRISTALLOGRAFICI POSIZIONI ATOMICHE

34 Retcol dmensonl - lger Utlzzndo nvece grupp d smmetr plnre è possle semplfcre l codfc lgerc. L struttur pprtene l gruppo pmm. B A, (,) y x y x y x ASSI CRISTALLOGRAFICI POSIZIONI ATOMICHE

35 Eserczo S Determnre l smolo del gruppo spzle dmensonle d un cell elementre costtut d un retcolo rettngolre prmtvo nel qule n ogn punto retcolre è post un molecol d: Eserczo S Se ponmo un molecol d etno (plnre) n un punto retcolre d un retcolo qudrto 2D dre qule è l gruppo d smmetr dell cell elementre