CAPITOLO 2 LEGGI DI CONSERVAZIONE

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1 CAPITOLO LEGGI DI CONSERVAZIONE 6. Energ. Qundo un sstem meccnco è n moto le s grndezze q e ( = 1. s) che determnno l suo stto vrno col tempo. Esstono tuttv delle funzon d queste grndezze che conservno durnte l moto un vlore costnte dpendente solmente dlle condzon nzl. Queste funzon sono chmte ntegrl prm (o ntegrl del moto). Per un sstem meccnco chuso s grd d lbertà l numero d ntegrl del moto ndpendent è ugule s 1. Semplc consderzon lo dmostrno con evdenz. L soluzone generle delle equzon del moto contene s costnt rbtrre (ved. ). Poché le equzon del moto d un sstem chuso non contengono l tempo esplctmente l scelt dell'orgne de temp è rbtrr e un delle costnt rbtrre nell soluzone delle equzon può sempre essere scelt sotto form d un costnte ddtv t 0 del tempo. Elmnndo t + t 0 dlle s funzon q =q t t 0 C 1 C... C s 1 q = q t t 0 C 1 C...C s 1 no esprmeremo le s 1 costnt rbtrre C 1 C.. C s-1 sotto form d funzon d q e srnno degl ntegrl prm. q q che Tuttv non tutt gl ntegrl prm gocno un ruolo d pr mportnz n Meccnc. Ce ne sono tr d ess lcun l cu costnte h un'orgne molto profond legt lle propretà fondmentl dello spzo e del tempo coè ll loro unformtà ed sotrop. Tutte queste grndezze che come detto sono conservtve hnno un propretà generle mportnte: esse sono ddtve vle dre che l loro vlore per un sstem formto d prtcelle d cu s poss trscurre l'nterzone è ugule ll somm de loro vlor per cscun delle prtcelle. Quest ddtvtà confersce lle grndezze corrspondent un ruolo prtcolrmente mportnte dl punto d vst meccnco. Supponmo per esempo che due corp ntergscno durnte un certo ntervllo d tempo. Or s prm che dopo l'nterzone cscuno degl ntegrl (ddtv) d tutto l sstem è ugule ll somm de suo vlor per due corp pres seprtmente. D conseguenz le legg d conservzone d queste grndezze permettono d trrre drettmente un sere d concluson rgurdo llo stto de corp dopo l'nterzone se s conosce l loro stto prm dell'nterzone. Comncmo con l legge d conservzone che dscende dll'unformtà del tempo. In vrtù d tle unformtà l funzone d Lgrnge d un sstem chuso non dpende esplctmente dl tempo [ved. 3]. Per conseguenz l dervt totle rspetto l tempo dell funzone d Lgrnge s può scrvere: dl dt = q q q q (se L fosse funzone esplct del tempo bsognerebbe ggungere l termne membro). Sosttuendo le dervte Lgrnge s ottene: q con loro vlor d dt q t l secondo ottenut dlle equzon d 1

2 dl dt = d q dt q q D qu s vede che l grndezz E= q = d dt q q dove: d dt q q L =0. q q L=costnte (61) rmne costnte durnte l moto del sstem chuso. Ess costtusce dunque uno d quest ntegrl prm. Quest grndezz s chm energ del sstem [e può essere negtv o null (ved. 15)]. L'ddtvtà dell'energ rsult mmedtmente dll'ddtvtà dell funzone d Lgrnge d cu n bse (61) ess è funzone lnere. L legge d conservzone dell'energ è vld non solmente per sstem chus m nche per sstem post n un cmpo esterno costnte (coè non dpendente dl tempo); n effett l sol propretà dell funzone d Lgrnge che bbmo utlzzto nel nostro rgonmento coè l ftto che non dpende esplctmente dl tempo rest vld n questo cso. I sstem meccnc d cu s conserv l'energ sono chmt volte conservtv. Come s è vsto l 5 [formul (55)] l funzone d Lgrnge d un sstem chuso (o posto n un cmpo costnte) h l form: L=T q q U q dove T è funzone del qudrto delle veloctà. Applcndo l noto teorem d Eulero sulle funzon omogenee [se f è un funzone omogene d grdo m coè se f(ρx )= ρ m f(x ) s h: x f x =mf ]ottenmo: q q = T q =T. q Portndo tle espressone nell (61) s trov: E=T q q U q (6) e n coordnte crtesne: E= m v U r r.... (63) 1 Così l'energ d un sstem s può rppresentre sotto form d un somm cu due termn sono essenzlmente dvers: l'energ cnetc dpendente dlle veloctà e l'energ potenzle dpendente solmente dlle coordnte delle prtcelle. 7. Impulso L'omogenetà dello spzo dà luogo d un'ltr legge d conservzone. Per effetto d tle omogenetà le propretà meccnche d un sstem chuso non cmbno n conseguenz d uno spostmento prllelo dell'ntero sstem nello spzo. Consdermo llor uno spostmento nfntmente pccolo ε mponendo l condzone che l funzone d Lgrnge rest mmutt.

3 S ndc col nome d spostmento prllelo [trslzone] un trsformzone nell qule tutt punt del sstem s spostno d uno stesso segmento; n ltr termn loro rgg vettor r r + ε. L vrzone dell funzone L per un vrzone nfntmente pccol delle coordnte (essendo costnt le veloctà delle prtcelle) è dt d L= r r = r l sommtor essendo effettut su tutt punt mterl del sstem. Essendo ε rbtrro l condzone δ L = 0 è equvlente ll condzone r =0. (71) S h dunque n vrtù delle equzon d Lgrnge (5): d dt v = d dt v =0. No rrvmo così ll conclusone che n un sstem meccnco chuso l grndezz vettorle P= v rest mmutt durnte l moto. Il vettore P s chm mpulso 1. L deduzone dell funzone d Lgrnge (51) f vedere che l'mpulso è espresso n funzone delle veloctà d punto d P= m v. (73) L'ddtvtà dell'mpulso è evdente. Inoltre contrrmente ll'energ l'mpulso d un sstem è ugule ll somm degl mpuls p =m v delle dverse prtcelle ndpendentemente dl ftto che le loro nterzon sno o meno trscurbl. [perché l'mpulso non dpende dlle coordnte] L legge d conservzone vle per le tre component del vettore mpulso solo n ssenz d cmp estern. Tuttv certe component dell'mpulso possono conservrs ndvdulmente n un cmpo se l'energ potenzle non dpende d un delle coordnte crtesne. Nel cso d un trslzone lungo l'sse dell coordnt corrspondente le propretà meccnche del sstem evdentemente non cmbno e llo stesso modo no vedmo che l proezone dell'mpulso su questo sse s conserv. Così n un cmpo unforme dretto secondo l'sse z s h conservzone delle component dell'mpulso lungo gl ss x e y. L'uguglnz (71) possede un sgnfcto fsco semplce. L dervt = U r r rppresent l forz F gente sull esm prtcell. L'uguglnz (71) sgnfc dunque che l (7) somm delle forze gent su tutte le prtcelle d un sstem chuso è null: F =0. (74) In prtcolre nel cso d un sstem composto solmente d due punt mterl F 1 + F = 0 : l forz eserctt sull prm prtcell dll second è ugule m contrr ll forz eserctt sull 1 Chmto un tempo qunttà d moto. 3

4 second prtcell dll prm. Quest ffermzone è conoscut sotto l nome d legge dell'uguglnz dell'zone e dell rezone. Se l moto è descrtto mednte le coordnte generlzzte q llor le dervte dell funzone d Lgrnge rspetto lle veloctà generlzzte p = (75) q sono chmte mpuls generlzzt e le dervte rspetto lle coordnte generlzzte F = (76) q forze generlzzte. Le equzon d Lgrnge s scrvono llor: ṗ =F. (77) In coordnte crtesne gl mpuls generlzzt concdono con le component de vettor p. M nel cso generle le grndezze p sono delle funzon lner omogenee delle veloctà generlzzte q che non s possono rcondurre fftto de prodott d un mss per un veloctà. Problem Un prtcell d mss m dott d veloctà v 1 pss d un semspzo nel qule l su energ potenzle è costnte ed ugule U 1 d un semspzo dove quest energ è ncor costnte m ugule U. Determnre l cmbmento d drezone del moto dell prtcell. Soluzone. L'energ potenzle non dpende dlle coordnte lungo gl ss prllel ll superfce d seprzone de due semspz. D conseguenz l proezone dell'mpulso dell prtcell su quest superfce s conserv. Sno v 1 e v le veloctà dell prtcell prm e dopo l'ttrversmento dell superfce d seprzone e θ 1 e θ gl ngol formt d tl veloctà con l normle ll superfce; ottenmo: v 1 sn θ 1 = v sn θ. M l relzone tr v 1 e v è dt dll legge d conservzone dell'energ d cu s h nfne: [fenomeno dell rfrzone] v 1 mv U U. 1 1 v 1 = sn 1 sn = 8. Centro d'nerz. L'mpulso d un sstem meccnco chuso h vlor dvers ne dvers sstem d rfermento (gllen). Se un sstem d rfermento K' s muove rspetto d un ltro sstem K con un veloctà V le veloctà v' e v delle prtcelle rspetto quest sstem sono legte dll relzone v = v' + V. D conseguenz l relzone tr vlor P e P' dell'mpulso n quest sstem è dt dll formul P= coè: m v = P=P ' V m v' V m m. (81) In prtcolre esste sempre un sstem d rfermento K' nel qule l'mpulso totle s nnull. Ponendo nell (81) P' = 0 bbmo che l veloctà d questo sstem d rfermento è ugule V= P. m Se l'mpulso totle d un sstem meccnco è nullo s dce che è n quete rspetto l sstem d rfermento corrspondente. Quest è un generlzzzone del tutto nturle dell nozone d quete per un punto mterle solto. L veloctà corrspondente V dt dll formul (8) defnsce llor l veloctà d movmento nel suo nseme d un sstem meccnco mpulso non nullo. No vedmo così che l legge d conservzone dell'mpulso permette d formulre n modo nturle l 4 m = m v

5 nozone d quete e d veloctà d un sstem meccnco nel suo nseme. L formul (8) f vedere che l relzone tr l'mpulso P e l veloctà V d un sstem nel suo nseme è l stess dell relzone tr l'mpulso e l veloctà d un punto mterle d mss μ = Σm ugule ll somm delle msse d tutte le prtcelle del sstem. S può esprmere questo ftto dcendo che l mss è ddtv. Il secondo membro dell formul (8) può essere rppresentto come l dervt totle rspetto l tempo dell'espressone R= m r m. (83) S può dre che l veloctà d un sstem nel suo nseme è l veloctà d spostmento nello spzo d un punto l cu rggo vettore è dto dll formul (83). Questo punto è chmto centro d nerz del sstem. S può formulre l legge d conservzone dell'mpulso d un sstem chuso dcendo che l suo centro d nerz è nmto d moto rettlneo e unforme. Sotto quest form è un generlzzzone dell legge d'nerz stblt l 3 per un punto mterle lbero l cu centro d'nerz concde col punto medesmo. Qundo s studno le propretà meccnche d un sstem chuso è nturle utlzzre come sstem d rfermento quello nel qule l suo centro d'nerz è n quete. C s lber così del moto rettlneo unforme del sstem nel suo nseme che nell fttspece non present lcun nteresse. L'energ d un sstem meccnco n quete nel suo nseme s chm btulmente l su energ ntern E nt. Ess comprende l'energ cnetc del movmento reltvo delle prtcelle nel sstem e l'energ potenzle delle loro nterzon. Qunto ll'energ totle d un sstem nmto nel suo nseme d veloctà V s può scrvere E= V E n t. (84) Anche se l formul è evdente d per sé dmone un dmostrzone drett. Le energe E e E' d un sstem meccnco n due sstem d rfermento K e K' sono legte dll relzone coè: E= 1 m v U = 1 m v ' V U= V V m v' m v' U E=E ' V P ' V. (85) Quest formul defnsce l legge d trsformzone dell'energ qundo s pss d un sstem d rfermento d un ltro così come per l'mpulso tle legge è dt dll formul (81). Se nel sstem K' l centro d nerz è n quete llor P' = 0 e E' = E nt e rtrovmo l formul (84). Problem Trovre l legge d trsformzone dell'zone qundo s pss d un sstem glleno d un ltro. Soluzone. L funzone d Lgrnge ugule ll dfferenz delle energe cnetc e potenzle s trsform evdentemente secondo un formul nlog ll (85): L=L ' V P ' 1. V Integrndo quest uguglnz rspetto l tempo s trov l legge d trsformzone dell'zone: S=S ' V R' 1 V t 5

6 essendo R' l rggo vettore del centro d'nerz nel sstem K'. 9. Momento cnetco Venmo or ll legge d conservzone che consegue dll'sotrop dello spzo. Quest sotrop sgnfc che le propretà meccnche d un sstem chuso non cmbno nel cso d un rotzone nello spzo d questo sstem nel suo nseme. Consdermo llor un rotzone nfntmente pccol del sstem e mponmo che l funzone d Lgrnge rest nvrt. Chmeremo vettore nfntmente pccolo δφ l vettore l cu vlore ssoluto è ugule ll'ngolo d rotzone δφ e l cu drezone concde con l'sse d rotzone (n modo tle che rspetto ll drezone d δφ l rotzone s effettu secondo l regol del cvtpp). Vedmo nnnztutto che cos è ugule l vrzone [qundo subsce l rotzone δφ] del rggo vettore condotto dll'orgne comune delle coordnte (posto sull'sse d rotzone) d un punto qulss del sstem. Lo spostmento lnere dell'estremtà del rggo vettore è legto ll'ngolo dll relzone (Fg. 5) r =r sn. Sccome l drezone del vettore è perpendcolre l pno defnto d r e δφ è evdente che r= r. (91) L rotzone del sstem modfc non solmente l drezone de rgg vettor m nche le veloctà d tutte le prtcelle n qunto tutt vettor s trsformno secondo un stess legge. L vrzone dell veloctà rspetto l sstem d coordnte mmoble è dunque v= v. (9) Portmo quest espressone nell condzone d nvrnz dell funzone d Lgrnge n presenz dell rotzone: L= r r v v =0 e sosttumo per defnzone le dervte con p v e le dervte equzon d Lgrnge con ṗ. Ottenmo llor: ṗ r p v =0 r tenuto conto delle oppure scmbndo crcolrmente fttor [secondo l corrspondente propretà del prodotto msto] e portndo fuor dl segno d sommtor δφ : r ṗ v p d = r dt p =0. Poché δφ è rbtrro rsult d r dt p =0 n ltr termn concludmo che n presenz d moto d un sstem chuso s h conservzone dell grndezz vettorle M= r p 6

7 chmto momento cnetco (o semplcemente momento) del sstem [o momento ngolre o momento dell qunttà d moto]. L'ddtvtà d quest grndezz è evdente poché l pr dell'mpulso non dpende dl ftto che c s o meno nterzone tr le prtcelle. Abbmo così esurto gl ntegrl prm ddtv. Rssumendo un sstem chuso possede n tutto sette ntegrl d questo genere: l'energ e le tre component d cscuno de vettor mpulso e momento. Per l ftto che rgg vettor delle prtcelle entrno nell defnzone d momento l vlore d questo dpende n generle dll scelt dell'orgne delle coordnte. I rgg vettor r e r' del medesmo punto rspetto delle orgn stute d un dstnz sono legte dll relzone r = r' +. S h llor: M= r p = r ' p p coè: M=M ' P. (94) Quest formul mostr che solmente nel cso n cu l sstem nel suo nseme è n quete (coè P = 0) l suo momento non dpende dll scelt dell'orgne delle coordnte. E' evdente che quest ndetermnzone del suo vlore non nflusce sull legge d conservzone del momento poché per un sstem chuso nche l'mpulso s conserv. Stblmo nlogmente l formul che leg vlor del momento cnetco n due sstem d rfermento gllen K e K' de qul l secondo bb rspetto l prmo un veloctà V. No supporremo che le orgn delle coordnte nel sstem K e K' concdno ll'stnte dto. I rgg vettor delle prtcelle ne due sstem sono llor gl stess e l relzone tr le veloctà è v = v' + V. Abbmo dunque: M= m r v = m r v' m r V. L prm somm del secondo membro è l momento M' nel sstem K': ntroducendo nell second somm l rggo vettore del centro d nerz dto dll (83) s ottene M=M ' R V. (95) Quest formul defnsce l legge d trsformzone del momento cnetco qundo s pss d un sstem d rfermento d un ltro nello stesso modo n cu per l'mpulso e l'energ le nloghe legg sono le formule (81) e (85). Se l sstem d rfermento K' è quello nel qule l sstem meccnco dto è n quete nel suo nseme V è llor l veloctà del centro d nerz d questo sstem e μ V l suo mpulso totle P (rspetto K). D conseguenz: M=M ' R P. (96) In ltr termn l momento cnetco M d un sstem meccnco s compone del suo momento propro rspetto l sstem d rfermento nel qule è n quete e del momento R P legto l moto d cu è nmto nel suo nseme. Sebbene l legge d conservzone delle tre component del momento (rspetto d un'orgne delle coordnte qulss) vlg solo per un sstem chuso ess può vlere nche n form pù lmtt per de sstem post n un cmpo esterno. I rgonment che bbmo ftto precedentemente mostrno con evdenz che s h sempre conservzone dell proezone del momento sull'sse rspetto l qule l cmpo consderto è smmetrco [nftt s mntene costnte seguto d un rotzone ttorno ll'sse cu è prllelo come detto]; llor le propretà meccnche del sstem non cmbno nel cso d un qulss rotzone ttorno quell'sse; nturlmente l momento n questo cso deve essere defnto rspetto un punto (orgne delle coordnte) stuto sul medesmo sse. Il cso pù mportnte d questo tpo è quello d un cmpo smmetr centrle coè un cmpo 7

8 nel qule l'energ potenzle dpende solo dll dstnz d un punto determnto dello spzo (centro). E' evdente che l moto n un tle cmpo conserv l proezone del momento su ogn sse pssnte per l centro. In ltr termn s h conservzone del vettore momento M se questo è defnto non rspetto d un punto qulss dello spzo m rspetto l centro del cmpo. Altro esempo: un cmpo unforme lungo l'sse z su cu c'è conservzone dell proezone M z del momento potendos sceglere l'orgne delle coordnte n modo rbtrro. Notmo che l proezone del momento su un sse qulunque (chmmolo z) può essere ottenut dervndo l funzone d Lgrnge secondo l formul M z = (97) [e qund n bse lle (76) e (77) M z = ; M z è un mpulso generlzzto] dove l coordnt φ è l'ngolo d rotzone ttorno tle sse. Questo consegue chrmente dl modo n cu bbmo stblto l legge d conservzone del momento m s può verfcre con un clcolo dretto. In coordnte clndrche r φ z bbmo (ponendo x = r cos φ y = r sn φ ): m x y y x = m r. (98) M z = [ M=m r p =m x y j z k v x v y j v z k x ẏ y ẋ=r cos ṙ sn r cos r sn ṙ cos r sn =r ṙ cos sn + r cos r ṙ sn cos r sn =r ] D'ltr prte con queste vrbl l funzone d Lgrnge s scrve L= 1 m r r z U e portndol nell formul (97) rtrovmo l'espressone (98). Problem 1. Trovre le espresson delle component crtesne e del vlore ssoluto del momento cnetco d un prtcell n coordnte clndrche r φ z. Rspost. M x =m sn r ż z ṙ mrz cos M y =m cos z ṙ r ż mrz sn M z =m r M =m r r z m r ż zṙ.. Stesso problem n coordnte sferche r θ φ. Rspost. M x = mr sn sn cos cos M y =mr cos sn cos sn M z =mr sn M =m r 4 sn. [n coordnte sferche s h: x=rsnθcosφ y=rsnθsnφ z=rcosθ; ẋ=ṙ sn cos r cos cos r sn sn ẏ=ṙ sn sn r cos sn r sn cos ; L= 1 m r r r sn U ] 3. Indcre le component dell'mpulso P e del momento M che s conservno nel moto ne cmp seguent: [cmp unform nelle regon spzl ndcte] ) Cmpo d un pno omogeneo nfnto. 8

9 Rspost: P x P y M z (l pno nfnto è l pno xy). b) Cmpo d un clndro omogeneo nfnto. Rspost: M z P z (sse del clndro: z). c) Cmpo d un prsm omogeneo nfnto. Rspost: P z (gl spgol del prsm sono prllel ll'sse z). d) Cmpo d due punt. Rspost: M z ( punt sono stut sull'sse z). e) Cmpo d un sempno omogeneo nfnto. Rspost: P y (l sempno nfnto è l prte d pno x y lmtto dll'sse y). f) Cmpo d un cono omogeneo. Rspost: M z (sse del cono z). g) Cmpo d un toro crcolre omogeneo. Rspost: M z (sse del toro z). h) Cmpo d un'elc clndrc omogene nfnt. Soluzone. L funzone d Lgrnge non cmb seguto d un rotzone d ngolo δφ ttorno h ll'sse dell'elc (sse z) e d un smultne trslzone lungo lo stesso sse d vlore (h psso dell'elc). Allor L= z z = P z M z h P z =cost. h M z =0 d cu [S h M z = cost se l momento cnetco non dpende dll rotzone φ ttorno ll'sse z cs ) b) d) f) g) m non c) n cu non c'è smmetr clndrc - mentre le component d P s mntengono costnt se l lgrngn (n prtcolre l'energ potenzle) non dpende dlle corrspondent coordnte] 10. Smltudne meccnc. L moltplczone dell funzone d Lgrnge per un fttore costnte qulunque evdentemente non cmb le equzon del moto. Grze questo ftto (gà notto l ) è possble n numeros cs sgnfctv trrre precche concluson mportnt che rgurdno le propretà del moto senz ntegrre concretmente le equzon. E' l cso per esempo n cu l'energ potenzle è un funzone omogene delle coordnte coè un funzone che soddsf ll condzone U (α r 1 α r.. α r n ) = α h U (r 1 r..r n ) (101) dove α è un costnte qulss e l numero k l grdo d omogenetà dell funzone. Effettumo l trsformzone per cu qundo le coordnte vrno α volte l tempo vr contempornemente β volte: r r t t. Tutte le veloctà v = d r vrno llor α/β volte e l'energ cnetc α /β volte. L'energ d t potenzle s moltplc per α k. Se α e β sono legte dll condzone = k coè = 1 k/ llor con quest trsformzone l funzone d Lgrnge s moltplc globlmente per l fttore costnte α k e le equzon del moto restno mmutte. Fr vrre uno stesso numero d volte tutte le coordnte delle prtcelle sgnfc pssre d 9

10 certe trettore d ltre geometrcmente sml lle precedent e dverse solo per le dmenson lner. Smo così portt ll seguente conclusone: se l'energ potenzle d un sstem è un funzone omogene d k esmo grdo delle coordnte (crtesne) le equzon del moto mmettono delle trettore geometrcmente sml; tutt vlor temporl del moto (tr punt corrspondent delle trettore) sono llor nel rpporto t ' t = l ' 1 k/ l (10) dove l' / l è l rpporto delle dmenson lner delle due trettore. Come temp nche vlor delle dverse grndezze meccnche ne punt corrspondent delle trettore e gl stnt corrspondent sono delle potenze determnte dl rpporto l' / l. Così per le veloctà le energe ed moment s h: v' v = l ' k / E ' l E = l ' k M ' l M = l ' 1 k/ l. (103) Fccmo qulche esempo. Come vedremo pù vnt nel cso delle pccole oscllzon l'energ potenzle è un funzone qudrtc delle coordnte (k = ). L formul (10) f vedere che l perodo d queste oscllzon non dpende dll loro mpezz. In un cmpo d forze omogeneo l'energ potenzle è un funzone lnere delle coordnte - ved. (58) coè k = 1. Dll (10) s rcv t ' t = l ' l. Ne consegue per esempo che per l cdut d un corpo n un cmpo d grvtà qudrt de temp d cdut stnno nello stesso rpporto delle ltezze nzl. Nel cso d ttrzone newtonn d due msse o d nterzone coulombn d due crche l'energ potenzle è nversmente proporzonle ll dstnz tr le prtcelle; n ltr termn è un funzone omogene d grdo k = -1. In questo cso: t ' t = l ' 3/ l e no possmo per esempo dre che qudrt de temp d rvoluzone de corp sulle loro orbte sono proporzonl cub delle dmenson d queste (terz legge d Keplero). Se l moto d un sstem l cu energ potenzle è un funzone omogene delle coordnte s svolge n un regone lmtt dello spzo esste un relzone molto semplce tr vlor med nel tempo delle energe potenzle e cnetc; quest relzone è conoscut sotto l nome d teorem del vrle. Poché l'energ cnetc T è un funzone qudrtc delle veloctà dl teorem d Eulero sulle funzon omogenee s ottene: T v =T v o ntroducendo gl mpuls T v = p : T= p v = d dt p r r ṗ. (104) Prendmo l med d quest uguglnz nel tempo. S chm vlore medo d un funzone qulunque del tempo f (t) l grndezz 1 f =lm f t dt. [n reltà quello ndcto è l vlor medo sntotco coè quello 0 10

11 che s h qundo fccmo tendere nfnto l'ntervllo d tempo] E' fcle vedere che se f (t) è l dervt rspetto l tempo f t = d F t dt d un funzone F(t) lmtt (tle coè d non ssumere vlor nfnt) l suo vlor medo s nnull[questo è l sgnfcto mtemtco del teorem del vrle].in effett 1 f =lm df 0 dt dt=lm F F 0 =0. Supponmo che un sstem s n moto n un regone fnt dello spzo con delle veloctà che non tendno d nfnto. Allor l grndezz r p è lmtt e l vlor medo del prmo termne del secondo membro dell'uguglnz (104) s nnull. Sosttuendo llor n ccordo lle U equzon d Newton ṗ con ottenmo r 1 T = U r r. (105) 1 [dll (104) s h: T =lm [ d 0 dt p r r ṗ ]dt e l prmo termne entro l prentes qudr è nullo] Se l'energ potenzle è un funzone omogene del k esmo grdo d tutt rgg vettor r l'uguglnz (105) fornsce l relzone cerct n bse l teorem d Eulero: T =k U. (106) Poché T U =E =E [l'energ totle del sstem è costnte e concde con l su med] s può scrvere l relzone (106) nelle forme equvlent U= k E T = k k E (107) dove U e T sono espress n funzone dell'energ totle del sstem. In prtcolre per pccole oscllzon (k = ) bbmo T =U vle dre vlor med delle energe potenzle e cnetc concdono. Per l'nterzone newtonn (k = -1): T= U. Qu E= T cò che corrsponde l ftto che per questo genere d nterzone l moto s svolge n un regone fnt dello spzo solo se l'energ totle è negtv (ved. 15). Problem 1. Due prtcelle d msse dverse e d ugul energ potenzle s muovono su delle trettore dentche; trovre l rpporto de temp. t ' Rspost: t = m' [se U = U' e le trettore sono dentche llor nche L = L' e m qund T = T' qund ml / t = m'l / t' d cu segue l rsultto].. Trovre vlor de temp nel cso d moto su trettore dentche qundo s moltplc l'energ potenzle per un fttore costnte. 1 L'espressone del secondo membro dell (105) è chmt volte vrle del sstem. 11

12 Rspost: t ' t = U U ' qund T' = kt coè l / t' = kl / t d cu (t'/t) = 1/k = U/U']. [se U' = ku e le trettore sono dentche deve essere L' = kl e 1