Elettromagnetismo. Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano. Lezione n

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1 Elettomgnetsmo Pof. Fncesco Rgus Unvestà degl Stud d Mlno Lezone n Sogent del cmpo mgnetco Dvegenz e otoe del cmpo mgnetco Applczon dell legge d Ampèe Anno Accdemco 217/218

2 Il cmpo mgnetco d un flo Clcolmo l cmpo mgnetco geneto d un flo nfnto Pe semplctà sceglmo un geomet che y semplfch l poblem db Il flo lungo l'sse dl e d ˆ Il punto n cu clcole l cmpo sull'sse y ˆ ˆe sn θ + ˆe y y cos θ dl ˆ ˆe ˆe sn θd ˆe ˆe Il contbuto db è pependcole l pno y Abbmo nolte sn( π θ) sn θ tg( π θ) tg θ db ˆe sn θd z 2 2 sn θ Elettomgnetsmo Pof. Fncesco Rgus 45 ˆsn z θd ˆe sn z ˆe sn θ z db d θ 2 z db θ dl sn θ cos θ dθ d sn θ sn 2 θ θd ˆe sn θ z dθ 2 2 sn θ ˆ dl 2 e ˆ d

3 Il cmpo mgnetco d un flo ˆe sn θ z db d θ Clcolmo l'ntegle su tutto l flo Esteso d θ fno θ π ˆe π ˆe z z B sn θdθ ( cos θ ) ˆe z B Ossevmo che l sultto non dpende dll coodnt Come c s potev spette dt l smmet del poblem Il cmpo dpende solo dll dstnz dl flo 2 y 2 + z 2 Il poblem è nvnte pe otzon ntono l flo Le lnee d cmpo sono cconfeenze centte sul flo In coodnte clndche B ˆ 2 e π Elettomgnetsmo Pof. Fncesco Rgus 46 φ π db z y θ

4 Cmpo mgnetco sull'sse d un sp Un lto poblem semplce d solvee è l clcolo del cmpo mgnetco sull'sse d un sp d ggo Il clcolo è semplce sull'sse Complcto ltove Utlzzmo un metodo completmente vettole db I vetto del poblem sono ˆ ˆ 1 ecosθ + eysn θ 2 ˆzz e d dl ˆe ˆ ˆ zz ecosθ eysn θ z d 1 dl d 1 d θ ( ˆe sn ˆ θ + ey cosθ) dθ dθ Clcolmo l podotto vettole ( ) l ( ˆe sn + ˆe cos ) ( ˆe ˆe cos ˆe sn ) 2 1 θ θ z θ θ dθ y z y Elettomgnetsmo Pof. Fncesco Rgus 47 z 2 θ 1 y db 2 1 ( ˆ e ˆ sn ˆ ˆ sn 2 ˆ ˆ cos ˆ ˆ cos 2 ez e ey ey ez ey e ) z θ + θ + z θ θ dθ dl 1 θ dl y

5 Cmpo mgnetco sull'sse d un sp ( ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ 2 1 z sn y sn y z cos y cos 2 ) ( e sn ˆ sn 2 cos ˆ cos 2 yz θ + ez θ + ez θ + ez θ) dθ dl e e z θ + e e θ + e e z θ e e θ dθ ( ˆe cos ˆe sn ˆe ) z θ + z θ + dθ y z Insemo nell fomul pe db db dl ˆe zcos θ + ˆe zsn θ + ˆe y z dθ z 2 1 Integmo su tutt l sp (d θ θ ) B e ˆe zcos θ + ˆe zsn θ + ˆe y z dθ y z z d ˆ zcos θ + ˆe zsn θ + ˆe z θ Elettomgnetsmo Pof. Fncesco Rgus 48

6 Cmpo mgnetco sull'sse d un sp B ˆ zcos θ + ˆe zsn θ + ˆe y z z d e z Notmo che l denomntoe è costnte Inolte l'ntegle de pm due temn è nullo θ B ( z) dθ B( z ) z ˆe z z ˆe z Come tteso l cmpo è detto lungo l'sse z z 2 B( z ) y Elettomgnetsmo Pof. Fncesco Rgus 49

7 Cmpo d un denstà d coente Anche l legge d Bot e Svt) può essee genelzzt d un denstà d coente J B dl S J C 2 1 B In quest fomul Il vettoe dl è pependcole S: Sdl 1 dv 1 Il vettoe dl e l vettoe J sono pllel Petnto B Sottolnemo che L'ntegzone è ftt spetto ll vble 1 L denstà d coente è clcolt nel punto 1 Sdl J 2 C 2 1 ( ) J dv 2 1 V 2 1 Elettomgnetsmo Pof. Fncesco Rgus 5

8 Cmpo d un denstà d coente L legge d Bot e Svt goc pe l mgnetosttc lo stesso uolo che l legge d Coulomb goc pe l'elettosttc B J V ( ) ( ) 1 ε Tuttv, nel cso dell'elettosttc l'ntegndo ppesent l contbuto l cmpo elettco d un cc elemente Nel cso dell mgnetosttc l'elemento d coente elemente non h senso S potebbe pense che un cc n moto ppesent un denstà d coente elemente che gene un cmpo mgnetco elemente Ad esempo un moto ettlneo unfome J( )dv dqv + vt Questo è SBAGLIATO! L denstà d coente dqv NON è stzon Gene un cmpo mgnetco dpendente dl tempo dv ρ E db V ( ) ( ) J dv dv Elettomgnetsmo Pof. Fncesco Rgus 51

9 L'ssenz delle cche mgnetche Rchmmo l fom del cmpo geneto d un flo nfnto Le lnee d cmpo sono cconfeenze ntono l flo Sono lnee chuse, senz sogente! Anlogmente pe l cmpo dell sp Anche n questo cso le lnee d cmpo sono chuse Al lmte ptono e fnscono dll'nfnto Abbmo gà notto l smltudne f l cmpo d un mgnete pemnente e un dpolo elettco S potebbe essee tentt d pense che esstno le cche mgnetche S ttteebbe d un teo pefettmente consstente Tuttv le cche mgnetche non esstono Vedemo che nche nell mte cmp sono genet d coent A lvello mcoscopco, d coent tomche Elettomgnetsmo Pof. Fncesco Rgus 52

10 L'ssenz delle cche mgnetche Pe l cmpo elettco bbmo vsto che l legme f l cc elettc e l cmpo potev essee desctto mtemtcmente dll legge d Guss E Possmo consdee un evdenz spementle che tutt cmp mgnetc ossevt possedono l popetà ρ ε B Quest legge espme mtemtcmente l ftto che l cmpo mgnetco non è geneto d cche mgnetche Un cmpo con dvegenz null è detto solenodle Rtonmo l cmpo del flo nfnto Lo bbmo clcolto con l fomul d Bot e Svt B dl J 4 π C V dv Dmostmo semplcemente che un cmpo che s può scvee con l fomul d Bot e Svt h dvegenz null Pelmnmente lcune fomule mtemtche con l'opetoe Elettomgnetsmo Pof. Fncesco Rgus 5

11 Opetoe pplcto podott Con l'opetoe "Del" ( ) bbmo defnto te opezon pplcndolo Ad un funzone scle pe costue un vettoe: gdente φ Ad un funzone vettole pe costue uno scle: dvegenz F Ad un funzone vettole pe costue un vettoe: otoe F C sono due mod pe costue un funzone scle pte d due funzon (scl o vettol) Podotto d due funzon scl fg Podotto d due funzon vettol A B Anlogmente c sono due mod pe costue un funzone vettole pte d due funzon (scl o vettol) Podotto d un funzone scle e un vettole fa Podotto d due funzon vettol A B Clcoleemo Il gdente pe pm due cs L dvegenz pe gl lt due cs Il otoe pe gl lt due cs In totle se fomule Abbmo così esuto tutte le possbltà d pplce l'opetoe l podotto d due funzon (scl o vettol) Elettomgnetsmo Pof. Fncesco Rgus 54

12 Opetoe pplcto podott Gdente d un funzone scle (sultto d un podotto) fg f g + g f ( ) ( ) + ( ) + ( ) + ( ) A B A B B A A B B A Dvegenz d un funzone vettole (sultto d un podotto) ( fa) f ( A) A ( f ) ( A B) B ( A) A ( B) + Rotoe d un funzone vettole (sultto d un podotto) ( fa) f ( A) A ( f ) ( A B) ( B ) A ( A ) B A( B) B( A) + Un pecszone sull'espessone y z ( A ) B ( A ) B A + A + A B y z Anlogmente pe le component y e z Elettomgnetsmo Pof. Fncesco Rgus 55

13 Dvegenz del cmpo mgnetco Clcolmo l dvegenz d B Sottolnemo che clcolmo le devte spetto B V Con ntendmo l'opetoe che gsce sulle coodnte Inolte bbmo scmbto l'odne d devzone ntegzone Utlzzmo l'denttà (C D) B C C D Evdentemente J( ) J( ) non dpende d Notmo che l'gomento d è sostnzlmente l cmpo elettosttco d un cc puntfome Il suo otoe è petnto nullo Petnto Elettomgnetsmo Pof. Fncesco Rgus 56 B J V ( ) ( ) J ( ) ( ) dv ( ) B J( ) dv V ( ) B dv

14 Ccutzone del cmpo mgnetco L dvegenz del cmpo mgnetco espme un popetà mpotnte del cmpo Come n elettosttc, c pemetteà d scvee equzon dffeenzl Tuttv non defnsce l legme del cmpo con le sue sogent Rcodmo che nel cso del cmpo elettco l ccutzone espmev l popetà del cmpo d essee consevtvo Rtonmo l cmpo del flo nfnto Le lnee d cmpo sono delle cconfeenze ntono l flo B Il modulo del cmpo dpende dll dstnz dl flo 1 Pe completezz, le component sono B y B sn θ B θ cos θ B + y B z Elettomgnetsmo Pof. Fncesco Rgus 57 y B B z

15 Ccutzone del cmpo mgnetco Inzmo con l ccutzone d B lungo l cmmno ndcto n fgu b c d B d l B dl + B dl + B dl + B dl L'ntegle lungo e lungo c è nullo Il cmmno è dle È pependcole l cmpo mgnetco: B dl Lungo b B è costnte e l''ntegle è B d l B Δl Δθ 2 2 b 2 Anlogmente l'ntegle lungo d è Δθ 1 B d l d 1 Δθ Δθ Il segno meno dev dl ftto che l cmpo mgnetco e l cmmno hnno veso opposto In defntv B d l Δθ Δθ Elettomgnetsmo Pof. Fncesco Rgus y c d Δθ B Δ l Δθ 1 b

16 Ccutzone del cmpo mgnetco Consdemo nco l cmpo mgnetco d un flo nfnto Clcolmo desso l ccutzone lungo l cmmno n fgu Un cconfeenz d ggo 1 centt sul flo Il cmpo mgnetco e l cmmno sono sempe pllel Ottenmo petnto B dl Bdl B( ) dθ B dl B dθ 2 1 B d l 1 1 In questo cso l ccutzone non è null A dffeenz dl cso pecedente l cmmno "g ntono" un coente S dce che l coente è conctent con l cmmno d θ y Notmo che l cmpo mgnetco B non è consevtvo Elettomgnetsmo Pof. Fncesco Rgus 59

17 Ccutzone del cmpo mgnetco I due sultt tovt possono essee espess con un unc legge L ccutzone del cmpo mgnetco è ugule ll coente conctent con l cmmno Se non c'è coente conctent l ccutzone è null Tuttv bbmo utlzzto cmmn ptcol Cconfeenze, ch d cconfeenz, gg Dmostmo desso che due sultt tovt vlgono pe cmmn bt Inzmo con un cmmno senz coente conctent Consdemo d esempo l cmmno n fgu Ogn co Δθ Δθ negtvo o postvo Δ θ k k È evdente che può essee ppossmto con cmmn nfntesm ftt con gg e cconfeenze C s convnce fclmente che l ccutzone lungo l cmmno è null I cmmn dl non contbuscono I contbut de cmmn lungo gl ch s eldono Elettomgnetsmo Pof. Fncesco Rgus 6

18 Ccutzone del cmpo mgnetco Consdemo desso un cmmno conctento con un coente Consdemo nche l cmmno b L pte d "ccodo" può essee es tscuble L pte esten 1 concde, meno d un ttto nfntesmo, con L pte nten 2, meno d un ttto nfntesmo mncnte, è un cconfeenz come quelle utlzzto fno d o Rspetto ll coente conctent cmmn 1 e 2 sono pecos n senso opposto Avemo B d l b b 1 2 Abbmo vsto che l ccutzone lungo 2 è popozonle ll coente conctent In questo cso con l segno meno Elettomgnetsmo Pof. Fncesco Rgus 61 b B dl B dl + B dl d l 2 1 B 2 1 B dl B dl 1 2 d l B d l B

19 Ccutzone del cmpo mgnetco Pe fne consdemo un cmmno che "g" ntono ll coente pù d un volt Utlzzndo oppotun ttt dl spetto l flo, l cmmno può essee suddvso n pù cmmn chus ognuno de qul "g" ntono l flo un sol volt Se complessvmente l cmmno g ntono l flo N volte vemo B d l N Pe tutt cs consdet bbmo usto l cmpo mgnetco d un flo nfnto Possmo consdee un ftto spementle l sultto che l legge tovt vle pe qulunque cmpo mgnetco geneto d un sstem bto d coent stzone Anche pù fl pecos d coent dvese Il sultto è sempe Legge d Ampèe B d l k k Elettomgnetsmo Pof. Fncesco Rgus 62

20 Rotoe del cmpo mgnetco Fno bbmo consdeto le coent tspotte d fl condutto I sultt tovt possono essee estes sstem desctt dll denstà d coente Supponmo d nlzze un sstem cttezzto d un denstà d coente J(,y,z) L chest d coente stzon mplc nche ρ t Pe l'equzone d contnutà vemo L legge d Ampèe dvent ( yz) J,, B dl J d Applchmo l teoem d Stokes l pmo membo S Dto che l elzone vle pe (S) bt B dl B d B d J d S S S B J Elettomgnetsmo Pof. Fncesco Rgus 6

21 Rotoe del cmpo mgnetco Pe concludee dmostmo che l cmpo B espesso con l legge d Bot-Svt soddsf l'equzone del otoe ppen vst Clcolmo l otoe Anco un volt gsce sull vble e nolte bbmo scmbto devte e ntegle Elbomo l'ntegndo utlzzndo l fomul ( ved dpostv ) Ponmo temponemente u ' Il pmo e l quto temne sono null L'opetoe è pplcto un funzone d B B V J V ( ) ( ) J ( ) ( ) dv ( A B) ( B ) A ( A ) B A( B) B( A) + dv u u u u u J + ( ) ( ) J J J J u u u u u Elettomgnetsmo Pof. Fncesco Rgus 64

22 Rotoe del cmpo mgnetco Petnto l'ntegndo s duce ( ) ( ) ( ) J( ) ( ) + ( ) J J Intoducmo nell fomul del otoe ( ) B ( ) dv + ( ) dv J J V V Dmosteemo che l pmo ntegle è nullo Nel secondo ntegle Insemo nell'ntegle ( ) δ ( ) B J( ) dv ( ) δ ( ) V J B J dv V Elettomgnetsmo Pof. Fncesco Rgus 65

23 Rotoe del cmpo mgnetco Pe complete l dmostzone dmostmo ( ) dv che l pmo ntegle è nullo J V S ttt d te ntegl, uno pe cscun componente Ad esempo l componente ( ) gsce su un funzone d ( ) ( ) J J Possmo fe ge su Utlzzmo l'denttà (ved dpostv ) ( fa) f ( A) + A ( f ) f A J( ) L'ntegle dell componente dvent ( ) dv ( ) dv ( ) dv J J + J V V V In mgnetosttc J( ) Il pmo ntegle può essee tsfomto con l teoem dell dvegenz J( ) dv ˆd J n V S Fcendo tendee l supefce ll'nfnto l'ntegle è nullo Elettomgnetsmo Pof. Fncesco Rgus 66

24 Mgnetosttc ed elettosttc Reploghmo le legg fn qu tovte pe l'elettosttc e l mgnetosttc Elettosttc E ρ ε E E d S E d l Q ε Mgnetosttc B B S d B J B dl J d S F qe + qv B Elettomgnetsmo Pof. Fncesco Rgus 67

25 Untà d msu Le dmenson e le untà d msu del cmpo d nduzone mgnetc B possono essee defnte utlzzndo l foz d Loentz Assummo E F qe + qv B Nel sstem MKSA le dmenson del cmpo B sono B N Cms L'untà d msu nel sstem MKSA è l Tesl, smbolo T Un cmpo mgnetco d un Tesl esect l foz d 1 N su un cc d 1 C che s muove con un veloctà d 1 m/s Il cmpo mgnetco teeste è dell'odne d 1 5 T È molto utlzzto un sottomultplo mpopo: l Guss G Impopo peché n eltà è l'untà d msu nel sstem CGS Le dmenson sono dvese Tuttv, numecmente, 1T 1 4 G Il cmpo mgnetco teeste è dell'odne d.1 G 1 N Am Elettomgnetsmo Pof. Fncesco Rgus 68