Data una circonferenza, si chiama radiante l angolo al centro che sottende un arco di lunghezza uguale al raggio.

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1 LE FUNZINI GNIMETRIHE E L RISLUZINE DEI TRINGLI LE FUNZINI GNIMETRIHE E L RISLUZINE DEI TRINGLI. LE FUNZINI GNIMETRIHE L misu degli ngli L misu in gdi Nel sistem sessgesimle, l unità di misu degli ngli è il gd sessgesimle, definit me l 60 pte dell ngl gi. Il gd sessgesimle viene indit n un pil ehi in lt dest dell misu dell ngl gi. 60 Il gd viene suddivis su vlt in 60 pimi, inditi n un pie 60l. gni pim viene suddivis in 60 sendi, inditi n due pii l 60m. L misu in dinti DEFINIZINE Rdinte Dt un infeenz, si him dinte l ngl l ent he sttende un di lunghezz ugule l ggi. L unità di misu viene indit n d, m genelmente, se si espime un ngl in dinti, si è sliti tsue l indizine dell unità di misu. Pe lle l misu in dinti di un ngl, si divide l misu dell sttes dll ngl pe quell del ggi. Pihé sttende l inte infeenz, l ngl gi misu. L ngl pitt, he ispnde metà infeenz, misu, l ngl ett misu e. Riptim in un tell le misue in dinti e in gdi di luni ngli. MISURE DEGLI NGLI Gdi Rdinti 0 6 Gli ngli ientti 5 6 L definizine di ngl me pte del pin nn è dtt pe desivee tutte le situzini. Pe esempi, nell vvite svite un vite si desive un ngl he può essee mggie di un ngl gi. Pe mdità, iptim le qutt pgine di tei he tvi nhe in Mtemti lu, vlume. Un ngl di gdi, 0 pimi e 7 sendi viene sitt sì 0l 7m. Tell Vle l ppzine d 60. Pe esempi, 0 equivle 6 dinti, pehé 0 d 60 d 6. Un dinte ispnde i 57. dinte pight 0 Znihelli edite Sp, lgn [68 de] Quest file è un estensine nline dei si di mtemti di Mssim egmini, nn Tifne e Gziell zzi

2 6 LE FUNZINI GNIMETRIHE E L RISLUZINE DEI TRINGLI ngl psitiv ngl negtiv lt igine È utile quindi llege il nett di ngl quell di tzine, iè l mviment he pt un dei lti dell ngl svppsi ll lt. nsideim l semiett he ut in sens ntii intn l vetie, fin svppsi ll semiett, genend l ngl W. L semiett si him lt igine dell ngl, l semiett si him lt temine. DEFINIZINE ngl ientt Un ngl si die ientt qund sn stti selti un dei due lti me lt igine e un sens di tzine. Pe indie in fm sinteti un ngl mine di un ngl gi e tutti gli infiniti ngli ientti he d diffeisn di un ngl gi, si sive + k $ 60, n k! Z, se è in gdi; + k $, n k! Z, se è in dinti. Figu L infeenz gnimeti E(; 0) x Un ngl ientt è psitiv qund è desitt medinte un tzine in sens ntii; è negtiv qund l tzine è in sens i. Un ngl ientt può nhe essee mggie di un ngl gi. ESEMPI Pihé $ 60, l ngl di 750 si ttiene n l tzine dell semiett di due gii mpleti e di 0. L infeenz gnimeti Nel pin tesin, pe infeenz gnimeti intendim l infeenz di ent l igine degli ssi e ggi di lunghezz. Il punt E(; 0) si die igine degli hi. Utilizznd l infeenz gnimeti, si pssn ppesente gli ngli ientti, pendend me lt igine l sse x. In quest md, gni ngl ispnde un punt di intesezine f l infeenz e il lt temine. ESEMPI Figu L ngl di 750 si ttiene n un tzine dell semiett di 0 e ngli gi. 5 Rppesentim gli ngli,, -. 6 Essi individun sull infeenz i punti, e dell figu. E x E x E x 5 pight 0 Znihelli edite Sp, lgn [68 de] Quest file è un estensine nline dei si di mtemti di Mssim egmini, nn Tifne e Gziell zzi

3 LE FUNZINI GNIMETRIHE E L RISLUZINE DEI TRINGLI Le funzini sen, sen e tngente Intduim lune funzini gnimetihe he ll misu dell mpiezz di isun ngl ssin un nume ele. DEFINIZINE Sen, sen e tngente nsideim l infeenz gnimeti e un ngl ientt, e si il punt dell infeenz ssit d. Definim sen e sen di, e indihim n s e sen, le funzini he d ssin, ispettivmente, il vle dell siss e quell dell dint di. Definim tngente di, e indihim n tg, l funzine he d ssi il ppt, qund esiste, f l dint e l siss di. sen, s x, tg. x s x sen x tg x E x Sen e sen di un ngl sn funzini he hnn me dmini R, pehé pe gni vle di! R esiste un e un sl punt sull infeenz. Ntim inlte he nel tingl ettngl l iptenus misu e i teti sen e s, quindi pe il teem di Pitg Il ppt x sen + s (pim elzine fndmentle). tngente è! + k, n k! Z. Dlle definizini dte si iv he nn esiste qund x 0, ssi il dmini dell funzine sen tg (send elzine fndmentle). s s sen x FUNZINI GNIMETRIHE E LLTRIE Pe detemine il vle di un funzine gnimeti di un ngl pssim impiege l lltie. I tsti d utilizze sn <sin> pe l funzine sen, <s> pe il sen e <tn> pe l tngente. Pe esempi sin(0) 0,5. Se l misu dell ngl è in gdi, sul displ deve mpie l sitt DEG (dll inglese degee). È pssiile segliee nhe l pzine RD pe l misu in dinti. Se invee è l ngl essee ingnit, pssim utilizze i tsti <sin - >, <s - > e <tn - >, inditi tlvlt nhe n <sin>, <s> e <tn>. Pe esempi sin - (0,5) 0. pight 0 Znihelli edite Sp, lgn [68 de] Quest file è un estensine nline dei si di mtemti di Mssim egmini, nn Tifne e Gziell zzi

4 LE FUNZINI GNIMETRIHE E L RISLUZINE DEI TRINGLI Funzini gnimetihe e tingli ettngli sen s tg Si può dimste he in un tingl ettngl l misu di un tet si ll me l misu dell iptenus pe il sen dell ngl ppst l tet; l misu dell iptenus pe il sen dell ngl diente l tet. Inlte, l misu del tet ppst un ngl è ugule quell del tet diente pe l tngente dell ngl. Il gfi delle funzini gnimetihe ssevim i gfii delle funzini sen e sen. SINUSIDE SINUSIDE x sen x s x x Figu Gfii delle funzini sen e sen. I gfii vengn detti sinuside e sinuside. I vli del sen e del sen sn mpesi f - e. I gfii si ipetn n le stesse tteistihe intevlli di mpiezz. Si die ll he le funzini sen e sen sn peidihe di peid. L tngente è invee un funzine peidi di peid. ssevim il su gfi. TNGENTIDE x Figu Il gfi dell tngente, he viene dett tngentide. Ntim me, mn mn he x si vviin tg x n vli mini di, il vle dell funzine tende divente sempe più gnde; diem he tende + ; n vli mggii di, il vle dell funzine è negtiv e tende di- vente sempe più gnde in vle sslut; diem he tende -. L stess mptment si h viin gli lti vli di x he nn fnn pte del dmini dell funzine. pight 0 Znihelli edite Sp, lgn [68 de] Quest file è un estensine nline dei si di mtemti di Mssim egmini, nn Tifne e Gziell zzi

5 LE FUNZINI GNIMETRIHE E L RISLUZINE DEI TRINGLI L sente, l sente, l tngente DEFINIZINE Sente e sente Dt un ngl, si him sente di l funzine he ssi d il eip del vle di s, puhé s si dives d 0. Si indi n se se, n! + k; s sente di l funzine he ssi d il eip del vle di sen, puhé sen si dives d 0. Si indi n se se, n! 0 + k. sen Sente e sente, me sen e sen, sn funzini peidihe di peid. DEFINIZINE tngente nsideim un ngl ientt e himim l intesezine f il lt temine e l infeenz gnimeti. Definim tngente di l funzine he ssi d il ppt, qund esiste, f l siss e l dint del punt x x x tg. x tg L tngente di un ngl nn esiste qund il punt si tv sull sse x, ssi qund l ngl misu 0, e tutti i multipli intei di. tg esiste sl qund! k $. Pihé tg e tg x x, isult tg $ tg, d ui tg, n! k. tg L ndizine pst deiv dl ftt he nsideim, quindi e ste gli ngli in ui nn esiste tg, iè + k, e quelli in ui tg 0, iè tg 0 + k, peiò! k. In nlgi n l tngente, l funzine tngente isult peidi di peid tg( + k) tg, n k! Z. Dll definizine di tngente deiv nhe he s tg, n! k. sen pight 0 Znihelli edite Sp, lgn [68 de] Quest file è un estensine nline dei si di mtemti di Mssim egmini, nn Tifne e Gziell zzi 5

6 LE FUNZINI GNIMETRIHE E L RISLUZINE DEI TRINGLI Le funzini gnimetihe di ngli ptili Medinte le ppietà delle figue gemetihe, iusim lle il vle delle funzini gnimetihe di luni ngli ptili. dinti è ugule 6 0 ; dinti è ugule 60. L ngl 6 nsideim l infeenz gnimeti e il tingl, ettngl in, n W e. 6 Pihé in un tingl ettngl gli ngli uti sn mplementi, V. Plungnd il lt, ttenim sull infeenz il punt. Il tingl è equilte, pihé h gli ngli di, quindi. è l metà di, ssi. Figu 5 6 x Nt sen, 6 pe detemine s 6 ptemm nhe utilizze diettmente l pim elzine fndmentle sen + s. 6 6 Pssim ive nhe sente e sente se 6 s 6. se. 6 sen 6 Rivim pplind il teem di Pitg l tingl - - l. Petnt sen e s. 6 6 Rivim l tngente e l tngente di 6 sen 6 tg ; 6 s 6 Petnt tg. 6 tg 6 tg e tg pight 0 Znihelli edite Sp, lgn [68 de] Quest file è un estensine nline dei si di mtemti di Mssim egmini, nn Tifne e Gziell zzi

7 LE FUNZINI GNIMETRIHE E L RISLUZINE DEI TRINGLI L ngl nsideim l infeenz gnimeti e il tingl, ettngl in, n W e. Pihé l ngl in è mplemente di, isult V e il tingl è nhe issele. x dinti 5. Figu 6 pplihim il teem di Pitg l tingl +. Pihé e " ". sen e s. Pihé sen s, ttenim se se. llim tngente e tngente di sen tg ; tg. s tg Petnt tg tg. L ngl Nel ehi gnimeti, nsideim il tingl, ettngl in 6, n W e, di nseguenz, V. 6 ngiungend n E, ttenim il tingl E he h i te lti nguenti. è l ltezz del tingl E e è l metà di E, quindi. Rivim pplind il teem di Pitg l tingl - - l. s e sen. E x Figu 7 se s. se sen $. pight 0 Znihelli edite Sp, lgn [68 de] Quest file è un estensine nline dei si di mtemti di Mssim egmini, nn Tifne e Gziell zzi 7

8 LE FUNZINI GNIMETRIHE E L RISLUZINE DEI TRINGLI Pe gli ngli di e di 6 i vli di sen e sen, di tngente e tngente e di sente e sente sn smiti. Pe esempi sen s. 6 Rivim l tngente e l tngente di. sen tg $ ; s tg. tg Petnt tg e tg.. LE FUNZINI GNIMETRIHE INVERSE Se estingim il dmini dell funzine sen ll intevll ; - D, l funzine sen isult iuniv, in qunt gni vle di sen x ispnde un sl vle di x. Quindi pssim nsidee l funzine inves. DEFINIZINE sen Dti i numei eli x e, n - # x # e- # #, diim he è l sen di x se x è il sen di. Sivim sen x. sen x x sen D [ ; ] [ ; ] ESEMPI sen ) sen ; sen ) sen. 6 6 Se nsideim [ ; ] 0 me dmini, l funzine sen è iuniv e quindi invetiile. DEFINIZINE sen Dti i numei eli x e, n - # x # e 0 # #, diim he è l sen di x se x è il sen di. Sivim s x. s x x s D [ ; ] [0; ] ESEMPI s (- ) ) s -; s ) s pight 0 Znihelli edite Sp, lgn [68 de] Quest file è un estensine nline dei si di mtemti di Mssim egmini, nn Tifne e Gziell zzi

9 LE FUNZINI GNIMETRIHE E L RISLUZINE DEI TRINGLI sen x. Gfi dell funzine sen x. x s x. Gfi dell funzine s x. x Pe ttenee il gfi dell funzine sen x, st stuie il simmeti ispett ll isettie del I e III qudnte del gfi dell funzine sen x, nsidet nell intevll ; - D. nlgmente si pede pe s x. Figu 8 DEFINIZINE tngente Dti i numei eli x e, n x! R e -, diim he è l tngente di x se x è l tngente di. Sivim tg x. ESEMPI tg ) tg ; tg ) tg. DEFINIZINE tngente Dti i numei eli x e, n x! R e 0, diim he è l tngente di x se x è l tngente di. Sivim tg x. tg x x tg tg x x tg D ] ; [ D ]0; [ Se nsideim D - ; me dmini, l funzine tngente è iuniv e quindi invetiile. Le funzini gnimetihe invese e l lltie Le funzini sen, sen e tngente si indin, ispettivmente, n sin -, s -, tn -. Pe ttenele, n l lltie, di slit deve essee pemut pim il tst eltiv ll «send funzine», indit vlte n <INV>, e pi il tst dell funzine sen, sen tngente. ESEMPI tg 0 ) tg 0; tg ) tg. tg x x tg x x. Gfi dell funzine tg x.. Gfi dell funzine tg x. Figu 9 pight 0 Znihelli edite Sp, lgn [68 de] Quest file è un estensine nline dei si di mtemti di Mssim egmini, nn Tifne e Gziell zzi 9

10 LE FUNZINI GNIMETRIHE E L RISLUZINE DEI TRINGLI L pl tignmeti deiv dl ge e signifi «misu dei tingli».. I TRINGLI RETTNGLI Fin i sim upti di gnimeti, ssi dell misuzine degli ngli e delle funzini ssite essi. ttteem l tignmeti, he studi le elzini metihe f i lti e gli ngli di un tingl. D in pi, qund i upeem di tingli, ispetteem le seguenti nvenzini pe l nmenltu dei divesi elementi. Disegnt un tingl (figu 0), indihim n l misu dell ngl W, n l misu dell ngl V e n l misu dell ngl W. Indihim pi n l misu del lt, he si ppne l vetie, n l misu del lt, he si ppne l vetie, e n l misu del lt, he si ppne l vetie. Figu 0 I teemi sui tingli ettngli Disegnim un tingl ettngl, n l ngl ett in W, me in figu, e indihim le misue dei lti e degli ngli, send le nvenzini ppen stilite. Tim l infeenz gnimeti n ent (figu ). Figu P sen s H x In figu sn inditi il punt P, in ui il lt innt l infeenz gnimeti, e il punt H, piezine di P sul lt. I tingli PH e sn simili in qunt sn ettngli e hnn l ngl ut in mune. Pssim sivee le ppzini PH P, H P, 0 pight 0 Znihelli edite Sp, lgn [68 de] Quest file è un estensine nline dei si di mtemti di Mssim egmini, nn Tifne e Gziell zzi

11 LE FUNZINI GNIMETRIHE E L RISLUZINE DEI TRINGLI e, pihé P, PH sen e H s, ttenim sen, ssi sen, s, ssi s. Le due uguglinze ttenute ptn enunie il seguente teem. TEREM Pim teem dei tingli ettngli In un tingl ettngl l misu di un tet è ugule quell dell iptenus mltiplit pe il sen dell ngl ppst l tet pe il sen dell ngl (ut) diente l tet. sen s tet iptenus $ sen dell ngl ppst tet iptenus $ sen dell ngl diente nsideim nuvmente l figu. Pe l similitudine dei tingli PH e, pssim nhe sivee l ppzine Pe evità, vlte siveem tet invee di misu del tet, lt invee di misu del lt e. PH H, d ui sen tg, ppue s s tg. sen Sitte nell fm tg, ssi tg, tg, ssi tg, le due elzini ptn l seguente teem. TEREM Send teem dei tingli ettngli In un tingl ettngl l misu di un tet è ugule quell dell lt tet mltiplit pe l tngente dell ngl ppst l pim tet pe l tngente dell ngl (ut) diente l pim tet. tg tg tet lt tet $ tngente dell ngl ppst pstlpimtet pim tet lt tet $ tngente dell ngl ut diente l pim tet pight 0 Znihelli edite Sp, lgn [68 de] Quest file è un estensine nline dei si di mtemti di Mssim egmini, nn Tifne e Gziell zzi

12 LE FUNZINI GNIMETRIHE E L RISLUZINE DEI TRINGLI Se di un tingl sn nti sl gli ngli, nn è pssiile tve i lti, pehé esistn infiniti tingli, tutti simili l dt, he hnn gli ngli nguenti. L isluzine dei tingli ettngli Rislvee un tingl ettngl signifi detemine le misue dei sui lti e dei sui ngli nsend lmen un lt e un lt dei sui elementi (iè, un ngl un lt lt). Esminim qutt si due si in ui si nsn due lti e due si in ui si nsn un lt e un ngl. Sn nti i due teti nsend e, vglim detemine, e Figu In un tingl ettngl gli ngli uti sn mplementi. tg tg ; 90 - ;, d ui ivim +, pe il teem di Pitg. 0 0 ESEMPI Le misue dei due teti del tingl in figu sn 0 e 0 0 tg 0,6, d ui l 59m, he ppssimim 0, - 0 " È pssiile lle il vle di nhe senz pplie il teem di Pitg, m ivnd dll fmul sen. Sn nti un tet e l iptenus nsend e, vglim detemine, e sen, d ui ivim sen ; 90 - ; Figu -, pe il teem di Pitg. Si può ive nhe senz pplie il teem di Pitg, m n s sen. pight 0 Znihelli edite Sp, lgn [68 de] Quest file è un estensine nline dei si di mtemti di Mssim egmini, nn Tifne e Gziell zzi

13 LE FUNZINI GNIMETRIHE E L RISLUZINE DEI TRINGLI ESEMPI In un tingl ettngl le misue di un tet e dell iptenus sn, e 50. Rivim, sen 0, 6 " 5 50 ; ; 50 -(, ) 500-6, , 5 5,. 50, Sn nti un tet e un ngl ut nsend e, vglim detemine, e 90 - ; tg ; Figu +. ESEMPI nsideim il tingl ettngl in ui sn nti 8 e 8. Si iv ; 8 tg 6-8 $,88-5; Sn nti l iptenus e un ngl ut nsend e, vglim detemine, e 90 - ; sen ; sen. Figu 5 ESEMPI nsideim il tingl ettngl dell figu lt. Le misue dell iptenus e dell ngl sn ispettivmente 8, e 58. Si iv ; 8, $ sen 58-8, $ 0,88 - ; 8, $ sen - 8, $ 0, , 58 pight 0 Znihelli edite Sp, lgn [68 de] Quest file è un estensine nline dei si di mtemti di Mssim egmini, nn Tifne e Gziell zzi

14 LE FUNZINI GNIMETRIHE E L RISLUZINE DEI TRINGLI ESPLRZINE sti, seni, seni, tngenti Nse un nuv sienz lui he è idt me il fndte dell tignmeti, Ipp di Nie, è un stnm vissut pevlentemente d lessndi d Egitt nel II sel.. Nei sui sitti si tvn delle vee e ppie tvle n le misue delle de di un ehi di ggi fisst ifeite ll misu dell ngl l ent ispndente. nsidet l infeenz gnimeti, l elzine he leg l misu di un d e il sen dell ngl l ent ispndente è sen, quindi l studi delle de è in eltà equivlente quell dei seni degli ngli l ent ispndenti. Un lt stnm ge, Tlme (II se. d..), sisse un pe fndmentle nn sl pe l stnmi, m nhe pe l tignmeti l lmgest. Teem di Tlme il pdtt delle misue delle dignli di un qudilte insitt in un infeenz è ugule ll smm dei pdtti di quelle dei lti ppsti del qudilte. Nell lmgest, Tlme iptò delle tvle mlt ute delle misue delle de, n vli he ndvn, umentnd di mezz gd, d 80. ttività Gli i e l stnmi Gli i hnn studit l stnmi ge e e ne hnn tmndt pee imptnti, me l lmgest (he in signifi Il più gnde) di Tlme. Fi un ie sui ntiuti i ll svilupp dell stnmi medievle. e nel we Qil, L Me, stnmi, Mih D D D + D I nmi delle funzini gnimetihe In Indi, ht (500 d..) intdusse l us delle mezze de indindle n il nme jiv. Dt l elzine he im esmint plnd dei Gei, esse en già in qulhe md misue dei seni. Gli i tsfmn il temine igini indin utilizznd, pe ssnnz, l pl ji, he vul die «pieg». Dgli Eupei, l pl ji venne pi tdtt in sinus, he, ppunt, in ltin h nhe il signifit di «pieg». Gli i utilizzvn nhe il sen di un ngl, detemint me sen dell ngl mplemente, m nn esistev un temine pe indil. Pe il sen il fnese Fnis Viète (50-60) usv il temine sinus esidue. Sl nel 60 l inglese Edmund Gunte (58-66) intdusse il temine sinus. L intduzine delle funzini tngente e tngente è dvut ll sienz degli lgi sli, l gnmni. Il temine tngente fu intdtt nel 58 dl dnese Thms Finke e il temine tngente n d Gunte nel 60. Un gnmne è un st infiss pependi lmente su un mu vetile ppue sul te en. nsideim l ngl he i ggi del Sle fmn ispett ll izznte in un dt mment, ssi l su ltezz. L tngente dell ltezz si ttiene me ppt f l lunghezz di un gnmne pintt te e quell dell su m m gnmne tg. L pim pe di tignmeti identle fu De tingulis mnimdis, sitt ves il 6 d Jhnn Mülle, dett Regimntn. Mest stnm l lv n l stli. Istnul, Muse Tpkpi. pight 0 Znihelli edite Sp, lgn [68 de] Quest file è un estensine nline dei si di mtemti di Mssim egmini, nn Tifne e Gziell zzi

15 LE FUNZINI GNIMETRIHE E L RISLUZINE DEI TRINGLI. PPLIZINI DEI TEREMI SUI TRINGLI RETTNGLI L e di un tingl Enunim il seguente teem senz dimstl. TEREM e di un tingl L misu dell e di un tingl è ugule l semipdtt delle misue di due lti e del sen dell ngl mpes f essi. e $ lt$ lt$ sen dell ngl mpes ESEMPI llim S, spend he, 6 e he l ngl mpes t essi è 5 (figu lt) S $ 6$ sen 5 $ 6$. Il teem dell d S S sen 6 5 TEREM In un infeenz l misu di un d è ugule l pdtt dell misu del dimet pe il sen di un degli ngli ll infeenz he insistn sull d. sen Gli ngli he insistn sull d sn di due tipi quelli he insistn sull % mine, me quelli dell figu n il vetie in, e, e quelli he insistn sull % mggie, me quell n vetie in E. E ESEMPI Deteminim l misu dell d di un infeenz di ggi, spend he su di ess insiste un ngl di. pplihim il teem dell d $ $ sen $. Il ggi dell infeenz isitt un tingl Il tingl è insitt in un infeenz di ggi. Il teem dell d pemette di sivee le elzini $ sen, $ sen, $ sen, pight 0 Znihelli edite Sp, lgn [68 de] Quest file è un estensine nline dei si di mtemti di Mssim egmini, nn Tifne e Gziell zzi 5

16 LE FUNZINI GNIMETRIHE E L RISLUZINE DEI TRINGLI dlle quli pssim ive,, sen sen sen. Queste fmule nsentn di lle il ggi dell infeenz isitt un tingl nsend un lt del tingl e l ngl ppst ess. 0 0 ESEMPI llim il ggi dell infeenz isitt l tingl, di ui sn nti il lt 0 e l ngl W 0. Utilizzim l elzine 0 0. sen $ 5. I TRINGLI QULUNQUE Esminim le elzini he legn le misue dei lti di un tingl qulunque i vli delle funzini gnimetihe degli ngli. Il teem dei seni Il teem dei seni è nhe nt me teem di Eule. Lenhd Eule (707-78) nque sile, dve iniziò l su fmzine mtemti. Visse pi Pietug e elin (7-766), ll te di Fedei il Gnde, me diette dell sezine di sienze mtemtihe dell demi. i h lsit più di 800 sitti, f lii e tili. TEREM In un tingl le misue dei lti sn ppzinli i seni degli ngli ppsti. sen sen sen Si dimst he. sen sen sen ESEMPI llim l misu del lt del tingl spend he 0, 05 e he l misu di è 6. Pe pte pplie il teem dei seni dim lle l mpiezz dell ngl 80 - ( ) 5. 6 pight 0 Znihelli edite Sp, lgn [68 de] Quest file è un estensine nline dei si di mtemti di Mssim egmini, nn Tifne e Gziell zzi

17 LE FUNZINI GNIMETRIHE E L RISLUZINE DEI TRINGLI Utilizzim l elzine sen sen $ " " sen 0 sen 5 6. Il teem del sen TEREM In un tingl il qudt dell misu di un lt è ugule ll smm dei qudti delle misue degli lti due lti diminuit del dppi pdtt dell misu di questi due lti pe il sen dell ngl mpes f essi s Il teem del sen è nhe nt me teem di nt. Lze-Nils nt (75-8) fu un mtemti e un um pliti fnese, d nn nfndesi n il figli Sdi nt (796-8), he fu un eminente fisi, nt pe i sui studi di temdinmi. ESEMPI llim l misu del lt di un tingl di ui sppim he m, m e l ngl 60. pplihim il teem di nt l tingl + - $ $ $ s + 9- $ 7, d ui 7 m. m 60 m Il teem del sen viene nhe himt teem di Pitg genelizzt. Quest pehé, se il tingl è ettngl, il teem del sen nn è lt he il teem di Pitg. Inftti, se 90, si h + - $ s 90, e pihé s 90 0, itvim il teem di Pitg +. Figu 6 L isluzine dei tingli qulunque Rislvee un tingl qulunque signifi detemine le misue dei sui lti e dei sui ngli. È sempe pssiile islvee un tingl se sn nti te sui elementi, di ui lmen un si un lt. Pssim utilizze il teem dei seni e il teem del sen. Nel tingl ettngl st nsee due elementi, inftti il tez element è l ngl ett. pight 0 Znihelli edite Sp, lgn [68 de] Quest file è un estensine nline dei si di mtemti di Mssim egmini, nn Tifne e Gziell zzi 7

18 LE FUNZINI GNIMETRIHE E L RISLUZINE DEI TRINGLI Esminim i qutt pssiili si. Sn nti un lt e due ngli nsend, e, vglim detemine, e. Deteminim 80 - ( + ). Pe il teem dei seni $ sen ". sen sen sen n pe il teem dei seni $ sen ". sen sen sen 0 60 ESEMPI Nel tingl in figu sn nti, 0 e 60. Rivim 80 - ( ) 80. Pe il teem dei seni,, d ui sen 0 sen 80 $ sen 0 $ 0, ,. sen 80 0, 988 n pe il teem dei seni,, d ui sen 60 sen 80 $ sen 60 $ 0, , 55. sen , Sn nti due lti e l ngl f essi mpes Nel tingl in figu lt nsim, e ; deteminim, e. Deteminim medinte il teem del sen + - s. pplihim nuvmente il teem del sen pe lle + - s " s + - " " s + -. Tvim n l funzine sen. Infine deteminim 80 - ( + ) ESEMPI Del tingl in figu sn nti 6, 6 e 0. pplihim il teem del sen pe lle $ 6$ 6$ s $ 0, , 008 ", pight 0 Znihelli edite Sp, lgn [68 de] Quest file è un estensine nline dei si di mtemti di Mssim egmini, nn Tifne e Gziell zzi

19 LE FUNZINI GNIMETRIHE E L RISLUZINE DEI TRINGLI pplihim il teem del sen pe lle + - s " 6 5, $ 5, $ 6$ s, s - 0, 77 " ( ) 0. Pe lle im ust il teem del sen, invee del teem dei seni, pehé, se deteminim un ngl nsend il vle del su sen, ll l ngl he ttenim è uni. Pe esempi, s individu un sl ngl mpes f 0 e Invee, sen individu due ngli Quindi, se si ll un ngl nsend il vle del su sen, si ttengn due sluzini di ui si dvà pi veifie l ettilità. Sn nti due lti e un ngl ppst un di essi nsideim il tingl e suppnim nti, e. Vglim nsee, e. pplihim il teem dei seni l tingl dt pe lle " sen sen. sen sen Esminim i si he si pssn pesente send del vle di sen, idnd he deve isulte 0 sen #, ltimenti nn esiste.. sen " 90. Distinguim due si se $ 90, il plem nn h sluzini; se 90, il plem mmette un sl sluzine (figu ).. 0 sen in quest s si hnn due sluzini, e, t l sup plementi, pe esempi ut e ttus. Pe spee se questi vli sn ettili, dim nsidee, e. Se $ 90, l sluzine nn è ettile pehé un tingl nn può vee due ngli ttusi. ettim sl ut; il plem mmette un sl sluzine (figu ). Se 90 e, ll, pihé lt mggie st ppst ngl mggie, è ppue ; entme le situzini sn ettili il plem mmette due sluzini (figue e d). Se 90 e, ll, pe ui, he è ttus, nn è ettile e im pe sluzine sl. Pe finie, dp ve llt, deteminim 80 - ( + ) e pi llim l misu del tez lt, pplind il teem dei seni sen ". sen sen sen Del s ppen esmint tvi due esempi nell eseizi 9 pgin. d pight 0 Znihelli edite Sp, lgn [68 de] Quest file è un estensine nline dei si di mtemti di Mssim egmini, nn Tifne e Gziell zzi 9

20 LE FUNZINI GNIMETRIHE E L RISLUZINE DEI TRINGLI nhe in quest s, me nel send, è pptun utilizze il teem del sen e nn quell dei seni. Sn nti i te lti nsend, e (figu lt), deteminim, e. Rivim pplind il teem del sen + - s " " s + - " " s + -. Tvim pi n l funzine sen. Rivim ll stess md + - s " s + -. Rivim n l funzine sen. Rivim pe diffeenz 80 - ( + ) ,6 ESEMPI nsideim il tingl n 58,6, 77 e 70. Pe ive pssim sstituie, nell fmul he espime l elzine t il sen di un ngl e le misue dei lti del tingl, i vli di, e s , , 96 $ 70$ s 795, " s - 0, s 0, Rivim ll stess md s , 6-77 $ 70$ 58,6 - s 0, , Rivim, infine, pe diffeenz (7 + 7 ) pight 0 Znihelli edite Sp, lgn [68 de] Quest file è un estensine nline dei si di mtemti di Mssim egmini, nn Tifne e Gziell zzi

21 LE FUNZINI GNIMETRIHE E L RISLUZINE DEI TRINGLI. LE FUNZINI GNIMETRIHE Tei pg. L sente, l sente, l tngente Utilizznd l infeenz gnimeti, ppesent gli ngli he veifin le seguenti uguglinze. se se - se - se 5 Disegn nel ehi gnimeti gli ngli he sddisfn le seguenti uguglinze tg ; tg ; tg -. Indi in qule qudnte si tv un ngl he veifi le seguenti ndizini. 6 sen 0, tg 0. [II qudnte] 7 tg 0, se 0. [II qudnte] 8 s 0, tg 0. [I qudnte] Tv il dmini delle seguenti funzini. 9 tg x x! k D 0 s x tg x x! k D tg x- sen x [x! k] Espessini n le funzini gnimetihe ESERIZI GUID Semplifihim l seguente espessine + tg l. s se Utilizzim l send elzine fndmentle sen + m. s s se Eseguim il ll ll inten dell pentesi e utilizzim l definizine di se + sen m. s s Tsfmim il tutt in pdtt f fzini + sen $ s + sen. s Semplifi le seguenti espessini. ( se + se ) tg s + sen - $ se tg tg - $ tg s sen 6 sen tg tg + sen $ s ; sen E [- s ] ; s E sen + s D s pight 0 Znihelli edite Sp, lgn [68 de] Quest file è un estensine nline dei si di mtemti di Mssim egmini, nn Tifne e Gziell zzi

22 LE FUNZINI GNIMETRIHE E L RISLUZINE DEI TRINGLI le funzini gnimetihe di ngli ptili 7 Detemin il sen dei seguenti ngli, utilizznd l nsenz del sen degli ngli ptili 0 ; 5 ; 50 ; 80 ; 70 ; 00. ; ; ; ; 0; - ; - E 8 Detemin il sen dei seguenti ngli, utilizznd l nsenz del sen di ngli ptili 0 ; 5 ; 50 ; 80 ; 70 ; 00. ; - ;- ;- ; -0 ; ; E 9 Detemin l tngente dei seguenti ngli, utilizznd l nsenz dell tngente degli ngli ptili 0 ; 5 ; 50 ; 80 ; 70 ; 00. ;- ; ; - - ;0; nn esiste ; - E ll il vle delle seguenti espessini. 0 sen 0 - se 60 + se 5 + s 90 - se 0 + tg 5 [0] s 0- se + se - sen + tg [0] tg 0 + s 0 sen 60 - s 5-6sen 90 [-] s 0 sen 90 s sen 70 - sen s70 [0] s 0 - se 60 - sen 5 + s 60 se 5-8 sen D 5 tg - se + se se - 8 tg s se 5 -s 5 - s 0 + se 60 - tg 0 + tg 60 D 7 s 0 + sen 60 + s 90 - s 5 - s 60 - sen 90 [-] ll il vle delle seguenti espessini effiienti letteli. 8 sen - se + s + tg 6 [ - ] 9 sen 90 + s 80 - sen 70 + s 0 [ - ] 0 xs 60 - sen 60 + xse 60 + tg 60 [x] sen -s lsen - tg l + se 6 [ + ] x tg 0 + x tg + tg l - tg -x tg 6 [ x 6x] pight 0 Znihelli edite Sp, lgn [68 de] Quest file è un estensine nline dei si di mtemti di Mssim egmini, nn Tifne e Gziell zzi

23 LE FUNZINI GNIMETRIHE E L RISLUZINE DEI TRINGLI. LE FUNZINI GNIMETRIHE Tei pg. 8 INVERSE MPLET le seguenti telle. x sen x sen x tg x tg x s x s x tg x tg ll il vle delle seguenti espessini. 7 s- m, sen., D 8 sen, s- m. 5, D 6 6 tg( - ) + sen + tg( - ) s + sen - tg 9 tg] -g, tg. -, D 0 sen + tg( - ) D - D D 6 ESERIZI GUID llim s sen- ld. Si ttt di un funzine mpst; llim il vle dell funzine più «inten», sen - l, tenend nt he il dmini dell sen è - ; D sen - l -. 6 Petnt s sen - ld s- l. 6 llim il vle dell funzine «esten» s - l. 6 pight 0 Znihelli edite Sp, lgn [68 de] Quest file è un estensine nline dei si di mtemti di Mssim egmini, nn Tifne e Gziell zzi

24 LE FUNZINI GNIMETRIHE E L RISLUZINE DEI TRINGLI ll il vle delle seguenti espessini. sen( tg ) 5 ; E tgs l [ ] 6 s7tg] - g sens s; sen- me m tg s- ld D ; E D ; - E 50 sen^tg h 5 s; sen- me 5 D ; E tg; tg- me 6 5 s[ tg( - )] 5 tg; s- me 55 sen7tg] - g ; E ;- E D. I TRINGLI RETTNGLI Tei pg VER FLS? Nel tingl ettngl dell figu si h ) s. V F ). V F s ) tg. V F d) sen. V F e) tg. V F f) s. V F L isluzine dei tingli ettngli 57 ESERIZI GUID Rislvim un tingl ettngl in, spend he ) un tet è lung 0 m e l iptenus 6 m; ) i due teti sn lunghi 0 m e 0 m. ) Tvim gli elementi ingniti del tingl. Pe ive, pplihim il pim teem dei tingli ettngli s s " s " s. Rivim s. Essend sen + s, ivim sen 5 sen! - s " sen - ; 69 im selt il vle psitiv pehé è un ngl ut. 0 pight 0 Znihelli edite Sp, lgn [68 de] Quest file è un estensine nline dei si di mtemti di Mssim egmini, nn Tifne e Gziell zzi

25 LE FUNZINI GNIMETRIHE E L RISLUZINE DEI TRINGLI Pe il pim teem dei tingli ettngli si h sen " 6 $. L lunghezz di è m. ) Pe il send teem dei tingli ettngli, tg " 0 0tg " tg tg, d ui - - tg. n il teem di Pitg llim L iptenus h lunghezz 50 m. 0 0 Rislvi il tingl, ettngl in, nti gli elementi inditi. 58 5; 0. [ 0 ; 5 ; 60 ] 59 ; 60. [ ; ; 0 ] 60 8; 8. [ 6; 0 ; 60 ] 6 8;. [ ; 0 ; 60 ] 6 0; ; ; 0 D 6 ; 5. [ ; ; 5 ] 6 6; 0. [ 9; 6 ; 60 ] 65 8;. [ ; 0 ; 60 ] 66 8; 5. [ ; ; 5 ] 67 6; 8. [ -, ; -, ; 7 ] 68 5; 5. [ 5; 5 ] Rislvi i seguenti tingli ettngli, nti gli elementi inditi in figu tg 0 [ -,97; - 9,0; 6 0 ] 66; - 0, 7; tg D pight 0 Znihelli edite Sp, lgn [68 de] Quest file è un estensine nline dei si di mtemti di Mssim egmini, nn Tifne e Gziell zzi 5

26 LE FUNZINI GNIMETRIHE E L RISLUZINE DEI TRINGLI [ ; - 7,7; 60 ] ; 0; 0 D 7 7 sen , 98; -sen 0, 85; sen D 5 6; 0; sen D 8 7 I plemi n i tingli ettngli Utilizznd i dti dell figu, dedui iò he è indit fin. 75, 78 tg,s [0 ; 5] 76,sen 5 s 79, tg ; ; E 8 5 ; D 77,s 8 sen 5 s sen, sen 6; D 8 0 ; D 5 ; 5 5 ; E pight 0 Znihelli edite Sp, lgn [68 de] Quest file è un estensine nline dei si di mtemti di Mssim egmini, nn Tifne e Gziell zzi

27 LE FUNZINI GNIMETRIHE E L RISLUZINE DEI TRINGLI 8 In un tingl ettngl un tet è lung 0 m e l ngl ppst ess è di 0. Tv il peimet del tingl. [7,7 m] 5 8 In un tingl ettngl il ppt t un tet e l iptenus è, e l lt tet è lung 8 m. Detemin l e del tingl e le misue degli ngli. [ 80 m ; 7l ; 67 l] 8 Nel tingl, ettngl in, un tet è lung 0 m e il sen dell ngl ut ess diente è 0,7. Detemin l e e il peimet del tingl. [0 m ; 68,97 m] 0 8 Nel tingl ettngl l lunghezz dell iptenus è m e l tngente dell ngl V è. 9 Detemin il peimet e l e del tingl. [90 m; 80 m ] 85 Nel tingl ettngl le piezini dei teti sull iptenus sn H 5 m e H 9 m. Detemin i teti e gli ngli uti m; 7 7 m; V tg ; W tg D In un tingl ettngl un tet è lung 75 m e il sen del su ngl ppst è. Detemin il 7 peimet del tingl e l ltezz eltiv ll iptenus. [00 m; h - 5,9 m] 7 87 In un tingl issele l se è lung m e il sen dell ngl l vetie è. Detemin le ltezze 5 del tingl. [6 m; 9, m] 9 88 Il lt liqu di un tingl issele è lung 8 m e il sen dell ngl ll se è. Tv il peimet e l e del tingl. [97,56 m; 0,9756 m ] 9 89 Nel tpezi issele D di se è D D 8 m e tg W. Detemin peimet e e del 0 tpezi. [88 m; 96 m ] 90 Tv il peimet di un tingl issele, di se 8 m, in ui il sen dell ngl l vetie è 7 ugu le -. [08 m] 5 9 In un tingl, W 0 e V 5. Essend 0 m e 0 m, ll l lunghezz del lt. [(0 + 0) m] 9 In un tingl ettngl l diffeenz dei teti è 6 m e l tngente dell ngl ppst l tet mggie è 0. ll il peimet e l e del tingl. [0 m; 7560 m ] 5 9 Il tpezi D è ettngl in e D. Spend he m, D 8 m e tg V, ll il peimet e l e del tpezi e detemin il vle di s W. 76 m; 00 m ; - D 9 Detemin i lti di un tingl ettngl, spend he il peimet è 80 m e l tngente di un degli ngli uti è. [0 m; 7 m; 78 m] 5 pight 0 Znihelli edite Sp, lgn [68 de] Quest file è un estensine nline dei si di mtemti di Mssim egmini, nn Tifne e Gziell zzi 7

28 LE FUNZINI GNIMETRIHE E L RISLUZINE DEI TRINGLI Tingli ettngli nell eltà 95 Un funivi lleg due llità, e, distnti 00 m ed è inlint di sul pin izzntle. he ltezz, ispett d, si tv l stzine? [80,96 m] 96 L mp di un pheggi sttene è lung 8, m e fm un ngl di n il pin izzntle. he pfndità si tv il pheggi? [,0 m] 97 In un tell stdle si legge «Pendenz del %». Peend un ttt di 80 m, qunt si sle in ltezz? he ngl fm l std n il pin izzntle? [9, m; 8,05 ]. PPLIZINI DEI TEREMI Tei pg. 5 SUI TRINGLI RETTNGLI L e di un tingl Detemin l e di un tingl, nti gli elementi inditi. 98 0, 5, 99,,. [8] 5 00, 6, 0. [0] 0 0,, 50. [60] 0 65, 0, 0 6, 0, 5 sen. [50] tg. 5 [0] 0 ll l e di un tingl spend he due sui lti sn lunghi 0 m e 8 m e l ngl mpes t essi è di 5. [ 90, 9 m ] 05 In un tingl due lti sn lunghi 8 m e 6 m. L ngl mpes t essi h il sen ugule. Detemin l e del tingl. [ 7, 7 m ] 06 ll l e di un pllelgmm in ui due lti nseutivi misun e 8 e l ngl mpes f essi h mpiezz. [68 ] Il teem dell d 07 ESERIZI GUID In un infeenz il ggi è 0 m. llim l lunghezz di un su d, spend he l ngl l ent he insiste su di ess h mpiezz di 0. 8 pight 0 Znihelli edite Sp, lgn [68 de] Quest file è un estensine nline dei si di mtemti di Mssim egmini, nn Tifne e Gziell zzi

29 LE FUNZINI GNIMETRIHE E L RISLUZINE DEI TRINGLI Se l ngl l ent he insiste sull d è 0, ll il ispndente ngl ll infeenz è 60. Pe il teem dell d è sen $ 0 $ sen L d è lung 0 m ssevzine. Sull d insistn ngli ll infeenz di 60 e ngli ll infeenz di 0. L lunghezz dell d he llim nn dipende dll ngl selt, pehé sen 60 sen 0. Negli eseizi he segun tv l element indit ifeendti ll figu. 08?, 5, 0. [5] 09?,, 5. [ ] 7 0?, 5, s. [8] 5?, 0, 0. [0 ]?, 0, 0. 0 D 5. I TRINGLI QULUNQUE Tei pg. 6 Il teem dei seni ESERIZI GUID Utilizzim gli elementi inditi nell figu pe tve l ngl e i lti e del tingl pight 0 Znihelli edite Sp, lgn [68 de] Quest file è un estensine nline dei si di mtemti di Mssim egmini, nn Tifne e Gziell zzi 9

30 LE FUNZINI GNIMETRIHE E L RISLUZINE DEI TRINGLI 80 -( ) 0. pplihim il teem dei seni pe detemine e " $ sen 60-75, 6. sen 60 sen 00 sen " $ sen 0-9, 8. sen 0 sen 00 sen 00 Del tingl sn nti luni elementi. Detemin iò he è ihiest., 9, 0. sen? 5 0, 9, 0. sen? 6,, D ; 9 E 0. sen? s? [impssiile] 7, 60, 5.?? [6 6; 6( + )] 8, 60, 5.?? [ ( -); ( -)] 9 60, 75,.?? [6 6; 6( + )] 0 Nel tingl sn nti 0, tg W e W. Detemin l misu degli lti due lti. 6 [ ; ( + )] Detemin il peimet del pllelgmm D di se, spend he D, D W, V D. [ ( + )] Nel tingl si nsn 0 7 m, sen W e s W 5 -. Detemin i lti e. [ ( 7-9) m; m] Nel tingl LMN il lt LM è lung 60 m e l ngl MLN W h mpiezz 0. Spend he s LNX M, detemin gli lti lti del tingl. 6 MN 90 m; LN 0] + gm@ Il tingl LMN è ttusngl in LX ; spend he LM 9 m, LN m e he l ltezz eltiv l lt LM è NH m, ll il peimet del tingl e l mpiezz di LNM X. ;] gm; LNX M sen E 65 5 Nel tingl l isettie D misu 8 e fm n l se l ngl DW 60. Detemin D W spend he +. D 5 0 pight 0 Znihelli edite Sp, lgn [68 de] Quest file è un estensine nline dei si di mtemti di Mssim egmini, nn Tifne e Gziell zzi

31 LE FUNZINI GNIMETRIHE E L RISLUZINE DEI TRINGLI Il teem del sen 6 ESERIZI GUID Deteminim l misu del lt utilizznd gli elementi inditi nell figu. pplihim il teem del sen + - s. Si h + - $ s W $ $ 8 s $ $ 8 $ ? Quindi 59 -,. Del tingl sn nti luni elementi. Detemin iò he è ihiest. 7, 6, 8, 0,.? [6 ].? [ 7] 0,,.? [60 ] 56, 0, 6. s? D 9 5,, 0.? [,5], 0, 8. tg? [ 5] Nel tingl utngl si h sen W 5, 6 m e 8 m. Tv. 5 8,9 m? Un m h i lti lunghi 0 m e un ngl di 5. Detemin le lunghezze delle dignli. [, m; 9,5 m] 5 Nel tingl l misu di è e il sen dell ngl W è. Il punt D divide nei segmenti D e D. Tv D, e l misu di M, medin eltiv d. ; D ; 7; M 7 E 6 In un pllelgmm due lti nseutivi misun e 0 e l ngl f essi mpes è sen. 5 ll le misue dell e e delle dignli. [ e 6; 8 5; 6 ] L isluzine dei tingli qulunque Sn nti un lt e due ngli 7 ESERIZI GUID Rislvim il tingl, spend he 6, 5, 0. pight 0 Znihelli edite Sp, lgn [68 de] Quest file è un estensine nline dei si di mtemti di Mssim egmini, nn Tifne e Gziell zzi

32 LE FUNZINI GNIMETRIHE E L RISLUZINE DEI TRINGLI Rivim pe diffeenz 80 -(5 + 0 ) 5. pplihim il teem dei seni pe lle e sen " sen sen sen ; sen 0 6 $ sen 5 ; sen " ; sen sen sen 6 sen 5 sen 5 6 $ 6-6] 6 - g$ 6-6. Rislvi il tingl, nti gli elementi inditi. 8,,. 5 ; ; 6( + 6 ) D 9 +, 5, ; + ; ,,, 0,. ; 8-8; 6D 7. ; -; 6 - D 8, 0, s l ; ; ] 6 + gd Sn nti due lti e l ngl f essi mpes ESERIZI GUID Rislvim il tingl, spend he, 8,. pplind il teem del sen, ivim + -s ; $ $ 8 s - 6, 69; - 80,. 8 pight 0 Znihelli edite Sp, lgn [68 de] Quest file è un estensine nline dei si di mtemti di Mssim egmini, nn Tifne e Gziell zzi

33 LE FUNZINI GNIMETRIHE E L RISLUZINE DEI TRINGLI Rivim, pplind n il teem del sen + - s " s , s , 5 " -. $ 80, $ 8 Rivim pe diffeenz ( + ) 7. ; Rislvi il tingl, nti gli elementi inditi., 8,. [ - 8,7; - 6 ; - 0 ] 5 5,, 6,, 8. [ - 9,7; - 8 ; - ] 6, 5, 60. [ - 7,9; - ; - 09 ] 7, 0,. [ -,7; - 9 ; - 5 ] 8, 6, 60. [ - 50 ; - 70 ; - 7,8] Sn nti due lti e l ngl ppst un di essi 9 ESERIZI GUID Rislvim un tingl, spend he ) 6,, 5 ; ), 6, 0. ) Rivim n il teem dei seni, sen sen 0 6 " sen sen 50 È ettile sl il vle 0, in qunt pe 50 si vee Inlte nn see ve he d ngl mggie st ppst lt mggie 6, he è mine di, see ppst 50, he è mggie di 5. Deteminim pe diffeenz (0 + 5 ) 05. Tvim n il teem dei seni 6 ", sen sen " - 6. sen 05 pight 0 Znihelli edite Sp, lgn [68 de] Quest file è un estensine nline dei si di mtemti di Mssim egmini, nn Tifne e Gziell zzi

34 LE FUNZINI GNIMETRIHE E L RISLUZINE DEI TRINGLI ) pplihim il teem dei seni, sen sen 6 sen " sen Entme le sluzini sn ettili. Se 60 " 90, " 8. sen 90 sen 0 Se 0 " 0, il tingl è issele, quindi. Rislvi il tingl, nti gli elementi inditi. 50, 8, 60. [ 5 ; 75 ; + ] 5 6, 6,. 5 ; ; + 6 D 5, + 6, 5. [ 60, 75, 0 0, 05, ] 5 7, 7, 0. [ 0 ; 0 ; 7] Sn nti i te lti 5 ESERIZI GUID Rislvim un tingl, spend he, 7, 0. pplihim più vlte il teem del sen 7 0 s $ 7 $ s $ $ s $ $ 7-0,80 " - 6,7 ; - 0, 5 " - 57, 9 ; - 0, 08 " -85, Rislvi il tingl, nti gli elementi inditi. 55, 9,. [ - 5 ; - 5 ; - 0 ] 56 0, 7,. [ - ; - ; - 6 ] 57 5, 8, 6. [ - 75 ; - 6 ; - ] pight 0 Znihelli edite Sp, lgn [68 de] Quest file è un estensine nline dei si di mtemti di Mssim egmini, nn Tifne e Gziell zzi

35 LE FUNZINI GNIMETRIHE E L RISLUZINE DEI TRINGLI 58 5, 6, 0. [ - 0 ; - 7 ; - 5 ] 59, 6, +. [5 ; 60 ; 75 ] I plemi n i tingli qulunque 60 In un tingl un lt misu 9. Un ngl ess diente è di e l lt h tngente ugule -. Detemin le misue degli lti elementi del tingl. ; 98 ngl s ; lti 7, 5 E 0 6 In un tingl l e misu lti elementi del tingl. ] + g e due ngli hnn mpiezze e. ll le misue degli 5 ngl ; lti, 6, + D 5 6 In un tingl le misue dell e e di due lti sn ispettivmente ] - g, 0 e 5] - g. Tv gli lti elementi del tingl. [60, 8, 9, 8,76 0 0, 5, 5, 5 6 ] 6 In un tingl issele il sen degli ngli ll se è ugule. ll il peimet e l e spend he 5 l se misu l, 6D 7 6 ll l e di un m di lt 5 m, spend he il sen dell ngl ut è. [76 m ] 5 65 Detemin il peimet e l dignle mine di un pllelgmm, spend he l dignle mggie è lung 0 m e fm n un lt un ngl di 0, mente l ngl ess ppst è di 5. [0( + -) m, 0 - m] 66 ll il peimet e l e di un tpezi issele, spend he l se mggie è 90 m, il lt liqu 0 m e l ngl ll se h il sen ugule. [0 m; 78 m ] 5 67 In un pllelgmm l dignle mine misu m e fm n un lt un ngl di 0. Spend he l ngl ppst tle dignle è di 5, ll il peimet del pllelgmm. [( ) m] Le pplizini dell tignmeti ll fisi 68 ll il lv he mpie un fz stnte di intensità pi 5 N, inlint di 60 ispett un pin izzntle, gente su un p he viene spstt dll fz su tle pin di 5 m. [87,5 J] 69 ll l intensità e l diezine dell isultnte delle due fze di intensità Fl 8 N, Fm 0 N pplite nel punt e he fmn t l un ngl di 0. [7,9 N; 6 l 9m isp. Fl] 70 Un mss puntifme di 0,5 kg è ppes un fil vetile di mss tsuile. Un fz F izzntle di mdul pi N è pplit ll mss e l tiene in equilii in un psizine in ui il fil fm un ngl n l vetile. Tv l mpiezz di. [ l m] pight 0 Znihelli edite Sp, lgn [68 de] Quest file è un estensine nline dei si di mtemti di Mssim egmini, nn Tifne e Gziell zzi 5

36 LE FUNZINI GNIMETRIHE E L RISLUZINE DEI TRINGLI lte pplizini dell tignmeti ll eltà 7 ll l distnz f due lghi septi d un llin, spend he un mnste dist di due lghi ispettivmente 850 m e 680 m. Inlte, le diezini in ui dl mnste si vedn i due lghi fmn un ngl di 7. [909,77 m] 850 m m 7 Due se, e, sn septe d un fiume. Un te T è pst dll stess pte di, un distnz d di 75 m. L ngl TW è di 60 ; l ngl T V è di 75. ll l distnz f le due se. [59,8 m] 7 ll l ltezz di un mpnile, spend he d un distnte 80 meti d ess si vede l su im send un ngl di. [- 7 m] 7 Un gemet deve misue l lghezz di un nle. Dp ve individut un punt di ifeiment sull spnd ppst ll su, pint due pletti un, sull gine, nell psizine e l lt nell psizine H in md he l ett H isulti pependile lle spnde (figu lt). Dll psizine P, tle he PHX 90, misu gli ngli HPW, HPW e l distnz PH HP W 5 ; HPW 65 ; PH 0 m. Qul è l lghezz del nle? [8,89 m] H 80 m P R 75 Un te h l sezine qudt di e s 6 m ed è inlint su un lt di 5l 9m ispett ll vetile. Il su ient si tv 5,6 m d te l ent dell sezine dell te. L vetile pssnte pe il ient de dent l se dell te? [sì,, m dl ent] 76 Un pizz h l fm di un qudilte nvess i ui ngli misun W 70, V 0, W 0, DW 0. Se il lt è lung 0 m e 90 m, qunt misu l supefiie dell pizz? [88,6 m ] RIEPILG L tignmeti 77 ll peimet e e di un tingl ettngl l ui iptenus è lung m e l mpiezz di un ngl è di 0. [p 7,m; S,9 m ] 78 Detemin peimet e e di un tingl ettngl di ui un tet è lung m e il su ngl diente h mpiezz 50. [ p 5m; S 96, m ] 79 Spend he l iptenus e un tet di un tingl ettngl sn lunghi ispettivmente 5 m e m, tv l mpiezz degli ngli uti. [ 5, ; 6, 9 ] 6 pight 0 Znihelli edite Sp, lgn [68 de] Quest file è un estensine nline dei si di mtemti di Mssim egmini, nn Tifne e Gziell zzi

37 LE FUNZINI GNIMETRIHE E L RISLUZINE DEI TRINGLI 80 In un tingl issele l smm degli ngli ll se vle 80 e l lunghezz del lt liqu è 5 m. ll peimet e e del tingl. [ p 7, 7m; S, m ] 8 In un ettngl l dignle, he è lung m, divide l ngl ett in due ngli in md he un di essi si ugule 0. Detemin peimet e e del ettngl. [ p 0, m; S 5, m ] 8 In un tingl l ltezz H eltiv l lt è tle pe ui l lunghezz di H è 8 m e le mpiezze degli ngli H W e H W sn ispettivmente 0 e 0. ll peimet e e del tingl. [ p 69, 5 m; S 7, 7m ] 8 In un tpezi issele l dignle fm un ngl ett n il lt liqu, l ui lunghezz è 8 m, e l semidiffeenz delle si vle m. Tv peimet e e del tpezi. [ p 76m; S, m ] 8 L e di un m è 8 m e un dignle è lung 8 m. Detemin le mpiezze degli ngli inteni del m. [ 67, ;,6 ] 85 Un tingl n un ngl di 0 è insitt in un semiinfeenz di ggi 5 m. ll peimet e e del tingl. [ p, m; S 6, m ] 86 Un tpezi ettngl h il lt liqu lung m e fm un ngl di 0 n l se mggie, mente l su dignle mine fm un ngl di 0 n l ltezz. Tv il peimet e l e del tpezi. [ p 97, m; S 9, m ] 87 Insivi un tingl in un semiinfeenz di ent e dimet in md he l ngl in isulti mggie dell ngl in. Ti il segment H pependile l dimet ( H! ). Detemin l mpiezz dell ngl V in md he l e del ettngl di lti H e si ugule. [60 ] 88 Un infeenz h il dimet 60. L d misu 0 e il su plungment innt in T l tngente ll infeenz ndtt pe il punt. ll l lunghezz del segment T. [0 5 ] 89 Nel tingl LMN l isettie NP è lung 78 m, l mpiezz dell ngl LMY N è e quell dell ngl LNM X è 5. Rislvi il tingl. [ LV 0 ; MN - 9, 0 m; ML -, 6 m; NL - 6, 97 m] 90 Nel tingl l isettie dell ngl in innt il lt nel punt P tle he P 70 m. Spend he V 0 e W 80, ll l e del tingl. [0,6 m ] 9 In un tingl nsi il lt 5 m, l ngl V 5 e l medin M 8 m. ll l e e il peimet del tingl. [ sluzine S - 96, 6 m ; p - 67, m; sluzine S - 88, m ; p - 8, m] 9 Nel tingl i lti e sn lunghi ispettivmente m e 78 m; l tngente dell ngl W è -. Detemin gli ngli, il tez lt del tingl e l medin N. [- 7, ;- 97, ;- 6, 6 ; 6, m; 58,8 m] 9 In un tingl ettngl l iptenus è lung 0 dm e un ngl ut h mpiezz 7. ll le piezini dei teti sull iptenus. [5,88 dm;, dm] 9 Il tpezi slen D è isitt un infeenz; gli ngli ll se mggie sn W 75, V 5 e l e è S 6. ll il ggi dell infeenz. [] 95 Un tpezi ettngl D isitt un infeenz h gli ngli etti in e in D e l ngl ut in è di 5. Spend he il peimet è 0 5, ll l e e l lunghezz del lt liqu. [ S 50 5 ; 0( 5 -)] pight 0 Znihelli edite Sp, lgn [68 de] Quest file è un estensine nline dei si di mtemti di Mssim egmini, nn Tifne e Gziell zzi 7

38 LE FUNZINI GNIMETRIHE E L RISLUZINE DEI TRINGLI 96 Dimst he in gni tingl ettngl l tngente di un ngl ut è ugule, dve e sn le misue delle piezini dei teti sull iptenus. Detemin le misue dei lti del tingl qund m e m. 66 m, 8 m, 8 m@ 97 Pe lle l e di un ppezzment di teen fm di qudilte nvess un gnm ne misu i lti tvnd 58 m, 5 m, D 0 m e DD 8 m. Misu pi l ngl D W l. Qul è l e del teen? [99,59 m ] 98 In un zn mntus un tpgf deve lle l ltezz di un im V ispett ll su pstzine P. Pe se pende l distnz PQ 8 m dl punt nt Q situt sull im di un lt mntgn. Misu gli ngli PQV W 5 8l, QPV W 50 9l e l ngl 68 l he l diezine PV fm l pin izzntle. Qunt è il dislivell f P e V? [8 m] 99 Due edifii sn psti un di fnte ll lt ll distnz di 0 m. Un ssevte st sul niine (figu lt) dell edifii più ss e vede il niine di quell più lt stt l ngl 0 ispett l pin izzntle. L ngl stt ui vede l se dell stess edifii è 5. Tv le ltezze dei due plzzi. [ m;,8 m] m H 8 pight 0 Znihelli edite Sp, lgn [68 de] Quest file è un estensine nline dei si di mtemti di Mssim egmini, nn Tifne e Gziell zzi