GLI ASSIOMI DELLA GEOMETRIA PIANA: LA PROPOSTA DI G. CHOQUET

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1 GLI IMI DELL GEMETRI IN: L RT DI G CHQUET REME Nell esizine ssimti ell gemeti elemente vut G Chquet (Chquet G, 969, L insegnment ell gemeti, Feltinelli, Miln) mpin ssimi semplii e fti, he gli pemettn si i sfutte l ihezz ell nst intuizine gemeti he i utilizze meti e netti ell nlisi e ell lge linee Ciò he segue è in line n l ssimti se meti ntenut nell ppenie pim el test itt Quest pesentzine è un ielzine el mment l test i Chquet sviluppt l pf Mi Fei pe il s i Mtemtihe Cmplementi negli nni 90 REREQUIITI CITL I IMI DI INCIDENZ I netti peequisiti pe un un mpensine i quest ssimti sn i te ini: netti i tei egli insiemi: pezini insiemistihe, funzini, elzini i equivlenz e i ine, pezini intene e; netti i lge: gupp, ismfism, e; netti i nlisi: i numei eli I netti pimitivi ui Chquet pte sn quelli lssii i punt, ett, pin eismente il pin, he enteem n Π, è un insieme i ui elementi si himn punti:,, C ; nel pin è t un fmigli R i sttinsiemi ptili himti ette:,,, Essi uiisn vi guppi i pstulti Il pim gupp, ett egli ssimi i inienz, si mpne i te ffemzini istinte L pim ppsizine è i tip esistenzile e seve pe pple l insieme Π ssim : Il pin ntiene lmen ue ette e su gni ett i sn infiniti punti ssevzine: L sen pte i quest ssim può essee mess in qunt nseguenz el suessiv gupp i ssimi sull istnz Il sen ssim i ie qunti punti sn neessi pe tteizze un ett ssim : e gni ppi i punti istinti i Π, e Q, esiste un e un sl ett tle he: e Q

2 Chquet intue suit l ssim elle pllele pstuln si l esistenz si l uniità ell pllel pe un punt un ett ssegnt Quest ftt gli pemette un ntevle enmi i pensie e l us i vlii stumenti i ingine me l nzine i piezine liqu i Π su un ett pllelmente un ett s Definizine : Diim he è pllel s (//s) se e sl se s s ppue ssim 3: e gni ett e pe gni punt esiste un e un sl ett s tle he: s e //s CNEGUENZE psizine : e // s ll s In quest s le ue ette si in senti psizine : Nell fmigli R elle ette l elzine i pllelism è un elzine i equivlenz, vve sisf le ppietà iflessiv (//) simmeti (se // //) tnsitiv (se // e // //) Dimstzine Le pime ue ppietà sn vvie L ppietà tnsitiv si imst n l ssim 3 ssevzine E nt he gni elzine i equivlenz su un insieme E è ssit un ptizine i E in lssi i equivlenz he sn elementi i un nuv insieme: l insieme quziente Nel nst s le lssi i equivlenz ssite l pllelism sn himte iezini; l lsse i equivlenz ll qule pptiene l ett si him iezine i L RIEZINE LIQU i un ett e δ un iezine istint quell i ll pe gni punt Π l ett i iezine δ pssnte pe intese in un punt () Definizine : L pplizine φ i Π in si ie l piezine liqu su pllelmente δ () E vvi he: (Π) () ()

3 à m tlvlt hime piezine liqu nhe l estizine i un piezine liqu un pte i Π L pplizine nn è iniettiv; è peò suiettiv e, invee, nsieim ue ette e s e un iezine δ ives ll iezine si i he i s, l piezine liqu : s pllelmente ll iezine δ è iiettiv () s Dimstzine L pplizine è iuniv pihé, se e Q sn ue punti istinti i, le ette i iezine δ pssnti pe etti punti sn istinte, unque tglin s in ue punti istinti () e (Q) Infine () s pihé pe gni punt M i s, l ett i iezine δ pssnte pe M innt in un punt N e (N) M Evientemente l piezine liqu i s su pllelmente δ nn è lt he ITEMI DI I in e ue ette senti; inihim n l piezine liqu su pllelmente, e n l piezine liqu su pllelmente e gni Π i punti () e () sn etti le mpnenti i ispett l sistem ssi, ; l intesezine i, si ie igine el sistem () () i h inlte he gni ppi (, ) i punti i Π tli he e ispne un uni punt i Π tle he () e (), quest punt è l intesezine ell pllel pssnte pe e ell pllel pe L pplizine f : n f() (φ (),φ ()) è unque un iiezine i espime quest ftt ien he (, ) è un ifeiment el pin e he gni punt i Π è iniviut lle sue ue mpnenti 3

4 CITL II IMI DI RDINE Il gupp egli ssimi i ine si mpne i ue ffemzini: l pim igu le single ette in qunt intue f i esse un elzine i ine ttle; l sen, invee, stilise un legme f gli ini elle vie ette uppem nt l elzine ini i ine ttle su un insieme, iè un elzine titmi e tnsitiv ssim 4: gni ett sn ssite ue stuttue i ine ttle, isun ppst ll lt i iniheà quest elzine n il siml < e e sn ue punti i un ett, sen un elzine i ine è <, sen l elzine ppst è < Quest ssim intue un sl lp le ue stuttue ine ell ett, pihé nn esiste lun selt ntule un ine pivilegit su un ett; evientemente, nn ppen si nsiut un i questi ini, l lt l è pue CNEGUENZE Nsn i netti i: Rett ientt: gni ett tt i un ei sui ue inmenti; emiett pet i igine : { : <} ppue { : <} egment: [,] { : } ppue { : }; Insieme nvess i Π: è un pte X i Π tle he pe gni ppi i punti X e QX si h [,Q] X; esempi Π, gni ett, gni semiett e gni intevll sn nvessi L intesezine i gni fmigli (X i ) i pti nvesse i Π è nvess Il sen ssim i quest gupp stilise un legme f le stuttue ine elle ivese ette ssim 5: e gni ppi i ette pllele e s e pe tutti i punti, e ', ' n, ' e, ' s, gni ett t pllel e s he innt [,] innt nhe [ ', ' ] ' ' t s 4

5 CNEGUENZE psizine : i un ett, δ un iezine istint quell i, e l piezine liqu su pllelmente δ ll pe tutti i punti e Q i Π si h ([,Q]) [ (), (Q)] In lte ple: l pplizine tsfm segmenti in segmenti Dimstzine L ppsizine è vvi se e Q pptengn un ett i iezine δ pihé ll è stnte su quest ett, pe ui ([,Q]) { ()} { (Q)} ltimenti sin t e s le ette i iezine δ pssnti, ispettivmente, pe e Q L ssim 5 ie he l è un iiezine i [,Q] su [ (), (Q)] Di qui l sset t X s Q () (X) (Q) psizine : e gni insieme nvess X Π l su piezine (X) su è nvess e gni insieme nvess X, (X) è nvess psizine 3: in e s ue ette ientte e δ un iezine istint quell i e i s ll l piezine liqu i su i s pllelmente δ è esente eesente ( pe gli ini i e s) Dimstzine Quest ppsizine espime l mntni elle piezini pllele i ttt i f veee he pe gni ppi i punti e Q i, <Q impli ()< (Q) ppue ()> (Q) L psizine, inftti, ffem he se R[,Q], iè <R<Q ll (R)[ (), (Q)] iè ()< (R)< (Q) ppue ()< (R)< (Q) Ne isult he l è esente eesente psizine 4: gni semiett pet i Π è nn vut Dimstzine i nsiei un ett e in ptile l semiett {: e <} e l ssim esiste un punt Q e pe l ssim 3 l ett s pllel e pssnte pe Q e l ssim e l ssim 4 nsie te punti i s,, C tli he <<C e stuis l ett pssnte pe e pe 5

6 L piezine liqu su pllelmente ll ett e l psizine 3 ssiun he entme le semiette i i igine sn nn vute Q C s psizine 5: e gni ett esiste un uni ptizine i (Π-) in ue insiemi nvessi e Nessun i questi ue insiemi è vut e pe gni e Q il segment [,Q] innt Tlsim l imstzine Definizine: Gli insiemi e sn etti i semipini peti ssiti ; gli insiemi e sn i semipini hiusi ssiti NT UL CNCETT DI NGL L nzine ngl è senz ui quell he sllev le mggii isussini e iffiltà nell insegnment ell gemeti Le iffiltà sn vute, in pte, un teminlgi impeis, in pte, un misugli nfus i pehie nzini mtemtihe e nhe ll utenti iffiltà ell questine Un pim nfusine h igine l ftt he si utilizz l stess pl ngl, pe esigne ei netti f l più men llegti, m nn i men istinti quli: sette pin, ppi i semiette, misu, e Un m lssi pe efinie un ngl i vetie è quell i pesentl me intesezine i ue semipini hiusi le ui ette fntie sn istinte e si sen in Inuimente è un m suggestiv i efinie gli ngli nvessi, pefettmente eente ll nst intuizine, file visulizze e isegne Quest efinizine i ngl, peò, à it lune iffiltà Un ngl nv, pe esempi, nn può essee efinit me intesezine i semipini Nn si iese pie, pi, he s si un ngl mggie i un ngl gi, he già inie n tutt il pin: pe pte efinie l smm i ue ngli i ssegnt vetie è neessi intue ngli i quest tip i ptee efinie sull insieme egli ngli i ssegnt vetie un elzine i equivlenz, pe esempi un nguenz mul l ngl gi, e pi pee sulle lssi i equivlenz In quest s, peò, nhe pesinen ll iffiltà i pee su lssi i equivlenz, smpe gni eenz ll nst intuizine, nzi nse, l punt i vist ell intuizine, il pss he l smm i ue ngli può essee, visivmente, più pil ei singli eni Un lt m lssi i efinie gli ngli è i pesentli me ppi int i semiette venti l stess igine e nn pptenenti ll stess ett nhe n quest efinizine, peò, sussistn n iffiltà qun si vglin smme ue ngli; pe supele, si è ntti ppim intue un elzine i equivlenz nell insieme Repeiile in [], p 7 i ve [], p 9 6

7 elle ppie i semiette e efinie, pi, l izine sull insieme quziente ssit ett elzine Un tle peiment è el tutt ett, m inve ssi pesnte 3 Cnspevle i queste iffiltà, Chquet imn l intuzine egli ngli qusi ll fine ell su tttzine Gn pte, inftti, ell gemeti elemente può essee svlt inipenentemente l nett i ngl L us egli ngli nel nst insegnment isle gini stihe D un lt gli ngli sn f i temini pimitivi ell ssimti i Eulie e pe mlt temp il pstult elle pllele è stt enunit in fm ngle; lt pte i ntinuti i Eulie, nn ppen ee mpes in m suffiiente l nzine ngl ientt e ngl i ette, itenne neessi fne un us genele nn giustifit mggi gine si può sviluppe qusi tutt l gemeti senz mi ple ell misu egli ngli t i ftt he se quest è un stument essenzile ell nlisi e elle mtemtihe pplite, in gemeti mlt svente nn è lt he un mità e tlvlt un sgente i ei 4 Chquet, me veem, intue gli ngli i vetie meinte le tzini i ent supen i lp tutte le iffiltà ineenti ll smm egli ngli, pehé, n tle efinizine, gli ngli i vetie sn un gupp mmuttiv CITL III Intuzine IM DI TRUTTUR METRIC Quell he f p intuem è un ssim, i tip esistenzile, he esive il nett i istnz e utilizz i numei eli Nn tutte le ppietà ell insieme, peò, sn pete in quest stui ell gemeti elemente, m sl quelle legte ll stuttu i me mp ttlmente int e himee In ptile nn viene utilizzt l ppietà i mpletezz nell su fm genele pe ui è pssiile, pe, evite il is netti quli quell i estem supeie, sezine, suessine esente, suessine i Cuhy, e livell i pim ienni elle sule senie supeii, nel nst insegnment, l ssim i ntinuità viene inttt, in fme ivese, l mment i stuie le mutue psizini i un ett e i un infeenz i ue infeenze l ll, inftti, ivent neessi e i questi ue ftti psseim un tuzine nliti, ll i iuim nsiee sistemi i equzini i ui un i pim g e l lt i sen g i ttt in sstnz i islvee un equzine i sen g Ciò he i eve essee gntit, ll, è l esistenz ell ie qut i gni nume ele psitiv Eene, Chquet utilizz l mpletezz ei numei eli sl in quest fm mlt ele 3 i ve [], p i ve [], p

8 Vlen fe ifeiment ll ssimti i Chquet pe stuie l gemeti livell i pim ienni elle sule meie supeii si pne, unque, il plem ell intuzine ei numei eli Ritenim, nzitutt, he si snsigliile f is i netti i sezine, ppie i lssi ntigue, suessine i Cuhy, e, pe intue i numei eli: l espeienz ie he i sn iffiltà enmi i mpensine nhe in età più vnzt Fse è pssiile fe un esizine ssimti ei eli pesentnl sempliemente me un sintesi i iò he gli llievi snn già sui numei In m più ettglit: gli lunni nsn già il mp ei zinli, mp ttlmente int e himee; hnn già impt este l ie qut ei zinli psitivi i ttt, ll, i pesente i numei eli me un mp ttlmente int, himee nel qule gli elementi psitivi hnn un ie qut ssim 6: l pin Π è ssit un pplizine, ett istnz, i he ge elle seguenti ppietà: in (,Q) 0 e (,Q) 0 Q pe gni ppi, Q i punti el pin (,Q) (Q,) pe gni ppi, Q i punti el pin (,Q) (,R) (R,Q) pe gni ten, Q, R i punti el pin in ptile si h (,Q) (,R) (R,Q) R[,Q] pe gni semiett e pe gni nume ele x 0 esiste su un e un sl punt tle he (,) x ssevzine: L uniità el punt ell ultim ppietà può essee imstt Un pim imptnte nseguenz ell ssim 6 è l esistenz i un ismfism, uni, t e un ett puntt, sull qule, iè, si stt fisst un punt, ismfism he nsev l stuttu i quest ett ssit l su ine e ll su istnz Vle, inftti, il seguente Teem e gni ett ientt e pe gni punt esiste un uni pplizine f : tle he: f è esente f() 0, Q, f (Q) f () (,Q) f è iiettiv Tlsim qui l imstzine Ntim sl he l efinizine ell funzine f, pe gni punt i,, è l seguente: f() (,) se < f() -(,) se < Un ives ppst pe l intuzine ei numei eli nell sul mei supeie è quell esitt in [4], Cp e l imstzine si ve [], p -3 8

9 Teem e gni ppi i punti istinti e Q esiste e è uni il punt M ell ett Q tle he (,M) (M,Q) Dimstzine E un nseguenz immeit ell ssim 6 punt 4 Un lt imptnte nseguenz è l intuzine el nett i ismeti Definizine: Un pplizine f :, iè el pin in sé si ie ismeti se - f è iiettiv - pe gni ppi i punti,q el pin Π (f(),f(q)) (,Q) ssevzine: i ptev ihieee slmente l suiettività i f e imstne, in se ll efinizine, l iniettività Teem 3 Le ismetie pine fmn gupp Dimstzine - il ptt i ue ismetie f e g è un ismeti Il ptt g f è iiettiv, si ttt ll i f veee he (,Q) ( g f (),g f (Q)) ( g f (),g f (Q)) ( g(f (),g(f (Q)) (f (),f (Q)) (,Q) - quest ptt è ssitiv (si ttt i iiezini) - l ientità funzin element neut - l inves f i un ismeti f è n un ismeti i ttt i f veee he pe gni ppi,q i punti i Π si h (f (),f (Q)) (,Q) Inftti: (f (),f (Q)) (f (f (),f(f (Q))) (,Q) Definizine: e F e F sn figue pine si ie he F è ismeti ( nguente) F se esiste un ismeti g tle he g( F ) F ssevzine: L elzine i nguenz f figue pine è un elzine i equivlenz Dimstzine e imste l ppietà iflessiv si ie ll ientità, pe l ppietà simmeti ll ismeti inves, pe l ppietà tnsitiv ll mpsizine i ismetie ssevzine: Un ismeti f ispett lle pezini insiemistihe nel m seguente: f(x Y) f(x) f(y) f(x Y) f(x) f(y) essen X e Y sttinsiemi el pin RRIETÀ DELLE IMETRIE 9 e si mpt - Un ismeti tsfm punti llineti in punti llineti e inlte se R Q ll f() f(r) f(q) ppue f(q) f(r) f()

10 i h: (,Q) (,R) (R,Q),Q,R sn llineti e R[,Q] ihé f è un ismeti si h: (f(),f(q)) (,Q) (,R)+(R,Q) (f(),f(r))+(f(r),f(q)) e quini, pe l ssim 6, f(), f(q), f(r) sn llineti e f(r) [f(),f(q)], iè f([,q]) [f(),f(q)] nlgmente, pihé f è un ismeti, f ([f(),f(q)]) [,Q] e quini [f(),f(q)] f([,q]) In nlusine: f([,q]) [f(),f(q)] vve l f tsfm segmenti in segmenti - Un ismeti tsfm nvessi in nvessi (Cnseguenz immeit ell ppietà -) - Un ismeti tsfm ette in ette, ehi in ehi, ishi in ishi - Un ismeti f tsfm i semipini ppsti ispett un ett nei semipini ppsti ispett ll ett f() in e i semipini (peti) ppsti ispett Dim imste he: i) f( ) e f( ) sn nvessi (vvi pe il punt ), isgiunti e nn vuti ii) f( ) f( ) Π-f() Riim he se e sn ue insiemi, si h: \ C Essen Π- si h f( ) f( ) f( ) f(π-) f(π C ) f(π) f( C ) Π f( C ) Π-f() e- Un ismeti tsfm ette pllele in ette pllele ssevzine: quest punt si pssn intue le similituini e imste he fmn un gupp i ui le ismetie sn un sttgupp Definizine: Un similituine i Π in sé è un pplizine f : tle he ) f è iiettiv; ) (f(),f(q)) k(,q) n k>0 e,q punti qulsisi i Π ssevzine: Il nume k si ie ppt i similituine e k= si ttengn le ismetie 0

11 CITL IV IM DEL IEGMENT Intuzine Gli ssimi el pitl peeente i hnn pemess i ple i ismetie; n, peò, nn sppim se esistn ismetie el pin ivese ll ientità à mpit ell ultim gupp i ssimi ssiui l esistenz i tli ismetie Il piegment ispett un ett i pemetteà i efinie l simmeti ssile he, nel seguit, giheà un ul fnmentle pehé n le simmetie ssili ptem genee tutt il vst mn elle ismetie Ntim espliitmente he le simmetie ssili hnn un fte ntenut intuitiv nn sl pehé l ntu è i i se simmetihe, m nhe pehé esse sn l shemtizzzine e l mtemtizzzine i zini nete mlt semplii e muni me il piegment i un fgli, il iltment intn un ett, l iflessine in un spehi E neessi, nzitutt, efinie il piegment intn un ett Definizine: i him piegment intn un ett gni pplizine f : tle he: ) si iiettiv ) nsevi le istnze ) f () ssim 7: e gni ett esiste un e un sl piegment f intn ess ssevzine: L uniità el piegment può essee imstt im mi in g i sviluppe tutt l gemeti pin elemente Qui si mettenn in evienz sl luni isultti fnmentli IMMETRI RIETT D UN RETT L simmeti ispett un ett è un nett fnmentle nell tttzine i Chquet ll su efinizine si iv utilizzn il nett i piegment f Ess è efinit sul semipin hius, mente l simmeti ispett un ett è efinit su tutt il pin Π steà, ll, estenee f tutt il pin Definim ll il plungment fˆ i f l pin Π Definizine: i ie plungment fˆ el piegment f l pplizine fˆ : Π Π tle he: fˆ () f () fˆ () f () intn ll ett In quest m fˆ è efinit su tutt Π L simmeti ispett un ett,, nn è lt he fˆ Dim petnt l seguente

12 Definizine: Chimim simmeti ispett un ett il plungment fˆ el piegment f intn Vglim,, mettee in islt lune imptnti ppietà i e il ul he ess gi in luni netti mtemtii Teem è un ismeti invluti, iè I e inlte () se e sl se Dimstzine Che si invluti e i i punti i me unii punti uniti è vvi pe l stess efinizine i ue vvi, e pe l stess mtiv, è he si un ismeti qun i punti e Q pptengn ll stess semipin hius Dimstim, peiò, he nsev le istnze nel s in ui esempi e Q Q' ' ' Q i [,Q], (), Q (Q), [,Q] i h: () (, ); (Q,) ( Q,) eiò: (, Q ) (,) (, Q ) (,) (,Q) (,Q) D lt pte: (,) (, ), (,Q) (, Q ) eiò: (,Q) (, ) (,Q) (, ) (, Q ) (, Q ) In efinitiv: (, Q ) (,Q) e (,Q) (, Q ) Quini (,Q) (, Q ) ssevzine Il punt () si ie simmeti i ispett I ue punti e stnn in semipini ppsti ispett e quini il segment [, ] tgli in un punt he si ie piezine tgnle i su ihé è invluti ll è il simmeti i ispett e è nhe l piezine tgnle i su Il nume (, ) si him istnz i e si ini n (, ) Il punt è tteizzt un ppietà i minim: è il punt i istnz minim Vle, inftti, il seguente Teem i e Cnizine neessi e suffiiente ffinhé si i (, tgnle i su è he pe gni Q, Q )<(,Q) si l piezine i può veee l imstzine in [4], p 93-94

13 L RELZINE DI ERENDICLRITÀ Meinte l simmeti ssile pssim intue nell fmigli R elle ette el pin Π l elzine ini i pepenilità, inipenentemente ll nzine i ngl ett ll se ell nzine i pepenilità st l sset seguente: Teem 3 in e s ue ette ivese el pin Le seguenti ppsizini sn equivlenti: ) (s) s; ) s, s, segue he s è l ngiungente n simmeti i ispett ; 3) s, s, segue he s è l piezine tgnle i su Dimstzine L si legge mpletmente sull figu s (s) ' Definizine: L ett s si ie pepenile ll ett (s ) se: - s - è veifit un elle te nizini el teem 3 Le ppietà ell elzine i pepenilità sn espesse l seguente teem Teem 4 ) se s ll s ; ) se s ll s; 3) se s ll s // s se e sl se s ; 4) pe un punt Π pss un e un sl ett s pepenile un ett Tlsim qui l imstzine ei punti ), ), 3) Riptim l imstzine el sl punt 4) Dimstzine Nel punt 4) si ffemn ue ftti: ) esiste un ett s pssnte pe e pepenile ; ) quest pepenile è uni Quest ultim ffemzine è un nseguenz el punt 3), inftti se s e s pssn pe e sn pepenili, ll s // s Quini, pihè pssn pe un stess punt, s s e imste ) e istinguee ue si illustti nell figu ) nn pptiene ll () e l ett è pepenile pe il punt ) ) el Teem 3 e pe l suessiv efinizine iq e ) esiste s Q e s Dl punt 3) segue he l ett s pssnte pe e pllel s è pepenile e il punt ) si ve [4], p ' s Q s'

14 ssevzine: e s ll s è unit nell, iè (s) s, m nn è ett i punti uniti E DI UN EGMENT in e ue punti istinti i ent, iè (,) (,) e [,] Definizine: i ie sse el segment [,] l pepenile ll ett pssnte pe ssevzine: I ue punti e sn simmetii ispett ll ett Le ppietà ell sse i un segment sn issunte l seguente teem Teem 5 i l sse el segment [,] e si il semipin pet i igine he ntiene ; il semipin pet i igine he ntiene i h, ll: ) (,) (,) ) (,) < (,) 3) (,) < (,) Dimstzine Le te nizini i sinist si eslun mutumente vien e sì pue le te nizini est ime un elle te nizini etmente si veifi, st pve he: segue (,) (,) E nseguenz el ftt he () e () segue (,)<(,) L si legge filmente sull figu, ien ll isuguglinz tingle H segue (,)<(,) vvi Un nseguenz stnz immeit i quest teem igu il nfnt f le lique Clli i [,] un segment e s l ett sstegn; si X un punt qulunque e l su piezine tgnle su s ll l elzine ine he esiste f (,) e (,) esiste nhe f (,X) e (,X) 4

15 Dimstzine st lle (,)-(,) sen he ess è null, psitiv negtiv il punt (e unque X) pptiene ll sse i [,], X s ssevzine Quest isultt si può nhe espimee ien he l lunghezz i un liqu è funzine stettmente esente ell lunghezz ell su piezine Un sen lli espime un ppietà imptnte el tingl issele: l ltezz eltiv ll se è sse i simmeti el tingl Clli i (,,) un tingl n (,) (,) e ll l piezine i sull ett è il ent i [,] (E un nseguenz el Clli ) Teem 6 i f un ismeti el pin, un punt unit i f e un punt nn unit, iè f() ll è un punt ell sse i [,f()] Dimstzine (,) (f(),f()) (,f()) Il seguente teem stui il ppt t ismetie e simmetie ssili e esive l imptnte ul he le simmetie ssili gin nell stuzine elle ismetie Teem 7 gni ismeti i Π, f : è ptt, l più, i te simmetie ssili ll imstzine el teem pemettim te lemmi Lemm gni ismeti f i Π he i lmen te punti uniti nn llineti,, 3, è l ientità Dimstzine i pee pe ssu e fsse f I esisteee f(): ll, pe il Teem 5,,, 3 stee sull sse el segment [,f()], ssu pehé i te punti nn sn llineti Il sen lemm fnise un tteizzzine ell simmeti ssile Lemm gni ismeti f : he i uniti lmen ue punti istinti, e, è l ientità ppue è l simmeti ispett ll ett Dimstzine e f I ll esiste f() L sse i [,f()] ntiene i punti e e quini è l ett I punti,, nn sn llineti i l simmeti ispett 5

16 i h: f( ) ; f( ) ; f() e il Lemm f I iè f Lemm 3 gni ismeti f : he i lmen un punt unit, è l ientità, è un simmeti ssile il ui sse ntiene è il ptt i ue i tli simmetie Dimstzine e f I ll esiste f() L sse i [,f()] pss pe i h f( ) ; f() e il Lemm, quini t f I iè f f() ppue f t iè f t im,, in g i imste il Teem 7 ) e f I ll f, ve è un ett qulsisi ) e f I ll esiste f() i l sse el segment [,f()] i h: f() e il Lemm 3 si h: f I iè f ppue f t iè f t ppue f t u iè f t u ssevzine Nel Teem 7, me nei Lemmi neessi ll su imstzine, im plt i ismeti f : Gli stessi isultti, n le stesse imstzini, vlgn se plim i ismeti f : X n X ten quest situzine pssim plunge f tutt Π stuen un ismeti g :, in m uni se X nn è llinet, in ue mi se X è llinet e ntiene lmen ue punti IETTRICI E NDIERE in e ue semiette i igine e si e L sse el segment [,] pss pe ; vvimente ( n (,) () ) 6

17 Definizine: L ett, sse el segment [, ], è l isettie ell ppi i semiette (, ) e e sn semiette ppste ispett ll è l pepenile in ll ett ntenente e e si pene me isettie ell ppi (, ) l ett ntenente Dim l efinizine i nie Cnsieim un punt, un semiett igine L insieme {} i igine e un ei ue semipini i si him nie i pm, st, pp e le ppietà elle ismetie si h, se f è un ismeti, f() {f()} f( ) f( ) iè un lt nie Dlle ppietà elle ismetie e ell piezine tgnle i un punt si iv he un ismeti f tsfm ette pepenili in ette pepenili Le infmzini si leggn lle seguenti figue f() f(s) R f(r) f() R s f( R ) L imstzine è st sul ftt he (R, R )<(R,) (f(r),f( R ))<(f(r),f()) I ppti t ismetie e niee sn eglti i ue seguenti teemi: eiv Teem 8 e è un nie e f un ismeti tle he f(), ll f I Dimstzine ll nie ssim l ten i punti nn llineti (, U, V), me in figu n (,U) (,V) vvimente: f(), f( ), f(u) U, f(s) s pehé pepenile, f( ) e quini f(v) V i nlue he f I (Lemm ) s V U 7

18 Teem 9 in {} ismeti f tle he f(), {} ue niee Esiste un e un sl Dimstzine ) Uniità e f() e g() ll g f () iè g f I ui f g ) Esistenz i stuise me ptt, l più, i te simmetie: ve è l sse el segment [,]; q essen q l isettie i (f( ), ); essen l ett sstegn i CITL V L IMMETRI CENTRLE Intuzine im vist he gni ismeti è ptt, l più, i te simmetie ssili Dp ve stuit l simmeti ssile, est veee il ptt i ue simmetie ssili e il ptt i te simmetie ssili Inizim il nst stui n l simmeti entle, s ptile i tzine In quest selt influisn mtivi i mità, i sempliità, i pplità n mlte, inftti, le nfiguzini tte i ent i simmeti Definizine: in e ue ette pepenili in i him simmeti i ent il ptt Clli L simmeti ispett un punt è un ismeti pietà è invluti, iè ( ) I Dimstzine Cnsieim i te punti nn llineti,, Q, n =, Q, i h: ( ) () ) () Q ( ( ) (Q) Q vle quini l tesi Dimstzine ( ) 8

19 Definizini: llelgmm: è un quten i punti tli he le ue ppie ignli e hnn l stess ent Rettngl: è un quten nell qule i lti nseutivi sn pepenili Teem e () ll è il punt mei i [, ] Clli () se, iè gni ett pssnte pe il ent è un ett unit Teem ()// qulunque si l ett, vve pllel tsfm gni ett in un ett ess Dimstzine ) e il teem è ve pe il lli peeente ) e nn pss pe, si l ett pe pllel i h ( )// (), m ( ), // e quini ()// // ssevzine Tenen pesente l efinizine i pllelgmm e i netti fin espessi pssim ie he il mune ent elle ignli è ent i simmeti el pllelgmm, i ui lti ppsti sn peiò plleli e nguenti ssevzine pess si efinise simmeti i ent l pplizine : efinit () e () pe, ve è punt ell ett tle he viene essee il ent i [, ] quest punt è vvi l equivlenz f quest efinizine e quell he ni im t TEREM DI TLETE In quest tttzine ell gemeti elemente il teem i Tlete ppesent, senz ui, un punt elit L iffiltà ptee essee vvimente evitt inluen il teem i Tlete f i pstulti l teem i Tlete pemettim te lemmi, he i limitim enunie Lemm in p,, p te ette pllele istinte ) e p è l simmeti i p ispett, gni sente le innt in te punti,, tli he è il ent i [, ] ) Invesmente, se esiste un sente he i quest ppietà, p è l simmeti i i p ispett Veee imstzine in [4], p Dimstzini epeiili in [], p60 9

20 Lemm (Fm ele el teem i Tlete) e te ette pllele p,, p sn tglite un sente in te punti,, tli he si il ent i [, ], l stess e pe gni sente Lemm 3 i l insieme ei numei eli psitivi e si g : un funzine n le seguenti ppietà: g(x x) g(x) g( x) pe gni x, x g è esente, iè x< xsegue g(x)<g( x) tt queste iptesi g è efinit ll seguente elzine: g(x) kx (ve k g()) pe gni x Teem 3 (i Tlete) in e ue semiette n l stess igine e si un ett he intese entme le semiette (fui i ) L piezine liqu f ell ett sull ett pllelmente ll ett tsfm iunivmente n in guis he esiste un nume k>0 n l ppietà: (,f()) k(,) pe gni punt Dimstzine Cn le ntzini ell figu, si f : l piezine pllelmente e gni pnim x (,), g(x) (,f()) e l ssim 6 isult sì efinit un pplizine g : Dll psizine 3 p segue he g è esente Infine l pim ppietà el Lemm 3 segue l Lemm in, inftti, x e y ue numei eli psitivi n x<y e sin e Q ue punti i tli he (,) x e (,Q) y i H il punt i mezz el segment [,Q] e K il simmeti i ispett H E immeit nstte he (,K) (,H)+(H,K) (,)+(,H)+(,H) (,)+(,Q) x+y e il Lemm H è il punt i mezz el segment [, Q ] e K il simmeti i ispett H etnt (, K ) g(x+y) (, )+(, Q ) g(x)+g(y) H Q K ' H' Q' K' 0

21 CITL VI LE RTZINI Intuzine Le tzini i ent pssn essee efinite in mi ivesi Ni utilizzeem il Teem 7 el pitl IV metten suit in islt il ul elle simmetie ssili Definizine: i ie tzine i ent l ientità il ptt i ue simmetie ssili i ui ssi pssn pe iveem: t psizine In un tzine ives ll ientità il ent è il sl punt unit Dimstzine Che si unit è vvi uppnim he si unit, iè () () Ne nsegue () t () n pssiili ue si: () t () ll t ett, iè I, ssu () t () ll e t sn ssi i [, ] e quini n inin e è I, ssu t Clli: Un tzine nn è mi un simmeti ssile psizine In un tzine nn ienti e ives ll simmeti entle i ent nn esistn ette unite Dimstzine i n e e inienti nn pepenili e suppnim he () Risult () () Due si () () ll è pepenile si he, iè //, ssu I si = ppue = sn eslusi lle iptesi e e nn pepenili () () ll e sn isettii ell ppi (, ), iè ppue, ssu Quest sen s l si legge in figu: Il s // pteee //, eslus ll iptesi e inienti

22 Teem elle te simmetie Il teem he imstim è un teem i iuzine nel sens he illust qun il ptt i te simmetie ssili è un simmeti ssile ll su imstzine pemettim un lemm he è un immeit nseguenz el Lemm el Cpitl IV Lemm i un semiett pet hius gni ismeti f tle he f( ) è l ientità è l simmeti ispett ll ett sstegn i Teem e,,, sn te ette istinte inienti in un punt esiste un ett pssnte pe tle he: Dimstzine i h un elle ue semiette i igine, i sstegn L ismeti * h in un semiett h i igine i l isettie ell ppi i semiette (h, * tsfm h in h; pe ui (h) h e il lemm, tsfm * h ) I ppue D ui ppue L sen eventulità, peò, è impssiile pehé un tzine nn è mi un simmeti, unque si h l tesi h h* Clli: Il ptt i te simmetie ssili n ssi inienti in un stess punt è invluti Teem Le tzini intn un stess punt stituisn un gupp elin Dimstzine ) Il ptt i ue tzini i ent è un tzine i ent ( ) ( ) ( ) e ) E ssitiv: vvi 3) L ientità funzin element neut 4) L inves i un tzine è un tzine: ; ( ) 5) E mmuttiv: ( ) ( ) ( ) e ( ) f f ( e ( ) ( ) ) ( )

23 CITL VII LE TRLZINI Intuzine Le tslzini vengn inttte spess meinte i vetti: sn le ismetie he pssn essee mpletmente esitte meinte un vette E, inuimente, un met mlt suggestiv, he, peò, ni nn seguiem nhe nelle tslzini entenn in gi le simmetie ssili Definizine: Chimim tslzine t il ptt i ue simmetie ssili n e ette pllele t e, RRIETÀ DELLE TRLZINI ) Un tslzine è un ismeti: vvi ) L ientità è un tslzine: I ) Un tslzine t I nn h punti uniti Dimstzine uppnim he si unit in t, iè () e quini () () im ue si: ) () () ll e ssu pehé // e ) () () ll e sn ssi i [, ] e quini inin, ssu Clli: Un tslzine nn è mi un simmeti ssile ) Un tslzine nn ienti pssiee un fsi i ette unite E il fsi elle ette pepenili lle ue ette e e un ett è pepenile si he è unit in e in e quini nel l ptt Nessun lt ett è unit Dimstzine e ssu suppnim he, nn pepenile e, si unit, iè () im, quini, ue si: ) () () ll, iè t I, ppue e, ssu ) () () e e sn inienti ll e sn isettii i (, ) e unque inin, ssu, ppue, ssu e // ll pehé isettie ell stisi (, ), ssu Il nett i stisi è il slit 3

24 t u i t un pepenile mune e u l sse el segment [, ] u è l isettie ell stisi (, ) e u () ssevim he l iezine elle ette unite si ie iezine ell tslzine ssim tteizze le tslzini n le simmetie entli Vle, inftti, il seguente Teem Cnizine neessi e suffiiente pehé un ismeti si un tslzine è he si il ptt i ue simmetie entli Dimstzine Cnizine neessi: i t i un pepenile mune e Dim imste he t Inftti t ( ) Cnizine suffiiente: Vglim imste he i, in e in ll: ( ) ( ) n // Clli: t() // pe gni ett Teem Dti ue punti e Q esiste un uni tslzine t he tsfm in Q Dimstzine Esistenz: st penee t s Uniità: in t e t ue tli tslzini ll t t I; ui t t t t (), iè pe il punt ), M s Q 4

25 ssevzine: Nell imstzine ell uniità im ust ppietà nn n imstte (iè il ptt i ue tslzini è un tslzine e l inves i un tslzine è un tslzine) L fem f p (Teem 5) Il seguente è un teem i iuzine, nlg quell el Cp VI e si imst ll stess m Teem 3 e,,, sn te ette pllele istinte, esiste un ett pllel esse tle he Un nseguenz i quest Teem è he l ppesentzine i un tslzine t me ptt i ue simmetie ssi plleli, nn è uni e, inftti, t n //, pes // esiste // tle he iè t Un ssevzine nlg vle pe le tzini (e in ptile pe le simmetie entli) Fnni sul Teem peeente pssim imste un lt Teem i iuzine igunte le simmetie entli Teem 4 Il ptt i te simmetie entli è un simmeti entle: Dimstzine C Nel s i inienze f i punti,, C il teem è vvi Nel s,, C istinti, si l C; e C mnim e pepenili l i m l ett pe pllel l e l pepenile m in i h: l e quini // e il Teem 3 esiste //, e quini l e m, tle he D ui ( l ) ( l ) ( m ) m iè C D D D m C l Clli: Il ptt i te simmetie entli è invluti ssim imste he: Teem 5 Le tslzini stituisn un gupp elin Dimstzine ) Il ptt i ue tslzini è un tslzine in t e t D C ll t t (D C) ( ) (D C ) E t 3 ) Il ptt è ssitiv: vvi 5

26 6 3) L ientità funzin element neut 4) L inves i un tslzine è un tslzine e t n // ll t 5) Il ptt è mmuttiv E E C D C D ) ( ) ( ) ( t t F F D C D C ) ( ) ( C D C D t t ) ( ) ( ) ( CITL VIII LE GLIIMMETRIE INTRDUZINE e mplete il qu elle ismetie pine i est sl esmine il ptt i te simmetie ssili im già vist luni si ptili (Teem el Cp VI e Teem 3 el Cp VII) stuieem il s genele Definizine: i ie glisssimmeti un ismeti f he si pss ppesente me ptt i te simmetie ssili n e pepenili ll ett Un glisssimmeti, quini, è il ptt i un tslzine pe un simmeti il ui sse h l iezine ell tslzine pietà elle glisssimmetie ) Un s ptile si h qun ll Quest signifi he l simmeti ssile è un ptile glisssimmeti ) Un glisssimmeti può essee ppesentt in vi mi i f Vle ; pehé e ll f iè un glisssimmeti è nhe il ptt i un simmeti ssile pe un tslzine Inin n t l tslzine si è unque imstt he f = t = t N M

27 Inlte: f N iè f è il ptt i un simmeti ssile pe un simmeti entle i h nhe: f M iè f è il ptt i un simmeti entle pe un simmeti ssile ssim, quini, nluee he gni glisssimmeti si può ppesente nell fm N ppue M Vle nhe l ppietà inves i f h D mnim l ett k pepenile h e si m l pepenile k in i h: h k m h he è un glisssimmeti nlgmente si gin pe il ptt h m h k ssim, quini, nluee he gni ismeti ptt i un simmeti entle e un simmeti ssile ( vieves) è un glisssimmeti ) Elementi uniti In ifeiment ll efinizine i glisssimmeti, l ett, essen unit in,, è ett unit nhe nel ptt e viene ett iettie ell glisssimmeti Ess è l uni ett unit Dimstzine uppnim, inftti, he esist un lt ett h unit: (h) h, iè t( h) h, n h Due si: t(h) h t(h) h h s: t(h) h impli he h i l iezine ell tslzine t e quini h// (h) h impli h (nn pten essee h ), ssu s: t(h) h h ll h// h (pe effett ell tslzine) ( h ) h impli he è sse ell stisi (h, h ), iè //h ime t() ll nhe t(h) h, nt l iptesi Un glisssimmeti ppi (iè nn itt un simmeti ssile) nn h punti uniti Dimstzine uppnim, inftti, he si (), iè t() i t() ll // (pe effett ell tslzine) ( ) e quini è l sse el segment [, ] ssu pehé // i può, ll nluee he le glisssimmetie nn sn tslzini, né tzini, né, in genele, simmetie ) L inves i un glisssimmeti è un glisssimmeti Inftti: f ; M f (M ) M M 7

28 Teem gni ismeti f ptt i te simmetie ssili è un glisssimmeti Dimstzine Il Teem è ve se le te ette pptengn ll stess fsi ppi imppi uppnim, quini, he le te ette nn pptengn ll stess fsi ll si veifi lmen un elle ue: iniente ppue iniente Nel pim s si, m l pepenile e H m Le ette,, m sn nenti in, quini esiste un ett n tle he m n iè n m ui f n m n, iè f è un H glisssimmeti Nel sen s, n ginment nlg, si imst he è un glisssimmeti, quini l è nhe ( ) f H m n ENDICE ULLE IMETRIE RI E DIRI Definizine: Chimim pi (isp ispi) gni ismeti ptt i un nume pi (isp ispi) i simmetie ssili Teem gni ismeti pi è il ptt i ue simmetie ssili e quini è un tslzine un tzine; gni ismeti ispi è un glisssimmeti Dimstzine gni ismeti pi si pesent me ptt i tslzini i tzini st, quini, esmine il ptt i: ) ue tslzini; ) ue tzini; 3) un tzine pe un tslzine ) Il ptt i ue tslzini è un tslzine ) in R e R ue tzini i enti e ispettivmente e il Teem el Cp VI pssim sivee le ue tzini in quest m: R ; R D ui R R ( ) ( ) he può essee un tzine un tslzine 3) i R un tzine i ent e t : un tslzine t 8

29 Cnsieim [, ] e si l ett pe pepenile [, ]; si l sse i [, ] e il Teem el Cp VI pssim sivee R e quini t R t ( ) ( ) ihé //, è l tzine i ent gni ismeti ispi è il ptt i tzini tslzini pe un simmeti ssile e quini è il ptt i te simmetie ssili, iè un glisssimmeti ssevzine: Quest teem sttline he pe le ismetie è un ttee invinte il ftt i essee pi ispi e giustifi l efinizine t pim In se l teem peeente è file eue he le ismetie pi stituisn gupp, le ismetie ispi vvimente n CITL IX NGLI Intuzine ll fine el sen pitl im illustt le iffiltà he si inntn nel efinie il nett i ngl im, nhe, sviluppt un pte ell gemeti elemente senz use l nzine i ngl Vlenl intue, im un stument effie: le tzini E meinte esse he efinim il nett i ngl Definizine : e gni si him ngl i vetie gni tzine intn pess un ngl i vetie viene pesentt me ppi int i semiette (, ) i igine nhe in quest s è fnmentle il is lle tzini Veim, nzitutt, il seguente teem Teem e e sn ue semiette i igine, esiste e è uni l tzine intn he pt su Dimstzine Esistenz: è l tzine ve è l simmeti i sse, ett sstegn i 9

30 e è l simmeti ispett ll isettie i (, ) Uniità: sin e ue tli tzini ll ( ) Essen impssiile est I iè quest punt ppe vvi l seguente Definizine : e gni ppi i semiette (, ) i igine si him ngl i quest ppi l tzine intn he pt su Inihim quest ngl n il siml ssevzine L insieme egli ngli i vetie nn è lt he l insieme elle tzini intn ; si ttt, quini, i un gupp mmuttiv l ui legge i mpsizine viene, i slit, init itivmente ngli i vetie ives im efinit ngli i vetie ssim, nlgmente, efinie ngli i vetie, e Il plem he nse è i pte nfnte ngli i vetie ives n le tslzini, n le ppietà espesse nel Cpitl VII he i pemettn quest nfnt Fisst un punt Π, vetie i un ngl e un punt esiste un uni tslzine t tle he t() ; l ppi i semiette (, ) si tsfm nell ppi i semiette (, ) n // e // Fisst un punt iti i Π è pssiile, unque, ientifie gni ngl i vetie n quell ispnente i vetie Queste nsiezini giustifin l seguente efinizine, ipenente sl in ppenz ll igine peselt Definizine 3: Diim ngl i un ppi i semiette (, ) i igine qulunque, l ngl i vetie elle semiette e i igine e ispettivmente pllele e ngl null e ngl pitt Inihim n ε l ngl null, iè l element neut el gupp egli ngli i vetie, e n ~ l ngl ssit ll simmeti entle i ent e gni ppi i semiette (, ) venti l stess igine si hnn le equivlenze: (, ) ε (, ) ~ e sn ppste ime l simmeti entle è invluti si h ~ ~ + ~ ε, nhe, ~ - ~ L ngl ~ è l ngl pitt i vetie e gli sviluppi i quest pitl si ve [], p

31 iligfi VV, 977, Gui l pgett insegnment ell mtemti nelle sule senie supeii ppst G i, G D nn, Messin-Fienze CHQUET G, 967, L insegnment ell gemeti, Feltinelli, Miln 3 FERRRI M, , L tttzine ssimti i G Chquet-mmenti, ppunti pe il s i Mtemtihe Cmplementi, Diptiment i Mtemti Univesità i vi 4 RDI G, 98, Mtemti me spet pe il ienni elle sule meie supeii, Vl, G D nn, Messin-Fienze 5 RDI G, 977, Mtemti me spet pe il ienni elle sule meie supeii, Vl, G D nn, Messin-Fienze INDICE CITL I IMI DI INCIDENZ L piezine liqu istemi i ssi 3 CITL II IMI DI RDINE 4 Nt sul nett i ngl 6 CITL III IM DI TRUTTUR METRIC 7 pietà elle ismetie 9 CITL IV IM DEL IEGMENT immeti ispett un ett L elzine i pepenilità 3 sse i un segment 4 isettii e niee 6 CITL V L IMMETRI CENTRLE 8 Teem i Tlete 9 CITL VI Le tzini Teem elle te simmetie CITL VII Le tslzini 3 pietà elle tslzini 3 CITL VIII Le glisssimmetie 6 pietà elle glisssimmetie 6 ppenie sulle ismetie pi e ispi 8 CITL IX ngli 9 ngli i vetie ives 30 ngl null e ngl pitt 30 3