a a = 1, a a = 0; a a = 1, a a = 0; e quindi, = (a a ) (a a ) = (a a) a = 0 a = a

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1 Definizione 1. Si R un insieme otto i ue leggi i composizione interne e. Si ice che l struttur lgebric (R,, ) è un reticolo (lgebrico) se e verificno le proprietà: (1) x, y, z R, (x y) z = x (y z); (x y) z = x (y z) ssocitiv (2) x, y R, x y = y x; x y = y x commuttiv (3) x, y R, x (x y) = x; x (x y) = x ssorbimento. Osservzione 1. In un reticolo vle il principio i ulità, ovvero se si imostr un teorem, vle lo stesso teorem scmbino tr loro le operzioni e. Questo perchè le proprietà ssocitiv e commuttiv vlgono per entrmbe le leggi i composizione interne e nell proprietà i ssorbimento le ue leggi sono intercmbibili. Esempio 1. Un clssico esempio i reticolo è fornito ll insieme elle prti i un ssegnto insieme X sul qule si consierino le leggi i composizione interne e. Quini (P(X),, ) è un reticolo, come fcilmente si può verificre. Esempio 2. Si può provre che l insieme N con le leggi i composizione interne = M.C.D., = m.c.m. è un reticolo. Esempio 3. Per ogni n N, n 2, nche l struttur (D n,, ), ove D n è l insieme ei ivisori i n, = M.C.D., = m.c.m., è un reticolo. Definizione 2. Si (R,, ) un reticolo. Un sottoinsieme R i R si ice sottoreticolo se è chiuso rispetto lle operzioni e, ovvero se x, y R x y R, x y R. Osservzione 2. Se R è un sottoreticolo i (R,, ), llor ivent su volt reticolo con le operzioni inotte. Osservzione 3. Si può provre che D n è chiuso rispetto lle ue leggi e el reticolo (N,, ) ell esempio 2. Quini (D n,, ) è un sottoreticolo i (N,, ). Definizione 3. Un reticolo (R,, ) si ice istributivo se x, y, z R (x y) z = (x z) (y z); (x y) z = (x z) (y z). Notzione 1. Si (R,, ) un reticolo. Se esiste l elemento neutro rispetto, esso si inic con 1; se esiste l elemento neutro rispetto, si inic con 0. Quini, nel cso esistno 0 e 1, si h: x R x 1 = x; x 0 = x. Esempio 4. Nell esempio 1, si h: 0 =, 1 = X. Definizione 4. Sino (R,, ) un reticolo otto i 0 e 1, R. complementto se esiste un elemento tle che: = 1, = 0; in tl cso si ice che è un complemento i. Si ice che è Esempio 5. Nel cso ell esempio 1, per ogni A P(X) esiste il complemento i A, A = X A. Inftti A X A = X = 1, A X A = = 0. Proposizione 1. Si (R,, ) un reticolo istributivo otto i 0 e 1, R. Allor, se mmette complemento, esso è unico Dimostrzione. Sino e complementi i. Allor si h: e quini, = 1, = 0; = 1, = 0; = 0 = ( ) = ( ) ( ) = ( ) 1 = ( ) ( ) = ( ) = 0 = 1

2 2 In seguito si vernno esempi i elementi che mmettono più i un complemento in reticoli che non sono istributivi. Definizione 5. Si ice che un reticolo (R,, ) è i Boole se B 1 ) è istributivo B 2 ) mmette 0 e 1 B 3 ) ogni elemento è complementto. Esempio 6. Si X un insieme. Allor il reticolo (P(X),, ) è i Boole: inftti vlgono le proprietà istributive e, come si è già osservto, esistono 0 =, 1 = X e ogni elemento A i P(X) h complemento che è X A. Esempio 7. Il reticolo (N,, ) ell esempio 2 non è un reticolo i Boole, perchè pur mmetteno 0 = 1, non mmette 1. Esempio 8. In generle, il reticolo (D n,, ) ell esempio ei ivisori i un intero n 2 (cf. esempio 3) non è i Boole. Si può imostrre che lo è se e soltnto se n è prootto i numeri primi istinti. Si ricor l efinizione i reticolo orinto: Definizione 6. Un insieme orinto (R, ) si ice reticolo (orinto) se ogni coppi i elementi i R mmette estremo superiore e estremo inferiore. In ltri termini x, y R sup(x, y), inf(x, y). Si è visto che un insieme (A, ) orinto finito può essere rppresentto meinte un igrmm i Hsse. Sino, b, c A. Se b e se non ci sono elementi intermei, bst collegre con b meinte un segmento scenente. Poichè vle l proprietà trnsitiv, se b e b c, srà collegto con b meinte un segmento scenente, b srà collegto con c meinte un ltro segmento scenente, e srà collegto con c meinte un spezzt scenente: c b In prticolre questo può essere ftto per un reticolo. Esempio 9. Il igrmm i Hsse el reticolo (D 45, ) ei ivisori i 45 orinto per ivisibilità è: Esempio 10. L insieme orinto rppresentto l seguente igrmm i Hsse

3 3 e c f b non è un reticolo, poichè l coppi {e, } h come insieme ei minornti X = {, b, c} che non present mssimo. Esercizio 1. Stbilire perchè l insieme orinto rppresentto l seguente igrmm: f e c b non è un reticolo. Lemm 1. Si (R,, ) un reticolo. Allor si h x, y R, (x y = x) (x y = y). Dimostrzione. Sino x, y R, tli che x y = x, llor, per l ssorbimento, x y = (x y) y = y. Vicevers, se x y = y, llor, in moo nlogo x y = x (x y) = x. Teorem 1. Si (R,, ) un reticolo (lgebrico). Se x, y R si pone x y x y = x Lemm1 x y = y, llor è un relzione i orine rispetto ll qule R risult essere un reticolo (orinto). Vle nche il teorem inverso Teorem 2. Si (R, ) un reticolo (orinto). Se x, y R si pone llor (R,, ) è un reticolo (lgebrico). x y = inf(x, y), x y = sup(x, y) In virtù el Teorem 2, si hnno i seguenti esempi: Esempio 11. I reticoli (orinti) (N, ) e (D n, ) iventno reticoli (lgebrici) poneno, b b = M.C.D.(, b) b = m.c.m.(, b). Esempio 12. Si X un insieme. Allor il reticolo (orinto) (P(X), ) ivent reticolo (lgebrico) poneno A, B P(X) A B = A B A B = A B.

4 4 Esempio 13. Si (G, ) un gruppo. Allor il reticolo (orinto) (H(G), ) ei sottogruppi i (G, ) orinto per inclusione ivent reticolo (lgebrico) poneno H, K H(G) H K = H K, H K = Ĥ K. Esercizio 2. Nei tre esempi preceenti, con il proceimento inverso inicto nel Teorem 1, ottenere i reticoli orinti prtire ll struttur lgebric. Osservzione 4. Si (R, ) un reticolo orinto. mmette 0, llor si h: x R, x 0 = x Lemm1 x 0 = 0. Se il reticolo lgebrico ssocito mmette 1, llor x R, x 1 = x Lemm1 x 1 = 1. Se il reticolo lgebrico ssocito Osservzione 5. Si (R, ) un reticolo orinto. Se il reticolo lgebrico ssocito mmette 0, questo è il più piccolo elemento i R rispetto. Inftti, per il Teorem 9, x R x = x 0 0 x. Anlogmente si vee che, se il reticolo lgebrico ssocito mmette 1, questo è il più grne elemento i R rispetto. Osservzione 6. Si imostr che ogni reticolo finito h 0 e 1. Proposizione 2. Si (R,, ) un reticolo i Boole. Allor, b R risult ( b) = b ; ( b) = b Leggi i De Morgn. Dimostrzione. Bisogn provre che, b R (i) ( b) ( b ) = 0; (ii) ( b) ( b ) = 1 (iii) ( b) ( b ) = 0; (iv) ( b) ( b ) = 1. Si prov solmente (i); (ii) si verific in mnier nlog, (iii) e (iv) seguono per il principio i ulità (si teng conto che nell proprietà ule 0 ivent 1 e vicevers). ( b) ( b ) = ( ( b )) (b ( b )) = (( ) b ) (b (b )) = ( 0 b ) ((b b ) ) = 0 ( 0 ) = 0 0 = 0. Osservzione 7. Dto un reticolo lgebrico, si può consierre il reticolo orinto esso cnonicmente ssocito e vicevers. Pertnto or in vnti si prlerà inifferentemente i struttur lgebric o orint i un ssegnto reticolo e le proprietà reltive ll struttur lgebric (come esempio l istributività) potrnno essere ttribuite ll struttur orint e vicevers. Definizione 7. Si ice pentgonle, e si inic con N 5, un reticolo orinto R = { 0,, b, c, 1} con l conizione che b c. Il igrmm i Hsse i N 5 è: b1 c b b0

5 Si osserv che h ue complementi che sono b e c. Pertnto il reticolo non è istributivo. E inftti, esempio si h: b ( c) = b 1 = 1 (b ) (b c) = 1 c = c. Definizione 8. Si ice trirettngolo, e si inic con M 3, un reticolo orinto: R = { 0,, b, c, 1}, senz conizioni. 5 Il igrmm i Hsse i M 3 è: b1 b c b0 Si osservi che h ue complementi, ovvero b e c; b h ue complementi, ovvero e c; c h ue complementi, ovvero e. Quini, come nel cso i N 5 il reticolo non è istributivo. Per esempio: (b c) = 1 = ( b) ( c) = 0 0 = 0. Se si eve provre che un reticolo finito è istributivo e non lo si può fre con tre generici suoi elementi, non è consiglibile verificre tutti i possibili csi. Inftti si ricorre l seguente criterio. Teorem 3. Un reticolo finito (R,, ) è istributivo se e soltnto se non mmette sottoreticoli i tipo N 5 o M 3. Osservzione 8. Per veere se un tle sottoreticolo esiste, si utilizzno i igrmmi i Hsse, come nei seguenti esempi. Esempio 14. Il reticolo rppresentto l seguente igrmm i Hsse, non è istributivo: h f e g c b Inftti {b,, c, e, f} form un sottoreticolo i tipo N 5, perche il igrmm i Hsse iniviuto b,, c, e, f è quello i N 5. Esempio 15. Anlogo iscorso vle per il reticolo iniviuto l igrmm i Hsse:

6 6 f e b c poichè {, c,, e, f} formno un sottoreticolo i tipo N 5. Esempio 16. Il reticolo il cui igrmm i Hsse è: g f e c b non è istributivo, in qunto {c,, e, f, g} è un sottoreticolo i tipo M 3. Esercizio 3. Nell esempio preceente {, b, c, f, g} non form un sottoreticolo: perchè? Definizione 9. Si ice che un nello (A, +, ) è i Boole se Esempio 17. (Z 2, +, ) è nello i Boole. A 2 = Proposizione 3. Si (A, +, ) un nello i Boole. Allor Dimostrzione. Si A, llor A + = 0 A. + = ( + ) 2 = = Per le leggi i cncellzione + = 0 A. Osservzione 9. Come conseguenz ell Proposizione 3, si osserv subito che se (A, +, ) è un nello i Boole, llor A =. Proposizione 4. Ogni nello i Boole (A, +, ) è commuttivo. Dimostrzione. Per ogni, b A si h + b = ( + b) 2 = 2 + b + b + b 2 = + b + b + b. Quini, b + b = 0 e, usno l Osservzione 9, b = b = b. Osservzione 10. Sino (A 1, +, ),..., (A n, +, ) nelli e si A = A 1 A n. Si può munire A ell struttur i nello poneno ( 1,..., n ), (b 1,..., b n ) A ( 1,..., n ) + (b 1,..., b n ) = ( 1 + b 1,..., n + b n ) ( 1,..., n ) (b 1,..., b n ) = ( 1 b 1,..., n b n ).

7 In prticolre, se (B, +, ) è un nello, si può consierre l nello (B n, +, ), ove B n = B B. È fcile osservre che se (B, +, ) è un nello i Boole, llor nche (Bn, +, ) è i Boole. Quini per ogni n N, (Z n 2, +, ) è un nello i Boole. Teorem 4. Si (A, +, ) un nello i Boole. Posto, b A b = b, b = + b + b, si h che (A,, ) è un reticolo i Boole. Vicevers se (R,, ) è un reticolo i Boole, llor le ue leggi i composizione + e così efinite x, y R x + y = (x y ) (x y) conferiscono R l struttur i nello i Boole. x y = x y Esempio 18. Dto X insieme, (P(X),, ) è un reticolo i Boole. Allor si pone per ogni A, B P(X) A + B = (A X (B)) ( X (A) B) = (A \ B) (B \ A) = A B che si chim nche ifferenz simmetric i A e B, Quini (P(X), +, ) è un nello i Boole. A B = A B. Definizione 10. Si ice che ue nelli (A 1, +, ) e (B, +. ) sono isomorfi se esiste un ppliczione bigettiv f : A B tle che:, A f( + ) = f() + f( ), A f( ) = f() f( ) f(1 A ) = 1 B. In tl cso f si ice isomorfismo i nelli. Osservzione 11. Si può provre che per un isomorfismo i nelli f(0 A ) = 0 B. Teorem 5. Si (A, +, ) nello i Boole finito. Allor esiste n N tle che (A, +, ) si isomorfo ll nello i Boole (Z n 2, +, ). Osservzione 12. Ogni nello i Boole finito h crinlità che è un potenz i 2. Quini se un nello h crinlità ivers un potenz i 2, sicurmente non è i Boole. Inoltre, l Teorem 4 si s che ogni reticolo i Boole si può rigurre come un nello i Boole e unque un reticolo i Boole finito h crinlità un potenz i 2. Pertnto se un reticolo non h come crinlità un potenz i 2 non è i Boole, m non è vero che se un reticolo h crinlità un potenz i 2 llor è un reticolo i Boole! 7