Strutture algebriche

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1 Strutture lgeriche Leggi di composizione L operzione di ddizione nell insieme dei nturli ssoci ogni coppi (m; n) di numeri nturli ncor un numero nturle s, risultto dell operzione. L ddizione costituisce un legge di composizione intern, in qunto, operndo su elementi di, dà come risultto ncor un elemento di. DEFINIZIONE Indicto con E E l insieme delle coppie ordinte di elementi di E, un legge di composizione intern è un ppliczione (funzione) dell insieme E E (o di un suo sottoinsieme) in E: E E E Indicheremo l legge con uno dei seguenti simoli: + * Quindi, se l legge ssoci ll coppi (; ) il numero c scriveremo, per esempio: = c oppure: + = c o semplicemente: = c L insieme E, munito dell legge di composizione intern indict con il simolo, verrà indicto con (E; ) sempi L legge di ddizione tr numeri nturli è un legge di composizione intern definit per ogni coppi (m; n) di numeri nturli; non lo è invece l legge di sottrzione tr nturli, essendo definit solo per coppie (m; n) con m n. L ddizione, l sottrzione e l moltipliczione tr numeri reli sono leggi di composizione intern definite per ogni coppi di numeri reli. L divisione tr reli è un legge di composizione intern definit solo per le coppie (; ) con RCS Liri S.p.A., ETAS - L. Lmerti, L. Mereu, A. Nnni

2 3 L elevmento potenz nell insieme dei numeri reli, cioè l legge che ssoci ll coppi ordint (; ) il numero rele, è definit solo se l se è > 0. Un legge di composizione intern definit sull insieme E può godere di lcune proprietà Proprietà commuttiv L legge + si dice commuttiv se, E risult: + = + sempi Sono leggi commuttive le seguenti: ) l ddizione e l moltipliczione tr numeri nturli (o interi o reli o complessi); ) le operzioni di unione e intersezione definite nell insieme (E) dei sottoinsiemi di E; c) l somm tr vettori dello spzio (vedi vol., 4.3); d) l somm tr mtrici m n (vedi vol., 5.). Non sono commuttive, invece, le seguenti leggi: ) l elevmento potenz tr nturli (o reli o complessi), poiché in generle risult: ) il prodotto tr mtrici qudrte d ordine n (vedi vol., 5.); c) il prodotto vettorile tr vettori (vedi vol., 4.6), poiché: u v = v u Proprietà ssocitiv L legge + si dice ssocitiv se,, c E risult: + ( + c) = ( + ) + c Le leggi degli esempi 4, 4, 4c, 4d sono ssocitive. Il prodotto vettorile tr vettori dello spzio è un legge ssocitiv. Un esempio di legge non ssocitiv è l elevmento potenz tr numeri reli; inftti se,, c sono tre numeri reli, risult: ( ) c = c mentre: (c ) = c e c c sempi Sino: Si h: sempi = = 3 c = 4 ( ) c = ( ) = = c = ( 3)4 = 8 00 RCS Liri S.p.A., ETAS - L. Lmerti, L. Mereu, A. Nnni

3 3. Esistenz dell'elemento neutro Se nell insieme E in cui è definit l legge + esiste un elemento, che indichimo con e, tle che: + e = e + = E tle elemento si chim elemento neutro per l legge sempi Nell insieme dei nturli, in quello degli interi, dei reli, dei complessi lo zero è l elemento neutro rispetto ll ddizione. Negli insiemi,,, l elemento neutro rispetto ll moltipliczione è. Nell insieme delle mtrici m n l elemento neutro rispetto ll somm tr mtrici è l mtrice m n vente tutti i termini uguli zero. Nell insieme dei sottoinsiemi di E l elemento neutro rispetto ll operzione di unione è l insieme vuoto. Nell'insieme V dei vettori dello spzio l elemento neutro rispetto ll somm tr vettori è il vettore nullo. Osservzione Non è detto è che per ogni legge di composizione intern de esistere l elemento neutro; pensimo, per esempio, ll legge di elevmento potenz nell insieme dei reli positivi: non esiste lcun numero rele e tle che 0+ risulti: e = e = Così, per l operzione di prodotto vettorile tr vettori dello spzio non esiste l elemento neutro. Si può dimostrre che: TEOREMA L elemento neutro, se esiste, è unico. DIMOSTRAZIONE Supponimo, per ssurdo, che esistno due elementi neutri e ed e, llor: considerndo e come elemento neutro, risult: e e = e e = e considerndo e come elemento neutro, risult: e quindi: e e = e e = e e = e 4. Esistenz dell elemento simmetrico (o inverso) Se nell insieme E, in cui è definit l legge di composizione intern, esiste l elemento neutro e e per ogni E esiste un elemento E tle che: = = e llor prende il nome di simmetrico o inverso di. Il simmetrico di viene indicto con se l legge viene indict con il simolo RCS Liri S.p.A., ETAS - L. Lmerti, L. Mereu, A. Nnni

4 sempi Rispetto ll operzione di ddizione nell insieme dei nturli non esiste il simmetrico, mentre nell insieme degli interi il simmetrico di è il suo opposto. Rispetto ll operzione di moltipliczione negli insiemi e non esiste il simmetrico, mentre nel l insieme dei numeri reli privto dello zero il simmetrico di è il suo reciproco =. Nell insieme 0, strutturto con l operzione di divisione, non esiste l unità né il simmetrico. Sull insieme E sino definite due leggi di composizione intern, che indicheremo con + e. Può vlere l 5. Proprietà distriutiv Si dice che l legge gode dell proprietà distriutiv rispetto lle legge + se,, c E risult: ( + c) = + c 7 8 sempi Negli insiemi,,, il prodotto gode dell proprietà distriutiv rispetto ll somm. Nell insieme dei sottoinsiemi di E l intersezione gode dell proprietà distriutiv rispetto ll unione. Legge di composizione estern Sino, or, dti due insiemi E e K. DEFINIZIONE Si dice che in E è definit un legge di composizione estern se ogni coppi ordint (; k), con E e k K, è ssocito uno ed un solo elemento di E. Un legge di composizione estern è, quindi, un ppliczione di E K in E: E K E (; k) con E il risultto di tle operzione si indic con = k Gli elementi di K prendono il nome di opertori su E. 9 0 sempi Si V l insieme dei vettori del pino (vedi vol., cp. 4); il prodotto di un vettore per un numero rele k è ncor un vettore w V; tle prodotto è pertnto un legge di composizione estern in V con opertori in : (v; k) k v = w Il prodotto di un polinomio per un numero rele è un legge di composizione estern che dà come risultto ncor un polinomio. Il prodotto di un mtrice m n per un numero rele è un legge di composizione estern che dà come risultto ncor un mtrice m n (vedi vol., 5.) RCS Liri S.p.A., ETAS - L. Lmerti, L. Mereu, A. Nnni

5 DEFINIZIONE Un insieme E su cui sino definite un o più leggi di composizione interne o esterne si dice dotto di un struttur lgeric. Due insiemi E ed F sui quli sino definite leggi di composizione che godno di proprietà nloghe si dicono dotti dell stess struttur. Nei prgrfi successivi presenteremo lcune strutture lgeriche, quli quelle di gruppo, nello, corpo, cmpo, spzio vettorile. Gruppi DEFINIZIONE Si dice gruppo un insieme non vuoto G in cui si definit un legge di composizione intern + (; ) ( + ) G G, G che god delle seguenti proprietà:. ssocitiv: ( + ) + c = + ( + c),, c G. esistenz dell elemento neutro e G, tle che si i: e + = + e = G c. esistenz dell elemento inverso o simmetrico di, che indicheremo con G, tle che: + ( ) = ( ) + = e G Se queste proprietà si ggiunge l d. proprietà commuttiv: + = + il gruppo si dice commuttivo o elino., G Se G h un numero finito di elementi, il loro numero si dice ordine del gruppo. 3 4 sempi L insieme è un gruppo elino rispetto ll operzione di ddizione. L elemento neutro è lo zero e il simmetrico di è il suo opposto. Sono gruppi elini nche gli insiemi: ( ; +), ( ; +), ( ; +) L insieme strutturto con l operzione di prodotto non è un gruppo, poiché non esistono i simmetrici degli elementi di : il reciproco di un intero non è in generle un intero. L moltipliczione tr interi gode, però, delle proprietà e. Un insieme di questo tipo, strutturto con un legge di composizione intern per l qule vlgno gli ssiomi e, prende il nome di monoide. L insieme V dei vettori dello spzio è un gruppo elino rispetto ll somm tr vettori. L elemento neutro è il vettore nullo, il simmetrico di v è il vettore v RCS Liri S.p.A., ETAS - L. Lmerti, L. Mereu, A. Nnni

6 5 Si [x] l insieme dei polinomi di grdo n: P (x) = n x n + n x n + + x + 0 coefficienti reli. Si definisce somm di due polinomi: P (x) = n x n + n x n P (x) = n x n + n x n il polinomio: P (x) + P (x) = ( n + n ) x n + ( n + n ) x n + + ( ) L operzione di somm così definit è un legge di composizione intern, poiché il polinomio P (x) + P (x) è ncor di grdo n. L insieme [x] è un gruppo elino rispetto ll operzione di somm. L elemento neutro è il polinomio i cui coefficienti sono tutti nulli, l opposto del polinomio P(x) = n x n + n x n è il polinomio P(x) = n x n n x n 0. N.B. L insieme dei polinomi di grdo n non costituisce gruppo, poiché l somm di due polinomi di grdo n può essere un polinomio di grdo minore di n. L insieme delle mtrici m n, strutturto con l operzione di somm tr mtrici è un gruppo elino. L elemento neutro è l mtrice i cui elementi sono tutti uguli zero e l simmetric dell mtrice A è l mtrice A i cui elementi sono gli opposti dei corrispondenti elementi di A. Gli insiemi 0, 0, 0, cioè dei rzionli, dei reli e dei complessi privti dello zero, sono gruppi elini rispetto ll operzione di prodotto. In ciscuno di questi insiemi l unità è il numero e il simmetrico di è il suo reciproco. = Considerimo l insieme A ={; ; c} e l legge di composizione intern definit secondo l tell finco, cioè, per esempio: + = + c = c + = ecc. È fcile verificre che l legge così definit è ssocitiv m non commuttiv e che, inoltre, non esiste l elemento neutro. Un insieme come questo, dotto di un legge di composizione intern per l qule vlg solo l legge ssocitiv, prende il nome di semigruppo. + c c c c L insieme R delle rotzioni del pino intorno un punto fisso, in senso ntiorrio, dotto, come operzione, dell ordinri composizione, form un gruppo ncor commuttivo. Se α e β sono due rotzioni, definimo loro prodotto l rotzione ottenut eseguendo prim l α e successivmente l β. Tle composizione è ovvimente ssocitiv e commuttiv: l elemento neutro è l rotzione α di zero grdi, e l invers di α è l rotzione π α. Osservzione In un gruppo l equzione x = nell incognit x h un ed un sol soluzione qulunque sino e. Tle soluzione è: x = come si verific sostituendo tle vlore nell equzione. L equzione y = h nch ess un ed un sol soluzione: y = In ssenz di commuttività le due equzioni sono differenti Un conseguenz importnte dell unicità dell soluzione per l equzione x = è l seguente: se c d llor c d 6 00 RCS Liri S.p.A., ETAS - L. Lmerti, L. Mereu, A. Nnni

7 3 Alcuni gruppi finiti Cerchimo di individure i gruppi più piccoli : quelli di ordine uno, due, tre o quttro. Gruppi di ordine uno Un gruppo formto d un solo elemento è necessrimente formto dl solo elemento neutro e : e e = e e = e Gruppi di ordine due Per l ordine due è fcile riconoscere che, chimti e i due elementi, l unic operzione d porre su di essi che rispetti i quttro ssiomi di gruppo è l ordinri moltipliczione. L tell moltiplictiv è quell finco. Gruppi di ordine tre Elenchimo lcuni csi significtivi. Gruppo I 3 delle clssi resto modulo tre Le clssi resto modulo 3 composte con l ordinri ddizione (vedi Alger,.) costituiscono un gruppo di ordine tre: l tell di composizione è l tell. Si verific fcilmente, osservndo l tell, che ogni elemento h il simmetrico, che in questo cso si chim, usulmente, opposto: per esempio, l opposto di [] è [], inftti: [] + [] = [0] L insieme I 3 delle clssi resto modulo 3 è formto dlle tre clssi [0], [], []; tutti gli interi pprtengono rispettivmente lle clssi [0], [], [] second che il resto dell loro divisione per 3 si 0,,. + [0] [] [] [0] [0] [] [] [] [] [] [0] [] [] [0] [] Tell Gruppo R 3 delle rotzioni di un tringolo equiltero Considerimo le rotzioni di un tringolo equiltero ttorno ll sse pssnte per il centro e perpendicolre l pino del tringolo che portno il tringolo sovrpporsi se stesso. Chimimo 0 l posizione inizile del tringolo con i vertici numerti come in figur. Un rotzione di 0 in senso ntiorrio port il tringolo nell posizione (fig. ). Il vertice v nell posizione precedentemente occupt dl vertice, il vertice in quell del vertice 3 e il vertice 3 in quell del vertice. Un successiv rotzione, ncor di 0 in senso ntiorrio, port il tringolo nell posizione : il vertice v nell posizione occupt ll inizio dl vertice 3, il vertice sull posizione inizilmente occupt dl vertice e infine il vertice 3 sull posizione inizilmente occupt dl vertice (fig. 3) Figur Figur Figur RCS Liri S.p.A., ETAS - L. Lmerti, L. Mereu, A. Nnni

8 Un successiv rotzione, identic lle precedenti, riport il tringolo nell posizione inizile. Indichimo con [] l insieme delle rotzioni che portno dll posizione 0 ll, cioè: [] = {rotzioni ntiorrie di 0 + k 360, k } Indichimo con [] l insieme delle rotzioni che portno dll 0 ll, cioè: [] = {rotzioni ntiorrie di 40 + k 360, k } Indichimo con [0] l insieme delle rotzioni che portno dll 0 ncor ll 0, cioè: [0] = {rotzioni ntiorrie di k 360, k } L insieme R 3 = {[0]; []; []} delle rotzioni di un tringolo equiltero su se stesso form gruppo qulor si definisc come prodotto tr due rotzioni l rotzione ottenut pplicndole successivmente. L elemento neutro è costituito dll insieme [0]. L tell di composizione è l tell. Rdici terze dell unità Le tre rdici terze complesse dell unità: + [0] [] [] [0] [0] [] [] [] [] [] [0] [] [] [0] [] Tell 3 e= = + i = i composte con l ordinri moltipliczione tr numeri complessi, costituiscono un gruppo d ordine tre. Esse sono collocte sul pino complesso i vertici del tringolo equiltero inscritto nell circonferenz di centro l origine e rggio, con un vertice nel punto (; 0). Le tre rdici forniscono un immgine nlitic del precedente gruppo R 3 delle rotzioni di un tringolo equiltero. 3 I punti che rppresentno le rdici n- sime dell unità sono i vertici di un poligono regolre di n lti, inscritto nell circonferenz di centro l origine e rggio con uno dei vertici in (; 0) (vedi vol., 8.6). Gruppo strtto di tre elementi Indichimo i tre elementi con:,, dove imo indicto con nturlmente l elemento neutro. L tell di composizione è pertnto quell riportt finco. In ogni rig e in ogni colonn devono comprire elementi diversi, quindi delle due possiilità: = e = solo l second è ccettile. Di conseguenz l tell moltiplictiv è l tell 3. Fcendo corrispondere nei gruppi osservti: [0] [] []???? Tell 3 si riconosce che le telle di composizione, e 3 diventno le stesse RCS Liri S.p.A., ETAS - L. Lmerti, L. Mereu, A. Nnni

9 Gruppi in corrispondenz iunivoc tr loro e con telle di composizione corrispondenti, come nel cso osservto, si dicono isomorfi, cioè dell stess form (vedi ). Gruppi isomorfi sono di ftto uno stesso gruppo : per studire un gruppo non import inftti il nome che si dà ciscun elemento, m il modo con cui gli elementi si compongono. Il gruppo che imo indicto con {; ; } sree stto, forse, presentto gli studenti di Atene come il gruppo: {; α; β} senz tuttvi che il cmimento ltersse in lcun modo l sostnz! Concludimo con il seguente teorem: TEOREMA I gruppi di ordine tre sono tutti isomorfi, ovvero: Esiste un solo gruppo di ordine tre Gruppi di ordine quttro L indgine sui gruppi di ordine 4 fornisce qulche sorpres: scopriremo due gruppi diversi, in cui diversi signific vere telle moltiplictive differenti. Gruppo R 4 delle rotzioni del qudrto Le rotzioni di multipli di 90 intorno l centro offrono un insieme di 4 trsformzioni del qudrto in sé che, moltiplicte con l ordinri composizione, producono un gruppo ppunto di ordine 4. Indicte con: 0, 90, 80 e 70 esse si compongono secondo l tell finco. Il gruppo delle rotzioni di multipli di 90 è null ltro che un immgine delle clssi resto modulo 4 composte con l ordinri ddizione Gruppo S 4 delle simmetrie Esiste un ltro insieme di quttro trsformzioni del qudrto in sé che offre ncor un gruppo d ordine 4. Pensimo l qudrto di vertici: A = ( ; ) B = (; ) C = (; ) D = ( ; ) Gli ssi coordinti pssno per il centro del qudrto. Le simmetrie del pino rispetto gli ssi crtesini trsformno il qudrto in sé. Indichimo con X e Y le simmetrie rispetto ll sse x e rispetto ll sse y. Indichimo poi con XY l trsformzione ottenut componendo le due simmetrie (l ordine, come si può riconoscere, è irrilevnte). Dett U l trsformzione del qudrto in sé lscindolo fermo, è fcile riconoscere che i quttro elementi U X Y U X Y XY U U X Y moltiplicti medinte l ordinri composizione delle trsformzioni, formno un gruppo di ordine 4. X X U XY L tell di S 4 f riconoscere, tr l ltro, che ogni elemento coincide con il suo inverso, inftti: Y Y XY U XY XY Y X X X = U Y Y = U XY XY = U il che non ccdev nell tell precedente di R 4. XY XY Y X U 9 00 RCS Liri S.p.A., ETAS - L. Lmerti, L. Mereu, A. Nnni

10 30 Aimo quindi lmeno due gruppi R 4 ed S 4 di ordine 4 diversi. Chi volesse poi un gruppo con 3 elementi può pensre lle 3 rdici 3-esime complesse dell unità! O, nche, lle rotzioni del pino intorno ll origine di ngoli multipli di Il gruppo delle ffinità Verifichimo or che: le ffinità di in (vedi vol., 6.) T: (x; y) (x + y + h; cx + dy + k) (d c 0) formno gruppo rispetto ll operzione di composizione. Inftti: componendo due ffinità T e T di mtrici ssocite rispettive A e A, l trsformzione compost: T * T Un ffinità è un corrispondenz iunivoc tr è un ffinità che h per mtrice ssocit l mtrice prodotto: due pini o tr punti di uno stesso pino che trsform rette in rette con- A * A. l composizione di ffinità è ssocitiv; servndo il prllelismo.. l elemento neutro è l trsformzione identic I: (x; y) (x; y); c. ogni ffinità T mmette l invers, cioè esiste un ffinità T tle che risult: T * T = T * T = I Il gruppo delle ffinità così definito non è commuttivo; inftti, in generle: T * T T * T sempio Sino: Risult: quindi T * T T * T. T: (x; y) (x + y; x 3y) T : (x; y) (3x; y) T * T : (x; y) (6x + y; 3x 3y) T * T:(x; y) (6x + 3y; x 3y) Verifichimo che le similitudini dirette formno un sottogruppo del gruppo delle ffinità. Bst dimostrre che sono verificte l proprietà di gruppo. Se T e T sono due similitudini dirette di mtrici ssocite: A = A = l trsformzione compost T * T h ssocit l mtrice prodotto: A* A = + Un similitudine è un ffinità che mntiene costnte il rpporto tr segmenti corrispondenti. Si verific quindi che componendo due similitudini dirette si ottiene un similitudine dirett RCS Liri S.p.A., ETAS - L. Lmerti, L. Mereu, A. Nnni

11 Considert l similitudine T di mtrice ssocit A, l trsformzione invers h mtrice ssocit A invers di A: A = L trsformzione invers è ncor un similitudine dirett. Verifichimo or che le similitudini indirette non formno gruppo e quindi non costituiscono un sottogruppo del gruppo delle ffinità. Inftti l trsformzione identic non è un similitudine indirett e inoltre l composizione di due similitudini indirette T e T di mtrici ssocite rispettive A e A : A = A = h l mtrice ssocit: che determin un similitudine dirett. Quindi: l composizione di due similitudini indirette è un similitudine dirett. Inoltre, si può verificre che: l composizione di due similitudini, l un dirett e l ltr indirett, è un similitudine indirett. Concludendo: ) l insieme delle similitudini dirette form gruppo; ) l insieme delle similitudini indirette non form gruppo; c) l insieme delle similitudini form gruppo. Inoltre è fcile convincersi che, essendo le isometrie delle prticolri similitudini di rpporto, componendo due isometrie si ottiene ncor un isometri, l legge di composizione è ssocitiv, l elemento neutro è l identità, l invers di un isometri è un isometri. Concludendo: l insieme delle isometrie form un sottogruppo del gruppo dell ffinità. 5 Sottogruppi A A * = + + Considerimo il gruppo d ordine 4: {U; X; Y; XY} introdotto nel 3. Nell su tell moltiplictiv si può osservre che nche i due soli elementi: {U; X} composti con l stess legge continuno costituire un gruppo, di ordine, che merit evidentemente il nome di sottogruppo del gruppo originle. Se G è un gruppo ed H è un suo sottoinsieme, non srà vero, in generle, che H continui d vere l proprietà di gruppo. Per esempio, riferendosi l gruppo: G = {0 ; 90 ; 80 ; 70 } delle rotzioni di multipli di 90, il sottoinsieme: H = {0 ; 90 } non form gruppo: componendo inftti due volte l rotzione di 90 se ne gener un di 80 che non figur in H. 00 RCS Liri S.p.A., ETAS - L. Lmerti, L. Mereu, A. Nnni

12 Le condizioni che un sottoinsieme H G deve soddisfre per risultre un sottogruppo sono le seguenti:. se, H, llor nche deve pprtenere d H;. se H nche deve pprtenere d H. Segue, in prticolre, che ogni sottogruppo H G deve contenere l elemento neutro di G. Osservzione 3 Se G è un gruppo è fcile indicre due sottoinsiemi prticolri che costituiscono un sottogruppo: H = {} K = G Tli due sottogruppi meritno, ovvimente, il nome di sottogruppi nli sempi L insieme ( ; +) è un sottogruppo del gruppo ( ; +). L insieme dei numeri pri è un sottogruppo dell insieme degli interi rispetto ll ddizione. Si (V; +) il gruppo dei vettori del pino rispetto ll somm tr vettori. Se v è un determinto vettore, l insieme S costituito di vettori kv, essendo k un numero rele, cioè l insieme dei vettori prlleli un vettore dto, è un sottogruppo di (V; +). Considerimo il gruppo moltiplictivo formto dlle quttro rdici qurte complesse dell unità: G = {; i; ; i} Il sottoinsieme H = {; } è un sottogruppo di G; il sottoinsieme K = {i; i} invece non costituisce un sottogruppo: inftti, per esempio, i ( i) = K. 6 Il teorem di Lgrnge Tr l ordine di un gruppo finito e quello dei suoi eventuli sottogruppi intercorre un relzione importnte che costituisce il seguente teorem: TEOREMA 3 (DI LAGRANGE) L ordine di un gruppo finito è divisiile per l ordine di qulsisi suo sottogruppo. DIMOSTRAZIONE Si H G; per ogni elemento G considerimo l totlità di elementi otteniili come prodotto di per ciscun elemento di H. Chimimo questo insieme clsse lterle di H e indichimolo con H. È fcile riconoscere che, l vrire di, si ottengono clssi lterli diverse m certmente formte dllo stesso numero di elementi. Tenuto conto che se prendimo un elemento H, l clsse lterle H coincide con H stesso, si riconosce quindi che tutte le clssi lterli hnno lo stesso numero p di elementi di H. È ltrettnto fcile riconoscere che due clssi lterli o sono disgiunte o coincidono. Gli N elementi di G vengono pertnto essere suddivisi su un certo numero n di clssi lterli, ciscun formt dllo stesso numero p di elementi. Quindi, se N è l ordine di G e p l ordine del sottogruppo H, si h: N = n p Cioè p, ordine del sottogruppo H, è un divisore dell ordine N del gruppo G. 00 RCS Liri S.p.A., ETAS - L. Lmerti, L. Mereu, A. Nnni

13 Osservzione 4 7 Il teorem di Lgrnge serve, per esempio, escludere che i gruppi di ordine 3 ino sottogruppi (oltre i due nli). Inftti 3 è un numero primo, cioè non h divisori diversi d e d se stesso. Quindi, poiché l ordine degli eventuli sottogruppi dovree dividere 3, se ne deduce che non esistono sottogruppi (non nli). Dl teorem di Lgrnge segue che ogni gruppo di ordine p, con p primo, non mmette sottogruppi non nli. Può inoltre dedursi che ogni gruppo di ordine p primo è isomorfo l gruppo delle rotzioni di ngoli multipli di π. p Anelli Si A un insieme in cui sino definite due leggi di composizione intern (due operzioni) che indichimo con + e con. DEFINIZIONE Si dice che A è un nello se:. A è un gruppo elino rispetto ll operzione +;. l legge è ssocitiv;. l legge è distriutiv rispetto ll legge +. In definitiv, A è un nello se vlgono i seguenti ssiomi: per l legge +. proprietà ssocitiv: + ( + c) = ( + ) + c,, c A. esiste l elemento neutro che indichimo con 0: + 0 = 0 + = A c. esiste, A, il simmetrico, che chimimo opposto e indichimo con : + ( ) = ( ) + = 0 d. proprietà commuttiv: + = +, A per l legge. proprietà ssocitiv: ( c) = ( ) c,, c A. proprietà distriutiv dell legge rispetto ll legge +: ( + c) = + c,, c A ( + c) = + c Se l legge è commuttiv l nello si dice commuttivo. Se esiste l elemento neutro rispetto ll legge l nello si dice unitrio RCS Liri S.p.A., ETAS - L. Lmerti, L. Mereu, A. Nnni

14 sempi 35 L insieme dei numeri interi dotto delle ordinrie operzioni di somm e di prodotto è il modello fondmentle di nello. In reltà il prodotto sugli interi gode nche di proprietà più ricche di quelle minime richieste in un nello: è commuttivo; vle l legge di nnullmento del prodotto. Si trtt di un nello prticolre: un nello commuttivo e privo di divisori dello zero, intendendo con questo nome elementi diversi dllo zero il cui prodotto di zero L insieme P degli interi pri, dotto delle ordinrie operzioni di somm e prodotto, è un nello: inftti l somm o il prodotto di numeri pri dà risultti pri e l equzione: + x = con e pri h ovvimente soluzione x = pri. Esso è un nello non unitrio. Attenzione: l insieme D dei dispri non è un nello! L insieme dei numeri reli, come quello dei complessi, l solito dotti degli ordinri somm e prodotto, costituiscono nelli commuttivi unitri privi di divisori dello zero. Considerimo l nello delle clssi resto modulo un intero m (vedi Alger,.). L relzione sull insieme degli interi: = k m è un relzione d equivlenz: l insieme delle clssi d equivlenz rispetto tle relzione si dice insieme m delle clssi resto modulo m. Se, per esempio, m = 6, 6 è costituito dlle 6 clssi: [0], [], [], [3], [4], [5] ove con il simolo [0] si intende l insieme { ; 6; 0; 6; ; } con il simolo [] si intende l insieme { ; ; 5; ; 7; 3; } ecc. Sugli elementi di m si eseguono somme e prodotti l modo seguente: [] + [] = [ + ] [c] [d] = [c d] procedimento corretto e che rispett i tre gruppi di proprietà che spettno un struttur di nello. Tornndo ll esempio di m = 6, si h: [4] + [] = [4 + ] = [0] [] [4] = [ 4] = [8] = [] Attenzione: [3] [] = [6] = [0] Nell nello 6 si incontrno divisori dello zero, cioè elementi diversi dllo zero il cui prodotto dà zero. Evidentemente l presenz o meno di divisori dello zero in m dipende dll essere m prodotto di due o più fttori o primo. Nell nello 6 imo trovto due divisori dello zero nelle due clssi [3] e [], inftti 3 e sono fttori di 6. Nell nello 7 non si trovno divisori dello zero perché il numero 7 non h fttori essendo un numero primo RCS Liri S.p.A., ETAS - L. Lmerti, L. Mereu, A. Nnni

15 39 40 L insieme [x] dei polinomi in x coefficienti reli, dotto dell ordinri somm e moltipliczione tr polinomi, è un nello commuttivo privo di divisori dello zero. Considerimo l nello delle mtrici qudrte d ordine n (vedi vol., 5.). L insieme M delle mtrici dotto delle ordinrie operzioni di somm e di prodotto, righe per colonne, fr mtrici costituisce un nello non commuttivo, dotto di divisori dello zero. Inftti, nel prodotto tr mtrici non vle l legge di nnullmento del prodotto, cioè, se il prodotto tr due mtrici è l mtrice null, non necessrimente un delle due mtrici è null. Per esempio: = 0 0 Anche l insieme delle mtrici qudrte di ordine 3 o quello delle mtrici qudrte di qulsivogli ordine forniscono esempi di nelli non commuttivi vi vi più complicti. 4 L insieme X delle coppie di numeri reli (; ) dotto delle operzioni di ) somm: (; ) + (c; d) = ( + ; c + d) ) prodotto: (; ) (c; d) = ( ; c d) è un nello commuttivo dotto di divisori dello zero, inftti: (; 0) (0; ) = (0; 0) Domnd Che cos si perde in presenz di divisori dello zero dell ordinri ritmetic? Rispost Si perde l legge di semplificzione dei fttori comuni nelle uguglinze. D x = y simo usi dedurre che se 0 segue x = y. Questo perché si scrive l uguglinz nell form: (x y) = 0 d cui, stnte l ssenz di divisori dello zero, si ricv: 0 x y = 0 Ovvimente le cose vnno diversmente nell nello del corrente esempio. Scelto = (; 0), si h: (; 0) (0; ) = (; 0) (0; ) pur essendo (0; ) (0; ). 8 Corpi - Cmpi Si K un nello rispetto lle operzioni + e e si 0 l elemento neutro rispetto ll operzione +. Se l insieme K {0} è un gruppo rispetto ll operzione llor si dice che K è un corpo. Se poi l second operzione è commuttiv si dice che K è un cmpo. Pertnto, ffinché l insieme K si un corpo rispetto lle operzioni + e, gli ssiomi,, c, d,, del 7, si devono ggiungere gli ssiomi: c. esiste l elemento neutro, che indichimo con, rispetto ll legge = = K d. esiste, K {0}, il simmetrico K, che chimimo inverso = = 5 00 RCS Liri S.p.A., ETAS - L. Lmerti, L. Mereu, A. Nnni

16 Affinché K si un cmpo si deve ggiungere l ssiom: e. proprietà commuttiv =, K Pertnto possimo dre l seguente: DEFINIZIONE Un insieme X dotto di due operzioni, somm e prodotto, si dice corpo se:. è un nello;. per 0 le equzioni: x = e y = sono sempre risoluili sempi L insieme dei numeri reli è un cmpo rispetto lle operzioni di ddizione e moltipliczione. Il cmpo più semplice è l insieme delle clssi resto modulo : i suoi elementi sono {[0]; []}; l somm e il prodotto sono ovvi. L insieme dei numeri complessi è un cmpo rispetto lle operzioni di ddizione e moltipliczione. Lo zero è l unità rispetto ll somm e l opposto di z = + i è z = i. L unità rispetto ll moltipliczione è, mentre l inverso di z 0 è: z = = z + Considerimo l insieme delle coppie ordinte (; ) di numeri reli. Definimo l somm nel modo seguente: (; ) + (c; d) = ( + c; + d) Rispetto ll somm l unità è l coppi (0; 0) e l oppost di (; ) è l coppi ( ; ). Definimo l moltipliczione l modo seguente: (; ) (c; d) = (c d; d + c) L unità è l coppi (; 0) e l invers di (; ) (0; 0) è l coppi: ; + È fcile verificre che l insieme delle coppie ordinte (; ) di numeri reli così strutturto è un cmpo; non è difficile riconoscere che questo insieme non è che il cmpo dei numeri complessi. L insieme dei numeri rzionli, strutturto con le operzioni di ddizione e moltipliczione, è un cmpo. Si Q[x] l insieme delle funzioni rzionli coefficienti reli. Se P( x) P ( x) 3 f( x) = e gx ( ) = P ( x) P ( x) i + + sono due funzioni rzionli (P (x), P (x), P 3 (x), P 4 (x) sono polinomi in x), si definisce somm l funzione: P( x) P ( x) + P ( x) P ( x) 4 3 ϕ( x) = f( x) + g( x) = P ( x) P ( x ) 4 00 RCS Liri S.p.A., ETAS - L. Lmerti, L. Mereu, A. Nnni 4

17 L elemento neutro è il polinomio coefficienti tutti nulli, l oppost di f (x) è l funzione P( x) f( x) = P ( x). Definimo il prodotto l modo seguente: L unità è il polinomio I (x) = e l reciproc di f (x) (che non si il polinomio coefficienti tutti nulli) è: L insieme Q[x] così strutturto è un cmpo. P( x) P ( x) 3 τ( x) = f( x) g( x) = P ( x) P ( x) P x f( x) = ( ) P( x). 4 9 Il cmpo delle clssi resto modulo p con p primo Aimo osservto precedentemente che le clssi resto modulo p formno un nello commuttivo unitrio. Dimostrimo or che, se p è primo, esiste l invers rispetto ll moltipliczione per ogni clsse [] non null. Considerimo le clssi non nulle: [], [],, [p ] e moltiplichimo tli clssi per []. Si ottengono p clssi prodotto: [], [],, [(p )] tutte non nulle non essendoci divisori dello zero. Esse, prte l ordine, coincidono necessrimente con le precedenti; pertnto i prodotti: ([] [] [(p )]) e ([] [] [p ]) coincidono. Si h quindi, posto: 3 (p ) = (p )! [ p ] [(p )!] = [(p )!] Semplificndo si ottiene: [ p ] = [] Poiché: [ p ] = [ p ] [] possimo scrivere: [ p ] [] = [] L uguglinz esprime che l invers dell clsse [] non null è l clsse [ p ] = [] p. 48 sempio Considerimo il cso p = 5. Clcolimo gli inversi dei quttro elementi non nulli: [] = [ 3 ] = [] ( ovvio!) [] = [ 3 ] = [8] = [3] inftti [] [3] = [] [3] = [3 3 ] = [7] = [] inftti [3] [] = [] [4] = [4 3 ] = [64] = [4] inftti [4] [4] = [] 7 00 RCS Liri S.p.A., ETAS - L. Lmerti, L. Mereu, A. Nnni

18 0 Spzi vettorili Si V un insieme nel qule sino definite un legge di composizione intern + e un legge di composizione estern opertori in un cmpo K. DEFINIZIONE Se l insieme V è un gruppo elino rispetto ll legge + e se l legge di composizione estern gode delle proprietà: I distriutiv rispetto ll operzione +; II distriutiv rispetto ll somm in K; III ssocitiv; IV neutrlità rispetto ll unità moltiplictiv in K, llor V prende il nome di spzio vettorile sul cmpo K e gli elementi di V si dicono vettori, mentre gli elementi di K si dicono opertori. Gli elementi dello spzio vettorile V vengono indifferentemente indicti con u, v, w,... oppure con u, v, w,... Rissumimo qui di seguito gli ssiomi di spzio vettorile. Per l legge +. proprietà ssocitiv. esiste l elemento neutro u + (v + w) = (u + v) + w v + 0 = 0 + v = v u, v, w V v V c. esiste, v V, il simmetrico v V d. proprietà commuttiv Per l legge v + ( v) = ( v) + v = 0 u + v = v + u v V u, v V I. proprietà distriutiv rispetto ll operzione + k (u + v) = k u + k v u, v V, k K II. proprietà distriutiv rispetto ll somm in K (k + h) v = k v + h v v V, h, k K III. proprietà ssocitiv k (hv) = (kh) v v V, h, k K IV. neutrlità rispetto ll unità moltiplictiv in K v = v v V essendo l elemento neutro rispetto ll moltipliczione in K RCS Liri S.p.A., ETAS - L. Lmerti, L. Mereu, A. Nnni

19 sempi L esempio più importnte di spzio vettorile è l insieme di vettori del pino e dello spzio: spzio vettorile sul cmpo dei numeri reli. L legge di composizione intern è l operzione di somm tr vettori; l legge di composizione estern è il prodotto di un numero rele per un vettore (vedi vol., 4.3). L insieme dei vettori del pino e dello spzio non è però l unico esempio di spzio vettorile. L insieme dei polinomi di grdo n, con n ssegnto, dotto dell ordinri somm tr polinomi è uno spzio vettorile. Se, per esempio, n =, si hnno di ftto tre polinomi specili: P 0 = P = x P = x Ogni ltro polinomio P(x) dello spzio dei polinomi di grdo P(x) = + x + cx è null ltro che P(x) = P 0 + P + c P ed è individuto di ftto di tre coefficienti (; ; c). Si potree qusi dire che: lo spzio dei polinomi di grdo è ugule llo spzio 3 delle terne di numeri reli. L insieme delle mtrici, nche rettngolri m n, dotto dell ordinri somm tr mtrici e dell ordinrio prodotto di un mtrice per un numero rele (vedi vol., 5.) è uno spzio vettorile. Per esempio, nello spzio delle mtrici, considerimo le quttro mtrici: M = M = M 3 = M 4 = Ogni ltr mtrice: M = c d è individut di quttro numeri (,, c, d) e può essere riconosciut come: M = M + M + c M 3 + d M 4 5 Anche qui si potree qusi dire che: lo spzio delle mtrici è ugule llo spzio 4 delle quterne di numeri reli. L insieme delle trsformzioni lineri con le operzioni di somm e di prodotto per un numero rele definite nel 6.4 del volume è uno spzio vettorile. Nel cpitolo WEB 3 studieremo un esempio significtivo di spzio vettorile: l insieme delle n-ple di numeri reli n. Bse Si dice che i vettori: u, u,,u n costituiscono un se di V se ogni vettore di V si può rppresentre in uno ed in un solo modo come loro cominzione linere. Il numero di elementi di un se si dice dimensione dello spzio. sempi 53 9 I tre polinomi: P 0 = P = x P = x dell esempio 50 forniscono un se per lo spzio vettorile dei polinomi di grdo, che pertnto h dimensione RCS Liri S.p.A., ETAS - L. Lmerti, L. Mereu, A. Nnni

20 54 Le quttro mtrici: 0 0 M = M = M 3 = 0 0 M 4 = dell esempio 5 forniscono un se dello spzio vettorile delle mtrici, che pertnto h dimensione 4. Sottospzi Un sottoinsieme non vuoto S di uno spzio vettorile V si dice sottospzio di V se per ogni coppi di elementi u e v di S e ogni coppi di numeri reli λ e μ riesce: λu +μv S In prticolre, ogni sottospzio contiene il vettore nullo. 55 sempio L insieme S dei polinomi di grdo costituisce un sottospzio dello spzio vettorile dei polinomi di grdo. Isomorfismi Insiemi isomorfi Nel 3 imo già ccennto i gruppi isomorfi, cioè dell stess form, nel cso dei gruppi finiti dello stesso ordine. Per esempio, considerimo il gruppo ( ; ) moltiplictivo delle rdici qurte complesse dell unità e il gruppo (R 4, ) delle rotzioni di multipli di 90 di un qudrto intorno l centro, già studite nel 3, di cui riportimo finco le telle di composizione. Si osserv suito che le due telle si trsformno l un nell ltr se si stilisce l corrispondenz iunivoc: 0 i i 70 Tle corrispondenz iunivoc è un isomorfismo e i due gruppi si dicono isomorfi. Possimo quindi dre l seguente i i i i i i i i i i i i DEFINIZIONE Un ppliczione iunivoc f :M S tr due insiemi (M; ) e (S; ) dotti di struttur, che verifichi l relzione: f ( ) = f () f () per ogni coppi di elementi, M si dice un isomorfismo di (M; ) in (S; ). (M, ) f f f () f f () f () f () Figur 4 (S, ) 0 00 RCS Liri S.p.A., ETAS - L. Lmerti, L. Mereu, A. Nnni

21 Inoltre: DEFINIZIONE Due insiemi dotti di strutture (M; ) e (S; ) si dicono isomorfi se esiste un isomorfismo dell uno nell ltro. Se f è un isomorfismo di (M; ) in (S; ) l ppliczione invers f, che esiste in qunto f è per ipotesi iunivoc, è un isomorfismo: quindi l relzione essere isomorfi è un relzione simmetric. È fcile riconoscere che ess è nche riflessiv e trnsitiv: si trtt quindi di un relzione d equivlenz definit sull fmigli degli insiemi dotti di struttur lgeric. sempi Il gruppo R 3 delle rotzioni di un tringolo equiltero su se stesso è isomorfo l gruppo I 3 delle clssi resto modulo 3. Sino ( ; +) il gruppo dditivo degli interi reltivi, (P; +) il gruppo dditivo degli interi reltivi pri e f : P n n f è un isomorfismo di ( ; +) in (P; +) in qunto è iunivoc e qulunque sino n ed m risult: n n, m m, (n +m) (n + m) = n + m cioè l immgine dell somm di n ed m è l somm delle immgini. 58 Sino ncor ( ; +) il gruppo dditivo degli interi reltivi e (E; ) il gruppo moltiplictivo {... ; ; 0 ; ; ;...}. Si: f : E n n L ppliczione è un isomorfismo in qunto è iunivoc e se llor n n, m m f (n + m) = n+m = n m = f (n) f (m) 59 Si I 3 = {[0]; []; []}, clssi resto modulo 3, con l ordinri operzione di somm modulo 3. S = {; ; c} con l tell di composizione seguente: + [0] [] [] c [0] [0] [] [] c [] [] [] [0] [] [] [0] [] c c c c (I 3 ; +) e (S; ) non sono isomorfi. Inftti l legge di composizione in I 3 è commuttiv, mentre quell in S non lo è, poiché = c mentre =. Se f fosse un isomorfismo dovree ccdere che: f (c) = f ( ) = f () + f () = [0] + [] = [] + [0] = f () + f () = f ( ) = f () contrddicendo l iunivocità. 00 RCS Liri S.p.A., ETAS - L. Lmerti, L. Mereu, A. Nnni

22 Osservzione 5 Se (M; ) e (S; ) sono isomorfi, l legge di composizione definit su S è deduciile: d quell ssegnt su M; dll isomorfismo f. Sino inftti α e β due elementi di S, stnte l iunivocità di f esistono e in M tli che α =f () e β =f (), quindi α β=f ( ). sempi 60 L unic struttur lgeric che rende S = {; ; c} isomorfo (M; +) con [0], [], c [], è quell riportt nell tell finco. Inftti, per esempio: c c f (c ) = f (c) + f () = [] + [] = [0] = f () c quindi deve essere: c = c c 6 Si (M; ) il gruppo {; ; 3 ; } (T. ) e si (S; ) il gruppo sempre di quttro elementi, costituito dlle quttro rdici qurte dell unità: {i; ; i; } strutturto con l ordinri moltipliczione tr numeri complessi (T. ). Esminre se (M; ) e (S; ) sono isomorfi. T. T. 3 i i 3 i i i 3 i i 3 3 i i i 3 i i Per dichirre che i due gruppi sono isomorfi occorre un isomorfismo: f :{; ; 3 ; } {i; ; i; } Osservimo che poiché ogni isomorfismo tr due gruppi trsform necessrimente l elemento neutro di un gruppo nell elemento neutro dell ltro, cioè: f () = le possiili immgini f () di sono: f () = i oppure f () = oppure f () = i L second di tli scelte non è ccettile: se fosse f () =, dovendo riuscire f ( 3 ) = f () f () f () = sree f ( 3 ) = f (), perdendo l iunivocità. Le ltre due scelte forniscono due isomorfismi f e g diversi: f () = i f ( ) = f ( 3 ) = i f () = e g() = i g( ) = g( 3 ) = i g() = 00 RCS Liri S.p.A., ETAS - L. Lmerti, L. Mereu, A. Nnni

23 Gli utomorfismi Nel cso: (M; ) = (S; ) in cui i due insiemi dotti di struttur coincidno, gli isomorfismi f di (M; ) in (M; ) prendono il nome di utomorfismi. L utomorfismo più semplice è quello rppresentto dll ppliczione identic. È evidente che se f e g sono due utomorfismi di (M; ) llor nche le ppliczioni composte f g e g f sono utomorfismi di (M; ). L insieme degli utomorfismi di (M; ) costituisce un gruppo, che prende nturlmente il nome di gruppo degli utomorfismi di (M; ). sempio 6 Si (M; ) = {; ; 3 ; }. Determinre il gruppo dei suoi utomorfismi. Come nel precedente prolem cerchimo empiricmente le possiili immgini f () dell elemento trmite l utomorfismo f: f () = oppure f () = oppure f () = 3 L second scelt f () = porteree f () = = f () contrddicendo ll iunivocità. Delle ltre due scelte, l prim produce: f () = f ( ) = f ( 3 ) = 3 f () = utomorfismo identico, l terz: g() = 3 g( ) = g( 3 ) = g() = Dunque, il gruppo {; ; 3 ; } h due utomorfismi: l identità f e l ppliczione g che port: 3 3 È evidente che tle fmigli di utomorfismi costituisce, su volt, un gruppo molto semplice di due elementi f e g tli che: g g = f RCS Liri S.p.A., ETAS - L. Lmerti, L. Mereu, A. Nnni

24 Quesiti di verific 3 Dte le seguenti leggi: ) * = (, ) ) = (, + ) c) = (, 0 ) qule delle seguenti ffermzioni è corrett? c d le tre leggi sono interne solo l legge ) è intern solo le leggi ) e ) sono interne solo le leggi ) e c) sono interne Nell insieme 0+ l legge * così definit: è: c d commuttiv ssocitiv commuttiv e ssocitiv né commuttiv né ssocitiv Nell insieme 0 l legge * così definit: è: = + = + solo ssocitiv ssocitiv e commuttiv c solo commuttiv d né ssocitiv né commuttiv 4 Dte le leggi definite in : ) = ) = + c) * = qule delle seguenti ffermzioni è corrett? l legge è distriutiv rispetto ll legge l legge è distriutiv rispetto ll legge * c l legge è distriutiv rispetto ll legge * d le tre ffermzioni precedenti sono flse Si definit in { } l legge: x y = xy + (x + y) + L elemento neutro è: c d non esiste elemento neutro Si dt in E = l legge: x y = xy + x + y Qule delle seguenti ffermzioni è fls? l legge è ssocitiv l elemento neutro è 0 x c il reciproco di x è x + d E è un gruppo non commuttivo rispetto ll operzione Si E l insieme dei multipli di 7. Qule delle seguenti ffermzioni è ver? l insieme E è un gruppo commuttivo rispetto ll somm l insieme E è un gruppo commuttivo rispetto l prodotto c l insieme E è un gruppo rispetto l quoziente d le precedenti ffermzioni sono flse Si P l insieme dei numeri pri reltivi dotto delle ordinrie operzioni + e di somm e prodotto tr interi. Allor... P è un nello unitrio non esiste l elemento neutro rispetto + c P è un nello d non esiste l opposto di ogni elemento di P L insieme E delle coppie (x; 0), x, in cui sono definite le operzioni: (x; 0) + (y; 0) = (x + y; 0) (x; 0) (y; 0) = (xy; 0) è: un cmpo c un corpo un nello d un nello non commuttivo commuttivo 4 00 RCS Liri S.p.A., ETAS - L. Lmerti, L. Mereu, A. Nnni

25 Informtic Lortorio di informtic. Il cmpo delle clssi resto modulo r Comndi Le clssi resto modulo p sono semplicemente i p interi 0,,,..., p ddizionti, sottrtti o moltiplicti fr loro con le ordinrie regole dell ritmetic prendendo sempre i risultti... modulo p DERIVE possiede l operzione MOD e quindi consente di sperimentre fcilmente l ritmetic sull clssi resto. L tvol pitgoric Mod p Costruimo l tell dei prodotti Mod p servendoci dell funzione: MOD(u, p) che fornisce il vlore dell intero u Mod p. Useremo due volte il comndo VECTOR: l prim per costruire le righe dell tell dei prodotti j, j,... ( p ) j mod p; l second per rccogliere le p righe in un unic tell. Per costruire le righe in corrispondenz qulunque intero p useremo Dichir - Definisci funzione: rig_prodotti(i, p):=vector(mod(i * j, p), j,, p ) Per produrre l inter tell in corrispondenz qulunque intero p, di nuovo, Dichir - Definisci funzione: prodotto(p):=vector(rig_prodotti(i, p), i,, p ) Un scopert sorprendente... Stmpt l tell moltiplictiv delle clssi Mod 7 (fig. ), si vede come in ogni colonn ed evidentemente per simmetri in ogni rig si trovi uno ed un solo : l osservzione può essere lett nel modo seguente: i [, 6] j [, 6] i j Mod 7 Il numero j corrispondente merit il nome di... i Questo vuol dire che nell ritmetic delle clssi resto Mod p, con p numero primo, ogni elemento, nturlmente diverso d 0 e d p stesso, è dotto di inverso moltiplictivo. Si ricordi che invece, nell ordinri ritmetic, solo i numeri e possiedono inverso moltiplictivo: per tutti gli ltri inftti si sono dovuti inventre i numeri rzionli! Figur. DERIVE MOD Collect Cre mtrice Identity_mtrix 5 00 RCS Liri S.p.A., ETAS - L. Lmerti, L. Mereu, A. Nnni

26 L divisione Scoperto che ogni elemento diverso d zero è dotto di inverso moltiplictivo, h senso eseguire le divisioni, nturlmente sempre con divisore diverso d zero: L tvol pitgoric dell divisione Costruimo or con DERIVE l tell delle divisioni fr interi nell ritmetic Mod p: il comndo fondmentle di cui servirsi è: SOLVE_MOD(.x=, x, p) che produce un vettore contenente le soluzioni dell equzione: x = nell ritmetic Mod p: un e un sol 0 Mod p se p è primo; nessun, un o volte più di un se p non è primo. L tell seguente riport l tell delle divisioni reltive ll scelt p =. i j = i j j/i I vlori in tell rppresentno i quozienti j/i dei numeri j con cui sono contrssegnte le colonne per i numeri i delle righe. Osservzione L tell moltiplictiv è, come l ordinri tvol pitgoric, simmetric. Nturlmente questo non ccde per l tell delle divisioni: l divisione non è operzione commuttiv! 6 00 RCS Liri S.p.A., ETAS - L. Lmerti, L. Mereu, A. Nnni

27 Informtic. Le mtrici di rotzione Tr le trsformzioni del pino imo incontrto le rotzioni e imo riconosciuto le mtrici d esse ssocite. Aimo del resto già imprto: d ssegnre un mtrice con DERIVE; operre con le mtrici. A un rotzione di un ngolo α corrisponde l mtrice: A α cosα senα ( ) = : senα cosα Eseguire successivmente due rotzioni, l prim di un ngolo α e successivmente un di ngolo β, corrisponde nturlmente d eseguire un volt sol un rotzione di un ngolo (α + β). Verifichimo il fenomeno fcendo clcolre DERIVE il prodotto delle mtrici corrispondenti lle due rotzioni. L form sotto cui si present il risultto dipende dll opzione scelt per semplificre le espressioni trigonometriche: l scelt Figur. inizile di DERIVE srà proilmente quell Auto (fig. ). Con quest scelt il prodotto delle due mtrici di rotzione si present come in figur 3. Scegliendo invece come Impostzioni di Semplificzione per l trigonometri Collect si ottiene esttmente l mtrice A(α + β) di figur 4. Figur 3. Figur RCS Liri S.p.A., ETAS - L. Lmerti, L. Mereu, A. Nnni

28 Osservzione Le due espressioni per il prodotto A(α) A(β) rppresentno nturlmente l stess mtrice. L scelt di svolgere, Expnd, le espressioni trigonometriche o di condensrle, Collect, contriuisce semplicemente ll nostr cpcità di lettur. Un esempio Considerimo le mtrici: A= B= corrispondenti lle rotzioni Il prodotto π π α = 30º = e β = 60º = A B= 0 corrisponde ovvimente ll mtrice A π. 3. Lo spzio vettorile delle mtrici Le mtrici si moltiplicno per uno sclre e si sommno... tnto st riconoscere che formno uno spzio vettorile. Spzio di dimensione 4: inftti, dette A, B, C, D le seguenti 4 mtrici: A= 0 B C D = 0 = 0 0 = per qulsisi ltr si h: c A B cc dd d = L tell moltiplictiv Le 4 mtrici A, B, C, D considerte sopr possono essere moltiplicte fr loro ottenendo l tell moltiplictiv riportt finco, nell qule con il simolo 0 indichimo nturlmente l mtrice tutt zeri. Usimo DERIVE L tell scritt può essere ricvt nche servendosi di DERIVE: ssegnimo le quttro mtrici A, B, C, D (Cre mtrice x ecc.); ssegnimo l mtrice identic (Identity_mtrix()): U = 0 0 A B C D A A B 0 0 B 0 0 A B C C D 0 0 D 0 0 C D 8 00 RCS Liri S.p.A., ETAS - L. Lmerti, L. Mereu, A. Nnni

29 Informtic definimo il vettore: M = [U, A, B, C, D] questo punto si h: M = U, M = A, M 3 = B, M 4 = C, M 5 = D definimo l tell moltiplictiv: tvol = VECTOR(VECTOR(M i M j, j,,5),i,,5) Figur Il gruppo delle rdici n-sime dell unità Si dicono rdici n-sime dell unità i numeri complessi z tli che: z n = n È stto visto, occupndosi dei numeri complessi, che esistono n numeri complessi diversi z, z,..., z n rdici n-sime dell unità. L loro espressione con DERIVE è, d Author, l seguente: VECTOR(cos(k*pi/n)+sin(k*pi/n), k, 0, n ) Si trtt degli n numeri complessi rppresentti sul pino di vertici del poligono regolre di n lti inscritto nell circonferenz di centro l origine e rggio con un vertice nel punto A (; 0). Il grfico del poligono regolre che h tli rdici come vertici si ottiene: costruendo il vettore: VECTOR([cos(k*pi/n),sin(k*pi/n)], k, 0, n) il primo e l ultimo punto, coincidenti, servono disegnre completmente il poligono; chiedendone l semplificzione, pulsnte ; chiedendo il grfico del vettore ottenuto RCS Liri S.p.A., ETAS - L. Lmerti, L. Mereu, A. Nnni

30 Gli n numeri complessi rdici n-sime dell unità, composti fr loro con l moltipliczione, formno un gruppo di n elementi, commuttivo. Il clcolo diretto delle rdici dell unità può essere ftto con DERIVE nche prtire dll formul: che fornisce il secondo degli n vlori, ovvero il primo dopo stesso. I successivi si determinno eseguendo le successive potenze: z, z 3,..., z n = 5. Esercizi z = cos i π n + sen π n Figur 6.. Assegnte due mtrici, A e B, servendosi dell cpcità di DERIVE di clcolre le mtrici inverse, determinre l mtrice X tle che: A X = B ) Il prolem X A = B h l stess soluzione? ) Si riduc il prolem ll risoluzione di un sistem di 4 equzioni in 4 incognite che si potrà risolvere con il SOLVE di DERIVE. c) Assegnte tre mtrici, A, B, C, si consideri il prolem: A X B = C. Assegnto un primo p e ssegnt un equzione di grdo m: x m + x m = 0 si cerchino empiricmente, cioè sperimentndo con DERIVE i p vlori x = 0,,,..., p, le rdici nell ritmetic modulo p. 3. Assegnto n: ) determinre con DERIVE le n rdici complesse dell unità z, z,..., z n ; ) costruire di finco ogni z k l insieme z k, z k3, z k4,... delle reltive potenze. 6. Progrmmi I progrmmi di questo Lortorio rigurdno il gruppo delle rdici n-sime dell unità. I progrmmi consentono di riconoscere quli di tli rdici sino primitive e quli no RCS Liri S.p.A., ETAS - L. Lmerti, L. Mereu, A. Nnni

31 esercizi Leggi di composizione Quesiti. Si di l definizione di legge di composizione intern definit in un insieme e si forniscno esempi. Quli sono le proprietà di un legge di composizione intern? Si forniscno esempi di leggi che godono dell proprietà commuttiv, ssocitiv, distriutiv.. Si di l definizione di elemento neutro. Si dimostri che l elemento neutro, se esiste, è unico. 3. Si di l definizione di elemento inverso o simmetrico. Supponimo che l legge intern definit nell insieme E si ssocitiv e mmett l elemento neutro e che sino e i simmetrici di e di. Si dimostri che il simmetrico di è. 4. Si dimostri che se l legge di composizione intern è ssocitiv e mmette l elemento neutro, llor l inverso di un elemento, se esiste, è unico. Si l insieme degli interi reltivi. Per ciscun delle seguenti leggi di composizione intern, indict con il simolo *, stilire se è commuttiv, ssocitiv, se esiste l elemento neutro, se esiste il simmetrico di ogni elemento di. * = [Poiché * = * l operzione * non è commuttiv...] 4 5 * = + * = + * = 3 6 * = 3 * = + 7 * = Sino l insieme degli interi reltivi e H l insieme delle coppie (; ) con,, in cui sino definite le due leggi + e di composizione intern: (; ) + ( ; ) = ( + ; + ) (; ) ( ; ) = ( ; ) Studire le proprietà delle due leggi e stilire se l legge è distriutiv rispetto ll legge +. 9 Sino,, c numeri reli fissti, tli che 0. Si definisc in un legge di composizione intern, tle che: x y = xy + (x + y) + c ) Qule condizione devono verificre,, c, ffinché l legge si ssocitiv? ) Nel cso in cui tle condizione si verifict, mostrre che l legge mmette un elemento neutro e che ogni numero rele, eccettuto uno solo che v determinto, mmette un simmetrico. ) [Perché vlg l proprietà ssocitiv deve risultre: (x y) z = x (y z); si h: (x y) z = (xy + (x + y) + c) z = z(xy + (x + y) + c) + (xy + (x + y) + c + z) + c = = xyz + (xz + xy + yz) + x + y + z( + c) + c + c x (y z) = x (yz + (y + z) + c) = x(yz + (y + z) + c) + (x + yz + (y + z) + c) + c = = xyz + (xz + xy + yz) + z + y + x( + c) + c + c...] c + = 0; c c + + x ) e = ; x ( ) = ; x x ( + ) 3 00 RCS Liri S.p.A., ETAS - L. Lmerti, L. Mereu, A. Nnni