UNIVERSITÁ DEGLISTUDIDISALERNO C.d.L. in INGEGNERIA GESTIONALE Ricerca Operativa 12 Gennaio 2009 Prof. Saverio Salerno. Compito A

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1 1. Risolvere i seguenti problemi: 12 Gennio 2009 Compito A () stbilire se il vettore (3, 2, 0) è combinzione convess i u 1 =(3, 0, 6) e u 2 =(3, 3, 3); (b) per il poliero S = (x 1,x 2 ) R 2 :0 x 1 1, 0 x 2 2 ª, stbilire se l irezione = 1 2, 1 2 T è mmissibile in x =(0, 0) T. 2. Si consieri il poliero: S = (x 1,x 2 ) R 2 : x 2 2x 1 0, x 2 x 1 0, x 2 + x 1 0 ª. Iniviure tutti i possibili vertici e i vincoli ttivi per ogni vertice. 3. Usno il metoo el simplesso, risolvere il seguente problem i progrmmzione linere: mx x 1 + x 2, x 1 + x 3 =2, x 2 3, x 1,2,3 0. In merito ll soluzione etermint, risponere lle seguenti omne, motivno egutmente le risposte: () è possibile, ll conoscenz ell soluzione ottim el problem ssegnto, cpire qul è l soluzione ottim el problem i progrmmzione linere inter ssocito? (b) l soluzione ottim el problem è unic? (c) l soluzione ottim el problem è egenere? () (fcolttivo) iscutere come si possibile trovre geometricmente l soluzione ottim ottenut col metoo el simplesso.

2 1. Risolvere i seguenti problemi: 12 Gennio 2009 Compito B () stbilire se il vettore (3, 1, 4) è combinzione convess i u 1 =(3, 0, 6) e u 2 =(3, 3, 3); (b) per il poliero S = (x 1,x 2 ) R 2 :0 x 1 1, 0 x 2 1, x 2 x 1 0 ª, stbilire se l irezione =( 3, 0) T è mmissibile in x =(0, 1) T. 2. Per il poliero: risponere lle seguenti omne: S = (x 1,x 2 ) R 2 : x 2 + x 1 1, x 1 0, x 2 0 ª, () qul è il numero mssimo i vertici? (b) quli sono i vertici? (c) qunti vincoli sono ttivi in ogni vertice? 3. Usno il metoo el simplesso, risolvere il seguente problem i progrmmzione linere: mx x 2, 2x 1 + x 3 =1, x 2 + x 4 =2, x 1,2,3,4 0. In merito ll soluzione etermint, risponere lle seguenti omne, motivno egutmente le risposte: () si può ffermre che sicurmente l soluzione ottim el problem è unic? (b) l soluzione ottim el problem è egenere? (c) (fcolttivo) iscutere come si possibile trovre geometricmente l soluzione ottim ottenut col metoo el simplesso. Nel cso l soluzione el problem non si effettivmente unic, inicre un ltr possibile soluzione ottim.

3 UNIVERSITÁ DEGLI STUDI DI SALERNO 5 Febbrio Si to un grfo orientto G (V, E), crtterizzto 6 noi (V = {, b, c,, e, f}) e 9 rchi. A ciscun rco è ssocito un costo secono l seguente tbell: Arco (, b) (, c) (b, ) (b, e) (c, b) (, f) (e, c) (e, ) (f, e) Costo () Disegnre il grfo ell rete completno lo schem riportto nell figur: b f c e (b) Stbilire se il grfo è ciclico o ciclico pplicno il criterio ell numerzione ei noi. (c) Applicno l lgoritmo i Dijkstr, eterminre e isegnre l lbero ei cmmini minimi l noo tutti gli ltri noi. 2. Si consieri il seguente problem i progrmmzione linere: mx x 2, 2x 1 + 2x 2 + x 3 = 1, x 1 + x 2 1 2, x 1 0, x 2 0, x 3 0. () Determinre l soluzione pplicno il metoo el simplesso; (b) specificre se l soluzione, etermint l punto preceente, è egenere, motivno egutmente l rispost; (c) supponeno i ggiungere l problem i prtenz i vincoli x 1 + 2x 2 1, 2x 1 + 6x 2 + 3x 3 = 3, qul è l nuov soluzione ottim x = (x 1, x 2, x 3) T? L nuov soluzione x è egenere? 3. Si x = (1, 1, 0, 0) T un soluzione i bse mmissibile per un problem i progrmmzione linere e si (γ 1, γ 2 ) T = ( 1, 0) T il vettore ei costi riotti ssocito lle vribili fuori bse x 3 e x 4. Se il vlore ell funzione obiettivo in x è z (x ) = 10, stbilire qul è il vlore ell funzione obiettivo in x = (1, 1, 2, 2).

4 1. Risolvere i seguenti problemi: UNIVERSITÁ DEGLI STUDI DI SALERNO 27 Febbrio 2009 () Applicno il criterio i numerzione ei noi, spiegre se i grfi ell figur seguente sono ciclici o ciclici. b b e c c e (b) Si consieri un soluzione mmissibile i bse x = (0, 1, 2, 1, 0) T per l qule il vlore ell funzione obiettivo risult essere z (x) = 14, e sino γ 1 = 3 e γ 2 = 4 + h i costi riotti ssociti lle vribili fuori bse x 1 e x 5. Determinre il vlore i h per il qule l funzione obiettivo, clcolt in x = (0, 1, 0, 1, 1) T, h vlore Risolvere il seguente problem i progrmmzione linere usno il metoo el simplesso: mx 5x 1 + 5x 2, 2x 1 + x 2 + x 3 = 2, 3x 1 + 4x 2 12, x 1 0, x 2 0, x 3 0. Precisre, infine, se l soluzione ottenut risult essere unic. 3. Si consieri il poliero escritto l seguente sistem: x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 2, x 1 3x 3 = 4, x 1 0, x 2 0, x 3 0. Risponere lle seguenti omne, motivno esurientemente le risposte: () il punto ( 0, 3, 4 3) T pprtiene l poliero; (b) il punto ( 3, 0, 1 3) T è un vertice; (c) l secon e l terz colonn ell mtrice ei coefficienti formno un bse i R 2 ; () il punto ( 4, 1, 0) T è un soluzione i bse; (e) il poliero non h vertici.

5 1. Si to il poliero: 16 Aprile 2009 S = { (x 1,x 2 ) R 2 : x 1 + x 2 3, x 1 0, x 2 0 }. () Rppresentre grficmente S; (b) si verifichi che x =(0, 1) T è un punto mmissibile; (c) stbilire se l irezione =(1, 0) T è mmissibile in x. 2. Si consieri l rete in figur, ove ogni rco è ssocito un costo positivo. Usno l lgoritmo i Dijkstr, eterminre e isegnre l lbero ei cmmini minimi l noo 1 verso tutti gli ltri noi Usno il metoo el simplesso, risolvere il seguente problem i progrmmzione linere: mx 10x 1, 2x 1 + x 2 2, 3x 1 +4x 2 12, x 1,2 0.

6 UNIVERSITÁ DEGLI STUDI DI SALERNO 11 Giugno Si consieri il seguente problem i progrmmzione linere: mx 2x 1 +3x 2, 5x 1 +2x 2 15, 9x 1 +12x 2 48, x 1 0, x 2 0. () eterminre grficmente l soluzione el problem ssegnto, specificno qul è l equzione che escrive le curve i livello ell funzione obiettivo; (b) nell ipotesi che le vribili x 1 e x 2 sino entrmbe intere, clcolre l soluzione el problem usno l lgoritmo el brnch n boun. 2. Specificre qul è il numero effettivo elle soluzioni i bse mmissibili (SBA) per il poliero escritto l sistem: x 1 +2x 2 + x 3 =4, 2x 1 +4x 2 +2x 3 =8, x i 0, i=1, 2, 3. Inicre, infine, qulèilnumeroivincolittiviperognisba. 3. Determinre il ule el problem i progrmmzione linere: mx 2x 1 +4x 2, x 1 +2x 2 5, x 1 + x 2 3, x 1 0, x Si consieri il poliero convesso in form stnr efinito : 2x 1 + x 2 x 3 + x 4 =4, x 1 + x 3 x 4 =2, x i 0, i=1, 2, 3, 4. In merito ll soluzione mmissibile che si ottiene consierno in bse x 1 e x 2, eterminre l mtrice ei vincoli ttivi.

7 9 Luglio Si consieri il seguente problem i progrmmzione linere: mx x 1 + x 2, 3x 1 2x 2 6, 2x 2 3, x 1 0, x 2 0. () Determinre l soluzione el problem usno il metoo el simplesso; (b) risolvere il problem grficmente, imostrno che l soluzione ottenut èl stess etermint l punto (); (c) usno l lgoritmo el brnch n boun e supponeno che, oltre i vincoli ssegnti, x 1 e x 2 sino intere, risolvere il problem i progrmmzione linere inter ottenuto. 2. Stbilire se il poliero escritto lle equzioni: h soluzioni mmissibili i bse egeneri. x 1 +2x 2 =2, x 1 x 4 =2, x 1,2,3,4 0, 3. Si consieri il poliero convesso in form stnr efinito : 2x 1 + x 2 x 3 + x 4 =4, x 1 + x 3 x 4 =2, x i 0, i=1, 2, 3, 4. In merito ll soluzione mmissibile che si ottiene consierno in bse x 1 e x 2, eterminre le irezioni mmissibili el poliero. 4. Determinre l mtrice i incienz noi-lti el grfo rppresentto in figur: 1 2 b c 3 e 4

8 10 Settembre Si consieri il seguente problem i progrmmzione linere: mx 1 10 x x 2, x 1 +3x 2 + x 3 =1, 3x 1 +2x 2 1, x 1,2,3 0. () Clcolre l soluzione x el problem usno il metoo el simplesso; (b) risolvere nuovmente il problem con l ggiunt el vincolo x x2 2 1, stbileno se l nuov soluzione etermint coincie ncor con x. 2. Senz usre il metoo el simplesso, stbilire qul è l soluzione el seguente problem: min x 1 x 2 + x 3, 6x 1 +4x 2 + x 3 =12, 3x 1 2x 2 + x 4 =3, x i 0, i =1,..., Determinre l mtrice i incienz noi-rchi el grfo rppresentto in figur: 1 2 b c e 3 4

9 UNIVERSITÀ DEGLISTUDIDISALERNO 1 Ottobre Si consieri il seguente problem i progrmmzione linere: mx 1 2 x 1 + x 2, x 1 + x 2 + x 3 =3, 2x 1 +2x 2 + x 4 =6, x 1,2,3,4 0. Determinre l su soluzione x col metoo el simplesso in merito lle seguenti iniczioni: () per l prim iterzione, consierre in bse le vribili x 1 e x 3 ; (b) se c è rbitrrietà i scelt per l entrt (risp. uscit) i ue vribili x i e x j, scegliere l vribile per cui i<j(risp. i>j). Dopo ver clcolto x, risponere lle seguenti omne, motivno esurientemente le risposte: l soluzione x è egenere? Qunti vincoli sono ttivi in x? È possibile eterminre un coppi i vribili in bse cui corrispone un soluzione ottim per l qule il vettore ei costi riotti h qulche componente negtiv? 2. Determinre il ule el seguente problem: mx x 1 + x 2 + x 3 + x 4, 2x 1 + x 2 +2x 3 + x 4 1, 3x 2 +4x 3 2, 4x 1 +2x 2 + x 3 +2x 4 3, x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4, x i 0, i =1,..., Determinre l list i icenze el grfo G (V,E) vente rppresentzione estensiv: V = {1, 2, 3, 4, 5}, E = {(1, 2), (1, 3), (3, 2), (2, 4), (3, 5), (4, 5)}.

10 29 Ottobre Stbilire se esiste un vlore h R per cui il vettore ( ) 2h +1 convess ei vettori (1, 1, 3), h, h, e(2h, 0, 1) Si consieri il problem P i progrmmzione linere: min 3x 1 x 2, x 1 + x 2 2, x 1 x 2 1, x 1,2 0. ( 1 3, 1 3, 13 ) 9 () Risolvere P grficmente, specificno se è illimitto; (b) eterminre il ule D i P ; (c) risolvere D grficmente, e stbilire se è illimitto o impossibile. 3. Determinre il vlore più piccolo ello sclre k per cui il poliero P = { x R 3 : x 1 + x 3 =2, x 1 0, 0 x 2 3, x 3 0 } h intersezione non vuot con l iperpino L = { x R 3 : x 1 x 2 = k }. è un combinzione

11 UNIVERSITÀ DEGLISTUDIDISALERNO 26 Novembre Dto il grfo in figur, eterminre il verso elle frecce reltive gli rchi trtteggiti in moo tle che l corrisponente rete non bbi cicli. Dimostrre l ciclità el grfo ottenuto usno il criterio i numerzione ei noi. bc bc 2. Iniviure gli intervlli i concvità e convessità ell funzione f (x) =x log x x Determinre mssimi e minimi ell funzione f (x, y) =sinx sin y sottopost l vincolo ϕ (x, y) = π x y, 0 x 2π Risolvere il seguente problem i progrmmzione linere con il metoo el simplesso: mx 4x 1 +3x 2, 6x 1 +2x 2 +4x 3 + x 4 =1, 2x 1 +4x 2 +2x 3 + x 5 =1, x i 0, i=1,..., 5. Risponere, infine, lle seguenti omne, motivno egutmente le risposte: () l soluzione el problem è unic? (b) qunti vincoli sono ttivi nell soluzione el problem?