Risoluzione. dei triangoli. e dei poligoni

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1 UNITÀ Risoluzione dei tringoli e dei poligoni TEORI Relzioni tr lti e ngoli di un tringolo qulunque (sleno) riteri per risolvere i tringoli qulunque 3 re dei tringoli 4 erhi notevoli dei tringoli 5 ltezze, medine e isettrii 6 Proprietà geometrihe dei poligoni 7 si di risoluzione dei qudrilteri 8 Risoluzione dei poligoni 9 re dei poligoni 0 Prolem dell distnz inessiile RISSUMENDO LORTORIO INFORMTIO utod Risoluzione di un tringolo ssegnti i tre lti UTOVLUTZIONE lmy Imges È noto he l trigonometri è l sienz mtemti he studi le relzioni fr ngoli e lti di un tringolo. Quest figur geometri elementre trov molti riferimenti nell rte in generle e nell rhitettur in prtiolre, ome mostr quest immgine, reltiv un prtiolre dell opertur dell Gret Hll del ritish Museum, Londr. opyright 0 Znihelli editore S.p.., ologn [597] Questo file è un estensione online del orso nnrozzo, uhirini, Meshieri, Misure, rilievo, progetto

2 UNITÀ RISOLUZIONE DEI TRINGOLI E DEI POLIGONI. Relzioni tr lti e ngoli di un tringolo qulunque (sleno) Proprietà dei tringoli Gli elementi di un tringolo qulunque sono i tre lti e i tre ngoli. Per onvenzione i vertii di un tringolo sono inditi on lettere miusole, in genere,,, mentre on le lettere minusole orrispondenti,,,, si indino i lti opposti i rispettivi vertii (PFIGUR ). Infine, on le lettere minusole dell lfeto greo,,, vengono indite le mpiezze degli ngoli on i vertii rispettivmente in,,. L geometri i fornise le seguenti proprietà fondmentli reltive gli elementi di un tringolo qulunque: F Q P Sono suffiienti tre elementi per risolvere un tringolo sleno? Sì, purhé lmeno uno di essi si un lto (o ltro elemento linere).. L somm degli ngoli interni di un tringolo è ugule ll ngolo pitto: + + = 00. In ogni tringolo isun lto è minore dell somm degli ltri due e mggiore dell loro differenz (per esempio, + e nhe - ). 3. In ogni tringolo l relzione di uguglinz o disuguglinz he interorre tr due lti vle nhe per gli ngoli rispettivmente opposti (per esempio, se srà nhe ). I teoremi per l risoluzione dei tringoli Oiettivo dell trigonometri è quello di lolre le misure degli elementi inogniti di un tringolo, qundo sino dti tre elementi, tr i quli lmeno uno deve essere un lto. Per rggiungere questo oiettivo, si devono stilire le relzioni he legno le misure dei lti del tringolo on i vlori delle funzioni goniometrihe dei suoi ngoli. Nei prgrfi preedenti queste relzioni sono già stte determinte per i tringoli rettngoli. Perltro, si potreero utilizzre tli relzioni nhe per risolvere un tringolo qulunque; in effetti, on isun delle tre ltezze di un tringolo qulunque, si individuno due tringoli rettngoli (PFIGUR ), i quli, risolti seprtmente, permettono di definire gli elementi inogniti del tringolo qulunque. Tuttvi questo modo di proedere, nel so dei tringoli qulunque, è poo onveniente. In effetti esistono i seguenti teoremi fondmentli on i quli si stilisono FIGUR Gli elementi fondmentli di un tringolo: vertii (,, ), lti (,, ) e ngoli (,, ). Per onvenzione i lti sono inditi on le lettere minusole orrispondenti quelle miusole dei vertii opposti. opyright 0 Znihelli editore S.p.., ologn [597] Questo file è un estensione online del orso nnrozzo, uhirini, Meshieri, Misure, rilievo, progetto

3 MODULO LO STUDIO DELLE FIGURE PINE F Q P Il teorem dei seni e quello di rnot, sono i soli he stilisono relzioni tr gli elementi di un tringolo? No, esistono ltri teoremi il ui impiego, tuttvi, er ongenile strumenti di lolo oggi ndonti. le relzioni he interorrono tr gli elementi di un tringolo qulunque; on essi si possono risolvere i tringoli in modo più rpido e più semplie: teorem dei seni; teorem di rnot; teorem di Nepero; formule di riggs. Preisimo he l trttzione degli ultimi due rgomenti (teorem di Nepero e formule di riggs) non verrà ffrontt. Nell prti, inftti, essi trovvno impiego in pssto qundo i loli si effettuvno on l uso delle tvole logritmihe, mentre ttulmente l uso delle loltrii h reso tli teoremi non essenzili: essi si preferisono i primi due teoremi, on i quli è possiile risolvere qulsisi prolem trigonometrio. Teorem dei seni ostruzione del erhio irosritto onsiderimo il tringolo qulunque di vertii. Esso è sempre insriviile in un erhio, he viene himto irosritto, il ui entro O è il punto di intersezione degli ssi dei tre lti (PFIGUR ). llor ogni lto può essere onsiderto ome un ord dell ironferenz irosritt, e ogni ngolo ome ngolo ll ironferenz he insiste sull ord oinidente on il lto esso opposto. D un vertie qulunque del tringolo, per esempio dl vertie, trimo il dimetro R del erhio irosritto (PFIGUR ); indihimo on l il punto d inontro tr questo dimetro e l ironferenz. ongiungendo l on i vertii e, si ottengono i due tringoli rettngoli l e l (gli ngoli l X e l X sono retti in qunto ngoli ll ironferenz sottesi un ro pri ll semiiron - ferenz, il ui ngolo l entro è pitto). Inoltre l mpiezz dell ngolo [ l è ugu le quell dell ngolo &, in qunto entrmi sono ngoli ll ironferenz sot tesi llo stesso ro di ord ; per le stesse rgioni si h he [ l =. onsiderndo i tringoli rettngoli definiti in preedenz, possimo esprimere per isuno di essi l ipotenus l = R he hnno in omune: R = e R = sen sen Se poi, in modo del tutto nlogo, trimo il dimetro R del erhio irosritto, pssnte per il vertie (o il vertie ), e ripetimo le onsiderzioni geometrihe sopr sviluppte, possimo srivere: R = e R = sen sen FIGUR ostruzione grfi del erhio irosritto l tringolo, onness l teorem dei seni. Il suo entro è individuto dll intersezione degli ssi dei tre lti del tringolo. O ) ) R O 3 opyright 0 Znihelli editore S.p.., ologn [597] Questo file è un estensione online del orso nnrozzo, uhirini, Meshieri, Misure, rilievo, progetto

4 UNITÀ RISOLUZIONE DEI TRINGOLI E DEI POLIGONI Enunito del teorem dei seni ominndo le relzioni preedentemente sritte, si ottengono filmente le seguenti: = = = R () sen sen sen Le relzioni () sintetizzno il teorem dei seni, il ui enunito può essere osì formulto: in un tringolo il rpporto tr un lto e il seno dell ngolo opposto è ostnte ed è ugule l dimetro del erhio irosritto. F Q P L enunito del teorem dei seni fferm he il rpporto tr un lto e il seno dell ngolo opposto è un ostnte. os rppresent quest ostnte? Il dimetro del erhio irosritto l tringolo. Il teorem dei seni è stto dimostrto onsiderndo un tringolo utngolo (on entro O interno l tringolo), tuttvi esso rimne perfettmente vlido nhe per tringoli ottusngoli (on entro O esterno l tringolo), per i quli si omette l dimostrzione, del tutto nlog quell ppen illustrt. Enunito lterntivo del teorem dei seni Nelle relzioni (), permutndo i medi, si possono srivere le stesse relzioni in un form divers ottenendo: sen = sen sen = sen sen = (l) sen Quindi il teorem dei seni può nhe essere formulto nel seguente modo lterntivo: in un tringolo il rpporto tr due lti è ugule l rpporto tr i vlori del seno degli ngoli opposti. Il teorem dei seni ppre l prim volt in pplizioni geometrihe di mtemtii ri nel X se., m solo nel XIV se. il mtemtio frnese L.. Gerson fornise l dimostrzione he è stt desritt, st sul erhio irosritto. Nel Setteento, poi, nhe il mtemtio svizzero Leonrdo Eulero, nell su strordinri produzione sientifi, ffront l dimostrzione del teorem dei seni dndone un divers ulteriore versione. Teorem di rnot (o del oseno) ostruzione geometri sul tringolo on il teorem dei seni, il teorem di rnot è di fondmentle importnz per l risoluzione trigonometri dei prolemi geometrii. Esso, di ftto, rppresent l estensione del teorem di Pitgor per i tringoli qulunque. onsiderimo il tringolo di PFIGUR 3 e trimo l ltezz H reltiv l lto. Ess divide il tringolo nei due tringoli rettngoli H e H. pplindo il teorem di Pitgor l primo di questi, si h: = H + H onsiderndo poi il tringolo rettngolo H, possimo srivere: H = sen e H = - os on iò l preedente relzione divent: = ( sen ) + ( - os ) = sen + + os - os = (sen + os ) + - os opyright 0 Znihelli editore S.p.., ologn [597] Questo file è un estensione online del orso nnrozzo, uhirini, Meshieri, Misure, rilievo, progetto 4

5 MODULO LO STUDIO DELLE FIGURE PINE H FIGUR 3 L ltezz H divide il tringolo nei due tringoli rettngoli H e H. FIGUR 4 Le indizioni onvenzionli utilizzte nel tringolo. Riordndo l relzione fondmentle (8) dell unità, si h: = + - os () Ripetendo il rgionmento on le ltre ltezze del tringolo si ottiene filmente: = + - os = + - os (l) Enunito del teorem di rnot Sull se delle () e (l) possimo formulre il seguente enunito del teorem di rnot: in un tringolo, il qudrto dell lunghezz di un lto è ugule ll somm dei qudrti delle lunghezze degli ltri due lti, dedott del doppio prodotto delle lunghezze di questi lti per il oseno dell ngolo tr essi ompreso. Il teorem di rnot può nhe venire espresso in un ltr form, ltrettnto importnte, ottenut dlle () e (l) isolndo i oseni: os = + - os = + - (3) 5 F Q P Il teorem di rnot in pssto veniv poo utilizzto. Perhé? Perhé non è dttile l lolo logritmio on ui si sviluppvno i loli in mito topogrfio prim dell disponiilità delle loltrii. os = + - Il teorem di rnot er poo usto fino d luni nni or sono, in qunto non esprimiile in form logritmi e periò diffioltoso d utilizzre senz ppropriti strumenti di lolo. l ontrrio, on l vvento delle loltrii e on il onseguente supermento di ogni prolem onnesso llo sviluppo di qulsisi lolo, il teorem di rnot è il più utilizzto per risolvere molti prolemi trigonometrii. Questo teorem viene ttriuito l mtemtio frnese Lzre rnot (753-83), pdre del più noto fisio Sdi rnot. Tuttvi, in reltà, semr he questo teorem si d srivere l mtemtio e uomo politio frnese Frnçois Viète ( ), fondtore del lolo lgerio letterle. opyright 0 Znihelli editore S.p.., ologn [597] Questo file è un estensione online del orso nnrozzo, uhirini, Meshieri, Misure, rilievo, progetto

6 UNITÀ RISOLUZIONE DEI TRINGOLI E DEI POLIGONI. riteri per risolvere i tringoli qulunque I teoremi visti nel prgrfo preedente, opportunmente utilizzti, permettono l risoluzione dei tringoli, ioè il lolo degli elementi inogniti di un tringolo, onosendo tre di essi, lmeno uno dei quli deve essere un lto (o, quntomeno, un elemento linere). In effetti l onosenz dei soli ngoli non è suffiiente per determinre i tre lti inogniti, in qunto esistono infiniti tringoli, simili tr loro, he hnno gli stessi ngoli. Prim di proedere ll risoluzione dei tringoli, ome perltro di ogni figur pin, è ene ontrollre he gli elementi ssegnti sino omptiili on il prolem; llo sopo oorre verifire le proprietà generli enunite ll inizio del prgrfo. Inoltre è sempre romndile fr preedere l lolo nlitio eseguito on l loltrie, l ostruzione grfi dell figur ssegnt in sl opportun. iò permetterà di vlutre meglio il prolem, di evitre grossolni errori di interpretzione, e nhe un primo rpido ontrollo dei loli effettuti. In relzione i dti ssegnti, nell risoluzione dei tringoli si rionosono quttro si fondmentli, he esmineremo nel seguito. F Q P È risolviile un tringolo del qule sino noti i tre ngoli interni? No, esistono infiniti tringoli he posseggono gli stessi ngoli interni. ffinhé il tringolo si risolviile oorrono sì tre elementi, m lmeno uno di essi deve essere un lto o, omunque, un elemento non ngolre. so (noti due ngoli e un lto) Dto il tringolo di PFIGUR 5, supponimo di onosere, per esempio, gli ngoli e e l misur del lto. Voglimo determinre gli elementi inogniti:, e. Si h suito: = 00 - ( + ) I lti e si rivno pplindo due volte il teorem dei seni: = e = sen sen sen sen d ui segue: sen sen = = sen sen FIGUR 5 so : tringolo di ui sono noti gli ngoli e e il lto. FIGUR 6 so : tringolo di ui sono noti i lti e e l ngolo ompreso. opyright 0 Znihelli editore S.p.., ologn [597] Questo file è un estensione online del orso nnrozzo, uhirini, Meshieri, Misure, rilievo, progetto 6

7 MODULO LO STUDIO DELLE FIGURE PINE F Q P Nell risoluzione dei tringoli sleni, per lolre un ngolo è più onveniente utilizzre l funzione roseno o l funzione rooseno? Qundo è possiile è siurmente più onveniente usre l funzione rooseno (dunque il teorem di rnot), in qunto evit l miguità impliit nel l funzione roseno (teorem dei seni). PPLIZIONE Prolem Determinre gli elementi inogniti di un tringolo del qule si onose l misur del lto = = 4,76 m, l ngolo = 83,60 e l ngolo = 69,7. Soluzione = 00 - (83, ,7) = 46,68 4, 76 sen 83, 60 = = 80, 5 m sen 46, 68 4, 76 sen 69, 7 = = 65, 7 m sen 46, 68 so (noti due lti e l ngolo ompreso) Dto il tringolo di PFIGUR 6, supponimo di onosere i lti e, oltre ll ngolo. Voglimo determinre gli elementi inogniti:, e. I modi per risolvere questo prolem sono molteplii, tuttvi, on gli ttuli mezzi di lolo, il più onveniente è siurmente quello he prevede il lolo del lto on il teorem di rnot. In effetti dll seond delle (l) si h: = + - os Poi, on il teorem dei seni, si riv: sen = sen d ui: = rsen f sen p sen = sen d ui: = rsen f sen p Tuttvi, l uso dell funzione invers roseno, nell mito dell risoluzione dei tringoli qulunque, rihiede prtiolri preuzioni. Inftti il vlore dell roseno fornito dll loltrie è un ngolo (per esempio ) inferiore 00 ; tuttvi nhe il suo ngolo ssoito supplementre (00 - ), oltre soddisfre l prim delle relzioni preedenti, può essere un ngolo del tringolo (in questo so ottusngolo), per ui non lo si può esludere priori. Oorrerà llor, in questo so, ontrollre qule, fr i due vlori e 00 -, soddisf le proprietà dei tringoli viste ll inizio del prgrfo, per poter stilire qule dei due ngoli risolve il prolem. Esiste, però, il modo di evitre tle miguità, pplindo di nuovo il teorem di rnot, dopo ver lolto, nhe per determinre gli ngoli e, quest volt usndo l form vist nelle (3); in effetti si h: os = d ui: = ros f p os = d ui: = ros f p L funzione invers rooseno, inftti, fornise un vlore ompreso tr 0 e 00, mentre l ngolo ssoito (he h lo stesso vlore del oseno, nhe 7 opyright 0 Znihelli editore S.p.., ologn [597] Questo file è un estensione online del orso nnrozzo, uhirini, Meshieri, Misure, rilievo, progetto

8 UNITÀ RISOLUZIONE DEI TRINGOLI E DEI POLIGONI in segno), si trov nel IV qudrnte, per ui non può essere l ngolo di un tringolo, eliminndo on iò qulsisi miguità. Fimo poi notre he, lolndo entrmi gli ngoli e on le espres sioni preedenti, si può nhe eseguire l verifi del lolo, ontrollndo he si + + = 00. PPLIZIONE Prolem Determinre gli elementi inogniti di un tringolo del qule si onose l misur del lto = = 76,0 m, quell del lto = =,40 m e l ngolo = 8,5770. F Q P Nell risoluzione dei tringoli qulunque, qule onfigurzione di dti ssegnti può dr luogo diverse soluzioni? Qundo sono noti due lti e un ngolo diente l lto inognito. Soluzione =, , 0 - $ 76, 0 $, 40 $ os8, 5770 = 4, 64 m 4, , 0 -, 40 = ros f $ 76, 0 $ 4, 64 4, 64 +, 40-76, 0 = ros f $, 40 $ 4, 64 p = 77, 496 p = 40, 0038 Per ontrollo si h: 8, , ,0038 = 00,0004, 00 so 3 (noti due lti e un ngolo diente l lto inognito) In PFIGUR 7 viene rppresentto il tringolo del qule immginimo noti, per esempio, i lti e e l ngolo opposto l lto. Doimo determinre gli elementi inogniti, e. Possimo senz ltro supporre! e! 00, perhé in questo so il tringolo sree rispettivmente del tipo isosele o rettngolo, he sppimo filmente risolvere. iò premesso, pplindo il teorem dei seni si ottiene: sen = sen quindi = rsen f sen p (4) Si h poi = 00 - ( + ), quindi, nor on il teorem dei seni, si ottiene il terzo lto: sen sen = oppure = sen sen FIGUR 7 so 3: tringolo di ui sono noti i lti e e l ngolo diente l lto inognito. È il so più omplesso perhé può dre luogo più soluzioni. opyright 0 Znihelli editore S.p.., ologn [597] Questo file è un estensione online del orso nnrozzo, uhirini, Meshieri, Misure, rilievo, progetto 8

9 MODULO LO STUDIO DELLE FIGURE PINE L soluzione propost, perltro l uni possiile, rihiede lune riflessioni. In effetti, nell pplire l (4) possono verifirsi i seguenti si: sen sen sen Il prolem è mnifestmente impossiile in qunto non esiste l roseno di un numero mggiore di. = L ngolo è retto e quindi si trtt di un tringolo rettngolo. Il vlore di non è univoo in qunto può trovrsi si nel I he nel II qudrnte, per qunto detto in preedenz. In quest ultimo so, he è poi quello più frequente, possono verifirsi le seguenti ondizioni: dei due vlori di uno è inomptiile on i dti del prolem, pertnto il vlore he soddisf il prolem è l ltro. Per esempio, si suppong he si = 0 e he poss ssumere i due vlori 40 e (00-40 ) = 60. Il vlore 60 è inomptiile on il vlore di = 0 perhé l somm + sree mggiore di 00 ; in questo so il vlore he risolve il prolem è = 40. I due vlori di sono entrmi omptiili on il vlore di ; in questo so si vrnno due soluzioni del prolem, he dnno luogo due tringoli distinti. È questo un so di miguità he l trigonometri non risolve. PPLIZIONE Prolem Determinre gli elementi inogniti di un tringolo del qule si onosono le misure dei lti = 695,8 m e = 453,34 m, oltre quell dell ngolo = 39,085. Soluzione e nhe: 695, 8 = rsen f sen 39, 085 p = 68, , 34 = 00-68,944 = 3,0559 Entrmi i vlori lolti per sono omptiili on il vlore ssegnto di, per ui si hnno due distinti tringoli he soddisfno i vlori ssegnti. Quindi si vrà: = 00 - (39, ,944) = 9,9744 = 00 - (39, ,0559) = 9, , 8 sen 9, 9744 = = 780, 73 m sen 68, , 8 sen 9, 866 = = 355, 76 m sen 68, 944 so 4 (noti i tre lti) In questo so gli elementi inogniti sono i tre ngoli; essi possono essere determinti on il teorem di rnot, espresso nell form delle relzioni (3). onsiderndo il tringolo di PFIGUR 8, sino note le misure dei lti, e. pplindo il teorem di rnot, si h: 9 opyright 0 Znihelli editore S.p.., ologn [597] Questo file è un estensione online del orso nnrozzo, uhirini, Meshieri, Misure, rilievo, progetto

10 UNITÀ RISOLUZIONE DEI TRINGOLI E DEI POLIGONI FIGUR 8 so 4: tringolo di ui sono noti i tre lti. + - = ros Trovto, si potreero lolre e utilizzndo il teorem dei seni. Tuttvi, per evitre l miguità onness on l funzione invers roseno, è onsigliile ontinure utilizzre il teorem di rnot. In effetti si h: = ros = ros PPLIZIONE Prolem Determinre gli elementi inogniti di un tringolo del qule si onosono le misure dei lti = 3,48 m, = 94,5 m e =,40 m. Soluzione, , 5-3, 48 = ros f $, 40 $ 94, 5, , 48-94, 5 = ros f $, 40 $ 3, 48 3, , 5 -, 40 = ros f $ 94, 5 $ 3, 48 Per ontrollo si h: 87, , ,797 = 00. p = 87,0858 p = 49,7345 p = 63,797 Sintesi dei si di risoluzione dei tringoli qulunque Per sintetizzre i si onnessi ll risoluzione dei tringoli sleni preedentemente esminti, proponimo nell PTELL i reltivi prolemi di riferimento. 3. re dei tringoli Sppimo dll geometri he l re di un tringolo è ugule l semiprodotto di un se per l rispettiv ltezz; on riferimento ll PFIGUR 9, si h: S = h opyright 0 Znihelli editore S.p.., ologn [597] Questo file è un estensione online del orso nnrozzo, uhirini, Meshieri, Misure, rilievo, progetto 0

11 MODULO LO STUDIO DELLE FIGURE PINE TELL Shemi risolutivi dei tringoli qulunque so Shem geometrio Elementi noti Soluzione lto () = 00 - ( + ) ngoli (, ) $ sen = $ sen = sen sen lti (, ) = + - os + - ngolo ompreso () = ros = 00 - ( + ) 3 lti (, ) = rsen f sen p (*) ngolo non ompreso () = 00 - ( + ) $ sen = sen (*) Rihiede l verifi delle due soluzioni e 3 lti (,, ) + - = ros = ros = 00 - ( + ) Tuttvi, l trigonometri i fornise l opportunità di lolre direttmente l re del tringolo, senz isogno di onosere l ltezz, nei tre seguenti si: noti due lti e l ngolo ompreso; noto un lto e gli ngoli dienti; noti i tre lti. Questi si dnno luogo formule lrgmente uste nell prti dell nostr disiplin, e he pertnto devono essere riordte. F Q P Perhé l re dei tringoli viene espress in tre diversi formti? Perhé isuno di essi utilizz diversi elementi geometrii, he si dttno meglio in erti miti piuttosto he in ltri. so (noti due lti e l ngolo ompreso) ssndo dl vertie l ltezz h (PFIGUR 9), rimngono definiti due tringoli rettngoli. Dl primo di questi si h: h = sen. Sostituendo nell formul preedente si ottiene: S = sen (5) L re di un tringolo è ugule l semiprodotto di due lti per il seno dell ngolo ompreso fr essi. opyright 0 Znihelli editore S.p.., ologn [597] Questo file è un estensione online del orso nnrozzo, uhirini, Meshieri, Misure, rilievo, progetto

12 UNITÀ RISOLUZIONE DEI TRINGOLI E DEI POLIGONI h FIGUR 9 Per il lolo dell re di un tringolo, l geometri rihiede l onosenz dell ltezz h reltiv un se. L trigonometri i fornise formule in grdo di lolre l re del tringolo senz onosere direttmente l ltezz. In modo del tutto nlogo si ottiene: S = sen S = sen so (noto un lto e gli ngoli dienti) Riordndo he per il teorem dei seni si h: sen sen = = sen sen sostituendo nell (5) e riordndo he sen = sen [00 - ( + )] = sen ( + ) si ottiene: sen sen S = sen ( + ) = otg + otg (6) on onsiderzioni nloghe si ottiene nhe: sen sen sen sen S = S = sen ( + ) sen ( + ) Formul di Erone so 3 (noti i tre lti) onosendo l lunghezz dei tre lti di un tringolo (,, ), è possiile ottenere l su re on l seguente espressione: S = p ( p - ) ( p - ) ( p - ) (7) Quest espressione è not ome formul di Erone e, ome detto, esprime l re del tringolo in funzione dei suoi lti (p rppresent il semiperimetro). 4. erhi notevoli dei tringoli Dto un tringolo, è sempre possiile ostruire i seguenti erhi: il erhio irosritto, il erhio insritto e i tre erhi ex-isritti. Di seguito illustreremo le modlità per determinrne i loro rggi e, soprttutto, le loro proprietà. opyright 0 Znihelli editore S.p.., ologn [597] Questo file è un estensione online del orso nnrozzo, uhirini, Meshieri, Misure, rilievo, progetto F Q P Qule rtteristi possiede l formul di Erone per il lolo dell re di un tringolo? Rihiede l onosenz dei tre lti, dunque non è neessri l onosenz di ngoli o ltezze.

13 MODULO LO STUDIO DELLE FIGURE PINE erhio irosritto In un tringolo gli ssi dei lti si interseno in un punto, himto iroentro, he è il entro del erhio irosritto, pssnte per i tre vertii del tringolo. Le formule he esprimono l misur del rggio del erhio irosritto un tringolo sono immedit onseguenz del teorem dei seni; in effetti, dlle formule (), evidenzindo R si h: R = = = (8) sen sen sen erhio insritto erhio insritto Le isettrii dei tre ngoli di un tringolo si inontrno in un punto O (PFIGUR 0), detto inentro, he ostituise il entro del erhio insritto, tngente i tre lti del tringolo. Le isettrii dividono il tringolo nei tre tringoli O, O, O; l somm delle ree di questi tringoli deve essere ugule ll re omplessiv del tringolo. Si potrà periò srivere: d ui segue: S = R R R R R ( ) p + + = + + = S R = (9) p onsiderndo poi i punti di tngenz del erhio insritto on i lti dei tringoli, inditi on G, H, L, d semplii onsiderzioni geometrihe si ottiene: H = G = p - G = L = p - H = L = p - (0) p / / p H L p R R p O / R / / / G FIGUR 0 erhio insritto in un tringolo. Esso possiede importnti proprietà geometrihe, molto utili in mito topogrfio. p p 3 opyright 0 Znihelli editore S.p.., ologn [597] Questo file è un estensione online del orso nnrozzo, uhirini, Meshieri, Misure, rilievo, progetto

14 UNITÀ RISOLUZIONE DEI TRINGOLI E DEI POLIGONI Di onseguenz possimo formulre il seguente enunito. L distnz tr il punto di tngenz del erhio insritto di vertii del tringolo è ugule l semiperimetro del tringolo, dedotto il lto opposto quello del vertie ui è riferit l distnz. Di tringoli rettngoli OG (retto sul punto di tngenz G), OG e OH, si h: F Q P D he os è definito il entro del erhio insritto un tringolo? Dll intersezione delle isettrii dei tre ngoli. esso viene ssegnto il nome di inentro. R = ( p - ) tg R = ( p - ) tg R = ( p - ) tg Queste relzioni ostituisono un ulteriore modo di lolre il rggio del erhio insritto dei tringoli. erhi ex-insritti I erhi ex-insritti un tringolo (ex è l ontrzione del voolo ltino extr = esterno) sono tngenti un lto e i prolungmenti degli ltri due; si hnno periò tre erhi ex-insritti (PFIGUR ) in ogni tringolo. FIGUR I tre erhi ex-insritti di un tringolo. ome de nel erhio insritto, essi possiedono importnti proprietà geometrihe, utili nell mito topogrfio. O O / / R R / / H / / R N M R R O opyright 0 Znihelli editore S.p.., ologn [597] Questo file è un estensione online del orso nnrozzo, uhirini, Meshieri, Misure, rilievo, progetto 4

15 MODULO LO STUDIO DELLE FIGURE PINE F Q P Le proprietà dei erhi notevoli di un tringolo sono utili in mito topogrfio? Sì, sono molto utili, per esempio, nello studio delle urve strdli. erhi ex-insritti Per esempio, il erhio ex-insritto del tringolo reltivo l lto = srà tngente l lto nel punto H e i prolungmenti dei lti e rispettivmente in M e N. Il suo entro O è il punto d inontro dell isettrie dell ngolo on le isettrii degli ngoli l e l, supplementri di e. nlogmente si ostruisono gli ltri due erhi ex-insritti. L re S del tringolo può essere ottenut dlle ree dei tringoli O, O e O ; in effetti si h: S = S O + S O - S O, e, più preismente: R R R R S = + - = ( + - ) È poi file verifire he ( + - ) = (p - ), quindi dll relzione preedente si ottiene: R = S ( p - ) () nlogmente si possono rivre i rggi degli ltri erhi ex-insritti: R = S S R = ( p - ) ( p - ) (l) onsiderimo or il punto di tngenz H del erhio ex-insritto on il lto, e i punti M e N, punti di tngenz dello stesso erhio rispettivmente on i prolungmenti dei lti e. seguito di lune riflessioni di rttere geometrio e di luni pssggi lgerii, si ottengono le seguenti relzioni: M = p e N = p () Generlizzndo è possiile formulre il seguente enunito. L distnz tr un vertie di un tringolo e i punti di tngenz dei prolungmenti dei lti on un erhio ex-insritto è ugule l semiperimetro del tringolo stesso. Sfruttndo quest proprietà dei erhi ex-insritti, possimo lolre i rggi degli stessi erhi in un modo più rpido ed elegnte. In effetti, possimo onsiderre, per esempio, il tringolo rettngolo MO, retto in M. Il rggio R è un teto di questo tringolo, mentre l ltro teto è ugule l semiperimetro del tringolo ; quindi si h: R = p tg e nhe: R = p tg R = p tg PPLIZIONE Prolem Del tringolo (PFIGUR ) sono note le misure dei tre lti: = 76,844 m, = 78,789 m, = 99,80 m. Determinre l distnz tr i punti O e O, rispettivmente entro del erhio insritto l tringolo e entro del erhio ex-insritto reltivo l lto =. Soluzione Osservndo he i punti, O, O sono disposti sull stess rett, he oinide on l isettrie dell ngolo, si h: 5 opyright 0 Znihelli editore S.p.., ologn [597] Questo file è un estensione online del orso nnrozzo, uhirini, Meshieri, Misure, rilievo, progetto

16 UNITÀ RISOLUZIONE DEI TRINGOLI E DEI POLIGONI V FIGUR Tringolo di ui sono noti i tre lti e per il qule oorre lolre l distnz tr il entro del erhio insritto e il entro del erhio ex-insritto reltivo l lto. O M O R / R / N Z 99, , , 844 = rosf $ 99, 80 $ 78, 789 p = 54,7364 = 7,368 99, , , 844 p = = 7, 77 m = Z per le () N = p - = 7,77-76,844 = 50,873 m per le (0) Di tringoli rettngoli ZO e NO : O O = 7, 77 = 40, 50 m os 7, 368 = 50, 873 = 55, 965 m os 7, 368 O O = 40,50-55,965 = 84,536 m Si osservi ome il prolem si stto risolto senz lolre i rggi dei erhi, m solo riorrendo lle proprietà degli stessi. 5. ltezze, medine e isettrii Ogni tringolo possiede tre ltezze, tre medine e tre isettrii. Queste terne di prmetri geometrii, poi, si interseno in punti notevoli e signifitivi he in seguito verrnno inditi. ltezze Le tre ltezze di un tringolo (PFIGUR 3) si interseno in un punto T himto ortoentro. isun di esse divide il tringolo in due tringoli rettngoli, onsiderndo i quli è possiile esprimere le ltezze nel seguente modo: h = sen = sen h = sen = sen h = sen = sen opyright 0 Znihelli editore S.p.., ologn [597] Questo file è un estensione online del orso nnrozzo, uhirini, Meshieri, Misure, rilievo, progetto 6

17 MODULO LO STUDIO DELLE FIGURE PINE FIGUR 3 Prmetri geometrii di un tringolo: ) ltezze; ) medine; ) isettrii. T h /3 m h h m G /3 λ m H / M ) ) / / / O T ortoentro G rientro O inentro / / n n N n / / ) Medine e isettrii Medine Le medine di un tringolo (PFIGUR 3) sono quei segmenti he ollegno isun vertie on il punto medio del lto opposto. Esse si interseno in un punto G he è il rientro del tringolo. Indindo on m l misur dell medin M reltiv l lto, ess può venire lolt sempliemente risolvendo il tringolo M o quello M. Tuttvi, possimo filmente trovre un espressione he i fornis il vlore dell misur dell medin in funzione dei soli lti del tringolo on l seguente espressione: nlogmente si h: m = + - m = + - m = F Q P D he os è definito il rientro di un tringolo? Dll intersezione delle medine dei tre lti. Esso, inoltre, si trov, su isun medin, un distnz dl rispettivo vertie pri i /3 dell lunghezz di ogni medin. È poi importnte riordre he il punto G di intersezione delle tre medine (il rientro del tringolo) divide isun medin in due segmenti lunghi rispettivmente /3 e /3 dell misur delle medine stesse; per esempio si h: G = ( /3) m e GM = ( /3) m. Segnlimo, infine, he non solo le tre medine si inontrno nel rientro del tringolo, he le tre ltezze si inontrno nell ortoentro e he i tre ssi si inontrno nel iroentro, m questi tre punti risultno nhe llineti, e l rett he li ongiunge viene dett rett di Eulero. L dimostrzione dell llinemento di tli punti notevoli è dovut Lzre rnot (803). opyright 0 Znihelli editore S.p.., ologn [597] Questo file è un estensione online del orso nnrozzo, uhirini, Meshieri, Misure, rilievo, progetto

18 UNITÀ RISOLUZIONE DEI TRINGOLI E DEI POLIGONI isettrii Le isettrii di un tringolo (PFIGUR 3) sono individute di segmenti he giiono sull isettrie geometri di isun ngolo del tringolo, e he hnno per estremi i vertii e i punti d intersezione delle isettrii geometrihe on i lti opposti. Se indihimo on n l misur dell isettrie del tringolo reltiv ll ngolo, ess è l lunghezz del segmento N (n = N ); nlogmente si possono definire le misure delle ltre due isettrii n e n. Oorre poi fre ttenzione non onfondere l isettrie di un tringolo, reltiv un erto ngolo, he viene definit ome un segmento, on l isettrie geometri dello stesso ngolo he, ome noto, è un semirett. L misur dell isettrie n può venire lolt sempliemente risolvendo il tringolo N o quello N. Possimo, tuttvi, riorrere ll seguente espressione he fornise il vlore dell misur dell isettrie del tringolo in funzione dell ngolo ui ess si riferise e dei lti he lo formno: F Q P D os è definit l rett di Eulero? È definit dll ongiungente del rientro, del iroentro e dell ortoentro di isun tringolo. n = os + nlogmente, per le ltre isettrii si h: n = os + n = os + 6. Proprietà geometrihe dei poligoni L risoluzione di un poligono può sempre essere riondott ll risoluzione dei tringoli, sleni o rettngoli, on i quli può essere somposto lo stesso poligono; tle proedur, dunque, ostituise un pplizione dirett dell trigonometri. Prim di nlizzre le modlità on ui vviene tle somposizione in figure elementri, oorre riordre lune note proprietà geometrihe dei poligoni, e fissre le onvenzioni utilizzte nell indizione dei loro elementi. In effetti, i vertii di un poligono vengono onvenzionlmente inditi on le lettere miusole dell lfeto ltino:,,, D e. onviene poi he esse sino disposte perorrendo il perimetro in senso ntiorrio, per fr sì he il orrispondente ngolo interno (ngolo orientto) segu l rotzione positiv orri. Gli ngoli vengono poi inditi on le lettere minusole dell lfeto greo:,,, d e.; mentre i lti vengono individuti dlle lettere minusole dell lfeto ltino:,,, d e. Si noti, tuttvi, he nei poligoni non vi può essere l stess orrispondenz tr le lettere minusole he indino i lti, e quelle he indino gli ngoli interni, vist in preedenz nell mito dei tringoli. L proprietà dei poligoni he è neessrio onsiderre nell loro risoluzione, rigurd il vlore dell somm dei suoi ngoli interni; tle proprietà può essere sintetizzt dl seguente enunito. L somm degli ngoli interni di un poligono di n lti è ugule tnti ngoli pitti qunti sono i lti del poligono meno due! = (n - ) $ 00 Nel so di un poligono di 6 lti l somm degli ngoli interni srà di (6 - ) $ 00 = 800, mentre nel so di un qudriltero (poligono di 4 lti) l stess somm srà: (4 - ) $ 00 = 400 (o 360 sessgesimli). opyright 0 Znihelli editore S.p.., ologn [597] Questo file è un estensione online del orso nnrozzo, uhirini, Meshieri, Misure, rilievo, progetto F Q P ome vengono disposte, onvenzionlmente, le lettere miusole dei vertii di un poligono? In senso ntiorrio, in questo modo, inftti, l notzione letterle degli ngoli interni si riferise d ngoli orientti positivi. 8

19 MODULO LO STUDIO DELLE FIGURE PINE F Q P Nell risoluzione dei qudrilteri qunti elementi è neessrio onosere? inque elementi, di ui lmeno due devono essere lineri. Oorre poi vlutre se i dti he si posseggono sono in numero suffiiente ll risoluzione del poligono in oggetto. questo proposito è neessrio riordre quest semplie regol: ffinhé un poligono di n lti (quindi ostituito d n elementi: n lti e n ngoli) poss essere risolto, è neessrio onosere inizilmente lmeno (n - 3) elementi, dei quli lmeno (n - ) dovrnno essere lti (o omunque elementi lineri). Dunque, nel so di un qudriltero oorrerà onosere lmeno ( $ 4-3) = 5 elementi omplessivi, di ui lmeno (4 - ) = dovrnno essere lti o ltri elementi lineri. Tr i poligoni, prtiolre importnz hnno proprio i qudrilteri, le ui strtegie risolutive, in relzione gli elementi disponiili inizilmente, verrnno esposte nel prgrfo he segue. 7. si di risoluzione dei qudrilteri I qudrilteri si risolvono somponendoli in tringoli on diverse modlità, quindi sviluppndo questi ultimi on i riteri studiti in preedenz. Per tle operzione, spesso i si serve opportunmente di un delle due digonli del qudriltero. In effetti oorre segliere quell digonle he individu due tringoli, uno dei quli si immeditmente determinile, mentre l ltro può essere eventulmente risolto sfruttndo gli elementi rivti nel primo tringolo. Si possono presentre svrite situzioni in relzione ll tipologi dei dti noti, m essenzilmente si possono rionosere i si fondmentli he di seguito verrnno illustrti. Per luni di essi verrà esposto l intero proesso risolutivo, in ltri verrà propost solo l tri dell soluzione. so (noti quttro lti e un ngolo) Del qudriltero D di PFIGUR 4 sino noti, per esempio, i quttro lti,,, d e l ngolo D X = ; restno quindi inogniti i tre ngoli,, d. TELL so : sintesi dell proedur Noti 4 lti e ngolo Soluzione Tringolo Tringolo d D δ δ δ e + e - e = + d - d os = ros e + e - d = ros e d + e - d = ros de + e - d = ros e + - e = ros FIGUR 4 = + d = d + d 9 opyright 0 Znihelli editore S.p.., ologn [597] Questo file è un estensione online del orso nnrozzo, uhirini, Meshieri, Misure, rilievo, progetto

20 Trindo l digonle D = e (l ltr digonle non risolve il prolem), rimngono individuti i due tringoli D e D. Il primo di questi è immeditmente risolviile, in qunto si onosono due lti e l ngolo ompreso (, d, ); il seondo lo diviene suito dopo. L proedur è sintetizzt nell PTELL. UNITÀ RISOLUZIONE DEI TRINGOLI E DEI POLIGONI so (noti tre lti e due ngoli) In relzione ll posizione dei due ngoli noti si possono presentre tre sottosi: i due ngoli noti sono ompresi tr i lti ssegnti (); i due ngoli noti sono digonlmente opposti (); i due ngoli noti sono entrmi dienti l lto inognito (). ) Il primo sottoso è shemtizzto dl qudriltero di PFIGUR 5, del qule ipotizzimo noti i tre lti,, e gli ngoli e ompresi tr i lti noti. Sono llor inogniti il lto d e gli ngoli e d. In questo so medue le digonli possono servire ll risoluzione del prolem, in qunto entrme dnno luogo due tringoli, uno dei quli è immeditmente risolviile, mentre l ltro tringolo è risolviile suito dopo. Osservzione. Il prolem potree nhe essere risolto prolungndo i lti e D fino individure il loro punto O di intersezione. Può llor essere risolto prim il tringolo O, poi il tringolo OD rivndo gli elementi inogniti. In seguito verrà propost un pplizione numeri proprio on questo shem risolutivo. ) Il seondo sottoso f riferimento ll PFIGUR 6. In ess del qudriltero D si ritengono noti i tre lti,, e i due ngoli digonlmente opposti e d. Sono llor inogniti il lto d e gli ngoli e. È neessrio onsiderre l digonle on l qule si individuno i due tringoli e D. Il primo risult suito risolviile, il seondo lo divent suessivmente. Osservzione. L soluzione preedente è onettulmente ppliile nhe l so in ui uno dei due ngoli noti si diente l lto inognito, mentre l ltro è ompreso tr due lti noti (per esempio, sono noti,,, e ). Oorre poi fre ttenzione ll onfigurzione del seondo tringolo, per il qule potreero essere possiili un, nessun, oppure due soluzioni distinte, per le rgioni enunite nell disussione del so 3 di risoluzione dei tringoli. ) Il terzo sottoso f riferimento l qudriltero di PFIGUR 7, per il qule sono noti i tre lti,, d e i due ngoli e dienti l lto inognito. Srnno llor inogniti, oltre l lto, gli ngoli e d. Per l risoluzione di questo so non è possiile usre le digonli, m oorre inevitilmente fr riorso i tringoli rettngoli. In effetti, se trimo d D e d le perpendiolri l lto inognito, il qudriltero rimne diviso in due tringoli retti e in un trpezio, nh esso retto. I tringoli retti DDl e l sono suito risolviili, mentre il trpezio retto DDll lo divent suessivmente, dopo he sono stte determinte le due si DDl e l (di tringoli retti preedenti), he si ggiungono l lto noto D =. L ltezz del trpezio DM = Dll viene utilizzt per determinre il lto inognito del qudriltero; in effetti si h: = = Dl + Dll + l. Osservzione. Nel qudriltero he imo esminto, gli ngoli noti e sono entrmi uti, tuttvi l proedur non mi se uno, o entrmi questi ngoli, sono ottusi. In questo so oorre solo riordre di lolre il lto nel seguente modo: = Dll - Dl - l. L PTELL 3 roglie e sintetizz le proedure neessrie risolvere i qudrilteri he presentno i dti noti onfigurti ome nel so. opyright 0 Znihelli editore S.p.., ologn [597] Questo file è un estensione online del orso nnrozzo, uhirini, Meshieri, Misure, rilievo, progetto 0

21 MODULO LO STUDIO DELLE FIGURE PINE TELL 3 so : sintesi delle proedure Noti 3 lti e ngoli Soluzione Tringolo Tringolo d δ D e = + - os = - e FIGUR 5 + e - = ros e + e - = ros e d = e + - e os d + e - = ros de + d - e d = ros d = + e e = + - os = rsenf sen d p (*) e + e - = ros e + e - = ros e = 00 - ( + d) d = e sen sen d δ = + = + D d FIGUR 6 (*) Oorre verifire se esistono due soluzioni d δ D M δ δ 3 D Dl = d os l = os DDl = d sen l = sen d = 00 - = 00 - Trpezio 3 M M = l DDl & d = rsenf p = 00 - d DM = Dll = sen FIGUR 7 = Dl + Dll + l = + d = d d PPLIZIONE Prolem Determinre gli elementi inogniti di un qudriltero D del qule si onosono le misure dei lti = 0,48 m, = 95,56 m, = 3,75 m e degli ngoli = 9,7778 e = 3,8980. Soluzione Indihimo on O il punto di intersezione dei lti e D (PFIGUR 8). Sviluppo del tringolo O (so, sottoso ): = 00-99,7778 = 80, = 00-3,8980 = 86,00 ~ = 00 - (80, + 86,00) = 33,6758 opyright 0 Znihelli editore S.p.., ologn [597] Questo file è un estensione online del orso nnrozzo, uhirini, Meshieri, Misure, rilievo, progetto

22 UNITÀ RISOLUZIONE DEI TRINGOLI E DEI POLIGONI 95, 56 sen 86, 00 O = = 84, 864 m 95, 56 sen 80, O = = 80, 96 m sen 33, 6758 sen 33, 6758 Sviluppo del tringolo OD: O = 84, ,48 = 95,344 m DO = 80,96 + 3,75 = 304,046 m d δ D d = 95, , $ 95, 344 $ 304, 046 $ os 33, 6758 = 56, 95 m 95, , , 046 = rosf $ 95, 344 $ 56, 95 p = 86, , , 95-95, 344 d = rosf $ 304, 046 $ 56, 95 p = 79, 758 ω per ontrollo si h: (9, , , ,758) = 400,000. O PPLIZIONE Prolem Determinre gli elementi inogniti di un qudriltero D del qule si onosono le misure dei lti = 70,0 m, = 85,0 m, = 300,40 m e degli ngoli = 77,4960 e d = 88,900 (so, sottoso ). Lsimo llo studente ome eserizio l ostruzione di un figur omptiile on i dti ssegnti. FIGUR 8 Qudriltero reltivo ll pplizione numeri. Soluzione Sviluppo del tringolo retto l: Sviluppo del tringolo retto Dl: Sviluppo del tringolo retto M: l = 70,0 sen 77,4960 = 59,676 m l = 70,0 os 77,4960 = 58,9 m = 00-77,4960 =,5040 l = 300,40 sen 88,900 = 95,46 m Dl = 300,40 os 88,900 = 55,4 m = 00-88,900 =,800 M = 95,46-59,676 = 35,57 m 35, 57 35, 57 rsen 3 =, 5478 ros 68, 45 f p = = f p = 85, 0 85, 0 M = 85,0 sen 68,45 = 50,804 m D = d = 58,9 + 55,4 + 50,804 = 365,34 m = 00 +, ,5478 = 54,058 =, ,45 = 80,6 Per ontrollo dei loli: 77, , , ,6 = 400. so 3 (noti due lti e tre ngoli) Si osservi, nzitutto, he essendo noti tre ngoli, il qurto è già definito; quindi possimo ritenere he tutti gli ngoli sino noti. Quest onfigurzione può presentre i due sottosi seguenti: opyright 0 Znihelli editore S.p.., ologn [597] Questo file è un estensione online del orso nnrozzo, uhirini, Meshieri, Misure, rilievo, progetto

23 MODULO LO STUDIO DELLE FIGURE PINE F Q P Nell risoluzione dei qudrilteri qundo divent indispensile riorrere ll somposizione dell figur in tringoli rettngoli? Qundo sono noti tre lti e i due ngoli dienti l lto ino gnito. i due lti noti sono onseutivi (dienti) (); i due lti noti sono opposti (non onseutivi) (). ) Il primo sottoso è shemtizzto dl qudriltero D di PFIGUR 9. Di esso supponimo noti i lti onseutivi e d, oltre gli ngoli, e d. L ngolo può essere filmente lolto riordndo he l somm degli ngoli interni del qudriltero è 400. Trindo l digonle D = e (l ltr digonle non onsente l soluzione del prolem), rimngono individuti i due tringoli D e D. Il primo è suito risolviile, in qunto si onosono due lti e l ngolo ompreso (, d, ); il seondo lo divent suito dopo. ) Il seondo sottoso f riferimento ll PFIGUR 0. In ess si osserv il qudriltero D di ui supponimo noti i lti opposti e d, oltre gli ngoli, e (quindi è noto nhe l ngolo d). L soluzione rihiede il prolungmento dei due lti inogniti e D. Essi si inontrno in un punto O, formndo i due tringoli O e OD, entrmi risolviili indipendentemente l uno dll ltro. I due lti inogniti sono poi filmente lolili on le seguenti differenze: = O - O; = OD - O. Osservzione. Questo sottoso può nhe essere risolto proiettndo i lti noti su uno, qule he si, dei lti inogniti. Si vengono osì formre due tringoli retti, immeditmente risolviili, e un trpezio, nh esso retto, he diverrà risolviile suessivmente. Dll soluzione di queste figure si ottengono i due lti inogniti. L PTELL 4 sintetizz le proedure neessrie risolvere i qudrilteri he presentno i dti noti ome nel so 3. TELL 4 so 3: sintesi delle proedure Noti lti e 3 ngoli Soluzione Tringolo Tringolo D δ δ = ( + + d) d = d - d d δ e FIGUR 9 e = + d - d os = - + e - d = ros e d + e - d = ros de = e sen sen = e sen d sen D ~ = ( + ) - 00 (*) d = ( + + ) δ O = sen sen ~ OD = d sen sen ~ d ω O O = sen sen ~ O = d sen d sen ~ (*) Rinunindo l lolo non = O - O essenzile di e. = OD - O FIGUR 0 3 opyright 0 Znihelli editore S.p.., ologn [597] Questo file è un estensione online del orso nnrozzo, uhirini, Meshieri, Misure, rilievo, progetto

24 UNITÀ RISOLUZIONE DEI TRINGOLI E DEI POLIGONI PPLIZIONE Prolem Determinre gli elementi inogniti di un qudriltero D del qule si onosono le misure dei lti = 79,30 m, d = 394,8 m e degli ngoli = 30l, = 836l e = 680l. Soluzione Sviluppo del tringolo O: d = (30l + 836l + 680l) = 8834l ~ = 80 - (836l + 680l) = 3004l 79, 30 sen 680l O = = 334, 7 m 79, 30 sen 836l O = = 40, 3 m sen 3004l sen 3004l Sviluppo del tringolo OD: 394, 8 sen 8834l O = = 786, 73 m 394, 8 sen 30l DO = = 67, 0 m sen 3004l sen 3004l In definitiv: = = 334,7-786,73 = 547,54 m D = = 40,3-67,0 = 749,30 m 8. Risoluzione dei poligoni ffinhé un poligono si risolviile, ome visto in preedenz, è neessrio onosere inizilmente lmeno (n - 3) elementi, dei quli lmeno (n - ) dovrnno essere lti. L sisti he si può presentre nell risoluzione dei poligoni è tlmente vst d non poter essere shemtizzt in si tipologii di riferimento ome è vvenuto per i qudrilteri. Tuttvi, l strtegi risolutiv è onettulmente l stess vist per i qudrilteri, e onsiste nello somporre il poligono in tringoli (per esempio utilizzndo le digonli), tenendo onto degli elementi inizilmente noti, he verrnno vi vi risolti fino fornire il vlore degli elementi inogniti del poligono. i limitimo, pertnto, illustrre i pssggi neessri ll risoluzione del poligono DE di 5 lti (PFIGUR ) di ui ipotizzimo noti i quttro lti,,, d e i tre ngoli interni, e d (dunque 7 elementi ome è neessrio). F Q P Qunti elementi oorre onosere per risolvere un poligono di 5 lti? Sette elementi, dei quli lmeno tre devono essere lti o elementi lineri. ε E e 3 g 3 d δ 3 δ δ D f FIGUR Somposizione di un poligono in tringoli per mezzo delle digonli. opyright 0 Znihelli editore S.p.., ologn [597] Questo file è un estensione online del orso nnrozzo, uhirini, Meshieri, Misure, rilievo, progetto 4

25 MODULO LO STUDIO DELLE FIGURE PINE Un delle possiili strtegie d seguire per ottenere gli elementi inogniti del poligono (il lto e e gli ngoli e f), è quell di trire le due digonli ed D; esse sompongono il poligono nei tre tringoli, D, DE (numerti, in figur, d 3). Il primo di essi è immeditmente risolviile, e d esso si ottengono l lunghezz dell digonle f = e gli ngoli e. on f e on = - diviene risolviile nhe il tringolo, D, dl qule si ottengono l digonle g = D, e gli ngoli e d. Infine è possiile determinre d 3 = d - d e quindi risolvere il tringolo 3, ED, lolndo il lto e e l ngolo f he ostituisono due delle tre inognite del poligono. Dllo stesso tringolo si può rivre 3, he onsente di determinre il terzo elemento inognito del poligono: = re dei poligoni L re di un poligono può sempre essere lolt ome somm delle ree delle figure elementri (in genere tringoli) evidenzite somponendo il poligono. Esiste, tuttvi, l possiilità di utilizzre, per lo stesso sopo, formule he fornisono direttmente l re del poligono; le più utili sono: formule di Guss; formul di mminmento. Le formule di Guss rihiedono l onosenz delle oordinte rtesine dei vertii del poligono; esse, pertnto, verrnno esminte nell prossim unità. L formul di mminmento fornie l re del poligono utilizzndo le lunghezze dei lti meno uno, e gli ngoli tr essi ompresi, misurti perorrendo il perimetro del poligono (d ui il termine mminmento). onsiderndo il poligono di 5 lti di PFIGUR, per pplire l formul di mminmento, è neessrio onosere l lunghezz di (5 - ) = 4 lti (nell esempio,,, d) e l mpiezz dei tre ngoli interni, e d tr essi ompresi. L formul di mminmento per lolre l re dei poligoni viene rivt dl seguente enunito. L re dei poligoni è fornit dll semisomm lgeri di tutti i possiili prodotti dei lti presi due due (ominzioni), per il seno dell somm degli ngoli he si inontrno per ndre dll uno ll ltro lto del prodotto, presi on il segno positivo o negtivo seond he il numero di questi ngoli inontrti si dispri o pri. 5 F Q P È possiile ottenere l re di un poligono in modo diretto, senz somporlo in figure elementri? Sì, utilizzndo l formul di mminmento o un delle formule di Guss. Trduendo questo enunito per il poligono di PFIGUR, si ottiene: S = [ sen - sen ( + ) + d sen ( + + d) + + sen - d sen ( + d) + d sen d] Nel so di un qudriltero (poligono di 4 lti) dovrnno essere noti (4 - ) = 3 lti e i due ngoli interni tr essi ompresi. on riferimento ll PFIGUR, l formul di mminmento divent: opyright 0 Znihelli editore S.p.., ologn [597] Questo file è un estensione online del orso nnrozzo, uhirini, Meshieri, Misure, rilievo, progetto (3) S = [ sen - sen ( + ) + sen ] (3l)

26 UNITÀ RISOLUZIONE DEI TRINGOLI E DEI POLIGONI D FIGUR Elementi neessri l lolo dell re di un qudriltero on l formul di mminmento. 0. Prolem dell distnz inessiile Si trtt di un prolem prtio ssi noto nell mito topogrfio; on esso i si pone l oiettivo di determinre l distnz tr due punti e, entrmi inessiili m visiili d un oppi di punti M e N selti ritrrimente. Quest situzione si può presentre qundo i due punti e sono, per esempio, dll prte oppost di un orso d qu, o di un strd grnde trffio, rispetto ll zon dll qule si oper (PFIGUR 3). Per risolvere questo prolem si fissno sul terreno due punti ritrri M ed N di quli si vedno i punti e. Si misurno poi direttmente l lunghezz del segmento MN =, himto se, e i quttro ngoli MZ N =, MZ N =, MN X =, MN X = d. Dei tringoli MN e MN si onosono un lto (l se ) e due ngoli; potremo quindi pplire il teorem dei seni per lolre i segmenti M e M : sen sen d M = M = sen ( + ) sen ( + d) δ N M FIGUR 3 I punti e sono inessiili, m entrmi visiili d M e d N. Esiste, tuttvi, un proedur per determinre omunque l loro distnz. opyright 0 Znihelli editore S.p.., ologn [597] Questo file è un estensione online del orso nnrozzo, uhirini, Meshieri, Misure, rilievo, progetto 6

27 MODULO LO STUDIO DELLE FIGURE PINE questo punto del tringolo M sono noti i due lti M e M e l ngolo M Z = ( - ), quindi si può determinre l distnz inognit : = M + M - $ M $ M os ( - ) PPLIZIONE Prolem Per determinre l distnz tr due punti E ed F, ompletmente inessii li, si sono misurti l se MN = = 300 m e gli ngoli EMN Y = 76,6697, MNX E = 9,583, FMN Y = 60,870, MNX F = 60,090. Lsimo llo studente l eserizio di ostruire l figur in sl opportun. Soluzione Sviluppo dei tringoli EMN e FMN: Sviluppo del tringolo EFM: ME = 300 sen 9, 583 = 89, 6 m sen ( 76, , 583) MF = 300 sen 60, 090 = 55, 83 m sen ( 60, , 090) EF = 89, , 83 -$ 89, 6$ 55, 83 os( 76, , 870) = 7, m Rissumendo MPP DI SINTESI DELL UNITÀ TEOREMI SUI TRINGOLI RE DEI TRINGOLI RE DEI POLIGONI RISOLUZIONE DEI TRINGOLI LTEZZE, MEDINE ISETTRII ERHI NOTEVOLI DEI TRINGOLI RISOLUZIONE DEI POLIGONI Relzioni fondmentli tr gli elementi di un tringolo: l geometri i fornise le seguenti relzioni generli tr gli elementi di un tringolo sleno (qulunque): L somm degli ngoli interni di un tringolo è ugule ll ngolo pitto: + + = 00. In ogni tringolo isun lto è minore dell somm degli ltri due e mggiore dell loro differenz (per esempio + e nhe - ). In ogni tringolo l relzione di uguglinz o disuguglinz he interorre tr due lti vle nhe per gli ngoli rispettivmente opposti (per esempio, se, srà nhe ). I teoremi dell trigonometri: oltre lle relzioni preedenti, i lti e gli ngoli dei tringoli sono legti d ltre importnti relzioni he prevedono l presenz di funzioni 7 opyright 0 Znihelli editore S.p.., ologn [597] Questo file è un estensione online del orso nnrozzo, uhirini, Meshieri, Misure, rilievo, progetto

28 UNITÀ RISOLUZIONE DEI TRINGOLI E DEI POLIGONI goniometrihe; esse prendono il nome di teoremi. In pssto l esigenz del lolo logritmio rihiedev l onosenz di numerosi teoremi. Oggi l diffusione delle loltrii tsili rende essenzile l onosenz di soli due teoremi: il teorem dei seni e il teorem di rnot. Enunito del teorem dei seni: in un tringolo il rpporto tr un lto e il seno dell ngolo opposto è ostnte, ed è ugule l dimetro del erhio irosritto. In form omptt possimo srivere: equivlenti lle relzioni: = = = R sen sen sen rivre gli elementi inogniti qundo sino noti luni degli elementi geometrii del tringolo. ffinhé il lolo si possiile è neessrio he sino noti lmeno tre elementi, di ui lmeno uno deve essere linere (lto). Quttro sono i si ui riondurre l risoluzione dei tringoli. Essi possono essere sintetizzti nell seguente tell doppi entrt he illustr quli sono le relzioni e i teoremi d pplire (seguendo l ordine indito dl numero in ogni sell) per risolvere il tringolo in isuno dei quttro si. sen sen sen = = = sen sen sen O R O Elementi Teoremi e relzioni d pplire noti T. rnot T. seni + + = 00 Enunito del teorem di rnot: in un tringolo il qudrto di un lto è ugule ll somm dei qudrti degli ltri due lti, dedott del doppio prodotto di questi lti per il oseno dell ngolo tr essi ompreso. In form omptt possimo srivere: = + - os = + - os = + - os espressioni he possono ssumere le seguenti forme, ltrettnto importnti: os = + - os = + - os = + - Le relzioni tr gli elementi dei tringoli permettono di risolvere i tringoli stessi, vle dire permettono di so e 3 lto e inognit: inognit: ngoli i restnti due lti il 3 ngolo so 3 lti e inognit: inognit: inognit: l ngolo il 3 lto uno degli ngoli l ultimo ngolo ompreso non ssegnti non ssegnto so 3 3 lti e uno inognit: inognit: inognit: degli ngoli il terzo l ngolo opposto ultimo ngolo opposti lto ll ltro lto noto non ssegnto so 4, e 3 3 lti inognit: i tre ngoli Durnte l risoluzione del 3 so oorre di volt in volt riflettere sui risultti ottenuti, in qunto possono verifirsi le seguenti situzioni: il prolem è determinto e h un uni soluzione; il prolem è determinto e h due soluzioni; il prolem è impossiile. Quest ultim eventulità si verifi qundo non viene rispettt un delle relzioni fondmentli he legno gli elementi di un tringolo. opyright 0 Znihelli editore S.p.., ologn [597] Questo file è un estensione online del orso nnrozzo, uhirini, Meshieri, Misure, rilievo, progetto 8