Università di Camerino Corso di Laurea in Fisica: indirizzo Tecnologie per l Innovazione Appunti di Calcolo Prof. Angelo Angeletti

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1 Uivesità di Cmeio Coso di Lue i Fisic: idiizzo Tecologie pe l Iovzioe Apputi di Clcolo Pof. Agelo Ageletti Itegli defiiti Itegle defiito di u fuzioe i u itevllo chiuso e limitto Uo dei polemi più impotti dell mtemtic è il clcolo delle ee. Il polem è di fcile soluzioe se si ttt di u poligoo, i quto esso può essee decomposto i u ceto umeo di tigoli di cui si s come clcole l e. Se si h che fe co u cechio il polem è eomemete più complesso. Il polem dell qudtu del cechio, lto o è che l detemizioe dell su e[ i ]. L pocedu più semplice pe detemie l e del cechio cosiste el cosidee l successioe costituit dlle ee dei poligoi egoli iscitti e quell delle ee dei poligoi egoli cicoscitti. Come si può ituie, m mo che il umeo dei lti dei poligoi iscitti umet (tigolo equilteo, qudto, petgoo, esgoo, ecc.) le loo ee diveto sempe mggioi e si vvicio sempe più quell del cechio. Pe i poligoi cicoscitti, ivece, m mo che il umeo dei lti umet le ee dimiuiscoo, m l e è sempe più vici ll e del cechio. U modo del tutto logo è quello che si utilizzeà pe detemie l e del tpezoide costituito dll co di cuv AB, sull cuv di equzioe y = f ( ), dlle ette di equzioe = e = e dll sse (vedi figu ). Si cosidei quidi u cuv di equzioe y = f ( ) i cui l fuzioe f ( ) si cotiu e cescete[ ii ] i u itevllo chiuso e limitto [, ]. Si divid l itevllo i pti di mpiezz = medite i puti: = ; = + ; = + ;...; = + ;...; = + =. Si cosideio quidi i pluiettgoli[ iii ] iscitti e quelli cicoscitti l tpezoide (ell figu l itevllo [, ] viee diviso i 5 pti) che ho pe se i segmeti,,...,,..., e ltezze ispettivmete f( ) e f( ). Le ee di tli pluiettgoli soo: Figu Il tpezoide A ABB Figu Pluiettgoli iscitti e cicoscitti ( = 5) [ i ] A igoe, il polem è quello di costuie, usdo solo ig e compsso, u qudto co l stess e di u dto cechio. Il polem isle ll'ivezioe dell geometi, e h teuto occupti i mtemtici pe secoli. Solo el 88 e vee dimostt l'impossiilità, che se i geometi dell'tichità vevo ffeto molto ee, si ituitivmete che i ptic, l su itttilità. Si deve ote che è solo l limitzioe d use u ig (o gdut) e u compsso che ede il polem difficile. Se si possoo use lti semplici stumeti, come d esempio qulcos che può disege u spile chimede, llo o è così difficile disege u qudto ed u cechio di e ugule. U soluzioe ichiede l costuzioe del umeo π, e l'impossiilità di ciò deiv dl ftto che π è u umeo tscedete e quidi o-costuiile. L tscedez di π vee dimostt d Fedid vo Lidem el 88. Risolvee il polem dell qudtu del cechio, sigific ve tovto che u vloe lgeico di π - il che è impossiile. Ciò o implic che si impossiile costuie u qudto co u'e molto vici quell del cechio dto. [ ii ] L cescez dell fuzioe o è fftto ecessi; si vedà el seguito che i giometi vlgoo pe quluque tipo di fuzioe cotiu. Ache l cotiuità o è del tutto ecessi, m quest geelizzzioe o iet el pogmm che si itede svolgee. [ iii ] U pluiettgolo è u figu geometic costituit dll somm di ettgoli.

2 Uivesità di Cmeio Coso di Lue i Fisic: idiizzo Tecologie pe l Iovzioe Apputi di Clcolo Pof. Agelo Ageletti Ae del pluiettgolo iscitto: s = f + f f = f = Ae del pluiettgolo cicoscitto: S = f + f f = f = È chio che se umet (ell figu 3, = ), s cesce e S decesce. Iolte s o potà mi essee mggioe dell e S dell egioe, quidi s è u successioe limitt cescete (s < s + < S). S è ivece u successioe limitt decescete (S > S + > S). si và iolte s < S < S. Si dimost che lim s = lim S = S + + Si us scivee l e S dell egioe ell fom Figu 3 Pluiettgoli iscitti e cicoscitti ( = ) f d che si legge itegle t e di f di i di. I umei e si chimo limiti o estemi di itegzioe: è l estemo ifeioe, l estemo supeioe; è l viile di itegzioe (che o è ifluete i fii del isultto). Quto detto pe u fuzioe cotiu e cescete, si può ipetee pe u fuzioe decescete (quest volt l estemo desto sà miimo e il siisto mssimo) e quidi pe u fuzioe positiv (st suddividee l itevllo [, ] i itevlli pzili i cui l fuzioe si cescete, o decescete o costte) U ulteioe estesioe può essee ftt pe le fuzioi egtive, cioè el cso che il tpezoide si l di sotto dell sse. I questo cso isulto egtivi tutti i vloi delle somme, peciò si coviee di cosidee egtiv l misu dell e del tpezoide qudo questo si tov sotto l sse delle. Il vloe dell e di u figu, i seso geometico, è peò sempe espesso d u umeo positivo, quidi sà dto dl vloe ssoluto dell itegle; si h petto: S = f d = f d. Se ifie i u itevllo [, ] l fuzioe f() o h sempe lo stesso sego, si divide l itevllo [, ] i itevlli pzili i cui l fuzioe i lo stesso sego. Allo f d ppeset l somm lgeic delle misue delle ee delle pti di pio che sto sop e di quelle che sto sotto l sse. Ne segue che se si vuol clcole l e i seso geometico, occoeà detemie septmete le ee delle pti di pio che sto sop e sotto l sse delle e somme poi i vloi ssoluti. Si dimost fcilmete che l e è sempe dt d f ( ) d. L defiizioe dt sop può essee estes fuzioi quluque puché cotiue. Come sop, si divide l itevllo [, ] i itevlli [, ] co =, ciscuo di mpiezz =. I

3 Uivesità di Cmeio Coso di Lue i Fisic: idiizzo Tecologie pe l Iovzioe Apputi di Clcolo Pof. Agelo Ageletti ciscuo di questi itevlli l fuzioe è cotiu e, pe il teoem di Weiestss[ iv ], mmette mssimo ssoluto M e miimo ssoluto m. Si possoo scivee le segueti somme: s = m = e S = M = Si dimost il seguete teoem: TEOREMA Le successioi delle somme itegli ifeioi supeioi e delle somme itegli = s = m, eltive d u fuzioe f(), cotiu i u itevllo chiuso e limitto = S = M [,], soo covegeti ed mmettoo, pe +, lo stesso limite: lim s = lim S. + + Il vloe comue dei due limiti è, pe defiizioe, l itegle defiito dell fuzioe f() ell ite- vllo [,]. Si idic co: f ( ) d. È possiile cosidee che u somm itegle itemedi e di coseguez m f ( c ) M. Si dimost che è che = T = f c dove < c < + Vegoo eucite lcue impotti popietà dell itegle defiito. PROPRIETÀ Si poe pe covezioe f ( ) d =. PROPRIETÀ cmi sego. = = lim T f d. f d f d, cioè cmido gli estemi di u itegle, l itegle defiito PROPRIETÀ 3 Pe ogi c [, ] si h: = + c f d f d f d c è fcile pesudesi che quest popietà vle che se c o pptiee ll itevllo [, ]. L popietà si estede che l cso i cui t e ci sio più puti. PROPRIETÀ 4 L itegle defiito è u opetoe liee. Si dimost iftti che: [ iv ] TEOREMA DI WEIERSTASS U fuzioe f() cotiu i u itevllo chiuso e limitto [,] mmette mssimo e miimo ssoluti. 3

4 Uivesità di Cmeio Coso di Lue i Fisic: idiizzo Tecologie pe l Iovzioe Apputi di Clcolo Pof. Agelo Ageletti dove α e β soo due costti. α f + β g d = α f d + β g d, PROPRIETÀ 5 Ifie, poiché l itegle è il limite di u somm, o è difficile edesi coto che: f d f d. u fuzioe DEFINIZIONE Si chim fuzioe itegle F() di f, cotiu ell itevllo chiuso e limitto [, ], l fuzioe defiit d: F = f t dt. N.B. No h impotz come viee idict l viile sull qule viee ftt l itegzioe. Se o gee co- fusioe si può che scivee =. Figu 4 L fuzioe itegle el cso di F f d u fuzioe positiv Teoemi fodmetli U lt impotte popietà degli itegli defiiti è espess dl seguete teoem dell medi: TEOREMA DELLA MEDIA Se l fuzioe f ( ) è cotiu ell itevllo chiuso e limitto [, ], llo esiste lmeo u puto c [, ] pe cui si h () = ( ) f d f c DIMOSTRAZIONE. Essedo l fuzioe cotiu i u itevllo chiuso e limitto, pe il teoem di Weiestss, esistoo il mssimo ssoluto M e il miimo ssoluto m. Pe cui, [,], si h m < f() < M. Si divid quidi l itevllo [,] i pti di mpiezz =, pe mezzo dei puti =,,,...,,..., = si ottiee l suddivisioe dell itevllo [,] egli itevlli pzili [, ] e i oguo di questi itevlli l fuzioe f() ssume mssimo M e miimo m ; è iolte evidetemete che m m f(c ) M M 4

5 Uivesità di Cmeio Coso di Lue i Fisic: idiizzo Tecologie pe l Iovzioe Apputi di Clcolo Pof. Agelo Ageletti dove c è tle che c, co =.... Si h llo: Sommdo su tutti gli itevlli si h: D cui segue m essedo = ( ), si h Pssdo l limite pe +, si h: d cui segue: m f(c ) M. m f c M = = = ( ), m f c M =. = ( ) ( ) m f c M [ v ], ( ) ( ) m f d M m f ( ) d M. ( ) Poiché l fuzioe è cotiu i [, ], pe il teoem di Bolzo[ vi ], esiste c [, ] pe cui si h f c = f ( ) d, ossi f ( ) d ( ) f ( c) ( ) OSSERVAZIONE L () può essee scitt ell fom: f c = f, che è pputo quto si dovev dimoste. d ( ) Il vloe f ( c ) pede il ome di vlo medio dell fuzioe f ell itevllo [, ] e veà idicto co V. Il vlo medio V si può pese come il limite pe + dell medi itmetic dei f ssume ei puti,,...,,..., = che dividoo l itevllo vloi che l fuzioe [ v ] Si icodi che limite pe + di u costte è l costte stess. [ vi ] Se y = f() è u fuzioe cotiu i u itevllo chiuso e limitto [,], llo ess ssume lmeo u volt ogi vloe compeso t il miimo e il mssimo. 5

6 Uivesità di Cmeio Coso di Lue i Fisic: idiizzo Tecologie pe l Iovzioe Apputi di Clcolo Pof. Agelo Ageletti [, ] i pti uguli = =. Cioè: + = = f f lim f + f ( ) + f ( ) f ( ) = = = V = lim = lim = lim = = lim S f d OSSERVAZIONE Il teoem dell medi espesso dll () h che u fcile itepetzioe geometic: se è f ( ) ell itevllo [, ], llo esiste u puto c ( c ) tle che il ettgolo di se e ltezz f ( c ) è equivlete l tpezoide l cui e è f d. I tl modo il vlo medio V del- l fuzioe f i [, ], isult essee l ltezz del ettgolo equivlete l tpezoide ed vete pe se l mpiezz dell itevllo [, ] (figu 5). Figu 5 Itepetzioe geometic del teoem dell medi Si dà o l dimostzioe del teoem fodmetle del clcolo itegle. TEOREMA FONDAMENTEALE DEL CALCOLO INTEGRALE Se l fuzioe f ( ) è cotiu ell itevllo chiuso e limitto [, ], llo l fuzioe itegle è deivile e pe ogi [, ] isult F = f t dt F ' ( ) = f ( ). DIMOSTRAZIONE Si cosidei [, ], dovedo dimoste che F() è deivile e che l deivt è popio f(), si icemeti l di, i modo che si + [, ], e si sciv il ppoto icemetle pe l F; si h: + ( + ) f ( t) dt f t dt. F F F = = Poiché [, + ], pe le popietà e 3, si h che: 6

7 Uivesità di Cmeio Coso di Lue i Fisic: idiizzo Tecologie pe l Iovzioe Apputi di Clcolo Pof. Agelo Ageletti + = + + f t dt f t dt f t dt. Applicdo quest ultimo itegle il teoem dell medi, si h: +, F = f t dt = f c dove c è u oppotuo puto che pptiee ll itevllo [, + ]. Si h quidi: + F f t dt = = f ( c). Fissto u vloe, essedo c +, si h che, se, llo che c. Pe cui: F lim = lim f c = f c L esistez del limite del ppoto icemetle dell F, dimost che F è deivile e che:. F ' ( ) = f ( ). L fuzioe F ( ) è deivile (e quidi cotiu i [,]) ed è u pimitiv di f di tutte le pimitive può essee idicto d Si quidi e ϕ = f t dt + c. u quluque pimitiv di ϕ = f t dt + c ϕ = f t dt + c. Si icv quidi: Questo isultto si scive i geee ell fom = ϕ ϕ f t dt. = ϕ f t dt Quto detto implic l vlidità del seguete teoem f. Si h:. L isieme ϕ = f t dt + c = c TEOREMA L itegle defiito di u fuzioe f(), cotiu i u itevllo chiuso e limitto [,], è ugule ll diffeez t il vloe ssuto d u su qulsisi pimitiv ell estemo supeioe e quello ssuto dll stess pimitiv ell estemo ifeioe: = f d F F 7

8 Uivesità di Cmeio Coso di Lue i Fisic: idiizzo Tecologie pe l Iovzioe Apputi di Clcolo Pof. Agelo Ageletti ESEMPIO Clcole π 3 se cos d. Dlle egole di itegzioe immedit si h: ESEMPIO Clcole Itegdo pe pti si h: π se cos d se se se π π = = 4 4 = 4 e d. e d = e = e e = 3 Ae dell pte di pio cchius t due o più cuve. Si cosideio o due fuzioi y = f ( ) e y = g e si suppog che i loo gfici si itesechio i due puti A e B di sciss ispettivmete e. Si suppog iolte che [,] si f ( ) g ( ) e che l pte di pio cchius t le due cuv ppteg l semipio positivo delle odite (figu 6). Teedo coto del sigificto geometico dell itegle defiito, l e dell egioe α è dt dll diffeez t l e f e del tpezoide A ABB delimitto dl gfico di l e del tpezoide A ABB delimitto dl gfico di g ( ). Si h petto che Figu 6 Ae dell pte di pio cchius t due o più cuve. e(α) = = f d g d f g d Si dimost che l limitzioe che l supeficie α si tutt el semipio positivo o è essezile; f g [,]. l uic cos impotte è che si ESEMPIO 3 Detemie l e dell egioe di pio delimitt dll pole γ e γ di equzioi: γ : y = 3 + γ : y = + + I figu 7 viee ipotto il gfico delle due pole. Si tov fcilmete, isolvedo il sistem fomto dlle equzioi delle due cuve, che queste si iteseco ei puti (, ) e (, ). Petto l e dell egioe cect è dt d: Figu 7 Ae dell egioe di pio t due pole dell esempio 3. 8

9 Uivesità di Cmeio Coso di Lue i Fisic: idiizzo Tecologie pe l Iovzioe Apputi di Clcolo Pof. Agelo Ageletti d = + 4 d = + = ESEMPIO 4 Detemie l e di u ellisse di semissi e. Si dt u ellisse ifeit l ceto degli ssi ctesii (figu y 8) l cui equzioe è: + =. Dt l simmeti dell figu, l su e è 4 volte l e dell egioe compes el pi- mo qudte, pe cui si h: e dell ellisse = 4 d = 4 d. Figu 8 Ae dell ellisse Pe il clcolo dell pimitiv poimo = set, d cui d = cost dt. Iolte pe = si h t= e pe = si h t = π/. Sostituedo si ottiee: π π π d = se t costdt = se t c ostdt = c os tdt = π π π π + se cos t + set cos t + se cos π = = = 4 pe cui si h: e dell ellisse = 4 π = 4 π. Si ossevi come l espessioe o tovt si iduc ll e del cechio el cso i cui = =. Sio y f ( ), y g ( ) e OSSERVAZIONE 3 Nel cso si de detemie l e di u egioe di pio delimitt d te o più cuve, ci si può icodue i csi già visti. = = y = h le equzioi delle cuve che delimito l egioe di cui si vuol detemie l e e sio,, c le scisse dei puti di itesezioe delle cuve (ispettivmete t l pim e l tez, t l secod e l tez e t l pim e l secod; figu 9). Co semplici clcoli si dimost che c Ae(α) = + f h d g h d c Ae(α) = + + f d g d h d. c c Figu 9 Ae di u egioe di pio limitt d te cuve 9

10 Uivesità di Cmeio Coso di Lue i Fisic: idiizzo Tecologie pe l Iovzioe Apputi di Clcolo Pof. Agelo Ageletti Come si può osseve, el clcolo dell e, si pecoe il odo dell egioe i seso oio e si clcolo gli itegli defiiti delle fuzioi che defiiscoo le cuve del odo t le scisse dei puti che soo estemi delle cuve stesse. y f, =,...,, si h: = Pe u egioe limitt d cuve Ae(α) = f = d [, ] soo le scisse degli estemi dei ttti di cuv di equzioe pecoez dell cuv, che deve essee i seso oio. y f, pesi el veso di = 4 Volume di u solido di otzioe Si y = f ( ) l equzioe di u fuzioe cotiu ell itevllo chiuso e limitto [,], e si suppog che si f, [,]. Si cosidei il tpezoide T delimitto dl gfico dell fuzioe, dlle ette = e = e dll sse e lo si fcci uote di u gio completo ttoo ll sse. Si ottiee u solido di otzioe il cui volume V può essee clcolto co l itegle defiito (figu ). Pe dimoste ciò, si divid l itevllo [,] i pti di mpiezz =, pe mezzo dei puti: =,,,...,,..., =. Si cosideio gli itevlli pzili [, ], i oguo di essi l fuzioe f() ssume mssimo M e miimo m. Si cosideio quidi i pluiettgoli iscitti e quelli cicoscitti; ell otzioe questi pluiettgoli do oigie due pluicilidi, iscitto e cicoscitto l solido di otzioe, icoddo l espessioe pe il volume del cilido e idicdo co v il volume del pluicilido iscitto e co V quello del pluicilido cicoscitto si và: v m m = π = π = = V M M = π = π = = Figu Volume di u solido di otzioe. icoddo quto già detto poposito dell somm itegle si h che le espessioi scitte soo somme itegli ifeioi e supeioi pe l fuzioe y = π f. Ripetedo giometi già ftti si ottiee che + + lim v = lim V = π f d che foisce l espessioe pe il clcolo del volume di u solido di otzioe.

11 Uivesità di Cmeio Coso di Lue i Fisic: idiizzo Tecologie pe l Iovzioe Apputi di Clcolo Pof. Agelo Ageletti ESEMPIO 5 Utilizzdo l elzioe dt sop detemie il volume di u coo. Sio il ggio di se e l ltezz del coo geeto dll otzioe del tigolo ettgolo OAB ttoo ll sse (figu ). L ett OB pss pe l oigie ed h equzioe: y =. Il volume del coo è quidi dto d: Figu Volume del coo V = π d = π d = π = π = π. ESEMPIO 6 Detemie il volume del too[ vii ]. Si cosidei u cechio e u ett este d esso; si fissi u sistem di ssi ctesii i modo che l sse coicid co l ett e l sse y si l pepedicole d ess e psste pe il ceto del cechio (figu ). Si C = (,) il ceto dell cicofeez e il suo ggio; l equzioe dell cicofeez è quidi: ovveo + y = + y y + = Figu Volume del too Il volume del too si otteà come diffeez t il volume V del solido di otzioe che si ottiee fcedo uote itoo ll sse il tpezoide MADCN e il volume V del solido di otzioe che si ottiee fcedo uote il tpezoide MABCN. Si sciv quidi l equzioe dell cicofeez odido secodo le poteze di y: y y + + = e si icvi l y; si h: ± + ± y = = = ±. Nell espessioe o tovt il sego + dà l equzioe dell co ADC; il sego l equzioe dell co ABC. Si h quidi: V = π + d = π + + d = = π + + d = π + + π [ vii ] Si dice too il solido geeto dll otzioe di u cechio itoo d u ett del suo pio che o lo ttvesi.

12 Uivesità di Cmeio Coso di Lue i Fisic: idiizzo Tecologie pe l Iovzioe Apputi di Clcolo Pof. Agelo Ageletti Il clcolo di d è del tutto logo quello ftto ell Esempio 4. Alogmete si h: V = π d = π + d = = π + d = π + π Si icv quidi: Che si può scivee che ell fom: V = V V = (π). V = π (π ). Quest fomul most che: l misu del volume del too è dt dl podotto dell e del cechio geetoe pe l misu dell cicofeez descitt, ell otzioe, dl ceto del cechio stesso. L cosidezioe file dell esempio pesedete è u cso pticole del teoem di Guldio che isult pticolmete utile pe il clcolo dei volumi dei solidi di otzioe e pe quello delle coodite del iceto di u figu pi. TEOREMA DI GULDINO L misu del volume geeto d u supeficie pi che uot ttoo d u sse del suo pio che o l ttves è dto dl podotto dell misu dell e dell supeficie pe l misu dell lughezz dell cicofeez descitt dl iceto. 5 Biceto di u figu pi omogee Pe il teoem di Guldio, pe tove le coodite del iceto G = ( G, y G ) di u figu pi st cosidee i volumi dei solidi di otzioe, u volt itoo ll sse (pe vee l odit y G ) e u lt volt itoo ll sse y (pe vee l sciss G ) e l e dell figu. Volume del solido di otzioe ttoo d y G = π Ae dell figu Volume del solido di otzioe ttoo d yg = π Ae dell figu ESEMPIO 7 Clcole le coodite del iceto dell pte fiit di pio compes t le due pole y = e = y (figu 3). Pe l simmeti dell figu si và G = y G. Le due pole si icoto ell oigie e el puto

13 Uivesità di Cmeio Coso di Lue i Fisic: idiizzo Tecologie pe l Iovzioe Apputi di Clcolo Pof. Agelo Ageletti (,). Pe pim cos si detemii il volume del solido di otzioe ttoo ll sse. Si h: 4 5 V = π d π d = π d = π = π 4. 5 L e dell pozioe di pio di cui si vuol detemie il iceto è dt d: A = d = = Pe il teoem di Guldio si và: π y G A = V, pe cui y G π V 5 9 = = =. πa 4 π 3 Figu 3 Biceto di u figu omogee pi. 6 Lughezz di u co di cuv Pe detemie l lughezz di u co di cuv si segue u giometo logo quello che, i geometi elemete, si segue pe l detemizioe dell lughezz di u cicofeez. Si iv ll coclusioe che l lughezz di u cuv viee vist come il limite pe il umeo di lti che tede ll ifiito dell lughezz delle poligoli iscitte[ viii ] ell co di cuv. Cosideimo quidi u cuv l cui equzioe si d- y = f, co f fuzioe cotiu e deivile, ci t d si popoe di clcole l lughezz dell co di cuv AB che h pe estemi i puti A=[, f()] e B=[, f()] (figu 4). Come l solito dividimo l itevllo [,] i pti di mpiezz =, pe mezzo dei puti: =,,,...,,..., = e si y = f( ) f( ) y = f( ) f( ) y = f( ) f( - ) y = f( ) f( - ) Figu 4 Lughezz di u co di cuv I puti dell cuv di sciss,,,...,,...,, soo i vetici di u poligole iscitt [ viii ] U poligole è iscitt i u cuv che i suoi vetici soo puti dell cuv. 3

14 Uivesità di Cmeio Coso di Lue i Fisic: idiizzo Tecologie pe l Iovzioe Apputi di Clcolo Pof. Agelo Ageletti ell co AB. Avedo supposto l fuzioe cotiu e deivile ell itevllo [,], è possiile pplice il teoem di Lgge ll fuzioe, eltivmete ciscu itevllo [, ] e petto si può scivee: y = f ' ( ), essedo u oppotuo vloe tle che. Si h quidi: = + f ' MN = L = + y = + f ' = + f ' = L lughezz dell poligole iscitt è quidi: e l lughezz dell co isulteà essee: L = L = + f ' = = L lim L lim L lim f '. = = = + AB + + = = Poedo G ( ) = + f ' ( ), si ttt di clcole + = lim G e cioè: ossi L = AB G d L AB f ' d. = + ESEMPIO 8 Detemie l lughezz dell cicofeez di ggio. Si cosidei u cicofeez co ceto ell oigie e ggio, l su equzioe è: cioè: + y =, y = ±. Cosideimo l semicicofeez situt el semipio delle odite positi- ve, di equzioe: y =. Gli estemi dell cuv so A = [, ] e B = [, ]. Iolte y' =. Si h quidi che l lughezz dell cicofeez è: l = + d = + d = d. Poedo = t, e quidi d = dt e = t =, = t =, si h: 4

15 Uivesità di Cmeio Coso di Lue i Fisic: idiizzo Tecologie pe l Iovzioe Apputi di Clcolo Pof. Agelo Ageletti l = dt = dt = cset = ( ) ( ) = cse cset t t π π = = π ESEMPIO 9 Detemie l lughezz dell co di pol di equzioe y = 4, che h pe escutemi i puti A e B ispettivmete di sciss e. D cui si ottiee L = + d = + 4 d. AB ( 5) ( ) L = + 4 d = l = 5 + l + 5 = AB = + l + 4 I molte ppliczioi l cuv di cui si vuol detemie l lughezz viee espesse i coodite pmetiche: = t y = y t co t pmeto viile i u itevllo [,]. No è difficile dimoste che l espessioe pe il clcolo dell lughezz dell co di cuv che h pe estemi A = ((), y()) e B = ((), y()) è dt d: L ' t y' t AB dt. = + 5

16 Uivesità di Cmeio Coso di Lue i Fisic: idiizzo Tecologie pe l Iovzioe Apputi di Clcolo Pof. Agelo Ageletti ESERCIZI ) Clcole i vloi dei segueti itegli defiiti: ) ( ) d R. e ) ( e + e ) d R. e c) d) e) f) g) h) i) j) π 3sed [ R. 3 ] 8 3 R. 8 π 4 se d R. ( π ) π se cos d π sed [ R. ] 3 l d 7 l 3 4 d 4 + d d 3 + R. 4 π R. 8 [ R. l l 3] [ R. 3l3 5l ] ) Detemie l e dell egioe fiit di pio t le pole di equzioe R. 6 3) Detemie l e dell egioe fiit di pio t le cuve di equzioe y = 4, y = + 3. y = 3 + 5, 7 y = + 5. R. 3 4) Detemie l e dell egioe fiit di pio t le cuve di equzioe y =, 3 + y 9 =. 9 R. 3l 4 5) Detemie l e dell egioe fiit di pio t le cuve di equzioe y =, y =. R. 3 6) Detemie l e dell egioe fiit di pio, el pimo qudte, compes t le cuve di equzioe y =, y = +. R l 7 7) Tove il volume detemito dll otzioe itoo ll sse dell figu delimitt dll sse 8 e dll pol di equzioe: y = + 3. R. π 6

17 Uivesità di Cmeio Coso di Lue i Fisic: idiizzo Tecologie pe l Iovzioe Apputi di Clcolo Pof. Agelo Ageletti 8) Tove il volume detemito dll otzioe itoo ll sse dell figu delimitt dll sse 3 79 e dll cuv di equzioe: y = R. π 35 9) Detemie il volume del solido detemito dll otzioe dell ellisse di equzioe y + = 9 4. [ R. 6π ] ) Dt l cuv di equzioe 3 y = detemie: ) l misu dell e dell pte fiit di pio S delimitt dll cuv e dll sse ; R. ) l misu del volume del solido geeto dll otzioe dell supeficie S itoo ll sse ; R. π 5 c) l odit dl iceto di S. R ) Dt l cuv di equzioe y = detemie: ) l misu dell e dell pte fiit di pio S delimitt dll cuv e dll sse ; ) l misu del volume del solido geeto dll otzioe dell supeficie S itoo ll sse ; c) l odit dl iceto di S. ) Dt l cuve di equzioe y = 4 e y = detemie: ) l misu dell e dell pte fiit di pio S cchius di due chi; ) l misu del volume del solido geeto dll otzioe dell supeficie S itoo ll sse. 3) Utilizzdo il teoem di Guldio detemie le coodite del iceto delle figue pie degli esecizi 7 e 8. 4) Clcole il vlo medio dell fuzioe y = ell itevllo [, e]. R. e 5) Clcole il vlo medio dell fuzioe y = ell itevllo, e. R. + e 6) Clcole il vlo medio dell fuzioe y = l ell itevllo [,e ]. R. ( e ) 7) Clcole l lughezz dell co dell cuv di equzioe y = co. R. 5 + l + 5 8) Clcole l lughezz dell co dell cuv di equzioe y = 4 co. [ R. π ] 9) Clcole l lughezz dell co dell cuv di equzioe y = co. ( ) R. 7 ) Clcole l lughezz dell co dell cuv di equzioe = set y = cos t co π π π t. R