Elettromagnetismo. Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano. Lezione n

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1 Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus Uivesità degli Studi di Milo Lezioe Coodite cuviliee Soluzioi dell'equzioe di Lplce Metodo sepzioe delle vibili Ao Accdemico 18/19

2 Sistemi di coodite cuviliee Cosideimo desso u sistem di coodite poli Le compoeti Ripetimo gli stessi giometi ctesie soo Il vettoe posizioe è idividuto d due compoeti cos Le compoeti poli, si Quli soo le compoeti di u vettoe v pplicto i (,)? Possimo tccie due fmiglie di cuve si Fissto fccimo vie i (, π) cos I coodite ctesie le cuve i ppesetzioe pmetic soo Alogmete fissimo l e fccimo vie i (, +) Abbimo icopeto il pio co u giglito di cuve Tovimo desso le tgeti lle cuve t cos si cos si t cos l si l si cos e ˆ v e ˆ Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 16

3 Sistemi di coodite cuviliee t Clcolimo i vesoi dividedo pe i moduli t 1 t ˆe cos si t cos si t t si cos t I vesoi defiiscoo loclmete due ssi otogoli Le poiezioi (locli) di v sui due ssi defiiscoo le compoeti del vettoe i coodite poli Le compoeti di v soo (v v ) ˆe v vsi v vcos t si cos Attezioe: il vettoe è sempe lo stesso (è u vettoe costte) Le sue compoeti cmbio i fuzioe dell'golo pole del puto di ppliczioe Le compoeti dipedoo dl puto di ppliczioe! Il cso delle coodite ctesie è molto pticole e ˆ v e ˆ Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 163

4 Sistemi di coodite cuviliee Sottolieimo le cosegueze del ftto che le compoeti del vettoe dipedoo dl puto di ppliczioe Cosideimo il vettoe costte i coodite ctesie v v (, y ) v 1 1 v v(, y ) y v v(, y) vˆe + vˆe y y y Si h v v ˆe v ˆe y y ˆe ˆ + v + e + v y y Le compoeti soo costti v v v y v ˆe ˆey ˆe y iolte y y Nel cso del vettoe costte i coodite poli v vsi v vcos ˆ ˆ v(, ) e vsi + e vcos Si h v v ˆe v ˆ ˆ v e e ˆ v + + e + v Dobbimo iolte clcole le deivte dei vesoi e ˆ v e ˆ ˆey y y v cos v v si Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 164

5 Sistemi di coodite cuviliee v v ˆe v ˆ ˆ v e e ˆ v + + e + Ricodimo i vesoi Abbimo ˆe si cos ˆe cos si si ˆe cos ˆe cos si e ˆ e ˆ v cos Itoducedo ell deivt di v v vcos ˆe + vsi ˆe vsi ˆe + vcos ( ˆe ) L'lt deivt è più semplice peché o ci soo dipedeze d v Cocludimo dicedo che i coodite poli l vizioe delle compoeti di u vettoe cotiee che le vizioi dovute l sistem di ifeimeto I u legge fisic le deivte devoo espimee vizioi legte feomei fisici o effetti geometici Pe questo le leggi fisiche si eucio utilizzdo i vettoi v v v si Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 165

6 Sistemi di coodite cuviliee Geelizzimo quto fi qui detto u geeico sistem di coodite cuviliee Il pssggio d u sistem ctesio ( 1,, 3 ) d u sistem di coodite cuviliee (u 1,u,u 3 ) è defiito dlle leggi di tsfomzioe (,, ) f ( u, u, u ) f ( u, u, u ) f u u u Fcedo vie u teedo costti le lte due coodite u l e u m puto descive u gigli di ssi di coodite cuviliee Lo spostmeto ifiitesimo è Le te deivte soo i vettoi tgeti lle cuve degli ssi cooditi No soo ecessimete vettoi di om 1 Si defiiscoo i te vesoi 1 3 d du + du + du u u u u u ˆ 1 h u Se i te vesoi soo otogoli il sistem di coodite è otogole h u il 1 3 Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 166

7 Sistemi di coodite cuviliee L'elemeto di lughezz divet Il qudto del modulo d Se il sistem di coodite cuviliee è otogole i vesoi soo otogoli Iolte, l'elemeto di volume è d h uˆ du + h uˆ du + h uˆ du 3 g du du ij, 1 ij i j uˆ uˆ δ d hdu + hdu + hdu i j ij g hh uˆ uˆ ij i j i j dv h h h du du du Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 167

8 Sistemi di coodite cuviliee Pe cocludee defiimo due dei più impotti sistemi di coodite cuviliee Coodite cilidiche (u 1, u φ, u 3 z) ρcosφ ρsi φ z 1 3 ˆe ρ cosφ si φ ˆe φ si φ cosφ ˆe z 1 h h h φ ρ h h z 3 z h 1 1 ρ Coodite sfeiche (u 1, u, u 3 φ) sicosφ sisiφ cos 1 3 si cosφ ˆe si φ cos d dρ + dφ + dz cos cosφ ˆe si φ si h h 1 1 h h h h si 3 φ d d + d + si φdφ si si φ ˆe si cosφ φ Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 168

9 Soluzioe di equzioi diffeezili Cosideimo u equzioe molto semplice e ot d f ( ) df ( ) f( ) co le codizioi iizili f ( ) f ( ) 1 d d L soluzioe quest equzioe si tov utilizzdo u seie ifiit f ( ) + 1 L deivt pim è f ( ) pe l codizioe iizile Clcolimo ifie l deivt secod d f ( ) 1 d Modifichimo l seie pe edee più esplicit l potez di f ( ) 1 pe l codizioe iizile f ( ) d f d ( )( 1) d f d ( )( 1) Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 169

10 Soluzioe di equzioi diffeezili f ( ) d f ( )( ) d Scivimo l'equzioe diffeezile utilizzdo le due seie d f ( ) f ( ) ( )( 1) d + Rccogliedo i coefficieti dell stess potez ( + )( + 1) + + ( )( ) ( )( 1) vle pe tutti gli idici pi ! f ( ) ! 5! ( 1) ( + ) + 1 1! ! Quest seie h u ome ( ) si( ) f Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 17

11 Soluzioe di equzioi diffeezili Ossevzioi Cooscimo l fuzioe si e le sue popietà dll tigoometi Si ttt di u fuzioe tscedete No è espimibile tmite u umeo fiito di fuzioi elemeti È defiit dll'equzioe diffeezile Le sue popietà possoo essee icvte idipedetemete dll tigoometi Co u itepetzioe sttt l soluzioe tovt può essee vist come Geelizzzioe dimesioe ifiit dello sviluppo di u vettoe ispetto i vettoi di u bse v 1u1 + u + f ( ) 1u1( ) + u ( ) + Le fuzioi f() soo i "vettoi" I moomi u () soo i vettoi dell "bse" Molto più che u semplice logi I moomi o ho pticoli popietà Si possoo use lte fuzioi come bse Ad esempio u () si isieme w () cos Coducoo ll seie di Fouie Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 171

12 Sepzioe Vibili: Coodite Ctesie Veimo desso d uo dei metodi più impotti pe l soluzioe dell'equzioe di Lplce Pe semplifice l'esposizioe suppoimo che il potezile diped solo d due vibili Ad esempio due semipii metllici ifiiti posti potezile ullo U stisci metllic potezile V (y) Il potezile o dipede dll coodit z Le codizioi l cotoo soo L'equzioe di Lplce divet φ φ + y Il metodo cosiste, izitutto, el cece soluzioi del tipo φ (,) φ (, ) φ (, y) V ( y) lim φ( y, ) φ (, y) XYy () () podotto di fuzioi di u sol vibile Si ttt di fuzioi poco geeli A pioi sembeebbe impobbile che posso isolvee il osto poblem Ricodimo tuttvi che l somm di tti h podotto l fuzioe si Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 17

13 Sepzioe Vibili: Coodite Ctesie Sostituimo ell'equzioe di Lplce φ (, y) XYy () () φ φ + y Dividimo pe φ(,y) X()Y(y) dx dy Yy () + X () d dy Notimo che le deivte pzili soo divette deivte totli L'uic possibilità pe soddisfe l'equzioe è che i due temii sio costti idipedeti si d che d y 1 dx X () d 1 dx 1 dy + X ( ) Yy ( ) d dy 1 dy S1 S S1 + S Yy () dy Abbimo itodotto l costte pe futu coveiez dx X ( ) ( ) d X Ae + Be + dy dy Y() y Yy () C si y + D cos y Solo fuzioe di Solo fuzioe di y S S 1 Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 173

14 Sepzioe Vibili: Coodite Ctesie Abbimo petto tovto u fmigli di soluzioi (l vie di ) Si veific immeditmete che è u soluzioe dell'equzioe di Lplce Ricodimo le codizioi l cotoo φ (,) L qut codizioe impoe che l costte A si ull Il temie e divege pe φ (, ) L soluzioe divet φ (,y) V ( y) (, y ) e φ ( C si y + D cos y ) lim φ( y, ) L pim codizioe l cotoo ichiede D L soluzioe si è idott ( )( ) φ + (, y) Ae + Be C siy+ D cosy ( ) (,) e C si D cos φ + De D φ(, y) Ce siy L secod codizioe l cotoo poe u codizioe su (, ) π φ Ce si si π 1,, Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 174

15 Sepzioe Vibili: Coodite Ctesie Abbimo petto tovto u fmigli ifiit di soluzioi che soddisfo te delle qutto codizioi l cotoo π φ (, ) y Ce siy Cosideimo desso l tez codizioe l cotoo (l'ultim d soddisfe) φ (, y) V ( y) Pe l soluzioe si iduce π φ (, y) C si y Petto, meo che V (y) bbi esttmete quest fom, o bbimo co tovto l ost soluzioe Tuttvi, l'equzioe di Lplce è liee L somm di più soluzioi è co u soluzioe Si ttt di veifice se esiste u isieme di costti C tli che C C π C si y V( y) Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 175

16 Sepzioe Vibili: Coodite Ctesie L'isieme di C esiste che se i geele l somm deve essee ifiit Si ttt dello sviluppo di V (y) i u seie di Fouie π V() y C si y 1 Pe tove i coefficieti C si utilizz u semplice popietà delle fuzioi tigoometiche m π mπ si ysi ydy δ m m Petto si clcolo gli itegli mπ V ( y ) si yd y 1 π mπ C si ysi y dy π mπ C si ysi ydy 1 C δm Cm 1 mπ Cm V ( y) si ydy Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 176

17 Sepzioe Vibili: Coodite Ctesie Pe fiie specilizzimo V (y) u cso molto semplice ( ) V y U y Gli itegli possoo essee clcolti semplicemete U mπ Cm si ydy U ( 1 cosmπ ) mπ m pi Cm 4U m dispi mπ Il gfico most l somm dei pimi temii dell seie N π V ( y) C si y 1 V U Si vede che l cescee di N l seie ppossim sempe più il potezile costte U ( y) N V 1, 5, 1, 3 ( y) U 1 y y y Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 177

18 Sepzioe Vibili: Coodite Ctesie Petto l soluzioe l poblem è 4U φ(, y) e si + 1y π + 1 π L soluzioe sotto fom di seie ifiit potebbe lscie isoddisftto qulcuo Tuttvi si ttt di u fuzioe come tte lte U fuzioe tscedete Può essee mipolt Deivte, itegli. Ache le fuzioi tigoometiche soo seie ifiite Pe clcole il vloe pe vloi specifici di e y occoe somme umeicmete l seie Ache pe le fuzioi tigoometiche πy Il cso vuole che quest seie bbi u somm U si espimibile co fuzioi tscedeti φ(, y) ct π π Vedi d esempio sih Tble of Itegls, Seies d Poducts I.S. Gdshtey, I.M. Ryzhi Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 178

19 Sepzioe Vibili: Coodite Ctesie Dll tbell si tov ( ) 1 1 p si( 1) 1 psi ct 1 1 p Elbodo l espessioe si itov il isultto che ci iteess p e πy Tble of Itegls, Seies d Poducts I.S. Gdshtey, I.M. Ryzhi Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 179

20 Sepzioe Vibili: Coodite Ctesie L figu most u gfico del potezile φ πy U si, ct π π sih ( y) Pe fiie, si possoo clcole le compoeti del cmpo elettico E πy si cosh φ U sih + π π si πy E y π πy cos π si φ U sih y sih + πy E z φ z Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 18

21 Sepzioe Vibili: Coodite Sfeiche L geometi del poblem ppe studito è stt tttt i modo semplice utilizzdo le coodite ctesie Risolveemo desso il poblem del cmpo elettico di u sfe coduttice post i u cmpo elettico uifome z y z C z Diigimo l'sse z ell diezioe pllel l cmpo elettico E E ˆz V ( z) E d l z + V ( ) Edz + V Ez + V C Coveà poe il potezile ugule zeo pe z V(z) E z No è ullo ll'ifiito L'itoduzioe dell sfe metllic di ggio modific il cmpo elettico Compioo ciche idotte positive e egtive Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 181

22 Sepzioe Vibili: Coodite Sfeiche Pe questo poblem soo più dtte le coodite sfeiche Il vettoe posizioe è idividuto d (,,φ) Il potezile dipede d queste vibili: V(,,φ) Notimo che il sistem è simmetico pe otzioi itoo ll'sse pllelo l cmpo elettico e psste pe il ceto dell sfe (sse z) Il potezile o dipede dll'golo zimutle φ Le codizioi l cotoo soo L supeficie dell sfe è equipotezile Dto che il potezile è defiito meo di u costte poimo zeo il potezile dell sfe V (, ) Pe z il cmpo elettico o isetià dell pesez dell sfe ell'oigie Il cmpo sà di uovo uifome E z ( ) E ˆ lim V, E z E cos y z z φ y si cosφ si si φ cos Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 18

23 Sepzioe Vibili: Coodite Sfeiche Nelle esecitzioi icveemo l fom dell'equzioe di Lplce i coodite sfeiche 1 V 1 V 1 V + si + si si φ Se sceglimo l'sse z pllelo l cmpo elettico uifome il poblem è simmetico pe otzioi itoo ll'sse z e il potezile o dipede d φ V 1 V + si si Come el cso delle coodite ctesie ipotizzimo u soluzioe del tipo (, ) R( ) Θ( ) V Le fuzioi R e Θ dipedoo solo d e ispettivmete Sostituedo ell'equzioe di Lplce i coodite sfeiche R 1 Θ Θ + R si si Dividedo pe V 1 R 1 1 Θ + si R Θsi Abbimo elimito il fttoe 1/ Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 183

24 Sepzioe Vibili: Coodite Sfeiche 1 R 1 1 Θ + si R Θsi L situzioe è idetic l cso delle coodite ctesie Il pimo temie dipede solo d Il secodo temie dipede solo d Devoo essee due costti 1 d dr 1 1 d d S Θ 1 Rd d si Θ si d d 1 S L pim equzioe divet S + S S l( l + ) d dr l( l + 1) R d d Si veific fcilmete che l soluzioe è 1 1 S B l l ( ) A l + l 1 R + Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 184

25 Sepzioe Vibili: Coodite Sfeiche L secod equzioe è d dθ si l( l + 1) Θsi d d Quest equzioe o è semplice Le soluzioi soo i Poliomi di Legede ( ) ( cos) Θ P l I poliomi di Legede di odie l bitio possoo essee tovti co l fomul di Rodiguez P ( ) 1 l 1 d l Pl ( ) P 1 ( ) ( 1) l l! d P ( ) ( 3 1 )/ I Poliomi di Legede soo fuzioi molto impotti Si icoto ell descizioe delle otzioi e del mometo gole Semplici popietà P l cotiee solo poteze pi o dispi di secodo che l si pi o dispi P l () 1 Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 185

26 Sepzioe Vibili: Coodite Sfeiche L'equzioe di Legede è del secodo odie e quidi deve esseci u'lt soluzioe Ci soo lte soluzioi m divegoo pe e/o π Ad esempio Θ ( ) l t Possimo scte queste soluzioi peché o ppeseto sistemi fisici L soluzioe sepbile geele che bbimo tovto è petto B V A l P l + 1 l l l (, ) + ( cos) L somm di soluzioi co l diffeete è co u volt u soluzioe Bisog somme u umeo sufficiete di soluzioi e tove oppotui A l e B l pe soddisfe le codizioi l cotoo Petto, i geele V A P B l l + 1 l l l (, ) + ( cos) l Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 186

27 Sepzioe Vibili: Coodite Sfeiche Toimo l poblem dell sfe Le due codizioi iizili soo V (, ) V ( ) Ricodimo che i coodite poli z cos Impoimo l pim codizioe iizile Ricodimo l soluzioe geele B V A P l + 1 Deve essee ullo ogi temie A l lim, E cos Veimo ll secod codizioe iizile Pe il temie 1/ l+1 divet tscubile Peché V si compoti sitoticmete come l seie deve coteee solo il temie l Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus l l (, ) l l l + l ( cos) V ( ) A l Pl ( ) l l l 1 + l B l 1 + B A + ( ) AP ( ) lim V, cos A 1 cos 1 1 l l B, + cos l + 1 l l V ( ) A P ( ) l + 1, l cos l + 1 l l A1 E

28 Sepzioe Vibili: Coodite Sfeiche Petto l soluzioe l osto poblem è 3 (, ) V E cos Il cmpo elettico è il gdiete del potezile No bbimo co deivto l fom del gdiete i coodite sfeiche Espimimo il potezile i coodite ctesie 3 3 V E cos cos 3 E z z 3 + y + z ( ) 1 E E Clcolimo il cmpo elettico Iizimo co l compoete z z z 3 3 V z E E + 1 zz + z z E Notimo che pe E z E Iolte pe, y, z Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 188

29 Sepzioe Vibili: Coodite Sfeiche 3 V (, y, z) E z z 3 ( ) 1 + y + z Pssimo lle coodite e y V E E z z yz 3E Alogmete E 3 y 3E 3 Clcolimo i pticole il cmpo elettico sull sfe Sull sfe, z cos. Limitimoci ll poiezioe z ( y ): E y E z 3 cos E si, 3 3 cos E E ( ) Il modulo del cmpo elettico sull sfe E 3E cos z E 3E sicos + z ( 3 ) ( cos + si cos ) ( 3E ) ( ) cos cos + si 4 E E E E E 3E cos Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 189

30 Sepzioe Vibili: Coodite Sfeiche 3 si cos Ez 3E cos E E Ifie l cic totle sull sfe è ull L'elemeto di supeficie d π sid E 3E cos Ossevimo che il cmpo elettico è pepedicole ll supeficie dell sfe Utilizzdo il modulo del cmpo E z E z E E E si Ez E cos L desità di cic sull sfe è popoziole ll compoete omle del cmpo elettico E Il cmpo elettico è pepedicole π σ( ) εe 3εE cos σ( ) > q π 3 ε E cos π si d π σ( ) < q + 3ε E cosπ si d Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 19 π π dq σ( ) π E 6 πε cos si d d 3 πε 3 π/ πεe cos 3πε E π E cos